2023-2024学年福福建省泉州市高考适应性考试数学试卷含解析

2023-2024学年福福建省泉州市高考适应性考试数学试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

n—i

1.若复数Z=^-在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）

1+z

A.(-1,1)B.(-co,-l)C.D.(0,+oo)

2.已知变量的几组取值如下表：

X1234

y2.44.35.37

若V与x线性相关，且勺=0.8x+a,则实数。=（）

3.设耳，鸟分别是双线二-丁2=1（。〉0）的左、右焦点，。为坐标原点，以4耳为直径的圆与该双曲线的两条渐近

a

线分别交于A,3两点（A,3位于y轴右侧），且四边形。为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.x+y=0B.y/3x±y=0C.x+y/3y=0D.3x±y=0

4.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说:

甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）

A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了

5.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学

科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，

八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为10根，阴阳太极图的半径为4m，则每块八卦田的面积

约为（）

B.54.07m2

c.57.21m2D.114.43m2

6.已知点A是抛物线f=分的对称轴与准线的交点，点E为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|，科=训尸可，

若根取得最大值时，点P恰好在以AP为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）

A.V3-1B.V2-1C.且D.叵。

22

7.“a=2”是“直线以+2y-1=0与x+（a-l）y+2=0互相平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.总体由编号01,,02,…，19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1

行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07C.02D.01

9.已知底面是等腰直角三角形的三棱锥尸-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）

2

2

Q

A.PA,PB,PC两两垂直B.三棱锥PA5C的体积为§

C.\PA\=\PB\=\PC\=y[6D.三棱锥P-43C的侧面积为

10.若一则_（）

SUB（匚+—）=1

A.B.C,D.

!L

一；一；？2

11.已知抛物线C：y2=2px（。＞0）的焦点为斤，为该抛物线上一点，以〃为圆心的圆与C的准线

相切于点A,ZAMF=12Q°,则抛物线方程为（）

A.y2=2xB.y2-4xC.y2=6xD.y2=8x

12.直线1过抛物线V=4x的焦点且与抛物线交于A,B两点，则4|4用+|3尸|的最小值是

A.10B.9C.8D.7

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知尸为抛物线C:7=8y的焦点，P为C上一点，M（-4,3）,则APMF周长的最小值是.

14.点尸是AHBC所在平面内一点且P8+PC=AP,在AA5C内任取一点，则此点取自△PBC内的概率是

15.已知a的终边过点（3%一2）,若tan（〃+a）=g,贝！|相=.

16.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件4=｛抽到一等品｝,事件8=｛抽到二等品｝,事件C=｛抽到三等品｝,

且已知尸（A）=0.65,尸（3）=02,P（C）=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）设awR,函数/（x）=x?/-*-a（x-l）.

3

（1）当。=1时，求/Xx）在（一⑵内的极值；

4

（2）设函数g（x）=/（x）+a（x—1—e』），当g（x）有两个极值点石,々（八＜/）时，总有々g（））«彳卜'（菁），求实数

4的值.

18.（12分）已知椭圆。:与+4=13＞人＞0）的左右焦点分别为片，工，焦距为4,且椭圆过点（2]），过点心且

不平行于坐标轴的直线/交椭圆与RQ两点，点。关于x轴的对称点为R,直线PR交x轴于点

(2)求PRM面积的最大值.

19.(12分)已知/(x)=|依+2|.

(1)当。=2时，求不等式/(x)>3x的解集；

2

(2)若/⑴,，M,/(2)„M,证明：M.工.

20.(12分)已知函数/(x)=Zsin?x+zg'sinxcosx-LxeR.

(1)求/(x)的单调递增区间；

A

(2)△ABC内角A、B、C的对边分别为。、b、c9若/(,)=1且A为锐角，〃=3,sinC=2sinB,求△A5C的面积.

2L(12分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、

“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记。分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结

果及对应的频率分布直方图如下所示：

等级不合格合格

得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

频数6X24y

y♦

*♦

0.02rw,

0.015r--

Q0I卜…

0.005

20O60HO100

(I)若测试的同学中，分数段［20,40)、［40,60)、［60,80)、［80,100］内女生的人数分别为2人、8人、16人、4人,

完成2x2列联表，并判断：是否有90%以上的把握认为性别与安全意识有关?

是否合格

不合格合格总计

性别

男生

女生

总计

(II)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，现再从这10人中任选4

人，记所选4人的量化总分为X,求X的分布列及数学期望E(X)；

(III)某评估机构以指标"(加=黑!，其中D(X)表示X的方差)来评估该校安全教育活动的成效，若M20.7,

则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在(II)的条件下，判断该校是否应调整安

全教育方案？

附表及公式：K2=------也口~~--------,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.010

k°2.0722.7063.8415.0246.635

22.(10分)ABC的内角A,B,C的对边分别为用b,c,已知(a+2c)cos3+3cosA=0.

(1)求乱

(2)若b=4,求ABC的面积的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

复数z=0二=@匚-但，，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a的不等式组，解得a的范围.

1+z22

【详解】

a—ia—1tz+1.

z=-----=--------------1,

1+i22

由其在复平面对应的点在第二象限，

4?-1<0

得则a<-1.

[a+l<0

故选：B.

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

2、B

【解析】

求出京亍，把坐标丘,亍)代入方程可求得

【详解】

_15—1101Q511

据题意，得x=z(l+2+3+4)=],y=i(2.4+4.3+5.3+7)=1,所以丁=0.8xg+a,所以a=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点正,亍)可计算参数值.

3、B

【解析】

由于四边形。为菱形，且10Kl=|Q4),所以AA。8为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.

【详解】

如图，因为四边形。为菱形，|。巳|=|。4|=|0固，所以AAO月为等边三角形，NA。工=60°,两渐近线的斜

率分别为6和-6・

故选：B

此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.

4、C

【解析】

假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.

【详解】

解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，

若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，

若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，

综上可得甲被录用了，

故选：C.

【点睛】

本题考查了逻辑推理能力，属基础题.

5、B

【解析】

由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的,，两面积作差即可求解.

8

【详解】

由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为随=45，

8

设三角形的腰为

a10

----------=---------r-135

由正弦定理可得.135sin45,解得a=10j^sin-----

sin-----2

2

所以三角形的面积为:

S=；x10&sin费-sin45=5。"三手亘=25（0+1）,

所以每块八卦田的面积约为：25（V2+1）-1X^-X42«54.07.

故选：B

【点睛】

本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题.

6、B

【解析】

设P（x,y）,利用两点间的距离公式求出m的表达式，结合基本不等式的性质求出机的最大值时的P点坐标，结合椭

圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.

【详解】

设P（%y）,因为A是抛物线Y=4》的对称轴与准线的交点，点/为抛物线的焦点，

所以A（0,—1），万（0,1）,

附忸-1)+必NUT+4y

2y2+2y+l

当y=0时，m=l9

m=1+2分=卜+^~-<Il+——^==V2

当y〉0时，VV+2〉+l,+1+2V2+2屋，

当且仅当y=l时取等号，，此时p(i2,l),

\PA\=2y[2,\PF\=2,

点P在以A,F为焦点的椭圆上，2c=\AF\=2,

•••由椭圆的定义得2a=|PA|+|PF|=2A/2+2,

所以椭圆的离心率e==c=>厂I,故选B.

ala2J2+2

【点睛】

本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率

有以下几种情况：①直接求出a，C,从而求出e；②构造a,C的齐次式，求出e；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定

义来求解.

7、A

【解析】

利用两条直线互相平行的条件进行判定

【详解】

当a=2时，直线方程为2x+2y—1=0与x+y+2=0,可得两直线平行；

若直线ax+2y-l=0与x+(a-l)y+2=0互相平行，贝！］a(a-l)=2,解得q=2,

出=一1，贝！J"a=2”是“直线ax+2y—1=。与x+(a—l)y+2=0互相平行”的充分不必要条件，故选A

【点睛】

本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题.

8、D

【解析】

从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,0b所以第5个个体是01,选D.

考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.

9、C

【解析】

根据三视图，可得三棱锥P-A5C的直观图，然后再计算可得.

【详解】

解：根据三视图，可得三棱锥P-A8C的直观图如图所示，

其中。为A8的中点，底面A3C.

114

所以三棱锥P-4BC的体积为—x—x2x2x2=—,

323

：.\AC\^\BC\=\PD\=2,\AB\=yl\ACf+\BCf=272,:.\DA\=\DB\=\DC1=72,

••.IPA|=lPB\=\PC|=J22+(V2)2=瓜

|PA|2+|P5|2^|AB|2,.-.PA,必不可能垂直,

即PA,PB,PC不可能两两垂直,

SAPBA=}x2拒><2=2应,SAPBC=S"AC=；XJ(A)-fx2=#).

•••三棱锥P-ABC的侧面积为275+2A/2.

故正确的为C.

故选：C.

【点睛】

本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.

10、B

【解析】

由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.

【详解】

因为,,由诱导公式得一所以.

E（口+=）=；---cos2Z=

故选B

【点睛】

本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.

11、C

【解析】

根据抛物线方程求得"点的坐标，根据MA//X轴、/4MF=120。列方程，解方程求得。的值.

【详解】

不妨设M在第一象限，由于〃在抛物线上，所以加[3，、5],由于以〃为圆心的圆与。的准线相切于点A,根据

抛物线的定义可知，|胫4|=|物|、MA//X轴，且尸与0.由于N/M=120。，所以直线板的倾斜角a为120,

所以“叱tanl201p6,解得。=3,或p=_L（由于2<o,p>i,故舍去）.所以抛物线的方程

———322

22

为>2=6x.

故选：c

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

12、B

【解析】

根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得而+同='=1；再由基本不等式可求得4M同+忸同的最小值.

【详解】

由抛物线标准方程可知p=2

因为直线1过抛物线/=4x的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知

11

P

所以41Ml+忸4

=(4\AF\+\BF\\-4+1、

V11117[\AF\\BF\)

(\BF\4|AFp

=4+1++

[\AF\可

因为I”卜忸同为线段长度，都大于0,由基本不等式可知

(\BF\4|AFp4AF

4+1+一+>5+2X---------

所

>5+2x2

>9,此时忸典=2|AF|

所以选B

【点睛】

本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、5+历

【解析】

△尸的周长最小，即求|+|尸/I最小，过尸做抛物线准线的垂线，垂足为Q,转化为求1尸河1+1PQI最小,

数形结合即可求解.

【详解】

如图，尸为抛物线C：的焦点，尸为C上一点，M(-4,3),

抛物线C：，=8y的焦点为尸(0,2),准线方程为y=-2.

过P作准线的垂线，垂足为Q,则有I尸/l=|PQI

|PM|+|PF|=|PM|+|P2|>|MQ\=5,

当且仅当“，尸,Q三点共线时，等号成立，

所以△PMF的周长最小值为5+J(—4f+(3—=5+717.

故答案为：5+717.

本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题.

1

14、-

3

【解析】

si

设。是BC中点，根据已知条件判断出A三点共线且尸是线段靠近。的三等分点，由此求得不工=鼻，

3ABC3

结合几何概型求得点取自三角形PBC的概率.

【详解】

设。是8C中点，因为P8+PC=AP，所以2PZ)=AP，所以4P、。三点共线且点P是线段AD靠近。的三等

分点，

S11

故厂p皿ftc=可，所以此点取自尸内的概率是彳.

)ABC53

故答案为：-

3

【点睛】

本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题.

15、-2

【解析】

/由题意利用任意角的三角函数的定义，求得机的值.

【详解】

；1的终边过点(3根,一2),若tan("+a)=；,

/、-21-

tan(»+。)=tana=——=—m=-2..

V'3m3

即答案为-2.

【点睛】

本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题.

16、0.35

【解析】

根据对立事件的概率和为1,结合题意，即可求出结果来.

【详解】

解：由题意知本题是一个对立事件的概率,

抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，

P(A)=0.65,

抽到不是一等品的概率是尸=1—尸(A)=1-0.65=0.35,

故答案为：0.35.

【点睛】

本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)极大值是/⑴=1,无极小值；(2)2=工

e+1

【解析】

(1)当a=l时，可求得广(无)=(2-"无?—，令/?(x)=(2尤-无利用导数可判断飘X)的单调性并得其零点，

e

从而可得原函数的极值点及极大值；

(2)表示出g(x),并求得g'(x)=(-_?+2x+a)/r,由题意,得方程-尤2+2x+a=0有两个不同的实根再，%(为<X2)，

1

从而可得A=4+4。>0及9+々=2,由玉<x2,得％<1.则NgOJ,,47'(无J可化为不已*'-4(3』+1)],,0对任意

的王e(-8,1)恒成立，按照占=0、％e(0,l)、为e(-8,0)三种情况分类讨论，分离参数彳后转化为求函数的最值

可解决；

【详解】

(1)当。=1时，尸(x)=&匚?一[

令/z(x)=2x—尤2—6日,则1(x)=2—2x—e'T,显然”(=在上(一,2)单调递减,

4

又因为/(|■)=：-J<0,故xe(32)时，总有〃(x)<0,所以丸(x)在(±2)上单调递减.

42比44

由于/i⑴=0,所以当xe(±3l)时，A(x)>0；当xe(l,2)时，/i(x)<0.

4

当X变化时，/'(X)、/(X)的变化情况如下表:

X1(1,2)

/'(X)+-

f(x)增极大减

3

所以，⑺在厂)上的极大值是加=1,无极小值.

(2)由于g(%)=(%2_。)3一"，贝(g'(%)=(—％2+2%+〃)/—”,由题意,方程一炉+2x+a=0有两个不等实根Xi，%2，贝(I

一炉]+2%|+〃=0

A=4+4〃>0,解得ci>—1,且<―元2+2X2+〃=。，又看<々，所以王<1.

再+%2=2

r2lx21

由％2且(犬1)<2/'(%1),f(x)=(2x-x)e~-a,可得々(炉】一〃)/一*<A[(2x1-x^^-a]

1X1

又々=2-%,。=%2]一2%].将其代入上式得：2x1(2-xl)e~<2[(2xl-+(2^-x^)].

整理得当[2/f-4e5+l)]<0,即石[2/f—2(el-Xi+1)]<0,V%e(—8,1)

当X=0时,不等式玉[2/F—2(/』+1)]<0恒成立，即；IwR.

当％e(0,1)时，2/f—九(3』+1)<0恒成立，即八小”，令左(x)=卫匚，易证人(左)是R上的减函数.因

el~x,+1e1+1

此，当xe(0,1)时，k(x)<m=—,故223.

e+1e+1

2e

当％1c(-oo,0)时,2/f—“/f+1)20恒成立，即；I<,

+1

因此，当无£(一8,0)时，k(x)>k(0)=一土所以4V——.

e+1e+1

综上所述，2=—.

e+1

【点睛】

本题考查利用导数求函数的最值、研究函数的极值等知识，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生综合运用知识分

析问题解决问题的能力，该题综合性强，难度大，对能力要求较高.

18、(1)12(2)上叵

4

【解析】

(1)根据焦距得焦点坐标，结合椭圆上的点的坐标，根据定义|尸耳|+归名|+|。£|+|。&|=4。=12；

(2)求出椭圆的标准方程，设/』=冲+2,2(七,必),。(%2，%)，联立直线和椭圆，结合韦达定理表示出面

积，即可求解最大值.

【详解】

(1)设椭园。的焦距为2c,则2c=4,故c=2.则£(一2,0),8(2,0)椭圆过点A12,力，由椭圆定义

知：2a=|A司+|班|=6,故a=3,

因此，私°的周长=归耳|+归耳|+|。耳|+|。闾=4。=12；

22

(2)由(1)知：/=4-02=5,椭圆方程为：、_+1_=：[设/：x=5y+2,P(X],%),Q(X2，%)，则尺(电，—%)，

/、

PR-y=h±y^（x_x\+y^M%马+项必0

七一％21

x=my+2m2+

今（5m2+9）y2+20my-25=0△=900（/H2+1）>0,%

5x2+9y2=45.,25m2+9

—20m-25CC/\-90/n

‘邛2+为%=2,叫%+2（必+乃）=百E

1（乂%+3%c、,,13,“136

V—

Q△尸耳M-+2।y"=11%区-4，

2IM+%

当且仅当P在短轴顶点处取等，故「可加面积的最大值为空6.

4

【点睛】

此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值,

涉及韦达定理的使用，综合性强，计算量大.

19、(1)(-oo,2)(2)见证明

【解析】

(1)利用零点分段法讨论去掉绝对值求解；

(2)利用绝对值不等式的性质进行证明.

【详解】

(1)解：当1=2时,不等式/(x)<x可化为|2%+2]>3%.

2

当x<—1时，一2%—2>3x,x<——,所以x<—1；

当%>—1时，2x+2>3x,-l<x<2.

所以不等式f(x)>3x的解集是(—8,2),

（2）证明:由/⑴WM,#M>|a+2|,M>\2a+2\

3M=2M+M>2\a+2\+\2a+2\,

X2|a+2|+|2a+2|>|4-2|=2,

所以3M22,即M2g.

【点睛】

本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解，含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法.

20、(1)[--+k7[,—+kn](左eZ)(2)

632

【解析】

(1)利用降次公式、辅助角公式化简/(%)解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得了(%)的单调递增区间.

(2)先由日]=1求得4,利用正弦定理得到c=2b,结合余弦定理列方程，求得仇。，由此求得三角形ABC的

面积.

【详解】

(1)函数/(X)=2sin2%+2Gsin%cos%—l,x£R，

/(x)=A/3sin2x-cos2x=2sin(2x--),

6

TTTTTT

由--F2k兀<2x<——F2左环k&Z

2629

jrTT

得---\-kji<x<——bki,kwZ.

63

jrTT

所以/■(》)的单调递增区间为[—,+左犯。+左汨々eZ).

63

(2)因为/■(：)=2sin(A—()=1且4为锐角，所以A=^.

TT

由sinC=2sin5及正弦定理可得c=2b,又a=3,A=-,

由余弦定理可得片=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=31r，

解得6=6,c=，：.S=—besinA=—x^3x2A/3X.

AAftBcC2222

【点睛】

本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面

积公式，属于中档题.

21,(I)详见解析；(H)详见解析；(III)不需要调整安全教育方案.

【解析】

(I)根据题目所给数据填写好2x2列联表，计算出K?的值，由此判断出在犯错误概率不超过90%的前提下，不能

认为性别与安全测试是否合格有关.(H)利用超几何分布的计算公式，计算出X的分布列并求得数学期望.(HD由

(II)中数据，计算出。(X),进而求得M的值，从而得出该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案

【详解】

解：(I)由频率分布直方图可知，得分在［20,40)的频率为0.005义20=0