河南联盟2023-2024学年高一年级下册3月测试数学试题含答案

河南省名校联盟2024年高一下测试(3月)

数学

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合A={x［l<%<2},B-\^x\x<a^,若A=则”的取值范围是()

A.\^a\a>2^B.^a\a<C.\^a\a>1}D.^a\a<2^

21

2.已知〃=［；［一，>二［；［'c=ln3,则mb,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

3.若向量万，B满足同=1,仅+2^）J_方，（2）+则卜|=（）

A.2B.—C.1D.V2

2

4.在平行四边形ABC。中，AE=-AC,设丽=0，BC=b,则向量诙=()

4

八1-3三-3-12_17c1-2r

A.1abB.1a——brC.—ct—bD.一ci--b

44443333

0=>,贝心0$（2。+2夕）=（

5.已知sinQz一尸）=］,cosasin）

6

7117

A.-B.-C.——D.——

9999

6.已知G=（l,2）,3=（2,—2）,c=（2,-l）,c//（2a+b）,则;l等于（）

11

A.—2B.—1C.——D.-

22

7.已知向量力，B的夹角为120。，同=|q=1,与G+B同向，则B-4的最小值为(

13D.2

A.1B.-c.一

242

8.关于函数/(%)=sin(tanx)-cos(tanx)有下述四个结论:

①/(%)是奇函数;②/1(x)在区间0,；单调递增;

③兀是/(X)的周期;④〃x)的最大值为2.

其中所有正确结论的个数是()

A.4B.3C.2D.1

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是()

A.1G-4,4-Gj

C.^2e2_34,6,—44}

10.若龙，y满足—+y2一孙=1,则（

A.x+y<1B.x+y>-2C.X2+/<2D.x2+y2>l

11.已知函数/(%)=Asin(④r+0)1的部分图象如图所示，则()

兀兀

B.当元£时，/(%)的值域为

44

C.将函数F(x)的图象向右平移.个单位长度可得函数g(x)=sin2x的图象

D.将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点

对称

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若函数y=log“(2-ax)在［0,1］上单调递减，则a的取值范围是.

13.已知向量为,B满足同=3,忖=2且他一2孙(4+刀=5,则方在B方向上的投影向量为____.

14.如图，正方形ABC。的边长为2,E,尸分别为BC,CD的动点，且忸同=2|”|,设

AC=xAE+yAF^x,y&R),则x+y的最大值是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)(1)已知向量升=(1,2),b=(x,-1),若+,求忖+可.

(2)已知同=2,|可=3,a,B的夹角为60。，若(G+码“G—B),求X的值.

16.（15分）已知函数/■（九）=loga（2'—l）+log“（8—2，）（a>0且"1）.

(1)求函数的定义域;

(2)是否存在实数m使得函数;'(X)在区间［1,2］上的最大值为2?若存在，求出。的值；若不存在，请说

明理由.

17.(15分)已知向量方=sinf—+—\sin—,b=cosf---\-sin—,函数/(》)=展3,先将

、124J2JI124J2)

IT1

/(x)的图象向右平移:个单位，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的;，纵坐标伸长到原来的

3倍,得到g(力的图象.

(1)求f(x)的最小正周期；

⑵若xe0,；,求的值域；

a71

(3)若F(x)=2/(x)+,g(x)+1,xe0,—,aHO,试求E(x)的最小值.

18.(17分)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺

术.在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，传

承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、

生活理想和审美情趣.现有一张矩形卡片ABCD,对角线长为fG为常数)，从△A3。中裁出一个内接正

方形纸片EFGH,使得点E,7/分别A3,AD上，设NDA4=a[o<a<，矩形纸片ABCD的面积

为S「正方形纸片EFGH的面积为邑•

(1)当a=E时，求正方形纸片ER7H的边长(结果用f表示)；

12

(2)当a变化时，求色的最大值及对应的a值.

$

19.(17分)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬

XX

-I-C)p"I

链线"方程y='2,其中。为参数.当c=l时，就是双曲余弦函数cosh(x)=—六，类似地我

X-X

们可以定义双曲正弦函数sinh(x)=y—.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.

(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论：sinh(2x)=.(只写出即

可，不要求证明)；

(2)Vxe[-1,1],不等式cosh(2%)+加cosh(无)20恒成立,求实数机的取值范围；

兀3兀

(3)若xe,试比较cosh(sin%)与sinh(cos%)的大小关系，并证明你的结论.

了2

数学参考答案

1.A2.D3.C4.A5.B6.A7.D8.C9.ABC10.BC11.ACD

V2+1

12.(1,2)13.-b14.------

2

【详解】建立如图所示的直角坐标系，其边长为2,|C川=a,

则A(0,0),C(2,2),E(2,2a),尸(2—a,2),所以*=(2,2),AE=(2,2a),AF=(2-a,2),

2%+(2-a)y=2a2-2a

由AC=xAE+yAF,(x,yeR),解得％=

2ax-\-2y=22/—2cl+22/—2a+2

2-a

(其中OV〃V1),所以x+y=

24—2cl+2

1V2+1

令/=2-ae[1,2],则x+y=-^―---=————<

厂一2/+2/+2_220-22

当且仅当f=也时，即。=2-板时取等号，所以x+y的最大值为叵巳.

V2+1

故答案为:

2

15.(1)5+2^=(l+2x,0),2G—3=(2—x,5),由(G+2B)〃(2G—可得(l+2x)x5=(2—x)xO,

解得x=——,则/,=

25'

(2)由B)可得B)=o,化简得必+(4—1)①3—4^2=o,即

4+(2-l)x2x3x--92=0,化简得1-62=0,解得4

2v-l>0

16.(1)依题意(，即1<2工<8,

8—2*〉0

所以2°<2工<23,即0<x<3,

所以函数/(x)的定义域为(0,3).

X

⑵f(x)=loga(2-1)+logo(8-2^)=logfl[⑵—1)(8—2，)],

令2』,g(t)=(t-l)(S-t),则/(X)=logag⑺，

•/xe[1,2],/.tG[2,4].

易知二次函数g(f)的图像开口向下，对称轴为直线/=q=^,

所以函数g⑺在[2,4]上单调递增，所以g⑺血=8出=6,g⑺max=g(4)=12.

假设存在满足题意的实数a,

当。＞1时，函数y=log“无单调递增,

/Wmax=logfl12=2,解得。=2百或。=一2百(舍去),

当0＜。＜1时，函数y=log。x单调递减，

■,■/Wmax=loga6=2,解得a=土布(舍去),

综上，存在实数a=2百时，

使得函数f(x)在区间［1,2］上的最大值为2.

41.xV2xVV2xV2.X、x

—sin—H-----cos——cos—H------sin—-sin2

(2222人2222)2

1(.X%丫1-COSX1.、V2,(兀)

=—sin—+cos------------=—(szinx+cosx)=——sinx+—

2(22)222I4)

T=2兀；

兀兀兀兀.•.sin/+'eJ_V2

(2)VXG0,—XH---€一/(x)e

4442I4；*5万

(3)由图象变换得g(x)=也义在sin2》」+四=sin2x,

2I44

?.F(x)=2a・5-sin|x+—l+—sin2x+l=6z(sinx+cosx+sinxcosx)+l,

22

、几^后.(兀)(sinx+cosx)-1t-1

=smx+cosx=v2sinx+—,smxcosx=---------------------=------

I4)22

一八兀1兀「兀兀］.(兀、血i,「1

x€0,一,..x—£—,—，..sinxH—G----,1,..G1,A/2；

L4j4142」(4)2L」

r-P

F(x)=at++1=—(z+1)+1-a,aH0,

F；

当a＞0时，产(x)在［1,0］单调递增，则当，=1时，R(x)1nhi=。+1，

当＜时，尸在［行］2+1

a0(x)1,单调递减，则当/=后时，F(x)min=^1a+l.

18.(1)设正方形瓦1GH的边长为小则=AB=tcosa,

则5£=——,AE-acosa,AB=AE+BE,即％cosa=一—+acosa,

sinasina

击Rptn/l=tk1/COS6/%sinacosa片sinla

整理得到a二----------

------+cosa1+sinacosa2+sin2a

sina

.5兀

rsm——

当仁=2时,6

122+sin25

6

/c、0\/sin2a10•12.c

(2)S,=------------,S.=tsma-tcosa2smacosa=Tsin2a,

2(2+sin2cd12

aef0,-|j,则2"£(0,兀)，sinlae(0,1),

则a=Ain2a(2+2

s?21/sin2。2sin2a2sin2a

12+sinla

7c

y=±r+*+2在(0,1]上单调递减，故立

2x\.Sz/1min

故区的最大值为2,sin2a=1,«efo,-l故1=巴.

H9I2J4

19.(1)sinh(2x)=；e?'=(J—e+e")=2sinh(x)cosh(x)

2x,-2xx,-x

(2)依题意，VXG[-1,1],不等式cosh2x+zncosh%200----------+m------——>0,

函数M=e"在[一1,1]上单调递增，uG，令/=e"+e—“=M+L

显然函数/=M+!在[e'l]上单调递增，在[l,e]上单调递增，/e[2,e-]+e],

U

12_2mt

又e2x+e-2x=(e"+匕一"了一2=〃_2,于是VxG[-1,1],cosh2x+mcoshx>0<^>—-—+—>0,

因此V/£[2©1+e],m>--t,显然函数y=2-1在[2,eT+e]上单调递减，

当1=2时，ymax=-1,从而加2—1,

所以实数m的取值范围是m>-l.

兀3兀