2024-2025学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第1课时空间中点直线和平面的向量表示及空间中直线平面的平行课件新人教A版选择性必

第一章学习单元4

1.4.1第1课时空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行通过前三个单元的学习,我们类比了平面向量,得到空间向量的知识,对空间向量有了基本的认识.本学习单元进一步利用空间向量来解决立体几何问题:借助空间向量表示点、直线和平面等基本要素,建立立体图形与空间向量的联系;然后进行空间向量的运算;最后把空间向量的运算结果“翻译”成几何结论.空间中直线、平面的位置关系主要研究平行、垂直,也就是“方向”问题,而向量表达了方向,于是利用向量及其运算可以解决方向的问题.空间中度量问题主要研究“距离”和“夹角”问题,距离和角度可以用向量的运算表达,于是利用向量的运算可以解决距离和夹角的问题.向量法为解决立体几何问题提供了一种通法,这也是向量法的优势所在.利用空间向量解决立体几何问题是用空间向量表示点、直线和平面等基本要素,因此本学习单元特别关注了直线的方向向量和平面的法向量.在此基础上,我们提出本学习单元的研究内容:空间图形要素的向量表示→空间图形位置关系的向量表示→空间距离的向量表示→空间角度的向量表示.这是本学习单元的知识明线.具体知识结构如下图所示:本单元学习的最终目标是能形成空间图形基本要素及其关系的向量表示,能用向量方法解决空间图形的位置关系和距离、夹角等度量问题,能将立体几何问题转化为空间向量问题.通过本单元的学习,发展数学抽象、数学运算等核心素养.学习目标1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.(数学抽象)2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.(直观想象)3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.(数学抽象、数学运算)4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.(数学抽象、数学运算)基础落实·必备知识一遍过知识点1

空间中点、直线和平面的向量表示1.点的位置向量.在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量

来表示.我们把向量

称为点P的位置向量,如图.

既包含方向,也包含距离2.空间直线的向量表示式.①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.3.空间平面的向量表示式.如图,取定空间任意一点O,可以得到空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使

我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.4.平面的法向量.

一个平面的法向量不唯一

如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}.微思考1.根据直线方向向量的定义,如何求直线的方向向量?

2.根据平面法向量的定义,如何求平面的法向量?提示

l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则

及与

平行的非零向量均为直线l的方向向量.提示

设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,满足方程组

的向量n均为平面α的法向量.知识点2

空间中直线、平面平行的向量表示

位置关系向量表示线线平行设μ1,μ2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2⇔μ1∥μ2⇔∃λ∈R,使得μ1=λμ2线面平行设μ是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l⊄α,则l∥α⇔μ⊥n⇔μ·n=0面面平行设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2微思考1.若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量,则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行?

2.若两条直线平行,它们的方向向量的方向有什么关系?提示

可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直,若垂直,则线面平行.提示

若两条直线平行,它们的方向向量的方向相同或相反.重难探究·能力素养速提升问题1我们知道,空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l?问题2一个定点和两个定方向能否确定一个平面?进一步地,一个定点和一个定方向能否确定一个平面?如果能确定,如何用向量表示这个平面?问题3由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系,可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系?探究点一平面的法向量及其求法问题4为什么要求平面的法向量?它的作用是什么?问题5根据法向量的定义,如何求平面的法向量?法向量唯一吗?【例1】

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.规律方法

利用待定系数法求平面的法向量的解题步骤

探究点二利用向量方法证明线线平行问题6有了方向向量,空间直线就有了向量表示式.根据向量平行的判定,如何用向量法证明线线平行?【例2】

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S分别是棱AA1,D1C1,AB,CC1的中点.求证:PQ∥RS.规律方法

向量法证明两条直线平行的方法两直线的方向向量共线时,两直线平行或重合;否则两直线相交或异面.探究点三利用向量方法证明线面平行问题7有了方向向量和法向量,空间直线和平面就有了向量表示式.根据方向向量及法向量的定义,结合向量的数量积运算,如何用向量法证明线面平行?【例3】

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.(方法3)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.规律方法

利用空间向量证明线面平行的方法(1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证直线与平面平行.(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行.探究点四利用向量方法证明面面平行问题8根据平面法向量的定义,结合向量平行的判定,如何用向量法证明面面平行?【例4】

如图,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD,B1C的中点,利用向量法证明:平面MNP∥平面CC1D1D.证明

以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1),则规律方法

利用空间向量证明面面平行的方法(1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明;(2)通过证明两个平面的法向量平行证明.本节要点归纳1.知识清单:(1)空间点、直线、平面的向量表示;(2)直线的方向向量,平面的法向量;(3)线线平行、线面平行、面面平行的向量表示.2.方法归纳:待定系数法、坐标法、转化化归.3.常见误区:(1)不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性;(2)通过向量和平面平行直接得到线面平行,忽略直线不在平面内的条件.学以致用·随堂检测促达标12341.(例1对点题)如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系.(1)求平面ABCD的一个法向量;(2)求平面SAB的一个法向量;(3)求平面SCD的一个法向量.1234解

以点A为原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,123412342.(例2对点题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段A1D上,点Q在线段AC上,线段PQ与直线A1D和AC都垂直,求证:PQ∥BD1.1234证明

以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),12343.(例3对点题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:FC1∥平面ADE.12341234123