2024届内蒙古自治区包头市高三年级下册二模文科数学试题（含答案与解析）

试卷类型：A

绝密★启用前

2024年普通高等学校招生全国统一考试

（第二次模拟考试）

文科数学

注意事项：

1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满

分150分,考试时间120分钟.

2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知全集11兀集合A满足叩tI，，则（）

A.0eAB.l^A

C.2GJD.3eA

2.已知复数z=l+JM（i为虚数单位），则I虚部为（）

A.-73B.—/C.-1D.-i

3.设机，,贝『'加=1''是"坨m+坨〃=0''的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.若非零向量久〃满足|a|=|勿=|a+6|,则向量G与向量a+6的夹角为（）

A.150B.120C.60D.30

5.从分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍

数的概率为（）

6.已知函数/(尤)=2*2+2x+“的值域为若(1,+")£/，则实数。的取值范围是()

A.B.C.D.

7.已知数列｛a“｝为等比数列，且4=1,%=16,设等差数列抄〃｝的前"项和为S"，若々=4,贝!1

S9-()

A.-36或36B.-36C.36D.18

8.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asin。/,但我们平时

听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数

/(x)=sinx+；sin2x(xeR),则下列说法正确的是()

A.”司的一个周期为兀B./(力的最大值为：

C.了⑴的图象关于点仁,0卜寸称D.“X)在区间[0,可上有2个零点

9.在平面直角坐标系xQy中，设4(2,4),B(-2,-4),动点尸满足=—1,贝UtanZPBO的最大

值为()

27214A/292741交

212941T

10.在正方体ABC。—44GR中，E为BD的中点，则直线与E与4。所成角的余弦值为()

B.3C.1"

A.0

11.设g(x)是定义域为R的奇函数，且g(l—x)=g(l+x).若g[-g]=g,则()

2112

A.——B.——C.-D.-

3333

22

12.已知双曲线C：餐―==1(。〉0]〉0)的左、右焦点分别为耳、F2,双曲线C的离心率为e,在

第一象限存在点P,满足e-sinNPEK=l,且S=4/，则双曲线c的渐近线方程为()

6%

A.2x±y=QB.x±2y=0

C.3x±y=0D.x±3y=0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.抛物线x2=-y准线方程为y=1,则实数。的值为.

a

14.在一ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,C,已知a=6=4,c-cosB+a=0,则边c=

x+y—520

15.若实数羽V满足约束条件＜x-2y+lW0,贝|z=x+y最小值为.

x＞l

16.己知圆柱的两个底面的圆周在表面积为4兀的球。的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个

试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入m（万元）与科技升级直

接收益y（万元）的数据统计如下：

序号i234567

m234681013

y13223142505658

根据表格中的数据，建立了＞与加的两个回归模型：模型①：，=4.1m+11.8；模型②：

$=21.3而-14.4.

（1）根据下列表格中的数据，比较模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型;

（2）根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.

回归模型模型①模型②

回归方程y=4.1根+11.89=21.3而-14.4

7

E(…)2182.4792

Z=1

(附：刻画回归效果的相关指数R2=l-得---------，尺之越大，模型的拟合效果越好)

i=l

18.如图，在多面体ZM3CE中，ABC是等边三角形，AB=AD=2,DB=DC=EB=EC=6.

(1)求证：BC1AE；

(2)求三棱锥6—ACD的体积.

19.已知函数“X)=a(尤2-inx)+(l-2a2)x(a20).

⑴若％=1是函数y=/(x)的极值点，求。的值；

(2)求函数y=/(x)的单调区间.

22_

20.已知椭圆E:=+与=l(a〉6〉0)过点(0,1),且焦距为2G.

ab

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过点5(1,0)作两条互相垂直的弦A瓦CD,设弦A3,CD的中点分别为M,N.证明：直线MV必过

定点.

21.已知数列｛。“｝为有穷数列，且a“eN*,若数列｛4｝满足如下两个性质，则称数列｛4｝为机的左增

数列：

①。］+。2+%+…十％=加；

②对于1<，</<",使得at<%的正整数对(z,j)有左个.

(1)写出所有4的1增数列;

（2）当”=5时，若存在用的6增数列，求机的最小值.

（二）选考题：共10分.请者生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所写的第一题

计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

]

x=

cosa5TT

22.在直角坐标系中,曲线C的参数方程为＜（a为参数，a^k7i+—）,以坐标原点

6sina2

y=

cosa

。为极点，犬轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕COS6+g=：!.

（1）求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程;

,若直线/与曲线。交于A,8两点，求匚1

（2）已知点P（2,0）的值.

陷

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知f=|2x+2|+|x一3|

（1）求不等式/（%）W5的解集;

⑵若〃龙）的最小值为加，正实数。，b,。满足a+b+c=加，求证：

1119

-----1------1-----2---.

a+bb+ca+c2m

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知全集11集合A满足％11则（）

A.0eAB.l^A

C.2eJD.3gA

【答案】B

【解析】

【分析】根据全集和集合A在全集中的补集易得集合A,逐一判断选项即可.

【详解】由。={尤|一1<%<5},gA={x[0<x<3},可得A={x|-l<x<。或3Vx<5}

则UA,2^A,3eA,故B项正确，A,C,D项均是错误的.

故选：B.

2.已知复数z=l+8i（i为虚数单位），则I的虚部为（）

A.-73B.—后C.-1D.-i

【答案】A

【解析】

【分析】由共轨复数以及虚部的概念即可得解.

【详解】因为复数z=1+6，，所以1=1-6的虚部为-6.

故选：A.

3.设相，neR,贝厂加2=1”是"坨m+坨〃=0''的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

［分析】通过举反例说明“相〃=1”不是“1gm+1g"=0”的充分条件，再由对数的运算性质由1gm+1g〃=0

推得加〃=1,即得结论.

【详解】由777〃=1不能推出1g机+lg〃=0,如〃2=〃=一1满足加2=1,

但1g1g〃无意义，故"=1”不是“1gm+1g〃=0”的充分条件；

再由lgm+1g〃=0可得IgO"）=0,即得7WZ=1,故“加=1”是“1g"2+1g"=0"的必要条件.

即“加〃=1”是“lgm+lg〃=0"的必要不充分条件.

故选：B.

4.若非零向量以6满足|a|=|们=|a+6则向量@与向量a+6的夹角为（）

A.150B.120C.60D.30

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量加法的三角形法则作出图象，根据图象得答案.

【详解】如图：若1=16|=|。+们，贝ABC为等边三角形

则向量d与向量a+Z?的夹角为60.

故选：C.

5.从分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍

数的概率为()

3211

A-B.-C.-D.-

5535

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，用列举法分析“从六张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是

3的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案.

【详解】根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张，有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种取法，

其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,6),(5,6),共9种情况，

则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率尸=尚=标；

故选：A.

6.已知函数尤)=2办2，+。的值域为/.若(1,+”)1加，则实数。的取值范围是()

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】化复合函数〃x)=2，+2x+“为〃a)=2","=%2+2x+a，根据已知条件确定

«的取值范围，再根据说的取值范围确定。的取值范围即可.

【详解】因为〃x）=2）%*a,^u=x2+2x+a，所以""）=2"；

令函数〃=%2+2%+a的值域为N,因为（L+8）1M,

所以（0,+“）1N,所以必+2%+。必须能取至ij（0,+“）上的所有值，

4Xa—2-4a—4曰,

--------=------<0，斛得4

Um-in-44a<l.

故选：B

7.已知数列｛4｝为等比数列，且q=La,=16,设等差数列出｝的前〃项和为S“，若&=生，贝I

5=（）

A.—36或36B.-36C.36D.18

【答案】C

【解析】

【分析】根据等比数列的通项公式求得/=4,继而求得々=生的值，利用等差数列前〃项和公式进行计

算即可.

【详解】数列｛4｝为等比数列，设公比为分且4=1,佝=16,

则叫■=■=16,则/=4,

4

则b5=a5=a1q=4,

X

则S9=M+：9）9=也=36,

故选：C.

8.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asin碗，但我们平时

听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数

/（x）=sinx+gsin2x（xeR）,则下列说法正确的是（）

3

A.〃龙）的一个周期为兀B.“X）的最大值为,

C."%）的图象关于点｝寸称D.“X）在区间［0,兀］上有2个零点

【答案】D

【解析】

【分析】对于A,考查函数了=5皿_¥与y=gsin2x的周期即可；对于B,考查函数y=sinx与y=；sin2x

的最大值，验证同时取最大值时的条件即可判断；对于C,利用中心对称的条件进行验证即可；对于D,令

/（x）=0,解方程即可.

【详解】对于A,因为y=sinx的周期为2兀，y=gsin2x的周期为兀，所以/（x）=sinx+gsin2x的周

期为2兀，故A错误;

对于B,因为函数丁=5由光的最大值为1,y=』sin2x的最大值为:，

22

3

故两个函数同时取最大值时，/（X）的最大值为5，

7171

此时需满足x——I-2kn,k£Z且2%=—I-2kn,kGZ,不能同时成立,

22

3

故最大值不能同时取到，故/（%）的最大值不为不，则B错误；

sin（兀-x）+gsin[2（兀-x）]=sinx-；sin2x,贝[J

对于c,y（7i-%）=

/（x）+/（7i-x）=2sinx^O,

故/（%）的图象不关于点0对称，C错误;

对于D,因为/（x）=sinx+gsin2x=sinx（l+cosx）=0时,sinx=0,又xe[0,7i],

所以九=0或者%=兀；或者l+cos%=0,此时cosx=-l,又xe［0,兀］,

所以％=兀，综上可知，/（九）在区间［0,可上有2个零点，故D正确，

故选：D.

9.在平面直角坐标系xQy中，设A（2,4）,B（-2,-4）,动点尸满足p。PA=—1,贝UtanZPfiO的最大

值为（）

A2。口4729「2同n6

2129412

【答案】C

【解析】

【分析】设出点p（x,y）,利用数量积的坐标表示得到点P的轨迹，结合直线与圆的关系进行求解即可.

【详解】设尸（羽y）,则PO=（f,-y）,PA=（2-x,4-y）,

则PO.PA=_x（2_x）_y（4_y）=_],即7_2x+y?—4y+]=0,

化为（x—l）2+（y—2尸=4,则点P的轨迹为以。（1,2）为圆心，半径为2的圆,

-44

又koB=F=2=k0D=k所以BO。三点共线，

-22

显然当直线PB与此圆相切时，tan/尸60的值最大.

又BD=H+G=3卮PD=2,

则PB=yjBD^-Pb2=V45-4=屈，

PD22A/41

则tan/PBO=-----=,—=—7=^.

PB屈屈

故选：C.

10.在正方体ABC。—A耳G2中，E为5。的中点，则直线与E与A。所成角的余弦值为（）

A.0B.1C.—D."

222

【答案】D

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量的夹角余弦公式求出答案.

【详解】以点。为坐标原点，。4。。,。2所在直线分别为羽y衣轴，建立空间直角坐标系,

设正方体ABCD—4耳。1。的棱长为2,

则4(2,0,2),0(0,0,0),4(222)](1,1,0),

则直线B{E与AXD所成角的余弦值为

1-1国

__(_2,0,-2)-(-1,-1,-2)_6_A/3

1।74+4x71+1+42后x#2

故选：D

奇函数，且g(l—x)=g(l+x).若=：

11.设g(x)是定义域为R

【答案】A

【解析】

【分析】结合抽象函数的奇偶性,周期性求解即可.

【详解】若g(17)=g(l+x),且g(x)是定义域为R的奇函数，故—g(x)=g(—x),

则g(-%)=g(x+2),-g(x)=g(x+2),变形得8(*+4)=-8(%+2)=8(%),

_g[-；]=一■!，故A正确.

可得g(x)周期为4,则==

故选：A

22

12.已知双曲线C：二—二=1(。〉0]〉0)的左、右焦点分别为耳、F,双曲线C的离心率为e,在

01b2\2

,且8尸依=4/，则双曲线C的渐近线方程为()

第一象限存在点P,满足e-sinNP《K=1rlrr2

A.2x±y=0B.九±2y=0

C.3九士丁=0D.九±3y=0

【答案】A

【解析】

【分析】由题意设|坨|=/,^\PFA=t-2a,而sin/P/M=』=0,|耳耳|=2c,由三角形面积公式可

ec

得|P周=4a,从而质|=2a,在△班;凡中，运用余弦定理可得一=2,由此即可得解.

a

【详解】

设冏I"则|%而e-sin/P片居=1,所以sinNP/苫=』=四

ec

所以点尸到耳工的距离为归耳卜inNP4心=咛

又闺闾=2c,所以S4pF,=

解得r=4a,即|尸耳|=4a,从而|尸闾=2a,

又因为sin/P4e=』=色,

ec

所以cos/PGB=jl—1一J二—，

在dPFiF?中，由余弦定理有cosZPFF=-=（旬+。。）一,

1-c2-4a-2c

1

所以4"=4/+H-/=/+4/,即h彳—丝4h+4=o,

aa

b

解得一二2,双曲线C的渐近线方程为2x±y=0.

a

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.抛物线炉=-y的准线方程为y=l,则实数。的值为.

a

【答案】-,##—0.25

4

【解析】

【分析】根据抛物线方程及准线方程列出方程，解出即可.

【详解】依题可知-工=1,

4〃

则［二—，

4

故答案为：一二.

4

14.在_45c中，A,B,C的对边分别为〃，b,c,已知〃=J5，b=4,ccosB+a=0,则边

【答案】M

【解析】

【分析】由余弦定理化角为边，化简整理后，代值计算即得.

【详解】因c-cosB+a：。，由余弦定理，ca-+tz=O,化简得3a2+°2=尸，

lac

因a=A/2，b=4,故c=\/b2—3a2=A/10-

故答案为：Vio.

,x+y-520

15.若实数九,V满足约束条件（x—2y+lW0,则2=光+丁的最小值为.

x>l

【答案】5

【解析】

【分析】利用约束条件画出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合图形即可得解.

x+y-5>0

【详解】画出约束条件（x-2y+lV0的可行域如下图所示阴影，

x>l

移动直线簇y=-x+z,

当丁=—x+z与x+y-5=0重合时，z取得最小值;

x+y-5=0%—3/、

联立《；,C，解得尸2'则A。？)，

x-2y+l=0

此时点4(3,2)在直线z=x+y上，故z=3+2=5.

故答案为：5.

16.已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为4兀的球。的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为.

【答案】2兀

【解析】

【分析】由题意，先求出球的半径，再由球和圆柱的位置关系得到圆柱的底面半径、母线和球的半径的关系,

然后利用基本不等式求出圆柱的侧面积的最大值.

【详解】设球的半径为R,圆柱的底面半径为,，母线为/,

由题意可知，5=4兀7?2=4兀解得H=1,

又圆柱的两个底面的圆周在表面积为4兀的球。的球面上，

所以圆柱的两个底面的的圆心关于球心对称，且户+R2=l,

圆柱的侧面积5=2兀力，Z>0,

7]B

因为22rx2=当且仅当厂=—,即厂=注,/=后时，等号成立,

4222

所以〃Wl,S=2jirl<2Ti.

故答案为：2兀.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个

试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入加（万元）与科技升级直

接收益y（万元）的数据统计如下：

序号i234567

m234681013

y13223142505658

根据表格中数据，建立了y与m的两个回归模型：模型①：亍=4.1机+11.8;模型②：

$=21.3而-14.4.

（1）根据下列表格中的数据，比较模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型;

（2）根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.

回归模型模型①模型②

回归方程y=4.1m+11.89=21.3疝-14.4

7

Z(2)2

182.479.2

1=1

£（>,-切

（附：刻画回归效果的相关指数尺2=1-得---------，尺2越大，模型的拟合效果越好）

1=1

【答案】（1）模型①的相关指数小于模型②的相关指数，即模型②的拟合效果精度更高、更可靠.

（2）198.6

【解析】

【分析】（1）利用相关指数的定义判断相关性即可.

（2）将给定数值代入拟合模型中求预测值即可.

【小问1详解】

由表格中的数据，182.4>79.2,

182.479.2i182.4179.2

•--------------------->--------------------1-----------------------<1------------------------

•,77—717

E(x-x)2E(x-x)2E(x-x)2Z(x-x)2

f=lz=lz=lZ=1

所以，模型①的相关指数小于模型②的相关指数，

即模型②的拟合效果精度更高、更可靠.

【小问2详解】

当加=100万元时，科技升级直接收益的预测值为：

y=21.3V100-14.4=213-14.4=198.6(万元)

18.如图，在多面体中，_ABC是等边三角形，AB=AD=2,DB=DC=EB=EC=42.

(1)求证：BC1AE；

(2)求三棱锥5—ACD的体积.

【答案】(1)证明见解析

⑵是

3

【解析】

【分析】(1)首先取中点。，连接AQE。，根据题意易证EOA.BC,从而得到

BC1平面AEO,再根据线面垂直的性质即可得到BC1AE.

(2)首先连接。O,易证DOLBC,DO1.AO,即可得到平面ABC,再根据%.从⑺=%一至。

求解即可.

【小问1详解】

取中点。，连接AO,EO.

B

E

ABC是等边三角形，。为BC中点，

:.AOLBC,

又EB=EC,EOJ_BC,

AOr>EO=O,40,£。（=平面4石0,，5。，平面钻0,

又AEu平面AEO,

:.BC±AE.

【小问2详解】

连接。O,如图所示：

因为£归=£>。，。为中点，则。OL3C,

由AB=AC=BC=2,=£>C=EB=EC=直得AO=也,DO=1,

又入人工二毋+市一加，.。。—

又AOBC=O,AO,5Cu平面ABC,..DO,平面ABC,

2

所以％ACD=yDABC=-SABC-DO=---x2xl=^.

D—AC1JL)—ADC3ADC343

19.已知函数/(x)=a(尤?_jn%)+(i_2a2^x(tz>0).

(1)若％=1是函数y=/(x)的极值点，求。的值；

(2)求函数y=/(x)的单调区间.

【答案】(1)1(2)单调减区间为(0,a),单调增区间为(a,+8)

【解析】

【分析】(1)由％=1是函数y=/(x)的极值点，/'(1)=0,求解验证即可；

(2)利用导函数求解函数的单调区间即可.

【小问1详解】

函数定义域为(0,+“)，/(x)=2/24)x—。,

因为x=l是函数y=/(x)的极值点，

所以/'(l)=l+a—2a2=0,解得a=—g或a=i,

因为a»0,所以a,L此时/'(%)=---I=(2x+l)(x—l),

XX

令/''(%)>()得x〉l,令/'(九)<0得0<x<l,

.•./(%)在(0,1)单调递减，在(1,+。)单调递增，所以％=1是函数的极小值点.

所以a=l.

【小问2详解】

、2«x2+(l-2a~^x-a(2ax+l)(x-a)

f⑺==

xx

因为a»0,所以20c\0,令/'(x)>0得x>a；令/'(“<0得0(尤<a；

•••函数的单调减区间为(0,a),单调增区间为(a,+").

22_

20.己知椭圆£：=+3=1(°〉6〉0)过点(0,1),且焦距为2百.

ab

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过点S(l,0)作两条互相垂直的弦A瓦CD,设弦A3,CD的中点分别为M,N.证明：直线"N必过

定点.

尤2

【答案】（1）—+/=1；

4-

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，求出即可求出椭圆E的方程.

（2）直线A5不垂直于坐标轴时，设出直线方程并与椭圆方程联立求出中点坐标，求出直线即得，再

验证AB,CD之一垂直于x轴的情况即可.

【小问1详解】

依题意，椭圆半焦距c=百，而匕=1,则/=尸+°2=4，

所以椭圆的方程为土+y2=i.

4-

【小问2详解】

当直线AB不垂直于坐标轴时，设直线AB的方程为兀=冲+l（xwO）,4（为,%）,3（々,乂），

由CDLA5,得直线CD的方程为％=—工丁+1,

m

x=my+l0202

由《,；2”消去无得：（m+4）y+2my-3=0,

x+4y=4

_2y77,8

则△=16加2+48>0,%+%--2，故玉+%=加（弘+%）+2=----，

m+4m+4

于是河（^7，三竺?）,由一,代替m,得N（上^三），

m+4m+4m1+4加l+4m

444

当一^二上二，即加2=1时，直线MN：x=-9过点K（=,0）,

m+41+4m55

m—m

44m25m

即加2H1时，直线MN的斜率为

-?--w-----r比+42

m+41+4m4(m-1)

1+4m2m2+4

22

m人八4(m-1)44m+164

直线MM尹仁---7---(1--7--)令y=0,x=----1---石----=----3----=—，

4(m2-l)m2+45(/+4)(m2+4)5(/+4)5

4

因此直线MN恒过点K（y，0），

4

当直线A民。。之一垂直于1轴，另一条必垂直于＞轴，直线为％轴，过点K(《,0),

4

所以直线MN恒过点K(—,0).

---X1•【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：(1)“特殊探路，

一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；(2)“一般推理，特殊

求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性

得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点.

21.已知数列｛。“｝为有穷数列，且a“eN*,若数列｛4｝满足如下两个性质，则称数列｛4｝为机的左增

数列：

①%+%+%+…十％=加；

②对于1＜，＜/＜",使得勾＜%的正整数对(z,J)有左个.

(1)写出所有4的1增数列；

(2)当〃=5时，若存在加的6增数列，求加的最小值.

【答案】(1)所有4的1增数列有数列1,2,1和数列1,3

(2)7

【解析】

【分析】(1)利用给定的新定义，求出所有符合条件的数列即可.

(2)运用给定的新定义，分类讨论求出结果即可.

【小问1详解】

由题意得4+出++4=4,则1+1+2=4或1+3=4,

故所有4的1增数列有数列1,2,1和数列1,3.

【小问2详解】

当〃=5时，因为存在机的6增数列，

所以数列｛a“｝的各项中必有不同的项，所以切26且meN*，

若相=6,满足要求的数列｛4｝中有四项为1,一项为2,

所以左W4,不符合题意，所以〃z>6

若m=7,满足要求的数列｛%｝中有三项为1,两项为2,符合机的6增数列.

所以，当〃=5时，若存在加的6增数列，机的最小值为7.

（二）选考题：共10分.请者生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所写的第一题

计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

1

%~,

CCS（77T

22.在直角坐标系中，曲线。的参数方程为〈（。为参数，a^k7i+-\以坐标原点

V3sina2

y二,

cosa

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕COS?=1.

。为极点，X

（1）求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程;

求向一向的值.

（2）已知点P（2,0）,若直线/与曲线。交于A,8两点,

2

【答案】（1）C：x2-^=l,直线/：x-s/3y-2=o

⑵|

【解析】

x=0cose

【分析】（1）用消参数法化参数方程普通方程，由公式.c化极坐标方程为直角坐标方程;

y=夕sin”

（2）化直线方程为P点的标准参数方程，代入抛物线方程利用参数几何意义结合韦达定理求解.

【小问1详解】

1

%—,

.so（a为参数，aw就+工）,

曲线C的参数方程为

J3sina2

y=-------,

cosa

［2•