广东省东莞市万江中学2023-2024学年高三下学期第三次模拟考试数学试卷(含答案)

东莞市万江中学2023—2024学年第二学期第三次模拟考试高三数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则（）A．10 B．0 C． D．1302．设集合，则（）A． B． C． D．3．已知，则的值是（）A． B． C． D．4．星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为，其中是激光器输出的单脉冲能量，是水下潜艇接收到的光脉冲能量，为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：，光斑面积与卫星高度有关）．若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减满足（单位：）．当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为，则此时大小约为（）（参考数据：）A．－76.02 B．－83.98 C．－93.01 D．－96.025．已知复数，复数满足，则（）A．．B．C．复数在复平面内所对应的点的坐标是D．复数在复平面内所对应的点为，则6．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．在中，，若以边所在的直线为轴旋转得到的几何体的体积分别为，则（）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左，右焦点分别为．点在上，且，则的离心率为（）A． B． C．3 D．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列选项中正确的有（）A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高C．已知随机变量服从正态分布，则D．若数据的方差为8，则数据的方差为210．已知函数是奇函数，且是的导函数，则（）A． B．的周期是4 C．是偶函数 D．11．已知点为抛物线上一点，为的焦点，是上两个动点，则（）A．若的中点的横坐标为的最大值为8B．若直线经过点时，的最小值为4C．若，则直线的斜率为或D．直线的倾斜角互补，与的另一个交点为，则直线的斜率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量满足，则______．13．在中，已知内角的对边分别为的面积为，点在线段上靠近点的一个三等分点，，若，则______．14．若，则的大小关系为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设公差不为0的等差数列的首项为1，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：16．（15分）某公司拟通过摸球对员工发放节日福利．现在一个不透明的袋子中装有5个都标有红包金额的球，其中有2个球标注的为40元，有2个球标注的为50元，有1个球标注的为60元，除标注金额不同外，其余均相同，每位员工从袋中一次摸出1个球．连续摸2次，摸出的球上所标注的红包金额之和为该员工所获得的红包金额．（1）若每次摸出的球不放回袋中，求一位员工所获得的红包总金额不低于90元的概率；（2）若每次摸出的球放回袋中，记X为一位员工所获得的红包总金额，求X的分布列和数学期望．17．（15分）已知函数．（1）若，当时，试问曲线是否存在能与两坐标轴围成等腰直角三角形的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，请说明理由．（2）若在上单调，求实数的取值范围．18．（17分）如图，在矩形纸片中，，沿将折起，使点到达点的位置，点在平面的射影落在边上．（1）求的长度；（2）若使棱上的一个动点，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．19．（17分）已知，动点满足，动点的轨迹为曲线．交于另外一点交于另外一点．（1）求曲线的标准方程；（2）已知是定值，求该定值；（3）求面积的范围．数学三模参考答案选择题1234567891011CBDBDAADABDBCBD填空题12．13．14．15．（1）设等差数列的公差为，因为均成等比数列．所以，即．解得，或（舍），则．（2）．且，所以，则．．16．解：（1）设事件A=“一个会员所获得的红包总金额不低于90元”。因为每次摸出的球不放回袋中，所以．(2)由已知得，，因为每次摸出的球放回袋中，所以每次摸出40元、50元和60元红包的概率分别为.所以,所以得分布列为X8090100110120所以．17．【解题思路】（1）若，则，得若一条直线能与两坐标轴围成等腰直角三角形，则该直线的斜率为1或－1，且不过原点．显然不可能成立，当时，令，得，故，所以切点为或，所以存在切线满足题意，且切线方程为或（2）第一步：求导由题知第二步：利用导数与函数的单调性的关系将问题进行转化因为在上单调，且，所以在上单调递减，则在上恒成立第三步：对分情况讨论若，由（1）易知符合题意（分类时要做到不重不漏）若，当时；当时，单调递增，所以，即，得．若，当时，；当时，单调递减，所以，即，得．第四步：总结、得结论综上，实数的取值范围为．18．解：（1）作，垂足为．连接．如图所示：由点在平面的射影落在边上可得平面，又平面．所以，因为，且平面．所以平面，又平面，所以，又因为为矩形，，可得．由，可得．所以．由可得，则，即的长度为1．（2）根据题意，以点H为坐标原点，以过点H且平行于BC的直线为y轴，分别以HB、HP所在直线为x，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设所以，所以．易知．设平面的一个法向量为，则由取．则．设平面的一个法向量为，则由取，则．由，整理可得．解得（舍）或．因此．即．所