2023年黑龙江省鸡西市虎林市青山学校中考二模数学试题（解析版）

二O二三年初中生学业水平考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每题3分，满分30分）1.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据完全平方公式，合并同类项法则，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.，故该选项正确，符合题意；B.与，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；C.，故该选项不正确，不符合题意；D.与，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式，合并同类项，熟练掌握完全平方公式，合并同类项法则是解题的关键．2.下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：A．【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．3.某校“英语课本剧”表演比赛中，九年级的10名学生参赛成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中正确的是（）A.平均数是88 B.众数是85 C.中位数是90 D.方差是6【答案】C【解析】【分析】写出这分别10名学生参赛成绩，再根据定义解题：众数，一组数据中出现次数最多的数；中位数，一组数据按顺序排列，位于正中间的一个数（或位于正中间的两个数的平均值）；方差．【详解】解：10名学生的参赛成绩：80，85，85，90，90，90，90，90，95，95，平均数是，众数是90，中位数是，，即选项A、B、D错误，选项C正确，故选：C．【点睛】本题考查平均数、众数、中位数、方差等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．4.由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数是（）A.4 B.5 C.6 D.9【答案】A【解析】【详解】试题分析：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有3个小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数为3+1=4个，故选A．考点：由三视图判断几何体．5.某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（）A.10元 B.20元 C.10元或20元 D.13元【答案】A【解析】【分析】根据题意设每件商品降价元，则平均每天可售出件，根据每日的总利润每件商品的利润每日的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合即可确定的值．【详解】解：设每件商品降价元，则平均每天可售出件，依题意得：，整理得：，解得：，，又，，．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6.若关于的分式方程有解，则的取值范围是（）A. B. C. D.且【答案】D【解析】【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程有解，进行求解即可．【详解】解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，∵关于的分式方程有解，∴，∴，∴且，故选D．【点睛】本题主要考查了分式方程有解的问题，正确解方程得到是解题的关键．7.某单位为了加大“精准扶贫”力度，将16名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领48个贫困户脱贫．若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（）A.3种 B.4种 C.5种 D.6种【答案】C【解析】【分析】根据选派16名成员分三组带领48个农户可列方程，再根据每组人数为正整数求解即可．【详解】设甲组a人，乙组b人，则丙组人，由题意，，，是正整数，当时，，，符合题意；当时，，，符合题意；当时，，，符合题意；当时，，，符合题意；当时，，，符合题意；分组方案共5组，故选:C．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求量的等量关系．8.如图，菱形在第二象限内，，反比例函数的图像经过点，交边于点，若的面积为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】过A作AE⊥x轴于E，设OE=，则AE=，OA=，即菱形边长为，再根据△AOD的面积等于菱形面积的一半建立方程可求出，利用点A的横纵坐标之积等于k即可求解．【详解】如图，过A作AE⊥x轴于E，设OE=，在Rt△AOE中，∠AOE=60°，∴AE=，OA=，∴A，菱形边长为，由图可知S菱形AOCB=2S△AOD，∴，即，∴，∴，∴A，又点Ａ在反比例函数上，∴．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合问题，利用特殊角度的三角函数值表示出菱形边长及A点坐标是解决本题的关键．9.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（）A.40° B.50° C.65° D.75°【答案】C【解析】【详解】∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥OA，即∠OBA=90°．∵∠BAO=40°，∴∠BOA=50°．∵OB=OC，∴∠OCB=．故选C．10.如图，已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿翻折至，延长交边于点，连接，．则下列给出的判断：①；②若，则；③若为的中点，则的面积为；④若，则，其中正确的是（）A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④【答案】B【解析】【分析】①根据定理先证，得出即可；②设，根据勾股定理求出，再求出的值即可；③同样利用特殊值法计算得不出相应的关系即可证明结论不正确；④根据已知关系先求证是等腰直角三角形，设，根据，则有，解出即可．【详解】①将沿翻折至，，，四边形是正方形，，，，，，，四边形是正方形，，，故①正确；②设，在中，，即，解得，，，，，，故②正确；③同理可得，，为的中点，，，过作的高线，，，，即，解得，，故③错误；④，，，为等腰直角三角形，，设，则有，解得，故④正确；故选：B．【点睛】本题主要考查了图形的翻折，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练利用特殊值法解选择题是解本题的关键．二、填空题（每题3分，满分30分）11.聚丙烯是生产口罩的原料之一．2019年我国聚丙烯的产量约为20960000吨，约占全球产量的．数据20960000用科学记数法可表示为______．【答案】【解析】【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：数据20960000用科学记数法可表示为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．12.函数中自变量x的取值范围是____________．【答案】x≥．【解析】【详解】解：根据题意得：3x+1≥0，解得：x≥．故答案为：x≥．【点睛】本题考查函数自变量的取值范围．13.如图，已知AB=AC，若以“SAS”为依据证明ECD，需添加一个条件是_________．【答案】AD=AE【解析】【分析】根据已知AB=AC和∠A=∠A，添加AD=AE即可．【详解】解：∵AB=AC，∠A=∠A，∴添加AD=AE，可以“SAS”为依据证明ECD，故答案为：AD=AE．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解题关键是明确三角形全等的判定定理，准确添加条件．14.根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是______________．【答案】【解析】【分析】根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解．【详解】解：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类对应的垃圾筒分别用A，B，C，D表示，垃圾分别用a，b，c，d表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b，画树状图如图：共有12个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个，∴分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为，故答案为：．【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知树状图的作法及概率的求解公式．15.关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是___．【答案】【解析】【分析】首先解出两个不等式，根据题目该不等式组无实数解，那么两个解集没有公共部分，列出关于a的不等式，即可求解．【详解】解不等式，得，解不等式，得，不等式组无实数解，，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了解不等式组，不等式组解集的确定，熟练掌握不等式组的解集的确定是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．16.如图，内接于，为直径，若，，点到的距离为，则的长为______．【答案】【解析】【分析】过O作于H，连接，根据圆周角定理和垂径定理得到，，，再根据正切定义和勾股定理求得解即可．【详解】解：过O作于H，连接，则，，，∵，∴在中，，，，∴，则，∴，在中，，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、正切、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理，正确求得圆的半径是解答的关键．17.已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为______．【答案】##120度【解析】【分析】根据底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长以及弧长公式求解即可．【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，根据题意，得，解得，则圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，故答案为：．【点睛】本题考查了圆锥的有关计算、弧长公式，解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，扇形的半径等于圆锥的母线长．18.如图，在等边中，D，E分别为边的中点，，且P为上的动点，连接，则的最小值为______．【答案】5【解析】【分析】作点E关于的对称点F，连接，交于点P，由，根据即可求得的最小值．【详解】解：如图，作点E关于的对称点F，连接，交于点P，∵等边三角形为轴对称图形，∴点F在线段上，∴，∴，即的最小值为的长，且此时，根据等边三角形三边上的高相等，即，∴的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题考查等边三角形的性质，轴对称的性质，掌握轴对称求线段和最小值的方法是解题的关键．19.如图，在矩形中，，．F是上一点，将沿所在的直线折叠，点A恰好落在边上的点E处，连接交于点G，取的中点H，连接，则______．【答案】##【解析】【分析】由折叠可知，垂直平分，连接，可得是的中位线，求出即可求．【详解】解：由折叠可知，垂直平分，连接，∴G是的中点，∵H是的中点，∴，∵，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查图形的折叠，熟练掌握翻折的性质，矩形的性质，三角形中位线的性质是解题的关键．20.如图，在平面直角坐标系中，将边长为，，的直角沿轴向右滚动到的位置，再到的位置……依次进行下去，发现，，，……那么点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】根据直角的边长求出点，再由沿轴向右滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去，即可找到规律，即可求解．【详解】∵，，，，根据题意知：，得：；继续滚动得：；发现规律：，∵，解得：则，∴点的横坐标为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了规律型：点的坐标，找到规律是解题的关键．三、解答题（满分60分）21.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可．【详解】解：，当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式混合运算，求特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．22.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．（1）画出绕点O逆时针旋转后的；（2）以点O为位似中点，在y轴的右侧画出与的相似比为的图形；（3）的面积是______．【答案】（1）图见解析（2）图见解析（3）【解析】【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案．（3）利用割补法求得的面积，再利用相似比求解.【小问1详解】解：如图所示．;【小问2详解】解：如图所示．【小问3详解】解：的面积为，∴的面积是．故答案为：．【点睛】此题主要考查了旋转变换、位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．23.如图，抛物线与x轴交于点A，B，顶点，请解答下列问题：（1）求抛物线解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，若四边形的面积为18，则的长为______．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二次函数的顶点式求解即可；（2）设对称轴交轴于点，先求得点A、B坐标，再利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求得，根据初中所学的四边形为凸四边形结合勾股定理即可求解．小问1详解】解：∵抛物线的顶点为，∴，抛物线的解析式．【小问2详解】解：设对称轴交轴于点，对于，令，，∴，，∴，∵抛物线顶点，∴对称轴为直线，，∴，∴，∴，∴，（四边形为凸四边形，点只能在x轴上方）在中，．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与x轴的交点、坐标与图形、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质，以及数形结合思想是解答的关键．24.某社区为了解该小区居民喜爱观看的奥运会项目（A．乒乓球；B．篮球；C．体操；D．跳水；E．排球）情况，随机调查了部分该小区居民（每个人只能从五个项目中选择一种），并根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中信息回答下列问题：（1）抽样调查共有______名小区居民，补全条形统计图和扇形统计图；（2）求扇形统计图中“D”对应的扇形圆心角的度数；（3）若该小区共有3000名居民，请你估计喜欢排球的有多少名．【答案】（1）200，图见解析（2）（3）450【解析】【分析】（1）根据喜爱观看篮球的人数为50人，占总调查人数的，求出总的调查人数即可；求出喜欢观看体操的人数，喜欢观看乒乓球的人数占总人数的百分比，补全条形统计图和扇形统计图即可；（2）用乘以喜欢观看跳水人数所占的百分比即可求出扇形统计图中“D”对应的扇形圆心角的度数；（3）用3000乘以喜欢排球的百分比，估算出总的人数即可．【小问1详解】解：（人），喜欢观看体操的人数为：（人），，补全条形统计图和扇形统计图，如图所示：【小问2详解】解：．答：扇形统计图中“”对应的扇形圆心角的度数为．【小问3详解】解：（名）答：估计喜欢排球的居民有450名．【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图信息关联，解题的关键是数形结合，熟练掌握扇形统计图和条形统计图的特点．25.快、慢两车分别从相距400千米的A，B两地同时出发，相向而行．已知快车在中途发生故障停下维修，用时1小时，修好后继续按原速前行．如图是快、慢两车距A地的距离y1（单位：千米），y2（单位；千米）与所用时间x（单位：小时）之间的函数图象．请根据图象信息解答下列问题．（1）快、慢两车的速度分别是多少？（2）求快车从A地到B地过程中，y1与x的函数解析式；（3）请直接写出两车出发多长时间相距40千米．【答案】（1）快、慢两车的速度分别为120千米/时和80千米/时（2）（3）小时或小时【解析】【分析】（1）根据速度=路程时问可求出慢车的速度，再结合题意和图象求得快车2小时行驶的路程，最后运用公式即可求出快车的速度；（2）分段讨论：①当时；②当时；③根据题意求得快车到达目的地所用时间为5小时，此时，再用待定系数法求一次函数解析式即可；（3）两车相距40千米分为两种情况，即两车相遇前和两车相遇后，分别计算即可解答．【小问1详解】解：（千米/时），（小时）慢车行驶3小时，快车行驶的路程为：（千米），（千米/时）答：快、慢两车的速度分别为120千米/时和80千米/时．【小问2详解】解：①当时，；②当时，；③（小时）．当时，设与的函数解析式．把点，代入，得，解得∴．综上，与的函数解析式为【小问3详解】解：①快车与慢车相遇之前，两车行驶2小时，两车之间的距离为（千米），设两车出发时间为小时，，解得：；②快车与慢车相遇之后，设两车出发时间为小时，，解得：；综上，两车出发小时或小时，相距40千米．故答案为：小时或小时【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）结合题意和图象，列式计算；（2）根据数量关系和待定系数法求出各段的函数解析式；（3）运用分类讨论思想求解．26.已知是的高，，P是直线上一点．（1）当点P在的延长线上，且时，如图1，求证：；（2）当点P在边上，且时，如图2；当点P在边上，且时，如图3，请直接写出线段之间的数量关系，不需要证明．【答案】（1）见解析（2）图2：．图3：【解析】【分析】（1）如图1，过点A作，垂足为H．先证明可得，再解直角三角形可得，最后根据线段的和差表示出，最后根据线段的和差即可解答；（2）分、两种情况分别画出图形，然后根据（1）的方法即可解答．【小问1详解】证明：如图1，过点A作，垂足为H．∵是的高，∴,∴．∴,∵，∴．∴．在和中，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴．【小问2详解】证明：当点P在边上，且时,如图2，过点A作，垂足为H．∵是的高，∴,∴．∴,∵，∴．∴．在和中，∴，∴．∵，∴，∴．∴．∵，∴，即；当点P在边上，且时,如图3，过点A作，垂足为H．∵是的高，∴,∴．∴,∵，∴．∴．在和中，∴，∴．∵∴∵，∴，∴．∴．∴．∵∴，即．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、所对的直角边是斜边的一半等知识点，作出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键．27.为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件．已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍．（1）甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？（2）商场决定购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，求该商场有哪几种进货方案；（3）在（2）的条件下，商场决定甲品牌恤衫以每件50元出售，乙品牌恤衫以每件100元出售，若该商场推出促销活动：顾客购买一件恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购恤衫按标价返款100%；二等奖共有3个，所购恤衫按标价返款50%．该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元，直接写出抽到的二等奖中，购买的乙种品牌恤衫有多少件．【答案】（1）甲品牌每件的进价为30元，乙品牌每件的进价为60元；（2）商场共有三种进货方案：①购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件；②购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件；③购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件；（3）抽到的二等奖中，购买乙种品牌恤衫有1件或3件．【解析】【分析】（1）根据乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍，可以列出相应的分式方程，从而可求得甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元；（2）购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，可以列出相应的不等式组，从而求出的取值，分别列出进货方案即可；（3）根据（2）中共有3种方案，分三种情况进行讨论：设二等奖中购买乙品牌的有件，甲品牌的有件，当购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件时，一等奖为甲品牌时，根据该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得不是整数即可舍去；当购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件时，一等奖为乙品牌时，根据该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得不是整数即可舍去；以此例推分别进行讨论即可，若为小于等于3的整数，则可满足题意．【小问1详解】解：设甲品牌恤衫每件的进价为元，则乙品牌恤衫每件的进价为元．由题意得：解得：经检验是原分式方程的解，且符合题意．，答：甲品牌恤衫每件的进价为30元．乙品牌恤衫每件的进价为60元．【小问2详解】设该商场购进甲品牌恤衫a件，则购进乙品牌恤衫件．根据题意得：的整数值为78，79，80．商场共有三种进货方案．方案一：购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件；方案二：购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件；方案三：购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件．【小问3详解】设二等奖中购买乙品牌的有件，甲品牌的有件，①购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件，一等奖为甲品牌，解得：（舍）．购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件，一等奖为乙品牌，解得：（舍）．②购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件，一等奖为甲品牌，解得：．购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件，一等奖为乙品牌，解得：．③购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件，一等奖为甲品牌，解得