2023年广东省江门市中考三模数学试卷（解析版）

2023年广东省初中毕业生学业考试数学模拟试卷（三）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.若，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据等式的性质解方程即可求解．【详解】解：系数化为，两边同时除以得，，故选：．【点睛】本题主要考查等式的性质，掌握等式的性质解方程的运算是解题的关键．2.年月日，台积电宣称年将量产纳米芯片，纳米就是米，数据用科学记数法表示是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据乘方运算，用科学记数法表示绝对值小于的数，形式为，，是小数点向左（或向右）移动的位数，当小数点向左移动时，为正数；当小数点向右移动时，为移动位数的相反数，由此即可求解．【详解】解：，故选：．【点睛】本题主要考查用科学记数法表示绝对值小于的数，掌握科学记数法表示形式，的取值方法是解题的关键．3.如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】A、圆柱的左视图是矩形，不符合题意；B、圆锥的左视图是等腰三角形，符合题意；C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意；D、长方体的左视图是矩形，不符合题意．故选B．试题解析：考点：简单几何体的三视图．4.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项，乘法公式，二次根式运算，同底数幂的除法运算即可求解．【详解】解：选项，与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；选项，，故选项正确，符合题意；选项，，故选项错误，不符合题意；选项，，故选项错误，不符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查相关运算的综合，掌握合并同类项的方法，完全平方公式，二次根式运算法则，同底数幂的除法运算法则是解题的关键．5.已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中直角顶点在直线上，斜边与直线交于的中点，连接．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得出，进而得出，根据平行线的性质即可求解．【详解】解：∵是等腰直角三角形，斜边与直线交于的中点，∴∴∵，∴∵，∴，故选：A．【点睛】本题考查了三线合一，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．6.对于反比例函数，下列说法正确的是（）A.图象经过点 B.图象位于第二、第四象限C.该函数与坐标轴不可能有交点 D.当时，随x的增大而增大【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的图象和性质，可对各个选项进行分析，判断对错即可．【详解】解：A、∵当时，，∴函数图象过点，故本选项错误；B、∵，∴函数图象的每个分支位于第一和第三象限，故本选项错误；C、∵，，∴该函数与坐标轴不可能有交点。故本选项正确；D、∵，∴在每个象限内，y随着x的增大而减小，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．7.已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（）Am＜2 B.m≤2 C.m＜2且m≠1 D.m≤2且m≠1【答案】D【解析】【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．【详解】解：因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，所以b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．又因为(m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以m－1≠0．综合知，m的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．8.一组数据3，4，4，5，若添加一个数4，则发生变化的统计量是()A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差【答案】D【解析】【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．【详解】原数据的3，4，4，5的平均数为，原数据的3，4，4，5的中位数为4，原数据的3，4，4，5的众数为4，原数据的3，4，4，5的方差为×[（3-4）2+（4-4）2×2+（5-4）2]=0.5；新数据3，4，4，4，5的平均数为，新数据3，4，4，4，5的中位数为4，新数据3，4，4，4，5的众数为4，新数据3，4，4，4，5的方差为×[（3-4）2+（4-4）2×3+（5-4）2]=0.4；∴添加一个数据4，方差发生变化，故选D．【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．9.如图，在直角坐标系中，菱形顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，当恰好第一次落在线段上时，的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】过点作于E，利用菱形的性质和相似三角形的判定于性质证明得到，然后分别求得、、，进而求得、即可求解．【详解】解：如图，为绕点O顺时针旋转得到的三角形，过点作于E，则，，，∵∴∵四边形是菱形，∴，，∵点A，B，C在坐标轴上，∴，又，∴，，∴，又∴，∴，∵，∴，∴，在中，，在中，，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形的性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．10.如图1，正方形ABCD中，动点P从点B出发，在正方形的边上沿B→C→D的方向匀速运动到点D停止，设点P的运动路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图像，根据图中的数据，（）A. B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数图像得到PA=，根据正方形的性质求出AB=BC=2，由此得到a=4．【详解】解：由图像得，当点P运动到点C时，PA-PC=，即PA=，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，当点P运动到点D停止，此时a=4，故选：B．【点睛】此题考查了函数图像的判断，正方形的性质，正确理解函数图像与图形的关系是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.在函数中，自变量的取值范围是______．【答案】全体实数【解析】【分析】根据函数自变量的定义和取值方法即可求解．【详解】解：∵，是一次函数，∴自变量的取值范围是全体实数，故答案为：全体实数．【点睛】本题主要考查函数自变量的取值，掌握一次函数图像的特点，自变量的取值方法是解题的关键．12.已知x满足不等式组，则该不等式组的整数解的个数为______．【答案】4【解析】【分析】先求得不等式组的解集，再得出该不等式组的整数解即可得解．【详解】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式组的解集为，∴该不等式组的整数解为，0，1，2，共4个，故答案为：4．【点睛】本题考查求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法并正确求解是解答的关键．13.有背面完全相同，正面写有“十九届六中全会”字样的卡片n张，“元宇宙”字样的卡片4张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，从中随机抽取一张，若抽中“十九届六中全会”字样的卡片的概率为，则______．【答案】【解析】【分析】根据概率计算公式列出方程求解即可．【详解】解：由题意得，，解得，经检验是原方程的解，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键．14.如图，已知扇形，点C为中点，点D在弧上，将扇形沿直线折叠，点A恰好落在点O，若，，则图中阴影部分的面积是______．【答案】【解析】【分析】连接，根据中点的性质得到，证明为等边三角形，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：连接．由题意得，是线段的垂直平分线，∴，∵，∴，∴为等边三角形，∴∴∴∴，∵，∴，∴，∴图象中阴影部分的面积=，故答案为：．【点睛】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式、等边三角形的性质、折叠的性质是解题的关键．15.如图，在等腰三角形中，，，点为中点，点为边上一个动点，连接，点关于直线的对称点为点，分别连接，，当时，的长为______．【答案】或【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可求长的长，再根据动点的运动，当时，分类讨论，①如图所示，的延长线垂直与于点，连接；②如图所示，于点，连接，再根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质及三角函数的定义即可求解．【详解】解：∵三角形是等腰三角形，，，点为的中点，∴，∴，当时，分类讨论，①如图所示，的延长线垂直与于点，连接，∴在中，，∴，∵，∴，∵点关于直线的对称点为点，∴，∴，，∴是等腰三角形，且，∴，∴，∴是等边三角形，则，且，∴，在中，，∴；②如图所示，于点，连接，∵点关于直线的对称点为点，∴，∴，，∴，是等腰三角形，且，∴，则，∴是等边三角形，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴．综上所述，的长为或．【点睛】本题主要考查几何与动点的变换及解直角三角形，掌握等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质及三角函数的定义是解题的关键．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）16.先化简，然后从的范围内选一个你喜欢的整数作为的值代入求值．【答案】，【解析】【分析】先计算括号内的，再计算除法，然后根据分式有意义的条件，可得x取0，再代入化简后的结果，即可求解．【详解】解：根据题意得：且，解得，1，2，∵且x为整数，∴x取0，当时，原式【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．17.为丰富师生的校园文化生活，激发师生热爱体育运动的兴趣，增强师生体质，营造奋进、和谐的校园氛围，年月日，商丘市梁园区某校举行了“趣味十一月”神采飞扬跳绳比赛活动．该校七年级采用随机抽签的方式选出了部分同学，并对这些同学一分钟跳绳的成绩进行了统计，绘制了如下统计图和统计表：等级次数频数不合格合格良好优秀请结合上述信息解决下列问题：（1）本次随机抽签的样本容量是______；______；（2）请补全频数分布直方图；（3）在扇形统计图中，“不合格”等级对应的圆心角的度数是______；（4）若该校有名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳成绩达到良好及以上的人数．【答案】（1），（2）见解析（3）（4）估计该校学生一分钟跳绳成绩达到良好及以上的人数有人【解析】【分析】（1）根据优秀的频数及百分比即可求出样本容量，再根据样本容量即可求出合格的频数；（2）根据等级的频数即可求解；（3）先计算出“不合格”频数，样本容量，计算出“不合格”的百分比，再根据圆心角的计算公式即可求解；（4）根据样本的频率估算总体的量的方法即可求解．【小问1详解】解：优秀的频数是，优秀的百分比是，∴样本容量为（人），∴，故答案为：，．【小问2详解】解：不合格的频数是，合格的频数是，良好的频数是，优秀的频数是，∴根据以上数据补图如下：【小问3详解】解：不合格的频数是，样本容量是，∴“不合格”等级对应的圆心角的度数是，故答案为：，【小问4详解】解：样本中一分钟跳绳成绩达到良好及以上的频数，∴（人），∴估计该校学生一分钟跳绳成绩达到良好及以上的人数有人．【点睛】本题主要考查调查与统计中的相关知识，掌握计算样本容量的公式，计算圆心角的公式，根据样本频率估算总体的方法是解题的关键．18.如图，在中，，是斜边上的中线，以为直径的分别交于点M、N，交于点D、F（D、F可重合），过点N作，垂足为E．（1）求证：；（2）①当的度数为______时，四边形为正方形；②当度数为______时，四边形为菱形．【答案】（1）见解析（2）①；②【解析】【分析】（1）连接DN．由直角三角形斜边中线的性质可得出．由直径所对的圆周角为直角得出，最后结合线段垂直平分线的判定和性质即得出；（2）①当的度数为时，四边形为正方形．理由：连接ON，由直角三角形斜边中线的性质可得出，，进而得出，即可求出．又易证，结合，即可证四边形为矩形，最后由，即证明四边形为正方形；②当的度数为时，四边形为菱形，理由：连接，由直角三角形斜边中线的性质可得出，结合，即证明是等边三角形，得出，从而可证是等边三角形，是等边三角形，得出，由平行线的判定定理即得出，，证明四边形是平行四边形，最后结合，即可证四边形OMAF是菱形．【小问1详解】证明：如图，连接DN．∵，是斜边AB的中线，∴．∵是的直径，∴，∴；【小问2详解】解：①当的度数为时，四边形为正方形．理由：如图，连接ON，∵，，是斜边的中线，∴，，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴四边形为矩形．∵，∴四边形为正方形．故答案为：；②当的度数为时，四边形为菱形，理由：如图，连接，∵是斜边的中线，∴．∵，∴是等边三角形，∴．∵，∴是等边三角形，是等边三角形，∴，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形OMAF是菱形．故答案为：．【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，圆周角定理的推论，线段垂直平分线的判定和性质，正方形的判定，菱形的判定，等边三角形的判定和性质等知识．正确作出辅助线是解题关键．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）19.如图，小明为测量宣传牌的高度，他站在距离建筑楼底部处米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为．同时测得建筑楼窗户处的仰角为（、、、在同一直线上）．然后，小明沿坡度为的斜坡从走到处，此时正好与地面平行，若小明在处又测得宣传牌顶部的仰角为，求宣传牌的高度．（结果精确到米，，）【答案】宣传牌的高度约为米【解析】【分析】过点作于，依题意知，，；得到四边形是矩形；根据矩形的性质得到；解直角三角形即可得到结论【详解】解：过点作于，依题意知，，，，∴四边形是矩形，∴，在中，（米），∵斜坡的坡度为．∴中，（米），∴（米）．在中，（米），∴（米）．答：宣传牌的高度约为米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角及坡度坡角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20.2021年元月，国家发展改革委和生态环境部颁布的《关于进一步加强塑料污染治理的意见》正式实施，各大塑料生产企业提前做好了转型升级．红星塑料有限公司经过市场研究购进一批型可降解聚乳酸吸管和一批型可降解纸吸管生产设备．已知购买5台型设备和3台型设备共需130万元，购买1台型设备的费用恰好可购买2台型设备．（1）求两种设备的价格；（2）市场开发部门经过研究，绘制出了吸管的销售收入与销售量（两种吸管总量）的关系（如所示）以及吸管的销售成本与销售量的关系（如所示）．①的解析式为_____________；的解析式为______________．②当销售量（）满足条件________时，该公司盈利（即收入大于成本）．（3）由于市场上可降解吸管需求大增，公司决定购进两种设备共10台，其中型设备每天生产量为1.2吨，型设备每天生产量为0.4吨，每天生产的吸管全部售出．为保证公司每天都达到盈利状态，结合市场开发部门提供的信息，求出型设备至少需要购进多少台？【答案】（1）型设备为每台20万元，型设备为每台10万元；（2）①；；②；（3）至少购买型设备8台．【解析】【分析】（1）设A型设备为每台万元，则型设备为每台万元，根据题意列二元一次方程组求解即可．（2）①根据函数图像给出的点的信息，设函数表达式，求解参数即可．②根据图像读出数据；（3）设购进A型设备台，则购进型设备台，根据题意列出不等式求解即可．【详解】（1）设A型设备每台万元，则型设备为每台万元.依题意，得，解得，答：A型设备为每台20万元，型设备为每台10万元；（2）①根据图像特点，设，，将点（10,20）代入，求解得到k=2，则；将点（0,10）、（10,20）代入，求解得到m=1，n=10，则；②从图形可以看出时，该公司盈利；（3）设购进A型设备台，则购进型设备台，依题意得，解得.∴的最小整数为，答：至少购买A型设备8台．【点睛】本题考查了二元一次方程组、一次函数性质与图像、一元一次不等式等有关知识点，读懂图像理解题意是解决问题的关键．21.如图，半圆O中，，点M为上一点，，点P为半圆上一个动点，连接，过点A作，垂足为N．小明根据学习函数的经验，对线段的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）设的长度为，的长度为，的长度为，对于点P在半圆O上的不同位置，通过画图、测量，得到了线段的长度的几组值，如下表：/cm012345677.57.647.787.908/cm00.991.992.973.924.825.615.905.565.184.463.300/cm65.915.655.214.533.562.120.242.253.014.05.006请计算，当时，______；（2）利用表格中的数据，在如平面直角坐标系中画出（1）中所确定的函数关于x的函数图象；（3）观察函数图象分别写出函数、的一条性质；（4）当等腰三角形时：①通过计算可知：______；②通过进一步探究函数图象可知：长度的近似值为______．（保留一位小数）【答案】（1）（2）见解析（3）当时，随x的增大而增大；时，随x的增大而减小（答案不唯一）（4）①；②和【解析】【分析】（1）连接BP，证明，推出，求得的长，再利用勾股定理即可求解；（2）先描点，再连线，即可得出结论；（3）根据（2）中函数图象求解即可得到答案；（4）根据（2）中函数图象求解即可得到答案．【小问1详解】解：如图，连接BP，∵是直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，则，∴，在中，，故答案为：；【小问2详解】解：描点、连线，如图，即为所求，【小问3详解】解：从函数图象看，当时，随x的增大而增大；时，随x的增大而减小（答案不唯一）；【小问4详解】解：①∵等腰三角形，在等腰中，，故答案为：；②观察函数图象可知，交点位置即为所求，即和（答案不唯一），故答案为：和（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了函数图像的画法，相似三角形的判定，利用函数图像估值等等，解题的关键在于熟练的掌握相关知识点．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）22.如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，点在轴上，点在轴上，，抛物线经过点（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式的解集；（3）点是抛物线上的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为，当时，求点的坐标．【答案】（1）（2）或（3）或或【解析】【分析】（1）根据题意得出A、B点的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据（1）的解析式由图象判断即可；（3）作轴于点，交于点，根据函数图象点的位置分三种情况分别计算出点的坐标即可．【小问1详解】解:当，∴，∵，∴，把代入抛物线解析式，得，解得，∴该抛物线解析式为:，∵直线与坐标轴交于两点，∴，解得，∴；【小问2详解】解：∵不等式，∴，即，观察函数图象可知当时的函数值大于的函数值，∴不等式的解集应为或；【小问3详解】解：作轴于点，交于点，作于，①如图1，当在上方时，在中，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，设