黑龙江省2023-2024学年高一年级下册开学考试 数学 含解析

A.(-1,1)B.(-oo,-l)(l,+oo)c.(f-1)(0,1)D.(-1,0)?(1,?)

11-1

7.设4=1115,b=lg3,c=1)2则〃，b,(的大小关系是

A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

-(x-1)2+1,x<2

8.已知函数/Xx）=<1,若函数/（无）=/（无）-如有4个零点，则实数机的取值范围

-f（x-2）,x>2

是()

A.B.―V6,3—2^/2

（如-2冏

C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+8）单调递增的是（）

A.y=cosxB.y=x2+lC.y=D.y=ln|%|

10.下列结论正确是（）

A.若a>b,则小>〃B.若*2<儿2,则

C.若c>d,则a+c>Z?+dD.若a>〃，c>d,贝！

11.已知是定义在R上的函数，且满足1）=1,当xe[0,l]时，f（x）=r,则下列

命题正确的是（）

A.八%）是周期为2的函数B.当xe[l,2]时，f（x）=2x-x2

C.是偶函数D./（-2023.5）=1

12.已知直线x=巴是函数/（X）=sin（2x+0）（O<兀）图象的一条对称轴，则下列说法正确的是

8

（）

A.“X）在上的两个零点

B.〃力的图象关于点9,0对称

/\兀兀

c.在上单调递增

o2

D.将八％)的图象向右平移个个单位长度，可得…足卜一热的图象

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知事函数y=/(x)的图像过点(2,&),则/(4)=.

14.已知函数/0)=4"-4+〃(。>0且awl)的图象恒过定点P(〃z,2),则租+〃=.

15.定义：max{a,b}=],若％«0,2句，则函数

y(x)=max<5足元85%/6垣》+(：05处>的最大值与最小值之和是

(5-a)x-3a,x<1,、

16.已知〃x)=,,是(f,+s)上的增函数，则。的取值范围为_________

[log。x,x>l

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)31g4+51g25+lg-^-+log,5-log52

625

/11\/1\(]_5\

(2)2〃)庐x-6ab3.-3〃%6

7I7\7

18.已知八％)是二次函数，且满足"0)=2,〃x+2)—/(x)=2x+4,

(1)求〃x)的解析式.

(2)当xe[—3,0],求了(龙)的值域

19.已知定义域为R的函数〃x)=是奇函数.

(1)求"值;

(2)若对任意的feH,不等式/«2-2)+/(2»一女)<0恒成立，求实数上的取值范围.

JI37r

一—、“，sin(cr--)cos(---Fa)tan(2〃-a)

20.已知函数以a)=22，'

tan(a+乃)sin(a+乃)

(1)化简/3)；

2023-2024学年度高一(下)学期

数学开学考试试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1sin49osinl9o+cosl9osin41o=

A.1B.--C.BD.

2222

【答案】C

【解析】

【分析】由诱导公式和两角和公式得sin(19°+41。)即为所求.

【详解1sin49°sin19°+cos19°sin41°=cos41°sin19°+cos19°sin41°=sin(19。+41°)=J

故选C.

【点睛】本题主要考查了诱导公式，两角和正弦公式，属于基础题.

2已知集合A={x[0<x<3},B={x|x<2,xeZj,则AB=()

A.[2,3]B.[0,3]C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

【答案】C

【解析】

【分析】根据交集定义可得.

【详解】由交集定义可知，={0,1,2}.

故选：C

3.“。>0”是“关于尤的函数丁=奴+人(a/0)的图像过一、三象限”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】C

【解析】

【分析】

本题先根据所过象限判断充分性满足，再根据单调性判断必要性满足，最后给出答案

【详解】解：充分性：因为。>0,所以关于X的函数丁=以+匕(。/0)的图像过一、二、三象限或

关于X的函数y=ox+z?(awO)的图像过一、三、四象限，所以关于x的函数y=ox+人(。/0)的

图像过一、三象限，故充分性满足；

必要性：因为关于无的函数y=ox+b(awO)的图像过一、三象限，所以函数y=奴+入单调递增，

所以。＞0,故必要性满足；

所以“。＞0”是“关于x的函数丁=奴+人(。/0)的图像过一、三象限”的充要条件.

故选：C

【点睛】本题考查充要条件的判断，是基础题.

4.若函数/(%)=优—qr(。＞0且awl)在R上是增函数，那么g(x)=log“(x+l)的大致图象是

【答案】A

【解析】

【分析】利用指数复合函数的单调性确定a的范围，再由对数函数的性质判断g(x)所过的点及其单调性.

【详解】由函数/(乃=优—。一,在R上递增，

当。＞1时丁="在R上递增且丁=。一”在R上递减，故

由g(0)=loga1=0得:g(x)=loga(x+1)过原点，

且a＞l时，g(x)=log〃(x+l)在定义域上递增.

故选：A

5.若正数x、＞满足x+2y=2孙，若不等式x+2yN加的恒成立，则加的最大值等于()

9

A.4B.-C.472D.8

【答案】A

【解析】

11,11

【分析】由已知得出一+h=1,将代数式x+2y与一+丁相乘，展开后利用基本不等式可求得

x2yx2y

x+2y的最小值，即可得出实数加的最大值.

1x+2yII

【详解】已知正数X、y满足x+2y=2盯，可得l=^L=—+丁，

2xyx2y

所以％+2丁=(%+2p)(工+工］=2+二+222+2I三•至=4,

(x2yJ2yx\2yx

当且仅当x=2y时，即x=2,y=l时，等号成立，

所以x+2y的最小值为4，

因此，实数机的最大值为4.

故选：A.

6.若函数/⑴是定义在R上的偶函数，在(7),0］上是增函数，且/(1)=0,则/(X)+/(_")<0的解

集为()

A.(-1,1)B.(-a),-l).(1,+8)C..(0,1)D.(-1,0)?(1,?)

【答案】D

【解析】

【分析】构造特殊函数，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论

【详解】构造特殊函数/(%)=-/+1,

当x>0时，"x)+/(―%)<(),得一x2+l<0,即x>l,

X

当x<0时，得-x2+l>0,-］<x<0,

故解集为：(-1,0)U(1,+8),

故选：D.

【点睛】本题主要考查不等式的解法，构造特殊函数，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本

题的关键，综合考查函数性质的应用.

11J_

7.设a=ln°,b=lg3,c=g)2则b,c的大小关系是

A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】由题意，根据对数函数的性质，可得。<0,0</2<1,又由指数函数的性质，可得C>1,即可

得到答案.

【详解】由题意，根据对数函数的性质，可得a=lng<0,b=lg3w(O,l),

又由指数函数的性质，可得c=2=5；=君〉1，

所以故选A.

【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中合理利用对数函数与指数函数的图象

与性质，得出仇c的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

-(-v-l)2+l,-v<2

8.已知函数y(x)=l1

若函数/(无)=/(无)-3有4个零点，则实数m的取值范围

-f(x-2),x>2

是()

AIM'：］

B.—^6,3—2A/2

C怎，3—2向

(206)

【答案】B

【解析】

【分析】

依题意，函数y=/(x)的图象与直线y=尔有4个交点，作出函数图象，通过图象分析找到临界情况，

即可得解.

-(%-1)2+l,x<2

【详解】函数，(尤)=11

-f(x-2),x>2

函数F(x)=有4个零点，即f(x)=有四个不同交点.

画出函数，（九）1到像如下图所示：

y.

3

2

1

T23年54789*

X

a

2Wx<4时，设对应二次函数顶点为A,则A（3，2],21，

由图可知，当;

当4<x<6时,设对应二次函数的顶点为B,则741.

14）k=—=——

''UObB520

所以」-<加<1

一.

206

当直线丁=侬与2Wx<4时的函数图像相切时与函数Ax）图像有三个交点，此时

y=mx

,、21，化简可得X2+（2〃Z-6）X+8=0.

）+2

A=（2m-6）2-4x8=0>解得根=3-20,加=3+2行（舍）；

当直线丁=侬与4W尤<6时的函数图像相切时与函数”力图像有五个交点，此时

y=mx

"%-21，化简可得x2+（4m—10）x+24=0.

）+4

A=（4m-102—4x24=0，解得加=5—根=/+A/^（舍）；

式有四个不同交点时me[g-痴,3-2&].

故当/（%）="

故选：B.

【点睛】本题:考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题.

二、多项选择偲虹本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5：分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+8)单调递增的是()

A.y=cosxB.y=x2+lC.y=x3D.y=ln|%|

【答案】BD

【解析】

【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断可得；

【详解】解：对于A：y=cosx为偶函数，但是在(0,+8)上不具有单调性，故A错误；

对于B：y=£+l为偶函数，且在(0,+8)单调递增，故B正确；

对于C：/为奇函数，故C错误；

对于D：y=/(x)=ln|x|,定义域为{x|x〃0},/(-x)=In|-x|=In|x|=/(x),所以y=ln|x|为偶

函数，当x>0时，y=lnx单调递增，故D正确；

故选：BD

10.下列结论正确的是()

A.若则。2〉少2B.若。°2<儿2,贝la<6

C.若a>b,c>d,则a+c>b+dD.若a>b,c>d,则

【答案】BC

【解析】

【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.

【详解】A.取特殊值，。=-1,b=-2,显然不满足结论；

B.由ac2<bc2可知，c2>0-由不等式性质可得a<b,结论正确；

C.由同向不等式的性质知，a>b,c>d可推出a+c>Z?+d,结论正确；

D.取a=33=0,c=-l,d=-2,满足条件，显然不成立，结论错误.

故选：BC.

11.已知"％)是定义在R上的函数，且满足〃x)+/(x—1)=1,当天40,1］时，f(x)=r,则下列

命题正确的是()

A.八%)是周期为2的函数B.当xe［l,2］时，f(x)=2x-x2

C.是偶函数D./(-2023.5)=1

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项：根据/(x)+/(x—1)=1得到/(x+l)+/(x)=l,然后两式相减得到

y(x+2)=/(x),即可得到〃龙)的周期；

B选项：根据/(x)+/(X—1)=1和xe［0,1］时的解析式求xe［l,2］时的解析式即可；

C选项：利用特殊值的思路和奇偶性的定义判断即可；

D选项：利用周期求函数值即可.

【详解】A选项：由/(x)+/(x—1)=1得/(x+l)+/(x)=l,两式相减可得/(x+l)=/(x—1),

即可得到〃x+2)=/(x),所以/(X)得周期为2,故A正确；

B选项：令则lWx<2,尤一1)=(无一Ip,所以

/(x)=l-/(x-l)=l-(x-l)2=2x-x2,故B正确；

c选项：/Kh/®=2xt_rt,所以小)不是偶函数,

故c错；

D选项：/(—2023.5)=/(—1012x2+0.5)=/(0.5)=：,故D正确.

故选：ABD

12.已知直线x=9是函数〃x)=sin(2x+0(O<0<7i)图象的一条对称轴，则下列说法正确的是

8

()

A./(%)在0,|上的两个零点

了(%)的图象关于点［［二。］

B.对称

C.7(%)在g,日上单调递增

82

D.将/(%)的图象向右平移;个单位长度，可得y=sin(2x—：J的图象

【答案】BD

【解析】

TT

【分析】根据x=—为对称轴，可求得。值，进而可得了⑺的解析式，逐一检验选项，即可判断A、B、

8

C的正误；由三角函数的平移变换即可判断D的正误，即可得答案.

Jl,llTT

【详解】依题意可得，2x—+0=—+E,(左eZ),即夕=—+E,(左eZ),

824

因为0<°<兀，所以0=；,故/(x)=sin12x+?

令2%+H=foi,k£Z,所以九=一二+@，左wZ,

482

令人=1,%=^^；k—Q^x—――；k=2,x=,

888

故了(%)在0胃上的一个零点，故A不正确;

(3兀、.(37171、.

因为/[9I=‘in|2x—+—I=sin;t=0,故选项B正确；

兀兀3兀兀5兀

由—\-2kliV2xH—<----2kli，k£Z,得—kit«%V-----Fkit，kwZ,

24288

兀j71

所以/(x)在—+kn^——+kn,左eZ上单调递减,

88

71715兀71

因为u，所以了(%)在g-上单调递减，故选项c不正确;

2O2

将/(%)的图象向右平移:个单位长度，可得y=sin21x—+：=sin[2x—的图象，故D正

确.

故选：BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知察函数y=/(x)的图像过点(2,、历)，则/(4)=.

【答案】2

【解析】

【分析】先设塞函数解析式，再将(2,、万)代入即可求出＞=/(元)的解析式，进而求得了(4).

【详解】设y=/(x)=x"，

幕函数y=/(x)的图像过点(2,/⑵=2"=a=5,y(x)=/，./(4)=4^=2

故答案为：2

故答案为：1—-

2

【点睛】本题主要考查了数形结合求解三角函数的最值问题，需要根据三角函数平移的以及对称的性质

求解.属于中档题.

(5-a)x-3a,x<1,、

16.已知/(x)=<,是(f,+8)上的增函数，则a的取值范围为__________

Iogflx,x>l

r任心、「5)

【答案】-,5

【解析】

【分析】

根据了(“在R上单调递增，列出不等式组，求解即可.

(5—a)x-3a,x<l

【详解】解：〃X)=,,在R上单调递增，

5—6/>0

即va>\,

5-a-3a<logal

解得：一Va<5,

4

即—,5|,

4)

故答案为：—,5

【点睛】易错点点睛：在解决分段函数的单调性问题时，要注意上下段端点值的问题.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)31g4+51g25+lg-^-+log25-log52

625

/11、(1_i\rj_5\

(2)2〃3b5x-6ab3.-3a%6

7k7I7

【答案】(1)7；⑵4Q

【分析】(1)利用对数的运算法则、换底公式进行求值，即可得答案;

(2)利用指数新的运算法则求值，即可得答案.

【详解】(1)31g4+51g25+lg—+log5-log2

62525

=61g2+101g5-41g5+l

=6(lg2+lg5)+l

=7

/11/21\(15\

(2)2a^b^x-6a2b3.-3。哨

7\7\7

(21岸、，15A

二T21.庐5+—3〃%%

7k7

75j_5

=4a%b%奶%

7_15_5

=4q666

=4a

【点睛】本题考查对数运算法则、指数运算法求多项式的值，考查基本运算求解能力，求解过程中要注

意符号的正负.

18.己知是二次函数，且满足〃0)=2,〃x+2)—/(x)=2x+4,

(1)求了(%)的解析式.

(2)当3,0],求/(力的值域.

137

【答案】(1)/(x)=-x2+X+2-,(2)

【解析】

【分析】(1)设/(1)=加+法+c,通过/(O)=2,/(x+2)—/(x)=2x+4,可求函数的解析式;

(2)利用二次函数的性质求解函数的最值即可.

【详解】⑴设f(x)=cuC+bx+c,因为/(0)=2,所以c=2

又〃x+2)-〃x)=2x+4,

a(x+2)2+b(x+2)+c-(ax~+/?x+c)=2x+4即4ax+4a+2b=2x+4,

4a=2

\4a+2b=4'

f(冗)=—%?+%+2.

⑵•••〃X)=gx2+x+2在区间(―8,—1]单调递减，在区间-1,包)单调递增,

又因为—3,0],所以当x=—1时，〃龙)的最小值是/'(—I)=：

7

又因为“0)=2,当x=—3时，/(-3)=-,,

~37~

所以/(%)的值域是-

—T)x_i_〃

19.已知定义域为R的函数〃x)=是奇函数.

(1)求。值;

(2)若对任意的小火，不等式/(/一2)+/(2产—切＜0恒成立，求实数上的取值范围.

【答案】(1)。=1;

(2)(-co,—).

【解析】

【分析】(1)根据奇函数的性质，结合奇函数的定义进行求解即可;

(2)根据函数单调性的性质，结合奇函数的性质进行求解即可.

【小问1详解】

一2"+〃

因为定义域为R的函数〃％)=手詈是奇函数,

_1।a2％।1

所以有/(0)=0=二^=0=4=1,即/(力=手力

-T)-x4-1-V+1

因为

mV72-"+12X+11)

所以该函数是奇函数，故。=1；

【小问2详解】

-2A+1

〃x)=——-1,由函数的单调性的性质可知：该函数是实数集上的减函数，而该函数是奇

2X+12X+1

函数，于是有:

本题的关键.

21.已知函数/（x）=J5sinxcosx-cc^x+g,xeR.

(1)求函数/(x)的单调递增区间;

(2)将函数/⑴的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y=g(x)的图象，求

TT5兀

g(x)在区间上的值域.

36

7171

【答案】（1）+kR^—+kn（k€Z）

63

（2）r1-

【解析】

【分析】(1)将函数/0)=也$[11九8$%-以九2%+；化为/>(%)=45111(〃求+0)的形式，求单调递增区

间即可;

兀571

(2)利用函数图象变换的规则，求得函数y=g(x)的解析式，进而求出g(%)在区间上的值域.

36

【小问1详解】

由已矢口/（九）=sin%cos%-cos2%+；，

・c1c.J兀）

得：f(x)=与sm2x——cos2x=sin2x——，

26

即/W=sin12%一看，XeR,

TT,llTT

由正弦函数的单调性，令——+2kn<2x——V—+2E（左wZ）,

262

解之--+kn<x<—+kiteZ）；

63

jrJT

所以/⑺的单调递增区间为一：++E(左eZ)；

63

【小问2详解】

由⑴知/⑴=sin[2x—:

函数/(X)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍,

只需将函数/(x)中的X换为gx,得到：g(x)=sin［x—^J,

兀5兀7C7C27t

由，得九—:，二-，

36」61_63

当”=《时，g(x)取得最小值］;当x时，g(x)取得最大值1；

323

所以g(x)的值域为1,1.

22.已知点4(%,/(%)),3卜2"(%2))是函数/(%)=6^11(0%+0，0〉0,—1<0<0］图象上

任意两点，/(0)=-1,且当|〃石)—/(々)|=2行时，归—九21的最小值为兀