2024年高考数学复习突破 拉格朗日中值定理在高考中的应用

第16讲拉格朗日中值定理在高考中的应用

拉格朗日中值定理是高等数学的内容，在高中数学中也是比较重要的一块,其定理本身比

较简洁，也可以在高考中解决一类不等式问题，其解法比较快捷，我们来认识一下这个定理吧！

拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：

若函数/满足如下条件：

(1)/在闭区间［a,b］上连续.(2)/在开区间(a,。)内可导.

则在(a,。)内至少存在一点使得二/⑷.

b-a

几何意义：

在以A(«,/(«)),为端点的曲线上y=/(%)至少存在一点PC，/O)，该曲

线在该点处的切线平行于曲线两端的连线A3.

21

【例】已知函数g(X)=l--7+—,问是否存在实数X,使得函数g(X)上任意不同两点连线的

X"X

斜率都不小于左？若存在，求上的取值范围;若不存在，说明理由.

假设存在实数左，使得的图像上任意不同两点连线的斜率都不小于七

即对任意无2〉3〉0,都有一gQ)..h

x2-x1

即求任意两点割线斜率的大小，由中值定理知存在有g'(x)=5区二日型."，转

x2—%

为求切线斜率的大小.即8(b="-《."在(°，+8)上恒成立的问题.

X3X2

拉格朗日证明无参不等式

用拉格朗日中值定理证明不等式的一般步骤：

第一步:在不等式中找合适的函数y=/(x).第二步:利用拉格朗日中值定理转换，即

-⑹=/(»/⑷(或/3)-/(°)=(OS—a))，并确定J的范围.

b-a

第三步:利用J的范围对不等式放缩，从而证明不等式.

［例1］设x>0,证明:ln(l+x)<x.

【解析】证明：令/(x)=ln(l+x)(尤>0),

V/(x)在［0,划上连续，在(0,x)内可导，

由拉格朗日中值定理得ln(l+x)=ln(l+x)-ln(l+0)=/'©)(x-0)=」一xx

1+&

0<^<x,/.xx<x,x>0,ln(l+x)<x.

【例2】当x>l时,证明:e*〉ex.

【解析】•••/(%)在工划上连续，在(l,x)内可导,

:.由拉格朗日中值定理得e，—e=e"x—1).

,1<<^<x,er-e=(%-1)>e(x-1)=ex-e,从而当x>1时,e">ex.

【例3】当龙>0时，证明:/1+口>'.

IX)1+x

【解析】令/(x)=lnx(x>0),

・・・/(%)在［羽1+划上连续，在(%/+%)内可导,

由拉格朗日中值定理得ln(l+L)=

ln(l+x)-Inx=+x)-x]=—.

x<^<\+x,:.—>一一，即当x>0时,In[1+1]>」一•可导,

Jl+xvx)1+x

【例4】当龙>0时，证明iinL+n〉一1-.

IX)1+x

【解析】令/(x)=lnx(x>0),

・・・/(%)在［羽1+幻上连续，在(x,l+%)内可导,

・•・由拉格朗日中值定理得lnh+L1]=ln(l+x)—inx=rC)[(l+x)—x]=L

X

-11fn1

%<J<1+1,「.一>----即当x>0时,In|1H—>-----

~J1+xIx)1+x

拉格朗日证明一元含参不等式

利用拉格朗日中值定理证明一元含参不等式问题的一般步骤：

第一步:参变分离为:幺2>a或幺乃<a成立.［其中%>0,/(0)=0，只有这种

XX

结构才可以使用］

第二步：拉格朗日中值定理简化为ro=/(x)—/(°)>a或1©J(x)--(O)

x-0x-0

<a.［其中。e(0,%)］第三步:转化为求re)最值问题.

【例1】设函数/(x)=e，-1,若对所有x>0,都有/(x)>ax,求a的取值范围.

【解析】第一步:参变分离.

要使/(x)>ax恒成立，等价于:3>a恒成立.

X

第二步:拉格朗日中值定理简化.△效=/⑴一/⑼=广4)>a,

xx-0

其中/(0)=0,欠(0,x).

第三步:求最值.

要使/'C)>a恒成立，即/G)min>a恒成立.

1C)=苫/e(0,尤),.G)>广(0)=1.ae(一91]

【例2】设函数/00=6，-b,证明:若对所有"0,都有/(无)..⑪，则。的范围是(-00,2].

【解析】第一步：分类讨论，参变分离.

当x=0时，显然对任何a，都有/(%)„ax.

当x>0时3J(x)T(°).

xx-0

第二步:利用拉格朗日中值定理简化函数.G(x)==/(X)~/(0),

xx-0

由拉格朗日中值定理知(0,%)内至少存在一点j(从而。>0)，使得r(j)=/a)-"。)

x-0

G(x)=1©=*+/，由于广(J=苫——>e°-e-°=0Q>0).

第三步:利用极限求出下确界，进而得取值范围.

故/C)在(0,x)上是增函数，让xf0得G(x)1nhi=/W=e-+eW.(0)=2.

a的取值范围是(-00,2].

cinx

【例3】设函数/(%)=-------，如果对任何X..0,都有/(%)„依,求a的取值范围.

2+cosx

【解析】第一步:分类讨论，参变分离.

当x=0时，显然对任何a，都有/(x),,ax

当％>0时,3="x)一/⑼.

xx-0

第二步:利用拉格朗日中值定理简化函数.

由拉格朗中中值定理知，存在Je(0,x)，使得="x)T(°)=广记).

xx-Q

第三步:构造函数,求导研究其单调性.

2CSX+1

7(x)=°2，从而广⑴=2sinx(2+--1)

(2+cosx)(2+cosx)~

令，''(尤)..0得xw[(2k+1)乃，(2%+2)乃].

令f"(x)„0得xe[2丘,(2左+1)用.

第四步:根据单调性得函数最值，进而得参数范围.

/.在[(2k+1)汉(2左+2)用上,/'(X)的最大值

/'(X)max=(Qk+2)»)=g在［2k7T,(2k+1)加上，

广(X)的最大值/(X)max=f'Qk兀)=1.

从而函数/(x)在［24汉(2左+2)%］上的最大值是r(x)1mx=1•

由左WN知，当X>0时,/'(X)的最大值为了'(X)max=1.

•••f'8的最大值/(/max=।•为了使于'/)，，。恒成立，应有/'(Jmax，，飙

，。的取值范围是

拉格朗日证明双变量含参不等式

由拉格朗日中值定理解决具有一八马)特点的证明或求参数的范围问题的一般步骤：

西-x2

第一步:把问题转化为证明/⑺一/⑷>4或/4)-"*2)<彳(其中不。)结构的问题―

%一/%—%2

第二步:利用拉格朗日中值定理简化.即证明一=ro>x或

xl-x2

〃6〃尤2)=/④<%.第三步问题转化为证-C)与2的大小关系•

%1-%2-

【例1】设函数/(x)=lnx-(m+l)%,(x>0,根wR).若对任意玉>x2>1,

”花)一〃"2)<一1恒成立，求〃2的取值范围.

玉一九2

【解析】解法一:同构函数法

X］>x,>1,/(%)/(々)<-1,/(%］)一/(x,)<一(再一x,),

xi—x2

即/(%)+XV/(%2)+%2,令左(%)=/(%)+%

要使不等式恒成立,则函数y=k(x)在区间(l,+oo)上单调递减，

k'(x)=--m,,0(x>1)恒成立,即—„加在区间(1,+oo)上恒成立.故m..l.

XX

法二:拉格朗日法

由拉格朗日中值定理可得，(~)一［1,其中l€(/%)•

又尸修)=£—加一i,则广@<一>/(?侬<-i.

又自>1,7'(9单调递减,fg)</⑴”—1.可得7n.1.

【例2】设函数/(x)=lnx+-,meR，若对任意b>a>0,"①一,⑷,,1恒成立，求m的

xb-a

取值范围。

【解析】解法一:同构函数法

对任意b>a>0,⑷,,1恒成立，等价于f(b)-b„f(a)~a恒成立.

b-a

设h(x)=/(x)-x=Inx+---x(x>0).

x

I

・・・等价于力。)在(0,+oo)上单调递减.・•.〃(％)=——L,0在(0,+00)恒成立.

xx

m...一尤?+尤=—[%——+^(%>0)怛成乂.

r

m..(m=—,h(x)=0,x='恒成立..二m的取值范围是一,+oo].

442L4)

法二:拉格朗日法由拉格朗日中值定理可得〃")―/(")=rc)„1,其中自£(〃/).

b-a

又，则/©刑=寻1n4一咒,机.又4〉0,令g(j)=j—产,

自自铲

则gOmax==；.，加的取值范围是

【例3】已知/(%)=(«+1)In%+ax2+1.

(1)讨论/'(x)的单调性.

⑵设",一2，求证:V%々e(0,+oo),

|/(%)-/(9)|-4人—々卜

【解析】⑴/(%)的定义域为x>0,f'(x)=—+2ax=2次+"+1.为尸⑺>0,即

XX

+4+1>0=>2Q%2>—+1).

①1=0,则广(%)>0恒成立,/(%)为增函数.

②a>0,则/>—丝土且，1(%)>0恒成立,7(x)为增函数.

2a

③Q<0时，尤2

2a

当④—i,则广(％)<0恒成立,了(%)为减函数.

。+1

当—IvavO时，解得0<x<

2a

X(1--、

(16Z+1)

50-2-al

/'(X)+—

于(X)单调递增单调递减

⑵法一:双元构造同构函数法

不妨设马〉玉，.④-2,

・・・由第⑴问可得/(%)单调递减.・・・/(9)</(%)•

所证不等式等价于：/-)…4/一4%o/(石)+4%.J>(W)+4%，

令g(%)=/(%)+4%=(a+l)ln%+Q%2+i+4x,只需证明g(x)单调递减即可.

，/、〃+1_.2ax2+4x+tz+l

g'(x)=---+2〃x+4=-------------.

xx

设/z(%)=2ax2+41+。+1.方程/1(%)=(),△=16-8々(〃+1)=-8(〃+2)(〃一1),,0.

・•・〃(%)张D=g，(x)0,/.g(%)在(0,+8)单调递减.・•・且(工1).・且(%2)，即所证不等式成立,

法二:拉格朗日中值定理

不妨设％2>玉，丁④-2,

由第(1)题可得/(%)单调递减,.\/(々)</(%)•

位上旭=广©,总㈤

x2-xi

v%,%e(0,+oo),|/(%1)-/(x2)|%；-x2|o‘⑷一4of，记)„-4.

%2一%

即证1@=空+2若,,-4.

在Je(0,+8),4,-2上恒成立即可，即可转化为一个一元二次含参不等式恒成立问题，用分

类讨论或基本不等式即可证明.

【例41已知函数/（x）=x2+2+“inMx>0）,/（x）的导函数是广（X）,对任意两个不相等

X

的正数看,%2，证明：

⑴当“0时“玉）+"/）Jx+z］

<1）3倨,U时,------------->JI---I-

⑵当心4时,『（七）一/（%）|>|%-无

【解析】证明：（1）不妨设玉<X2,即证1生产］〉/［受产］—/（苞）.

由拉格朗日中值定理知，存在《€口|,土产e1弋上,马］则4<42且

广仁）•一，

/fA4^K/