山西省2023-2024高三第一学期期末优生联考数学试题含答案

山西省2023-2024高三第一学期期末优生联考数学试

题

2023〜2024学年第一学期优生联考

局二数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

2

z----r_

1.已知3-i,则亍=（）

31.八31.31.31.

A.—1—1B.-----1C.——+—1D.------1

55555555

2.已知集合幺=[x[x+]No]，B=

[vj=ev+l},则句8=()

A.(-oo?-l]B.(-oo,-l)

c.(-a),-l)U[0,l]D.STU[0,1)

3.第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，时值中秋和国庆假期，某班同学

利用假期在家通过网络直播观看比赛.已知该班有30名学生喜欢看排球比赛，40名同学喜欢看篮球比赛，

50名同学喜欢看排球比赛或篮球比赛，若从喜欢看排球比赛的同学中抽取1人，则此同学喜欢看篮球比赛

的概率为（）

B34

A,三-|C.—D.一

45

4.已知平面向量z、B满足W=2，|=2,若aJ_（a+可，则£与B的夹角为（）

兀5兀712兀

A."-B.—C.—D.—

6633

5.已知抛物线C：V=8x的焦点为R点尸在C上，若点。（6,3）,则周长的最小值为（）.

A.13B.12C.10D.8

6.已知a、〃是两个平面，直线/<2尸，若以①/La；@11113-③中两个为条件，另

一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（）

A.①③n②；①②n③B.①③=>②；②③=①

C.①②n③；②③n①D.①③二②；①②n③；②③n①

7.已知函数/（x）=sin0X+1卜0〉0）的图象与g（x）的图象关于无轴对称，若将/（x）的图象向左至

少平移］个单位长度后可得到g（x）的图象，则（）

A.g（x）的图象关于原点对称

B.g［x+3=_g（x）

C.g（x）在上单调递增

D.g（x）的图象关于点［不,o］对称

8.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方

形，如此继续.设初始正方形的边长为注，依次构造出的小正方形（含初始正方形）的边长构成数列

2

{4},若{4}的前〃项和为S,=2〃2+（20+N）〃H<0,〃eN*）,令=max<%,，->,其中

max{x,y}表示x,了中的较大值.若恒成立，则实数X的取值范围是（）

212

A.[-4,-3]B.[-3,-2]C.-y,--D.-3,-y

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列代数式的值为』的是（）

4

tan15°

A.cos275°-sin275°B.~

1+tan215°

C.cos36°cos72°D.2cos20°cos40°cos80°

10.已知a1£（0,1）,且Q+6=1,则（

A.a+Z)2>1B.Intz+In<-2In2

C.2。+2空2行D.<V2

11.己知定义在R上的函数/(x)满足/(x)=—/|x+|),且—为奇函数，当xe-1,0时,

8

/(x)=jx2+ax-2,则()

A./(x)是周期为3的周期函数B./。)=1

C.当xe—时,f(x)=--x2+—x-2D.^/(z)=2

-24」3J/=i

12.在长方体48CD—4MGA中，20=246=244]=4,E是棱瓦G的中点，过点B,E,A的平

面a交棱/。于点尸，P为线段尸上一动点(不含端点)，则()

A.三棱锥尸-48E的体积为定值

B.存在点P,使得。尸J.a

C.直线PE与平面8CG4所成角的正切值的最大值为J5

D.三棱锥P-BBXE外接球的表面积的取值范围是(12肛44万)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2

13.已知2"=32/og“2-log4X=1a,则logsX+log工5=.

14.已知函数/(》)=(%-0)111%，若直线y=(l-e)x+6与曲线y=/(x)相切，则6=.

15.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光

源点2(0,-2)射出的两条光线与6。：/+/=i分别相切于点M、N,称两射线ZM、ZN上切点上

方部分的射线与优弧上方所夹的平面区域(含边界)为圆O的，背面”.若以点8(a,2)为圆心，厂为半径的

圆处于QO的“背面”，则r的最大值为.

16.已知双曲线uly-AKa〉。/〉。)的左、右焦点分别为片，用，点尸在C的左支上，陷|=3a,

户元+所|=2b,延长尸。交。的右支于点。，点M为双曲线上任意一点(异于P,。两点)，则直线

MP与MQ的斜率之积kMP-kMQ=.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在等差数列｛a“｝中，%=7，%+2。8=35,数列｛4｝的前〃项和为5“，且34—2S“=L

(1)求数列｛叫和抄“｝的通项公式；

（2）若与斗,求数列｛c“｝的前〃项和却

18.已知A48c中，角48,C所对的边分别为a,"c,2acosC=2b+c.

（1）求A；

（2）设M是边上的点，且满足===求△ZCM内切圆的半径.

19.2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人.2019年7月份以来，共完成1931个

志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时.为了了解此地志愿者对志愿服务

的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率

分布直方图.

（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数嚏和样本方差$2（同一组中的数据用该组区间的

中间值代表）；

（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布N（〃,a2）,其中〃近似为样本

平均数口接近似为样本方差52.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若

X〜N,令y=则y〜N（O,1）,且尸（x4a）=p，4于:

（i）利用直方图得到的正态分布，求尸（X<10）；

（ii）从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求

尸（Z21）（结果精确到0.001）以及Z的数学期望.

参考数据：VL64«1.28，O,773420»0.0059.若V〜N（0,l）,则尸（VW0.78）=0.7734.

Q

20.如图，在三棱柱48C-481G中，侧面NCG4的面积为4,且四棱锥G—幺网4的体积为1.

cct

卜'/1\

1/''XI/

V.____"I

BB、

(1)求点B］到平面ACC.A,的距离；

(2)若平面NCG4，平面48与4,侧面是正方形，。为8G的中点，ACX=AXCX,求平面

ADB,与平面451G所成锐二面角的余弦值.

21.设大，£分别是椭圆。：［+，=1">0)的左、右焦点，闺引=2百，椭圆的离心率为出

(1)求椭圆。的方程；

(2)作直线4与椭圆。交于不同的两点尸，Q,其中点尸的坐标为(-2,0),若点N(0,。是线段尸。垂

直平分线上一点，且满足而•而=4,求实数/的值.

22.已知函数/(x)=logaX+—(a〉0且。。1).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若jVlnaVl,求证：Vx>0,/(x)>Intz.

2023〜2024学年第一学期优生联考

局二数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

2

z----r_

1.已知3—i,则亍=()

31.31.31.31.

A.—I—1B.----1C.---1—1D.------1

55555555

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再求出其共软复数.

22(3+i)3+i31

【详解】因为2=「=仆所以亍=£一三上

3-1(3-+555

故选：B

2.己知集合N=,B=^y\y=ex+^,则Q8=()

A.(―℃,—1]B.(-00,-1)

C.(-<»,-l)U[0,l]D.(-<»,-l]U[0,l)

【答案】c

【解析】

【分析】首先解分式不等式求出集合A,再根据指数函数的性质求出集合B,最后根据补集的定义计算可

得.

xfx(x+l)>0

【详解】由——20,等价于<')，解得xNO或x<—1,

x+1[x+1w0

所以N={x|>0j=(-oo,-1)o[0,+oo),

又5=y=e*+“=(i,+“)，

所以28=(-右一

故选：c

3.第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，时值中秋和国庆假期，某班同学

利用假期在家通过网络直播观看比赛.已知该班有30名学生喜欢看排球比赛，40名同学喜欢看篮球比赛，

50名同学喜欢看排球比赛或篮球比赛，若从喜欢看排球比赛的同学中抽取1人，则此同学喜欢看篮球比赛

的概率为（）

12八34

A.-B.—C.—D.一

2345

【答案】B

【解析】

【分析】先求出喜欢观看两种比赛的人数，再用古典概率求解即可.

【详解】设有无人两种比赛都喜欢，则有30-x人只喜欢看排球比赛，40-x人只喜欢看篮球比赛，

所以有30-x+40-x+x=50,解得x=20人，

所以从喜欢看排球比赛的同学中抽取1人，则此同学喜欢看篮球比赛的概率为2三0=：2.

故选：B

4.已知平面向量£、B满足W=2，|=2,若a_L（a+^）,则£与B的夹角为（）

兀5兀7c2兀

A.-B.—C.-D.—

6633

【答案】D

【解析】

【分析】依题意可得7R+可=0,根据数量积的运算律求出鼠B，再由夹角公式计算可得.

【详解】因为W=2同=2,且立口+可，所以屋（2+可=0,即7+73=0，

^a-b=-a=-V

ca，b—11,

设Z与B的夹角为。，则c°se=qw=5下=-a，因为。e[ro,可，

27r27r

所以，=?-,即a与B的夹角为-

故选：D

5.已知抛物线C:r=8x的焦点为凡点尸在C上，若点0（6,3）,则^尸。尸周长的最小值为（）.

A.13B.12C.10D.8

【答案】A

【解析】

【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值.

【详解】y2=2x4x,故R（2,0）,

记抛物线C的准线为/,则/：x=—2,

记点尸至U/的距离为d,点。（6,3）至ij/的距离为d'，

则|尸@+|PF|+\QF\=\PQ\+d+^（6-2）2+（3-0）22"'+5=8+5=13.

6.已知1、乃是两个平面，直线/<Za,/<2尸，若以①/La；②〃〃？；③中两个为条件，另

一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（）

A.①③n②；①②n③B.①③n②；②③n①

C.①②二③；②③n①D.①③n②；①②n③；②③n①

【答案】A

【解析】

【分析】

对三个命题逐个分析，可采用判定定理、定义、作图的方法进行说明，由此可确定出正确选项.

【详解】（1）证明：①②n③为真命题

因为/La,IH/3,设/平行于厂内一条直线所以/'La,

根据面面垂直的判定定理可知：a工（3,所以①②n③为真命题；

（2）证明：①③=②为真命题

因为/_La,aX-[3,所以/ua或/〃尸，

又因为/<24，所以/〃尸，所以①③n②为真命题；

（3）证明：②③n①为假命题

作出正方体如下图所示：

D

Ci

记直线幺。为/,平面MAGA为a,平面BBCC为月,

所以a，，，////7,但〃/a,所以②③n①为假命题;

故选：A.

【点睛】本题考查空间中关于线、面的命题的真假判断，主要考查学生对空间中位置关系的理解，难度一

般.说明位置关系不成立也可以举反例.

7.已知函数/(x)=sin［0x+g］®〉O)的图象与g(x)的图象关于x轴对称，若将/(x)的图象向左至

少平移个单位长度后可得到g(x)的图象，则()

A.g(x)的图象关于原点对称

C.g(x)在10,向上单调递增

D.8(”的图象关于点［一［10］对称

【答案】B

【解析】

【分析】先设g(x)=/(x+m)=sina)x+com+—m>0,从而根据图象关于x轴对称，得到方程,

求出。=2,A选项，根据g(O)NO,得到A错误；B选项，化简得到B正确；C选项，利用整体法判断

函数的单调性；D选项，由gWO得到D错误.

兀

【详解】由题意，可设g(x)=/(x+加)=sin矶X+加)+二=sin(a)x+com+[，m>0,

5

因为/(X)与g(x)的图象关于X轴对称,

兀兀6兀

所以sincox+com+—=-sinGX+—=smGX+——

555

兀6兀

则3mH——----\-24兀,左£Z,解得⑴m—7t+2kjt,keZ,

由于。>0,m>0,故加的最小值为工，

CD

因为/(x)的图象向左至少平移］个单位长度后可得到g(x)的图象,

兀兀

所以一=—,解得。=2,

co2

.。兀兀兀_.。4兀

则g(x)=sin2xH।—H।——sin2x---4--.

255

4兀

对于A,因为g(x)的定义域为R,而g@=sinwO，所以g(x)不是奇函数,

图象不关于原点对称，A错误;

兀

对于B,glx+-|=sin2^x+~4=sin2x+兀-?

T

=-sm2x-^=-g(x),B正确;

/71।4A兀n4兀2兀

对于C,由得2x——e

5T,-T

4兀2兀

又y=sinz在zeT,-T上不单调，C错误;

2兀.[4兀4兀8兀

对于D,gsin---------=--s-inwO,

(55

会,0)不是g(x)图象的对称中心，D错误.

故

故选：B.

8.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方

形，如此继续.设初始正方形的边长为注，依次构造出的小正方形(含初始正方形)的边长构成数列

2

1

也｝,若｛4｝的前”项和为=X〃2+(20+/l)〃(；l<0,〃eN*),令c.=max<其中

bn]

max*/｝表示x,y中的较大值.若c“*3恒成立，则实数X的取值范围是()

、2

A.[-4,-3]B,[-3,-2]C.D.-3,——

3

【答案】D

【解析】

【分析】先求出数列｛4｝和抄/的通项公式，再根据集合新定义确定g,再由不等式％203恒成立分类

讨论。3=%时列不等式4-a34"和。3=&时列不等式/4%求出对应的X值取并集即可•

【详解】因为｛叫的前〃项和为S“=/L〃2+(20+/07©<0,〃eN*),

22

所以当"之2时，an=Sf,-S“T=AM+(20+A>-A(M-1)-(20+A)(»-l)=24〃+20,

又当〃=1时，q=Si=20+24,符合上式，

所以数列｛4｝的通项公式%=24〃+20,

数列｛4｝满足"=孝,

因为2b：=b；=%=—,公比q=—=—j==——,

24/22

V2㈤"T⑷"

所以"二-------X--------=-------

2\2J\2J

所以g=2",

因为数列4=22〃+20,(2<0)是递减数列，而，=2"是递增数歹U；

cn=max^„,—L其中max｛x,y｝表示x,v中的较大值.若g恒成立,

所以。3是数列｛%｝中的最小项，

所以当。3=生时，则即8W6/l+20<16,解得—2<%<—g,

当。3=4时，则的即62+20<8<4/1+20,解得—3<2<—2,

2

取并集可得Xe-3,--

故选：D.

1

【点睛】关键点点睛：本题中集合新定义是取较大者，这样就转化成比较％,和记的大小问题了，利用已

b

知求出数列｛%｝和｛4｝的通项公式再比较大小可确定g，最后由不等式恒成立，列不等式组求出

参数范围即可.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列代数式的值为工的是（）

4

tan15°

A.cos275°-sin275°

1+tan2150

C.cos36°cos72°D.2cos20°cos40°cos80°

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判断B选项；利用二

倍角的正弦公式可判断CD选项.

【详解】对于A选项，cos2750-sin2750=cosl50°=cos(180°-30°)=-cos30°=

sin15°

tan15°cos15°sin15°cos15°

对于B选项,-sin300=-

1+tan215,sin215°cos215°+sin21524

1+—5——

cos2150

对于C选项，cos36。cos72。=sin36COS72=：4]80。一色染）j_sin144°_1

4sin144°-4

sin20°

—sin80°cos80°

sin40°cos40°cos80°21sinl60°1

一sin20°-sin(180°-160°)-4sinl600~4

故选：BCD.

10.已知a,6c(0,1),且a+6=l,则()

A.a2+b2>1B.Ina+ln£><-21n2

C.2a+2b>2y/2D.4a+4b<V2

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据基本不等式结合对数和指数的运算逐一判断即可.

【详解】对于A,因为/+/之29），所以2（/+/）2/+/+2。6,

所以片+尸2（"+"=」，当且仅当。=b=g时取等号，故A错误；

222

对于B,因为a,be（0,1）,所以abe（0,l）,故lnab<0,

又因MW（"+"=L当且仅当=1时取等号，

442

所以山。+1116=111。人工111工=一21112,故B正确；

，当且仅当。=b=—时取等号，故C正确;

2

对于D,因为Q+，所以2（a+b）Na+b+2y/~^=<«+加）,

所以G+6<,2（〃+b）=V2,

当且仅当。=6=」时取等号，故D正确.

2

故选：BCD.

，且小弓3

11.己知定义在R上的函数/(x)满足/(耳=一/为奇函数，当xe--50时,

4

8

/(x)=jx2+ax-2,则()

A./(x)是周期为3的周期函数B./(1)=1

39822c2024

。当xe254时,/(")=——X2H---X—2DZ/(0=2

33

【答案】ABD

【解析】

3

【分析】利用函数周期性的定义可判断A选项由/=0可得。的值，可计算出了。)的值，可判断B

39

选项；利用函数的周期性和对称性求出函数/(X)在上的解析式，可判断C选项；利用函数周期性

的定义可求出所求代数式的值，可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为定义在R上的函数/(x)满足/(x)=

贝iJ/(x+3)=/(X),故/(x)是周期为3的周期函数，A对;

x-|

对于B选项，因为函数/为奇函数，则/—X

在等式-x中，令x=0可得/0,

|，°时,〃x)=|8

又因为当xe-x+ctx—2，

3

3893c31-2

则/-x—--a-2=---a--=A0,解得a=一

3164423

3\8

故当xe-45°时，/(“)=§x~—x—2,

43

1811

所以，/(1)-2=1,B对;

2322

39-33-333

/\

此X3€(X3J-X€O

对于C选项，当xe2-4---2--4--2--\-/2---4-

--

因为X—1］=——则函数/（x）的图象关于点［刀）对称,

39-

--

所以当xe24时，/(x)=/(x-3)=-/

-

-|x2+^-x-3,C错;

33

对于D选项，由C选项，可知，/(0)=-2,贝iJ/(3)=—2,

Qon

且/(2)=—■|义22+丁2—3=1,所以，/(1)+/(2)+/(3)=1+1-2=0,

2024

因为2024=3x674+2,故=°'674+/⑴+/(2)=1+1=2,D对.

；=1

故选：ABD.

12.在长方体中，40=248=244］=4,E是棱片G的中点，过点bE,2的平

面a交棱4D于点尸，P为线段2尸上一动点（不含端点），则（）

A.三棱锥P-ABE的体积为定值

B.存在点尸，使得。尸_La

C.直线PE与平面BCGg所成角的正切值的最大值为J5

D.三棱锥P-BB.E外接球的表面积的取值范围是（12肛44万）

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于选项A,利用面面平行的性质，得到2尸//平面4BC,从而可判断出选项A正确；对于选

项B,假设存在，可推出平面么4。。，从而判断选项B错误；对于选项C,利用线面角的定义，找

出线面角为NPEP,从而在中，求出tan/PEP的值，进而判断选项C正确.对于选项D,利

用球的截面圆的几何性质，找出球心在直线上，利用笛=/，建立方程

2

IooxI+\O,B「=|『+Q，P「，从而求出球的表面积的取值范围.

【详解】对于A,因为平面44］。］。//平面

根据面面平行的性质，平面a与这两个平面的交线互相平行,

即D///8E,因为。尸（2面/BE,BEu面ABE,

所以。///平面又点P在线段。尸上，

所以三棱锥尸-48E的体积为定值，故A正确；

对于B,若存在点P,使得DP_La,因为8Fua,

则。P_LAF,因为£>£>i_LRF,DDqDP=D,

DD｝，。0u平面AA.D.D，所以BE，平面AA.D.D,

与题意矛盾，故B错误；

对于C,如图1所示，

取的中点Q,连接G。，则点P在平面8CC4内的射影P在G。上,

直线PE与平面8CG片所成角即NPEP',

PP'

且有tanNPE0'=zm，由已知可得1Ppi=2,

|£尸'|最小为0,所以tan/PEP的最大值为血，故C正确；

对于D,如图2,

图2

取44的中点G,连接/G,分别取BE,ZG的中点。口仇，

连接。。2,因为△8片£是等腰直角三角形,

所以三棱锥尸-外接球的球心0在直线上，

设三棱锥P-BBXE外接球的半径为R,贝ij|。8|=|。0]=R,

所以I|2+|。衿|2=|00J+|Q尸「，

设则tf+2=（2—d）2+|QP|2,

所以d=L+乌1,当点尸与R重合时，

24

IQPI取最小值行，此时d=l,夫2=3，

三棱锥尸-5片£外接球的表面积为4成2=12兀，

当点P与。重合时，|。2口取最大值而，

此时d=3,7?2=11，三棱锥尸-外接球的表面积为4兀火2=44兀，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：对于选项D,利用球的截面圆的几何性质，找出球心在直线QQ上，利用

R2=产+小,建立方程I00J2+Q/「=|。。2/+。尸匕从而求出球的表面积的取值范围.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2

13.已知2"=32』oga2」og4X=§a,则logsX+logxS=.

17

【答案】—

4

【解析】

【分析】先根据指数运算求出。的值，根据对数运算的知识求得X值，代入求出logsX+log工5的值.

【详解】因为2“=32=25,所以。=5,

所以log“2-log4x=log52-log22x=；log52-log2x

△x四X处」1唱片工5,

2lg5lg22655

即logs》=4,所以X=54,

4117

所以log5x+log,5=log55+log545=4+-=—.

17

故答案为：—.

4

14.已知函数/（》）=（%一0）111%,若直线y=（l-e）x+6与曲线y=/（x）相切，则6=.

【答案】e-l##-l+e

【解析】

【分析】根据切线的斜率求出切点，再代入切线方程即可得解.

【详解】设切点为（%,/（%））,

f'（x\=lnx+---=Inx--+1,

XX

由题意可得/'（Xo）=lnx（）—±+1=1-e,

因为函数y=lnx/=-士+1在（0,+8）上都是增函数，

X

所以函数y=lnx—±+l在（0,+e）上是增函数，

X

e

又Ini—+l=l—e,所以％o=l,

所以切点为（l,o），

则0=（1—e）+b,解得b=e—1.

故答案为：e—1.

15.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光

源点幺（0,-2）射出的两条光线与eO:x2+r=i分别相切于点〃、N,称两射线ZM、ZN上切点上

方部分的射线与优弧上方所夹的平面区域（含边界）为圆。的'背面”.若以点8（。,2）为圆心，厂为半径的

圆处于O。的“背面”，则〃的最大值为.

【答案】11-476##-476+11

【解析】

【分析】设过A点的切线方程为了=区-2,根据圆心到直线的距离等于半径求出左，即可得到直线

AM>ZN的方程，从而求出。的取值范围，当圆8与圆。外切且圆8与ZW（或/N）相切时，：,取最

大值，从而求出7•的最大值，即可得解.

-2厂

【详解】如图设过A点的切线方程为^=依-2,所以^^=1,解得左=±&,

V1+F

所以直线的方程为y=Gx—2,即Gx—y—2=0,令y=2,解得工=殍

直线ZN的方程为y=—后―2,即GX+>+2=0,令了=2,解得》=—殍

因为圆8:(x—of+(y—2)2=/处于圆。的“背面”,

所以ae

当圆8与圆。外切且圆8与//(或/N)相切时，彳,取最大值,

由圆B与圆。外切得JTTZur+l，圆B与/M相切时

2

4^/3迪、,所以4-J3a=丫,所以。二4-^2r^

又aeIFF4

2V3

473迪、

即/_22r+25=0，解得r=ll+4指或r=ll—4指，结合ae「『亍)

所以r=11—4，所以尸的最大值为11—4A/^，

同理圆8与4N相切时一的最大值为11—4指，

综上可得r的最大值为H-4V6.

故答案为：11—4^/6

16.已知双曲线C当-,=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为耳工，点尸在C的左支上/尸耳=3a,

户冗+A月1=26,延长尸。交C的右支于点。，点M为双曲线上任意一点(异于尸，。两点)，则直线

MP与MQ的斜率之积号〃-kMQ=.

【答案】2

【解析】

【分析】先利用平面向量加法的法则和双曲线的性质求出△回乙和AW。的边长，再分别利用余弦定理

联立可得口=2,最后根据斜率公式求解即可.

a

【详解】依题意，设双曲线C的半焦距为C,则闺局=2°,闺。|=°,

因为。是片鸟的中点，所以对+庵=2而，故由同+朋卜26得囤=6,

又因为|“一|丽|=2凡四|=3a,所以画",

『+闺阊尸用

|S2T2/+叱一邮_。2一2。2

在△尸与心中,cos/PF]F2=

2M闺引2ax2cac

1

+及”\PF.f+\F.0f-\P0\L

在APFQ中，cos^PF.O=J~UJ1~~

2陷

M_?〃2i2

所以£_竺=巴，解得—c=6，所以1=2,

accaa

所以双曲线方程为2/一/=2/,贝=2/—2/,

设〃（&Jo），尸（西，必），。（一七,一%）,

所以左心心=上”"^

xo-X]xo+X]

故答案为：2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在等差数列｛a“｝中，%=7，%+2%=35,数列｛4｝的前”项和为5“，且3，-2S“=l.

(1)求数列｛%｝和｛4｝的通项公式;

(2)若%=去，求数列｛%｝的前〃项和加

"n

【答案】(1)%=2«-1,bn=3'T

(2)9=3—巴?

【解析】

【分析】(1)设等差数列｛4｝的公差为d,根据已知条件求出d的值，结合等差数列的通项公式可求得数

列｛4｝的通项公式令〃=1,可求得4的值，当时，由3"—2s“=1可得3%T—2S.T=1,上述两

个等式作差可推导出数列也｝为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列｛〃｝的通项公式；

(2)利用错位相减法可求得北.

【小问1详解】

解：设等差数列｛%,｝的公差为4,

则的+2a8=%—d+2(%+4d)=3%+7d=21+7d=35,解得d=2,

所以，an=a4+(«-4)<7=7+2(w-4)=2«-l,

数列也｝的前n项和为S",且3%-2Sn=1,

当〃=1时，则有3b]-2S]=1,

当"22时，由3〃—2s“=1可得3〃T—2S“T=1,

上述两个等式作差可得3〃—3b2b“=0,即〃=3b…

所以，数列低｝是首项为1,公比为3的等比数列，则A=1X3"T=3"T.

【小问2详解】

a„2n-11352/z-l

解：因为。"=k=可，则小三+丁+3+…+丁丁’①

可得上」+>...+『+2

33323"T3"

22（〃+1）

3"

18.已知A4SC中，角43,C所对的边分别为a,6,c,2acosC=2b+c.

（1）求A；

（2）设M是BC边上的点，且满足。〃=280,4=9,一力伍8=/儿侬，求△ZCW内切圆的半径.

2兀

【答案】（1）/=与

（2）3A/3—3

-2

【解析】