备战2024年高考数学一轮复习第三、四章

课件园PAGE第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数(对应学生用书(文)、(理)40～41页)页考情分析考点新知①了解任意角的概念；了解终边相同的角的意义.②了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化.③理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；初步了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切．①能准确进行角度与弧度的互化.②准确理解任意角三角函数的定义，并能准确判断三角函数的符号.1.(必修4P15练习6改编)若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定落在第________象限．答案：四解析：由sinθ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tanθ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限．2.角α终边过点(－1，2)，则cosα＝________．答案：－eq\f(\r(5),5)3.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________答案：1或44.已知角α终边上一点P(－4a，3a)(a<0)，则sinα＝________．答案：－eq\f(3,5)5.(必修4P15练习2改编)已知角θ的终边经过点P(－x，－6)，且cosθ＝－eq\f(5,13)，则sinθ＝____________，tanθ＝____________．答案：－eq\f(12,13)eq\f(12,5)解析：cosθ＝eq\f(－x,\r(x2＋36))＝－eq\f(5,13)，解得x＝eq\f(5,2).sinθ＝eq\f(－6,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))\s\up12(2)＋（－6）2))＝－eq\f(12,13)，tanθ＝eq\f(12,5).1.任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．④弧长公式：l＝|α|r．扇形面积公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2．2.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义设P(x，y)是角α终边上任一点，且|PO|＝r(r＞0)，则有sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2)三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦．3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT．我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线[备课札记]题型1三角函数的定义例1α是第二象限角，P(x，eq\r(5))为其终边上一点，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，求sinα的值．解：∵OP＝eq\r(x2＋5)，∴cosα＝eq\f(x,\r(x2＋5))＝eq\f(\r(2),4)x.又α是第二象限角，∴x<0，得x＝－eq\r(3)，∴sinα＝eq\f(\r(5),\r(x2＋5))＝eq\f(\r(10),4).eq\a\vs4\al(变式训练)已知角α终边上一点P(－eq\r(3)，y)，且sinα＝eq\f(\r(2),4)y，求cosα和tanα的值．解：r2＝x2＋y2＝y2＋3，由sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(y,\r(y2＋3))＝eq\f(\r(2),4)y，∴y＝±eq\r(5)或y＝0.当y＝eq\r(5)即α是第二象限角时，cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；当y＝－eq\r(5)即α是第三象限角时，cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3)；当y＝0时，P(－eq\r(3)，0)，cosα＝－1，tanα＝0.题型2三角函数值的符号及判定例2(1)如果点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限；(2)若θ是第二象限角，试判断sin(cosθ)的符号．解：(1)因为点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθ·cosθ<0，2cosθ<0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(sinθ>0，,cosθ<0，)))所以θ为第二象限角．(2)∵2kπ＋eq\f(π,2)<θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴－1<cosθ<0，∴sin(cosθ)<0.∴sin(cosθ)的符号是负号．eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)已知点P(tanα，cosα)在第二象限，则角α的终边在第________象限．答案：四解析：由题意，得tanα＜0且cosα＞0，所以角α的终边在第四象限．题型3弧长公式与扇形面积公式例3已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓．∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10，∴l＝eq\f(10,3)π(cm)．S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)×eq\f(10,3)π×10－eq\f(1,2)×102·sin60°＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2)))cm2.(2)∵扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝eq\f(C,2＋α)，∴S扇＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2＋α)))eq\s\up12(2)＝eq\f(C2,2)·eq\f(α,4＋4α＋α2)＝eq\f(C2,2)·eq\f(1,4＋α＋\f(4,α))≤eq\f(C2,16)，当且仅当α＝eq\f(4,α)，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值eq\f(C2,16).eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)已知2rad的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长．解：如图，∠AOB＝2rad，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交eq\o(AB,\s\up8(︵))于D.∠AOD＝∠BOD＝1rad，且AC＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△AOC中，AO＝eq\f(AC,sin∠AOC)＝eq\f(1,sin1)，从而弧AB的长为l＝|α|·r＝eq\f(2,sin1).1.若α角与eq\f(8π,5)角终边相同，则在[0，2π]内终边与eq\f(α,4)角终边相同的角是________．答案：eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10)解析：由题意，得α＝eq\f(8π,5)＋2kπ(k∈Z)，eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)．又eq\f(α,4)∈[0，2π]，所以k＝0，1，2，3，eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10).2.已知角α(0≤α≤2π)的终边过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)，cos\f(2π,3)))，则α＝__________．答案：eq\f(11π,6)解析：将点P的坐标化简得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，它是第四象限的点，r＝|OP|＝1，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(\r(3),2).又0≤α≤2π，所以α＝eq\f(11π,6).3.已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为________cm答案：4解析：设扇形半径为rcm，弧长为lcm，则2r＋l＝8，S＝eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以Smax＝4(cm2)．4.若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα＜0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝eq\r(10)，则m－n＝________．答案：2解析：依题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝3m，,m2＋n2＝10.))解得m＝1，n＝3或m＝－1，n＝－3.又sinα＜0，∴α的终边在第三象限，∴n＜0，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.1.设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(kπ,2)－\f(π,3)，k∈Z))))，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)π，－\f(π,3)，\f(π,6)，\f(2,3)π))解析：由－π＜eq\f(kπ,2)－eq\f(π,3)＜π，得－eq\f(4,3)＜k＜eq\f(8,3).∵k∈Z，∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)π，－\f(π,3)，\f(π,6)，\f(2,3)π)).2.已知α＝eq\f(π,3)，回答下列问题．(1)写出所有与α终边相同的角；(2)写出在(－4π，2π)内与α终边相同的角；(3)若角β与α终边相同，则eq\f(β,2)是第几象限的角？解：(1)所有与α终边相同的角可表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(θ＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).(2)由(1)令－4π＜2kπ＋eq\f(π,3)＜2π(k∈Z)，则有－2－eq\f(1,6)＜k＜1－eq\f(1,6).∵k∈Z，∴取k＝－2、－1、0.故在(－4π，2π)内与α终边相同的角是－eq\f(11π,3)、－eq\f(5π,3)、eq\f(π,3).(3)由(1)有β＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，则eq\f(β,2)＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)．∴eq\f(β,2)是第一、三象限的角．3.已知角α的终边经过点P(x，－2)，且cosα＝eq\f(x,3)，求sinα和tanα.解：因为r＝|OP|＝eq\r(x2＋（－2）2)，所以由cosα＝eq\f(x,3)，得eq\f(x,\r(x2＋（－2）2))＝eq\f(x,3)，解得x＝0或x＝±eq\r(5).当x＝0时，sinα＝－1，tanα不存在；当x＝eq\r(5)时，sinα＝－eq\f(2,3)，tanα＝－eq\f(2\r(5),5)；当x＝－eq\r(5)时，sinα＝－eq\f(2,3)，tanα＝eq\f(2\r(5),5).4.已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.解：(1)由圆O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝eq\f(π,3).(2)由(1)可知α＝eq\f(π,3)，r＝10，∴弧长l＝α·r＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)，∴S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10＝eq\f(50π,3)，而S△AOB＝eq\f(1,2)·AB·eq\f(10\r(3),2)＝eq\f(1,2)×10×eq\f(10\r(3),2)＝eq\f(50\r(3),2)，∴S＝S扇形－S△AOB＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2))).1.(1)要求适合某种条件且与已知角终边相同，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角．2.已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解α的三角函数值．3.弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．4.利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤(1)用边界值定出角的终边位置．(2)根据不等式(组)定出角的范围．(3)求交集，找单位圆中公共的部分．(4)写出角的表达式．eq\a\vs4\al(请使用课时训练（B）第1课时（见活页）.)[备课札记]

第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式(对应学生用书(文)、(理)42～43页)考情分析考点新知①会运用同角三角函数进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.②能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanα.②理解正弦、余弦、正切的诱导公式[2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，eq\f(π,2)±α].1.(必修4P16例1改编)α是第二象限角，tanα＝－eq\f(8,15)，则sinα＝________．答案：eq\f(8,17)解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin2α＋cos2α＝1，,\f(sinα,cosα)＝－\f(8,15)，))解得sinα＝±eq\f(8,17).∵α为第二象限角，∴sinα>0，∴sinα＝eq\f(8,17).2.coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(52,3)π))＝________．答案：－eq\f(1,2)解析：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(52π,3)))＝coseq\f(52π,3)＝cos(17π＋eq\f(π,3))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).3.sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1＝________．答案：2解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.4.(必修4P21例题4改编)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋α))＝eq\f(1,3)，且－π＜α＜－eq\f(π,2)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α))＝________．答案：－eq\f(2\r(2),3)解析：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α))＝cos[eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋α))]＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋α)).又－π＜α＜－eq\f(π,2)，所以－eq\f(7,12)π＜eq\f(5π,12)＋α＜－eq\f(π,12).所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)π＋α))＝－eq\f(2\r(2),3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α))＝－eq\f(2\r(2),3).5.(必修4P22习题9(1)改编)已知tanθ＝2，则eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－θ)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－sin（π－θ）)＝__________．答案：－2解析：eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－cos（π－θ）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－sin（π－θ）)＝eq\f(cosθ－（－cosθ）,cosθ－sinθ)＝eq\f(2cosθ,cosθ－sinθ)＝eq\f(2,1－tanθ)＝eq\f(2,1－2)＝－2.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα).2.诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosa余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．[备课札记]

题型1同角三角函数的基本关系式例1(必修4P23第18题改编)已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5).(1)求tanα的值；(2)将eq\f(1,cos2α－sin2α)用tanα表示出来，并求其值．解：(1)(解法1)联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)①，,sin2α＋cos2α＝1②，))由①得cosα＝eq\f(1,5)－sinα，将其代入②，整理，得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形内角，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5)，))∴tanα＝－eq\f(4,3).(解法2)∵sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(2)，即1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，∴2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25).∵sinαcosα＝－eq\f(12,25)<0且0<α<π，∴sinα>0，cosα<0.∵sinα－cosα>0，∴sinα－cosα＝eq\f(7,5).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，,sinα－cosα＝\f(7,5)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5)，))∴tanα＝－eq\f(4,3).(2)eq\f(1,cos2α－sin2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α,cos2α－sin2α)＝eq\f(tan2α＋1,1－tan2α).∵tanα＝－eq\f(4,3)，∴eq\f(1,cos2α－sin2α)＝eq\f(tan2α＋1,1－tan2α)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))\s\up12(2)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))\s\up12(2))＝－eq\f(25,7).eq\a\vs4\al(变式训练)已知关于x的方程2x2－(eq\r(3)＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，且θ∈(0，2π)．(1)求eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－tanθ)的值；(2)求m的值；(3)求方程的两根及此时θ的值．解：(1)由韦达定理可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(sinθ＋cosθ＝\f(\r(3)＋1,2),①，,sinθ·cosθ＝\f(m,2),②，)))而eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－tanθ)＝eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cos2θ,cosθ－sinθ)＝sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(3)＋1,2).(2)由①两边平方得1＋2sinθcosθ＝eq\f(2＋\r(3),2)，将②代入得m＝eq\f(\r(3),2).(3)当m＝eq\f(\r(3),2)时，原方程变为2x2－(1＋eq\r(3))x＋eq\f(\r(3),2)＝0，解得x1＝eq\f(\r(3),2)，x2＝eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(\r(3),2),cosθ＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(1,2)，,cosθ＝\f(\r(3),2).))∵θ∈(0，2π)，∴θ＝eq\f(π,6)或eq\f(π,3).例2(必修4P23第10(2)题改编)化简：(eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))－eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα)))·(eq\r(\f(1＋cosα,1－cosα))－eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα)))．解：原式＝(eq\r(\f(（1＋sinα）2,cos2α))－eq\r(\f(（1－sinα）2,cos2α)))(eq\r(\f(（1＋cosα）2,sin2α))－eq\r(\f(（1－cosα）2,sin2α)))＝(eq\f(1＋sinα,|cosα|)－eq\f(1－sinα,|cosα|))(eq\f(1＋cosα,|sinα|)－eq\f(1－cosα,|sinα|))＝eq\f(2sinα,|cosα|)·eq\f(2cosα,|sinα|)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4，α在第一、三象限时，,－4，α在第二、四象限时.))eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)已知sinα·cosα<0，sinαtanα>0，化简：coseq\f(α,2)·eq\r(\f(1－sin\f(α,2),1＋sin\f(α,2)))＋sineq\f(α,2)·eq\r(\f(1＋cos\f(α,2),1－cos\f(α,2)))＝________．答案：±eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,4)))解析：∵sinα·cosα<0，∴α为第二或第四象限角．又∵sinα·tanα>0，∴α为第四象限角，∴eq\f(α,2)为第二或四象限角．∴原式＝coseq\f(α,2)·eq\f(1－sin\f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))))＋sineq\f(α,2)·eq\f(1＋cos\f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2))))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)为第二象限角))，,－sin\f(α,2)－cos\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)为第四象限角))，))∴原式＝±eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,4))).题型2利用诱导公式进行化简求值例3已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求eq\f(sin（π－α）＋5cos（2π－α）,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))－sin（－α）)的值．解：∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴sinα＝－2cosα，且cosα≠0.∴原式＝eq\f(sinα＋5cosα,－2cosα＋sinα)＝eq\f(－2cosα＋5cosα,－2cosα－2cosα)＝eq\f(3cosα,－4cosα)＝－eq\f(3,4).eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)已知cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)eq\f(sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）,sin（π－α）·cos（α＋2nπ）)(n∈Z)．解：∵cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，∴－cosα＝－eq\f(1,2)，cosα＝eq\f(1,2).又角α在第四象限，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(3),2).(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sinα＝eq\f(\r(3),2).(2)eq\f(sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）,sin（π－α）cos（α＋2nπ）)＝eq\f(sin（α＋2nπ＋π）－sinα,sinαcosα)＝eq\f(sin（π＋α）－sinα,sinαcosα)＝eq\f(－2sinα,sinαcosα)＝－eq\f(2,cosα)＝－4.1.(2013·广东文)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝eq\f(1,5)，那么cosα＝________．答案：eq\f(1,5)解析：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα＝eq\f(1,5).2.已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)＝________．答案：－eq\f(1,2)解析：由条件，知π＝a1＋a5＋a9＝3a5，∴a5＝eq\f(π,3)，∴cos(a2＋a8)＝cos2a5＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2).3.已知sinα＝eq\f(1,3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则tanα＝________．答案：－eq\f(\r(2),4)解析：因为sinα＝eq\f(1,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cosα＝－eq\r(1－\f(1,9))＝－eq\f(2\r(2),3)，从而tanα＝－eq\f(\r(2),4).4.已知2tanα·sinα＝3，－eq\f(π,2)＜α＜0，则cos(α－eq\f(π,6))＝____________．答案：0解析：依题意得eq\f(2sin2α,cosα)＝3，即2cos2α＋3cosα－2＝0，解得cosα＝eq\f(1,2)或cosα＝－2(舍去)．又－eq\f(π,2)＜α＜0，因此α＝－eq\f(π,3)，故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)－\f(π,6)))＝coseq\f(π,2)＝0.1.已知0<x<π，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).(1)求sinx－cosx的值；(2)求tanx的值．解：(1)∵sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，∴1＋2sinxcosx＝eq\f(1,25)，∴2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，又∵0<x<π，∴sinx>0，2sinxcosx＝－eq\f(24,25)<0，∴cosx<0，∴sinx－cosx>0，∴sinx－cosx＝eq\r(1－2sinxcosx)＝eq\f(7,5).(2)eq\f(sinx＋cosx,sinx－cosx)＝eq\f(1,7)，eq\f(tanx＋1,tanx－1)＝eq\f(1,7)，tanx＝－eq\f(4,3).2.已知3cos2(π＋x)＋5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝1，求6sinx＋4tan2x－3cos2(π－x)的值．解：由已知得3cos2x＋5sinx＝1，即3sin2x－5sinx－2＝0，解得sinx＝－eq\f(1,3)或sinx＝2(舍去)．这时cos2x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,9)，tan2x＝eq\f(sin2x,cos2x)＝eq\f(1,8)，故6sinx＋4tan2x－3cos2(π－x)＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋4×eq\f(1,8)－3×eq\f(8,9)＝－eq\f(25,6).3.已知在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\f(1,5).(1)求sinA·cosA；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值．解：(1)因为sinA＋cosA＝eq\f(1,5)①，两边平方得1＋2sinAcosA＝eq\f(1,25)，所以sinA·cosA＝－eq\f(12,25).(2)由(1)sinAcosA＝－eq\f(12,25)<0，且0<A<π，可知cosA<0，所以A为钝角，所以△ABC是钝角三角形．(3)(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25).又sinA>0，cosA<0，sinA－cosA>0，所以sinA－cosA＝eq\f(7,5)②，所以由①，②可得sinA＝eq\f(4,5)，cosA＝－eq\f(3,5)，则tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq\f(4,3).4.已知sin(3π＋θ)＝eq\f(1,3)，求eq\f(cos（π＋θ）,cosθ[cos（π－θ）－1])＋eq\f(cos（θ－2π）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cos（θ－π）－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))的值．解：因为sin(3π＋θ)＝－sinθ＝eq\f(1,3)，所以sinθ＝－eq\f(1,3).原式＝eq\f(－cosθ,cosθ（－cosθ－1）)＋eq\f(cos（2π－θ）,－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))cos（π－θ）＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(cosθ,－cos2θ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(2,1－cos2θ)＝eq\f(2,sin2θ)＝eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))\s\up12(2))＝18.1.利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．2.应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：①负角变正角，再写成2kπ＋α(k∈Z)，0≤α＜2π；②转化为锐角．3.在应用诱导公式时需先将角变形，有一定技巧，如化eq\f(3,2)π＋α为π＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))或2π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)).eq\a\vs4\al(请使用课时训练（A）第2课时（见活页）.)[备课札记]第3课时三角函数的图象和性质(对应学生用书(文)、(理)44～46页)考情分析考点新知①知道三角函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期为T＝eq\f(2π,|ω|).②能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等).③会画出y＝Asin(ωx＋φ)的简图，能由正弦曲线y＝sinx通过平移、伸缩变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象．①了解三角函数的周期性.②能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性质.③了解三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义及其参数A、ω、φ对函数图象变化的影响.1.(必修4P25练习2改编)函数f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))，x∈R的最小正周期为________．答案：4π解析：函数f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))的最小正周期为T＝eq\f(2π,\f(1,2))＝4π.2.(必修4P39第2题改编)将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动eq\f(π,10)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________________．答案：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,10)))解析：∵向右平移eq\f(π,10)个单位，∴用x－eq\f(π,10)代替y＝sinx中的x；∵各点横坐标伸长到原来的2倍，∴用eq\f(1,2)x代替y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,10)))中的x，∴y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,10))).3.(必修4P45第9题改编)如图，它表示电流I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则I＝Asin(ωt＋φ)的解析式为________________．答案：I＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100π,3)t＋\f(π,3)))解析：由图可知A＝eq\r(3)，ω＝eq\f(100π,3).代入eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,50)，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,20)，0))，解得φ＝eq\f(π,3)，于是I＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100π,3)t＋\f(π,3))).4.(必修4P32练习6改编)函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的单调递增区间是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)＋kπ，\f(π,8)＋kπ))(k∈Z)解析：－π＋2kπ≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ，即－eq\f(3π,8)＋kπ≤x≤eq\f(π,8)＋kπ(k∈Z)，所求单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)＋kπ，\f(π,8)＋kπ))(k∈Z)．5.(必修4P32第5题改编)函数y＝2sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)≤x≤\f(2π,3)))的值域是________．答案：[1，2]解析：根据正弦函数图象，可知x＝eq\f(π,6)时，函数取到最小值1；x＝eq\f(π,2)时，函数取到最大值2.1.周期函数的定义周期函数的概念：对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，则称y＝f(x)为周期函数；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝eq\f(2π,|ω|)；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝eq\f(π,|ω|)．

2.三角函数的图象和性质三角函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))值域和最值[－1，1]最大值：1最小值：－1[－1，1]最大值：1最小值：－1R无最值周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性关于x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)对称关于x＝kπ(k∈Z)对称对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)单调区间在[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)上单调递增在[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)上单调递减[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)单调递增[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调递减在(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)上单调递增3.“五点法”作图“五点法”作图原理：在确定正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))、(π，0)、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))、(2π，0)．余弦函数呢？4.函数y＝Asin(ωx＋φ)的特征若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A叫做振幅，T＝eq\f(2π,ω)叫做周期，f＝eq\f(1,T)叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．[备课札记]题型1依据三角函数的图象求解析式例1(2013·南京三模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________．答案：eq\f(2,3)解析：由图象可知函数的四分之三周期为eq\f(15π,8)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)))＝eq\f(3,4)T，T＝3π，ω＝eq\f(2π,3π)＝eq\f(2,3).eq\a\vs4\al(变式训练)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的部分图象如图所示，则ω＝________．答案：3解析：由图知，A＝2，将(0，eq\r(2))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，2))代入函数，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)w＋φ))＝2，,2sinφ＝\r(2)，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(φ＝\f(π,4)，,ω＝3.))题型2三角函数的图象变换例2为了得到函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)＋\f(π,6)))(x∈R)的图象，只需把函数y＝2sinx(x∈R)的图象上所有的点经过怎样的变换得到？解：y＝2sinx用代替x，左移个单位y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))再用代替x，各点横坐标伸长到原来的3倍。y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)＋\f(π,6))).eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)已知函数f(x)＝2eq\r(3)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＋sinx＝eq\r(3)cosx＋sinx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx＋\f(1,2)sinx))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)∵将f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).∵x∈[0，π]，∴x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，∴当x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,3)时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝1，g(x)取得最大值2.当x＋eq\f(π,6)＝eq\f(7π,6)，即x＝π时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝－eq\f(1,2)，g(x)取得最小值－1.题型3五点法作图例3已知a＝(2cosx，cos2x)，b＝(sinx，－eq\r(3))，f(x)＝a·b.(1)求f(x)的振幅、周期，并画出它在一个周期内的图象；(2)说明它可以由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到．解：(1)f(x)＝a·b＝sin2x－eq\r(3)cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，周期T＝π，振幅A＝2.列表从略，图象如下：(2)f(x)可以由y＝sinx的图象上各点右移eq\f(π,3)个单位后，再将纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)而得到．eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)已知f(x)＝cos(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<0))的最小正周期为π，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(\r(3),2).(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(3)若f(x)>eq\f(\r(2),2)，求x的取值范围．解：(1)周期T＝eq\f(2π,ω)＝π，∴ω＝2，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,4)＋φ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝－sinφ＝eq\f(\r(3),2)，－eq\f(π,2)<φ<0，∴φ＝－eq\f(π,3).(2)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，列表如下：2x－eq\f(π,3)－eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)πeq\f(5,3)πx0eq\f(π,6)eq\f(5,12)πeq\f(2,3)πeq\f(11,12)ππf(x)eq\f(1,2)10－10eq\f(1,2)图象如图：(3)∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))>eq\f(\r(2),2)，∴2kπ－eq\f(π,4)<2x－eq\f(π,3)<2kπ＋eq\f(π,4)，∴2kπ＋eq\f(π,12)<2x<2kπ＋eq\f(7π,12)，∴kπ＋eq\f(π,24)<x<kπ＋eq\f(7π,24)，k∈Z，∴x的取值范围是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,24)<x<kπ＋\f(7π,24)，k∈Z)))).题型4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用例4(2013·苏州期末)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜eq\f(π,2))的周期为π，且图象上有一个最低点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－3)).(1)求f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最大值及对应x的值．解：(1)由eq\f(2π,ω)＝π，得ω＝2.由最低点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－3))，得A＝3.且2×eq\f(2π,3)＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，0＜φ＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).∴f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).(2)y＝f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋\f(π,6)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝3eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,12)))，∴ymax＝3eq\r(2).此时，2x＋eq\f(5π,12)＝2kπ＋eq\f(π,2)，即x＝kπ＋eq\f(π,24)，k∈Z.eq\a\vs4\al(变式训练)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜eq\f(π,2))的周期为π，且图象上一个最低点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2)).(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))时，求f(x)的最值．解：(1)由最低点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，得A＝2.由T＝π，得ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2.由点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))在图象上得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝－2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，∴eq\f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)，即φ＝2kπ－eq\f(11π,6)，k∈Z.又φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴φ＝eq\f(π,6)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).(2)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))，∴2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))).∴当2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，即x＝0时，f(x)取得最小值1；当2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)，即x＝eq\f(π,12)时，f(x)取得最大值eq\r(3).1.(2013·贵州文)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ≤π)的图象向右平移eq\f(π,2)个单位后，与函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象重合，则φ＝________．答案：eq\f(5π,6)解析：因为y＝cos(2x＋φ)＝cos(－2x－φ)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－（－2x－φ）))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)＋φ))，图象向右平移eq\f(π,2)个单位后为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)＋φ))，与y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))重合，所以φ－eq\f(π,2)＝eq\f(π,3)，解得φ＝eq\f(5π,6).2.(2013·上海一模)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0，－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))的部分图象如图所示，则f(0)＝________．答案：－1解析：由图象可知A＝2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝2，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,3)＋φ))＝2，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝1，即eq\f(2π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z.因为－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，所以当k＝0时，φ＝－eq\f(π,6)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，即f(0)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1.3.(2013·新课标)已知ω>0，函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4)))解析：由eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(π,2)ω＋eq\f(π,4)<πω＋eq\f(π,4)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得eq\f(1,2)＋4k≤ω≤eq\f(5,4)＋2k，k∈Z.∵ω>0，∴eq\f(1,2)≤ω≤eq\f(5,4).4.(2013·苏北四市期末)已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)、B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点．若|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为eq\f(π,3)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝________．答案：－eq\f(\r(2),2)解析：结合三角函数图象，知道函数的最小正周期为eq\f(2π,3)，ω＝3，角φ的终边经过点P(1，－1)，取φ＝－eq\f(π,4)，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝sineq\f(5π,4)＝－eq\f(\r(2),2).1.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的两个相邻最值点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，2))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，则这个函数的解析式为________．答案：y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))解析：∵A＝2，相邻最值点相距半个周期，即eq\f(T,2)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，∴T＝π，即ω＝2，则函数解析式为y＝2sin(2x＋φ)，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，2))在函数图象上，∴2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))，即eq\f(π,3)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，得φ＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，∴函数的解析式为y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).2.(2014·泰州期末)已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).(1)求函数y＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(π,8)))＝－eq\f(6,5)，求f(x0)的值．解：(1)T＝eq\f(2π,2)＝π，增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)π＋kπ，\f(1,8)π＋kπ))，k∈Z.(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(π,8)))＝－eq\f(6,5)，即sin(2x0)＝－eq\f(3,5)，所以cos(2x0)＝±eq\f(4,5)，f(x0)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,4)))＝eq\r(2)(sin2x0＋cos2x0)＝eq\f(\r(2),5)或－eq\f(7\r(2),5).3.已知a＞0，函数f(x)＝－2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋2a＋b，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a、b的值；(2)设g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间．解：(1)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7,6)π)).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，∴－2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))∈[－2a，a]，∴f(x)∈[b，3a＋b]．又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)知a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1，g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(7π,6)))－1＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1.又由lgg(x)＞0，得g(x)＞1，∴4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1＞1，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＞eq\f(1,2)，∴2kπ＋eq\f(π,6)＜2x＋eq\f(π,6)＜2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z.由2kπ＋eq\f(π,6)＜2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得g(x)的单调增区间为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)＜2kπ＋eq\f(5π,6)，得g(x)的单调减区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．4.设a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(π＋2x,4)，cosx＋sinx))，b＝(4sinx，cosx－sinx)，f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知常数ω＞0，若y＝f(ωx)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))上是增函数，求ω的取值范围；(3)设集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)≤x≤\f(2,3)π))))，B＝{x||f(x)－m|＜2}，若AB，求实数m的取值范围．解：(1)f(x)＝sin2eq\f(π＋2x,4)·4sinx＋(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＝4sinx·eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x)),2)＋cos2x＝2sinx(1＋sinx)＋1－2sin2x＝2sinx＋1，所以所求解析式为f(x)＝2sinx＋1.(2)∵f(ωx)＝2sinωx＋1，ω＞0，由2kπ－eq\f(π,2)≤ωx≤2kπ＋eq\f(π,2)，得f(ωx)的增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2kπ,ω)－\f(π,2ω)，\f(2kπ,ω)＋\f(π,2ω)))，k∈Z.∵f(ωx)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))上是增函数，∴eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2ω)，\f(π,2ω))).∴－eq\f(π,2)≥－eq\f(π,2ω)且eq\f(2π,3)≤eq\f(π,2ω)，∴ω∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))).(3)由|f(x)－m|＜2，得－2＜f(x)－m＜2，即f(x)－2＜m＜f(x)＋2.∵AB，∴当eq\f(π,6)≤x≤eq\f(2,3)π时，不等式f(x)－2＜m＜f(x)＋2恒成立．∴f(x)max－2＜m＜f(x)min＋2，∵f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝3，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝2，∴m∈(1，4)．1.求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意先把ω化为正数．求y＝Acos(ωx＋φ)和y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间类似．2.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由最高(低)点的纵坐标确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由条件求得y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一解．3.由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq\f(|φ|,ω)(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．eq\a\vs4\al(请使用课时训练（B）第3课时（见活页）.)[备课札记]第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式(对应学生用书(文)、(理)47～48页)考情分析考点新知掌握两角和与差的三角函数公式，能运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进