北京市部分重点中学高一下学期期末考试数学试卷与答案（共五套）

北京市部分重点中学高一下学期期末考试数学试卷（一）一、选择题1.已知角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.2.已知向量，.若，则实数值为（）A.－2 B.2 C. D.3.在△中，若，，，则（）A.B.C.D.4.已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则5.函数的最小正周期为（）AB.C.D.6.已知，且，那么（）A. B. C. D.7.函数的最大值为（）A. B.1 C. D.8.已知直线，，平面，，，，，那么“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题9.已知向量，，则向量，夹角的大小为______.10.已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为______.11.在平面直角坐标系中，角的终边过点，则___；将射线（为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角的终边，则___.12.已知，则值为______.13.已知函数.若，则函数的单调增区间为______.14.函数图象如图，则的值为______，的值为______.三、解答题15.函数.（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；（2）请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；0（3）求函数在上的最大值和最小值，并指出相应的的值.16.如图，在四边形中，，，，，.（1）求的大小；（2）求的长；（3）求四边形的面积.17.如图，在三棱锥中，，，，分别是，，的中点，求证：（1）平面；（2）平面；（3）平面平面；（4）请在图中画出平面截三棱锥截面，判断截面形状并说明你的理由；（5）若.求出第（4）问中的截面面积.18.如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，，是线段上的一点且平面.（1）求证：平面平面；（2）求证：是线段的中点；（3）求证：平面.19.利用周期知识解答下列问题：（1）定义域为的函数同时满足以下三条性质：①存在，使得；②对于任意，有；③不是单调函数，但是它图象连续不断，写出满足上述三个性质的一个函数，则______（不必说明理由）（2）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分.（i）求的最小正周期并说明理由.（ii）求证：不是周期函数.答案解析一、选择题1.已知角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义,求得的值．【详解】解:∵角的终边经过点,∴,,,则，故选:B【点睛】本题考查已知终边上一点求三角函数值,属于基础题.2.已知向量，.若，则实数的值为（）A.－2 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出的值.【详解】解：∵向量，，若，则，∴实数，故选：A.【点睛】本题考查向量垂直的求参，重在计算，属基础题.3.在△中，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据正弦定理：，故，解得.故选：B.【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.4.已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】D【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A.若，，则，或相交，或异面，A错误；B.若，，则或，B错误；C.若，，则或相交，C错误；D.若，，则，D正确.故选：D.【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.5.函数的最小正周期为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】化简得到，利用周期公式得到答案【详解】，故周期.故选：A.【点睛】本题考查了二倍角公式，三角函数周期，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.6.已知，且，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据，且得，再根据同角三角函数关系求解即可得答案.【详解】解：因为，，故，，又，解得：故选：B【点睛】本题考查同角三角函数关系求函数值，考查运算能力，是基础题.7.函数的最大值为（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用诱导公式化简整理得，即得最大值.【详解】由诱导公式可得，则，函数的最大值为.故选：A.【点睛】本题考查了诱导公式和三角函数最大值，属于基础题.8.已知直线，，平面，，，，，那么“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理即可得到结论.【详解】若，则在平面内必定存在一条直线有，因为，所以，若，则，又，即可得，反之，若，由，，可得，又，则有.所以“”是“”的充分必要条件.故选：C【点睛】本题主要考查面面垂直的判定和性质定理，以及线面平行的判定定理，属于中档题.二、填空题9.已知向量，，则向量，夹角的大小为______.【答案】【解析】【分析】直接利用，即可能求出向量与的夹角大小.【详解】∵平面向量，，∴，又∵，∴，∴向量与的夹角为，故答案为．【点睛】本题考查两向量的夹角的求法，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用，是基础题．10.已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为______.【答案】－8【解析】【分析】先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解.【详解】解：.故答案为：-8.【点睛】本题考查数量积的计算，此类问题一般利用数量积的运算律和定义来处理，本题属于基础题.11.在平面直角坐标系中，角的终边过点，则___；将射线（为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角的终边，则___.【答案】(1).(2).；【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得、的值．【详解】∵角的终边过点，则，将射线（为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角的终边，则，故答案为，.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，设是一个任意角，它的终边上异于原点的一个点的坐标为，那么，，，诱导公式，属于基础题．12.已知，则值为______.【答案】－1【解析】【分析】由求得的值，再化简并计算所求三角函数值.【详解】解：由，得，即；所以=－1.故答案为：－1.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、诱导公式，需熟记公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.13.已知函数.若，则函数的单调增区间为______.【答案】，【分析】由已知函数关系式可得函数周期为，又由已知条件可得，取到最大值和最小值，进而可求出，继续利用函数单调性求出单调增区间.【详解】因为函数，所以函数周期为.若，则，，故，，且，，即，故，令，求得，，故答案为：，.【点睛】本题考查三角函数的应用，重在对基础函数性质的理解，考查分析能力，属基础题.14.函数图象如图，则的值为______，的值为______.【答案】(1).(2).【分析】根据图象过点，结合的范围求得的值，再根据五点法作图求得，可得函数的解析式.【详解】由函数图象过点，可得，则，又，∴，∴.再根据五点法作图可得，，∴.故答案为：；.【点睛】由图像确定表达式，要注意完整读出图像所给出的条件,准确求出参数值.三、解答题15.函数.（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；（2）请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；0（3）求函数在上的最大值和最小值，并指出相应的的值.【答案】（1）单调递增区间是，；最小正周期；（2）填表见解析；作图见解析；（3）最大值为2，最小值为－1，时取得最小值，时取得最大值.【分析】（1）根据正弦函数的图象与性质求出函数的单调递增区间和最小正周期；（2）列表，描点、连线，画出函数在长度为一个周期闭区间上的简图；（3）求出时函数的最大值和最小值，以及对应的值.【详解】解：（1）函数，令，；解得，；即，；所以函数的单调递增区间是，；最小正周期；（2）填写表格如下；0020－202用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图为；（3）时，，，所以函数在上取得最大值为2，最小值为－1，且时取得最小值，时取得最大值.【点睛】本题考查正弦型函数的性质以及“五点法”作图，本题要掌握基础函数的性质以及整体法的应用，同时熟悉“五点法”作图，考查分析能力以及作图能力，属中档题.16.如图，在四边形中，，，，，.（1）求的大小；（2）求的长；（3）求四边形的面积.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用余弦定理求出即得解；（2）利用余弦定理求出即得解；（3）由三角形面积公式分别求得和的面积，即可得解.【详解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，因为为三角形内角，所以.（2）在中，，，，由余弦定理可得，所以.（3），，所以四边形的面积为.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17.如图，在三棱锥中，，，，分别是，，的中点，求证：（1）平面；（2）平面；（3）平面平面；（4）请在图中画出平面截三棱锥的截面，判断截面形状并说明你的理由；（5）若.求出第（4）问中的截面面积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）作图见解析；截面为矩形；答案见解析；（5）4.【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可得证；（2）由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（3）推得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（4）可取的中点，连接，，可得截面，由三角形的中位线定理，以及线面垂直的性质定理，可得截面为矩形；（5）判断截面为边长为2的正方形，可得截面的面积.【详解】解：（1）证明：由，可得，，又，则平面；（2）证明：由为的中位线，可得，且平面，平面，则平面；（3）证明：由平面，平面，得，又，，所以平面，又平面，所以平面平面；（4）可取的中点，连接，，截面为所求截面.由为的中位线，可得，，又，，所以，且，可得四边形为平行四边形，由，，，可得，则截面矩形；（5）若，可得截面为边长为2的正方形，其面积为4.【点睛】本题考查空间中线面平行、线面垂直、面面垂直的证明，三类问题的证明，都需要利用位置关系的判断定理来考虑，后两者注意三种垂直关系的转化，本题属于中档题.18.如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，，是线段上的一点且平面.（1）求证：平面平面；（2）求证：是线段的中点；（3）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）易知，，由面面平行判定定理即可得证；（2）设，连接，由平面，可推出，而为的中点，故得证；（3）由平面平面，，可推出平面，故；由平面平面，，可推出平面，故；再由线面垂直的判定定理即可得证.【详解】证明：（1）∵平行四边形，∴，面，面，面，∵为正方形，∴，面，面，面，又，∴平面平面.（2）设，连接，则为的中点，∵平面，平面，平面平面，∴.又为的中点，∴为线段的中点.（3）∵平面平面，平面平面，，∴平面，∴.∵平面平面，平面平面，，∴平面，∴.又，、平面，∴平面.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面平行的性质定理、面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理，考查了逻辑推理能力，属于基础题.19.利用周期知识解答下列问题：（1）定义域为的函数同时满足以下三条性质：①存在，使得；②对于任意，有；③不是单调函数，但是它图象连续不断，写出满足上述三个性质的一个函数，则______（不必说明理由）（2）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分.（i）求的最小正周期并说明理由.（ii）求证：不是周期函数.【答案】（1）（答案不唯一）；（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）由已知条件可取（答案不唯一）（2）若选择（i）我们知道与的周期分别为：，.让它们的整数倍相等即可得出函数的最小正周期.（ii）我们知道与周期分别为：，2.而与2的整数倍不可能相等，即可证明结论.【详解】解：（1）（答案不唯一）.故答案为：.（2）若选择（i）我们知道与的周期分别为：，.取，则，而，可得：是函数的最小正周期.（ii）证明：我们知道与的周期分别为：，2.而与2的整数倍不可能相等，因此不是周期函数.【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.北京市部分重点中学高一下学期期末考试数学试卷（二）一､选择题（共10小题）.1.（）A. B. C. D.2.已知复数，则的共轭复数等于（）A.0 B. C. D.3.在中，，，，则（）A. B. C. D.4.下列正确的命题的序号是（）①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一个平面的两条直线平行；④垂直于同一个平面两个平面垂直.A.①② B.②④ C.②③ D.①③5.如图，在正方形中，是边中点，设，，则（）A. B. C. D.6.如图记录了某校高一年级6月第一周星期一至星期五参加乒乓球训练的学生人数.通过图中的数据计算这五天参加乒乓球训练的学生的平均数和中位数后，教练发现图中星期五的数据有误，实际有21人参加训练.则实际的平均数和中位数与由图中数据星期得到的平均数和中位数相比，下列描述正确的是（）A.平均数增加1，中位数没有变化B.平均数增加1，中位数有变化C.平均数增加5，中位数没有变化D.平均数增加5，中位数有变化7.如图，在边长为1的菱形中，，则（）A. B. C.1 D.8.如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则侧面与底面所成的二面角的大小是（）A. B. C. D.9.已知平面向量，满足，，则“与互相垂直”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角，使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点，，，在同一平面内.则这个八面体的旋转轴共有（）A.7条 B.9条 C.13条 D.14条二､填空题（共6小题）.11.复数所对应的点在第______象限.12.如图，设是边长为1的正六边形的中心，写出图中与向量相等的向量______.（写出两个即可）13.已知在平面直角坐标系中，，，三点的坐标分别为，，，若，则点的坐标为______.14.某班数学兴趣小组组织了线上“统计”全章知识的学习心得交流：甲同学说：“在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和小于1”；乙同学说：“简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会出现比较‘极端’的样本，相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀”；丙同学说：“扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例”；丁同学说：“标准差越大，数据的离散程度越小”.以上四人中，观点正确的同学是______.15.如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线和射线，且射线和射线关于轴对称，射线与单位圆的交点为，则______，的值是______.16.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）.则该几何体共有______面；如果被截正方体的棱长是，那么石凳的表面积是______.三､解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.某单位工会有500位会员，利用“健步行”开展全员参与“健步走奖励”活动.假设通过简单随机抽样，获得了50位会员5月10日的走步数据如下：（单位：万步）1.11.41.31.60.31.60.91.41.40.91.41.21.51.60.91.21.20.50.81.01.40.61.01.10.60.80.90.81.10.4081.41.61.21.00.61.51.60.90.71.31.10.81.01.20.60.50.20.81.4频率分布表：分组频数频率20.040.0650.10110.2280.1670.14合计501.00（1）写出，，的值；（2）①绘制频率分布直方图；②假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计该单位所有会员当日步数的平均值；（3）根据以上50个样本数据，估计这组数据的第70百分位数.你认为如果定1.3万步为健步走获奖标准，一定能保证该单位至少的工会会员当日走步获得奖励吗?说明理由.18.在中，，，分别是角，，的对边，，.（1）若，求；（2）若______，求的值及的面积.请从①，②，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择两种情况作答，以第一种情况的解答计分.19.已知函数.（1）求的值；（2）求的最小正周期和单调递增区间；（3）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围.20.如图1，设正方形边长为1，，分别为，中点，沿，，把图形折成一个四面体，使，，三点重合于点，如图2.（1）求证：平面；（2）设为的中点，在图2中作出过点与平面平行的平面，并说明理由；（3）求点到平面的距离.答案解析一､选择题（共10小题）.1.（）A. B. C. D.【答案】A【分析】由诱导公式可得的值.【详解】解：.故选：A.【点睛】本题主要考查诱导公式及特殊角的三角函数值，考查基本的概念与知识，属于基础题.2.已知复数，则的共轭复数等于（）A.0 B. C. D.【答案】C【分析】由共轭复数的概念可得答案.【详解】解：由复数，则的共轭复数；故选：C.【点睛】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题型.3.在中，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【分析】由余弦定理得推论可得的值.【详解】在中，由题意知：，故选：B【点睛】本题考查了余弦定理得推理，属于基础题.4.下列正确的命题的序号是（）①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一个平面的两条直线平行；④垂直于同一个平面的两个平面垂直.A.①② B.②④ C.②③ D.①③【答案】D【分析】由公理4即可判断①，平行于同一条直线的两个平面平行或相交即可判断②，由线面垂直的性质定理即可判断③，垂直于同一个平面的两个平面可能相交或平行即可判断④【详解】对于①：由公理4可得平行于同一条直线的两条直线平行，故①正确；对于②：平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故②错误；对于③：由线面垂直的性质定理可得，垂直于同一个平面的两条直线平行，故③正确；对于④：垂直于同一个平面的两个平面可能相交或平行，比如正方体的相对的两个底面就与侧面垂直，但它们平行，故④错误.故选：D【点睛】本题主要考查了线面、线线的位置关系，属于基础题.5.如图，在正方形中，是边的中点，设，，则（）A. B. C. D.【答案】A【分析】利用平面向量的加法法则可得出关于、的表达式.【详解】因为在正方形中，是的中点，设，，则.故选：A.【点睛】本题考查平面向量的基底表示，考查了平面向量加法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.6.如图记录了某校高一年级6月第一周星期一至星期五参加乒乓球训练的学生人数.通过图中的数据计算这五天参加乒乓球训练的学生的平均数和中位数后，教练发现图中星期五的数据有误，实际有21人参加训练.则实际的平均数和中位数与由图中数据星期得到的平均数和中位数相比，下列描述正确的是（）A.平均数增加1，中位数没有变化B.平均数增加1，中位数有变化C.平均数增加5，中位数没有变化D.平均数增加5，中位数有变化【答案】B分析】先求出平均数应增加，再求出中位数有变化，即得解.【详解】实际星期五的数据为21人，比原来星期五的数据多了人，平均数应增加.原来从星期一至星期五的数据分别为20，26，16，22，16.按从小到大的顺序排列后，原来的中位数是20，实际从星期一至星期五的数据分别为20，26，16，22，21.按从小到大的顺序排列后，实际的中位数是21.所以中位数有变化.故选：B.【点睛】本题主要考查平均数和中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.如图，在边长为1的菱形中，，则（）A. B. C.1 D.【答案】D【分析】求出，即得解.详解】根据题意，，∴，∴.故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量的模和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则侧面与底面所成的二面角的大小是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】由题意可推出，，可知为侧面与底面所成的二面角的平面角，由可得答案.【详解】解：∵底面，平面，∴，又底面是正方形，∴，而，∴平面，得，可知为侧面与底面所成的二面角的平面角.在中，由，可得.即侧面与底面所成的二面角的大小是.故选：B.【点睛】本题主要考查二面角的概念与求法，考查学生的直观想象能力与论证推理的能力，求出为侧面与底面所成的二面角的平面角是解题的关键，属于基础题.9.已知平面向量，满足，，则“与互相垂直”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【分析】由与互相垂直可得，进而得，即可判断.【详解】∵与互相垂直，∴，∴，∴，故“与互相垂直”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，涉及到向量垂直的转化，属于基础题.10.连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角，使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点，，，在同一平面内.则这个八面体的旋转轴共有（）A.7条 B.9条 C.13条 D.14条【答案】C【解析】【分析】根据该几何体的结构特征和对称性即可求出旋转轴的条数.【详解】由对称性结合题意可知，过､､的直线为旋转轴，此时旋转角最小为；过正方形，，对边中点的直线为旋转轴，共6条，此时旋转角最小为；过八面体相对面中心的连线为旋转轴，共4条，此时旋转角最小为.综上，这个八面体的旋转轴共有13条.故选：C.【点睛】本题考查几何体的结构特征，属于基础题.二､填空题（共6小题）.11.复数所对应的点在第______象限.【答案】二【解析】【分析】先求出复数，即可判断对应点所在象限.【详解】∵，∴复数所对应的点的坐标为，在第二象限.故答案为：二.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数对应点的象限，属于基础题.12.如图，设是边长为1的正六边形的中心，写出图中与向量相等的向量______.（写出两个即可）【答案】，，【分析】由题意与相等向量的定义可得答案.【详解】解：由题可得：与相等的向量是：，，；故答案为：，，.【点睛】本题主要考查相等向量的定义，属于基础题.13.已知在平面直角坐标系中，，，三点的坐标分别为，，，若，则点的坐标为______.【答案】【分析】设，求出，即可根据向量相等求出点的坐标.【详解】设，则，；因为，故；即.故答案为：.【点睛】本题考查向量的坐标表示，属于基础题.14.某班数学兴趣小组组织了线上“统计”全章知识的学习心得交流：甲同学说：“在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和小于1”；乙同学说：“简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会出现比较‘极端’的样本，相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀”；丙同学说：“扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例”；丁同学说：“标准差越大，数据的离散程度越小”.以上四人中，观点正确的同学是______.【答案】乙丙【分析】利用统计的相关知识可逐个判断各同学观点的正误.【详解】在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，故甲的观点错误；“简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会出现比较‘极端’的样本，相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀”，故乙的观点正确，“扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例”，故丙的观点正确；“标准差越大，数据的离散程度越大”，故丁的观点错误.故答案为：乙丙.【点睛】本题考查统计的相关知识，属于基础题.15.如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线和射线，且射线和射线关于轴对称，射线与单位圆的交点为，则______，的值是______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用三角函数的定义以及对称性可得出、的余弦值和正弦值，再利用两角差的余弦公式可求得的值.【详解】由题意，射线与单位圆的交点为，射线和射线关于轴对称，射线与单位圆的交点为，由三角函数的定义可知，，，，，可得：故答案为：，.【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，同时也考查了三角函数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.16.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）.则该几何体共有______面；如果被截正方体的棱长是，那么石凳的表面积是______.【答案】(1).14(2).【解析】【分析】由题意知，截去八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；再根据面积公式即可求出表面积.【详解】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是，那么石凳的表面积是.故答案为：14，.【点睛】本题考查几何体面数的辨析，考查多面体表面积的计算，属于基础题.三､解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.某单位工会有500位会员，利用“健步行”开展全员参与的“健步走奖励”活动.假设通过简单随机抽样，获得了50位会员5月10日的走步数据如下：（单位：万步）1.11.41.31.60.31.60.91.41.40.91.41.21.51.60.91.21.20.50.81.0140.61.01.10.60.80.90.81.10.40.81.41.61.21.00.61.51.60.90.71.31.10.81.01.20.60.50.20.81.4频率分布表：分组频数频率20.040.0650.10110.2280.1670.14合计501.00（1）写出，，的值；（2）①绘制频率分布直方图；②假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计该单位所有会员当日步数的平均值；（3）根据以上50个样本数据，估计这组数据的第70百分位数.你认为如果定1.3万步为健步走获奖标准，一定能保证该单位至少的工会会员当日走步获得奖励吗?说明理由.【答案】（1），，；（2）①答案见解析；②1.088万步；（3）能，答案见解析.【解析】【分析】（1）根据频率之和为，由题中条件列出方程求解，即可得出，由样本容量及对应区间的频率，即可得出，；（2）①由题中数据，直接完善频率分布直方图；②由每组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均数；（3）根据题中条件，可直接得出分位数；进而可得出万时，能满足题意.【详解】（1）因为，∴，∴，因为样本中共50人，∴，，∴，，.（2）①频率分布直方图如下图所示②设平均值为，则有，则该单位所有会员当日步数的平均值为1.088万步.（3）∵，∴分位数为第35和36个数的平均数，∵共有14人，且1.3有2个，∴第35和第36个数均为1.3，∴分位数为1.3，设为会员步数，则万时，人数不少于，∴能保证的工会会员获得奖励.【点睛】本题主要考查完善频率分布表，考查画频率分布直方图，以及由频率分布直方图求平均数，属于基础题型.18.在中，，，分别是角，，的对边，，.（1）若，求；（2）若______，求的值及的面积.请从①，②，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择两种情况作答，以第一种情况的解答计分.【答案】（1）；（2）选①：；选②：；.【解析】【分析】（1）由正弦定理可直接得值.（2）选①：由余弦定理可求得的值，然后利用三角形的面积公式计算可得结果.选②:由正弦定理可得，然后利用三角形的面积公式计算可得结果.【详解】（1）由，，，由正弦定理可得，则.（2）若选①：由余弦定理可得，即，整理可得，解得，（舍去），∴；选②:，可得，∴∴.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题.19.已知函数.（1）求的值；（2）求的最小正周期和单调递增区间；（3）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）2；（2）；，；（3）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，即可代入，求出结果；（2）根据最小正周期的公式即可计算出周期，令可解出单调递增区间；（3）先求出解析式，则该题等价于在上有且仅有两个实数，满足，结合函数图象即可求出范围.【详解】（1）∵函数，∴，故（2）由函数的解析式为可得，它的最小正周期为.令，求得，可得它的单调递增区间为，.（3）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有且仅有两个零点，则在上有且仅有两个实数，满足，即.在上，，∴，求得.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查最小正周期和单调区间的求解，考查三角函数的零点问题，属于中档题.20.如图1，设正方形边长为1，，分别为，的中点，沿，，把图形折成一个四面体，使，，三点重合于点，如图2.（1）求证：平面；（2）设为的中点，在图2中作出过点与平面平行的平面，并说明理由；（3）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）图象见解析；理由见解析；（3）.【解析】【分析】（1）通过证明和即可证明平面；（2）根据面面平行的判断定理可作出图形并证明；（3）利用等体积法可求出.【详解】（1）证明：如图，在正方形中，连接，则，∵，分别为，的中点，∴，∴，折叠后，有，，又，可得平面；（2）解：在平面内，过作，使得，，∵为的中点，∴，分别为，的中点，取的中点，连接，，可得，由，平面，平面，可得平面，同理可得，平面，又，平面，平面，∴平面平面，即平面为所作平面；（3）解：由已知可得，，，又，∴平面，且等于正方形的边长为1，，为等腰直角三角形，再由已知求得，，∴.设点到平面的距离为，由，可得，解得，即点到平面的距离为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查面面平行的判定，考查等体积法求点面距离，属于中档题.北京市部分重点中学高一下学期期末考试数学试卷（三）一､选择题1.若，且，则角的终边位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.函数，的最小正周期为（）A. B. C. D.3.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度4.在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．其中正确命题的序号是（）A.①②B.①③C.②④D.③④5.已知向量满足，，，则向量的夹角为（）A. B. C. D.6.在中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，那么这个三角形是（）A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形7.如图，在长方体中，若分别是棱的中点，则必有（）AB.C.平面平面D.平面平面8.函数f(x)=Asinx(A>0)的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则A=()A.3 B.C. D.1二､填空题9.若角的终边过点，则______.10.设向量､的长度分别为4和3，夹角为，则______.11.函数的最大值为______.12.设是第一象限角，，则______.______.13.设向量，，则______；向量，夹角等于______.14.在中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则______，的面积是______.15.在中，三个内角、、的对边分别是、、，若，，，则______.16.已知函数在区间上单调递增，则实数m的最大值是______.17.已知点A(0，4)，B(2，0)，如果，那么点C的坐标为_____________；设点P(3，t)，且∠APB是钝角，则t的取值范围是___________________．18.已知a，b是异面直线.给出下列结论：①一定存在平面，使直线平面，直线平面；②一定存在平面，使直线平面，直线平面；③一定存无数个平面，使直线b与平面交于一个定点，且直线平面；④一定存在平面，使直线平面，直线平面.则所有正确结论的序号为______.三､解答题19.已知函数（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求函数的单调递增区间.20.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的对称中心的坐标；（3）求函数在的区间上的最大值和最小值.21.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.（1）求的值；（2）如果，求c的值；（3）如果，求的值.22.如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，E是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）证明：.23.如图，在多面体中，底面为矩形，侧面为梯形，，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使得平面平面？并说明理由．24.已知向量，，设函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调增区间；（3）若函数，，其中，试讨论函数的零点个数.答案解析一､选择题1.若，且，则角的终边位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限或y轴的非负半轴，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选择B．2.函数，的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可.【详解】解：函数，的最小正周期为：.故选：C.【点睛】本题考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.3.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】利用函数的图象变换规律，可得结论.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得，即的图象.故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数图象变换，属于基础题.4.在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．其中正确命题的序号是（）A.①②B.①③C.②④D.③④【答案】D【解析】【分析】通过线面平行的性质，线面垂直的性质，平行公理可以对四个命题进行判断，最后选出正确的答案.【详解】命题①:平行于同一个平面的两条直线可以平行、相交、异面，显然命题①是假命题；命题②：垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以垂直，显然命题②是假命题；命题③：这平行公理显然命题③是真命题；命题④：根据平行线的性质和线面垂直的性质，可以知道这个真命题，故本题选D.【点睛】本题考查了平行线的性质、线面垂直的性质、面面垂直的性质，考查了空间想象能力和对有关定理的理解.5.已知向量满足，，，则向量的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的夹角公式计算即可得到结果.【详解】设向量的夹角为，则，由，，得：，向量的夹角为.故选：C.【点睛】本题考查利用平面向量数量积和模长求解向量夹角的问题，属于基础题.6.在中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，那么这个三角形是（）A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由正弦定理求出的值，可得或，再根据三角形的内角和公式求出A的值，由此即可判断三角形的形状.【详解】∵中，已知，，，由正弦定理，可得：，解得：，可得：或.当时，∵，∴，是直角三角形.当时，∵，∴，是等腰三角形.故是直角三角形或等腰三角形，故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.如图，在长方体中，若分别是棱的中点，则必有（）A.B.C.平面平面D.平面平面【答案】D【解析】【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”来判断AB选项的正确性，根据平行直线的性质判断C选项的正确性，根据面面平行的判定定理判断D选项的正确性.【详解】选项A:由中位线定理可知：，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以不可能互相平行，故A选项是错误的；选项B:由中位线定理可知：，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以不可能互相平行，故B选项是错误的；选项C:由中位线定理可知：，而直线与平面相交，故直线与平面也相交，故平面与平面相交，故C选项是错误的；选项D:由三角形中位线定理可知：，平面，平面，平面，平面,所以有平面，平面，而，因此平面平面.所以D选项正确.故本选：D【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理，考查线线平行的性质，属于中档题.8.函数f(x)=Asinx(A>0)的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则A=()A.3 B.C. D.1【答案】B【解析】由题意函数，周期由图像可知连接过作轴的垂线，可得：由题意，是直角三角形，解得：.故选B二､填空题9.若角的终边过点，则______.【答案】【解析】【分析】根据三角函数定义可求出的值.【详解】由三角函数的定义得.故答案为：.【点睛】本题考查利用三角函数的定义求正弦值，考查计算能力，属于基础题.10.设向量､的长度分别为4和3，夹角为，则______.【答案】【解析】【分析】对要求向量的模平方，得到，然后再对求得的结果开方.【详解】∵､的长度分别为4和3，夹角为，∴∵，故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11.函数的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】直接利用正弦型函数性质的应用求出结果.【详解】解：当()时，函数的最大值为3.故答案为：3【点睛】本题考查求正弦型函数的最值，难度较易.形如的函数，.12.设是第一象限角，，则______.______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由是第一象限角，，利用平方关系求得，进而可求，根据二倍角的余弦函数公式即可求得的值.【详解】∵是第一象限角，，∴，∴.∴.故答案为：，.【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式和二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13.设向量，，则______；向量，的夹角等于______.【答案】(1).2(2).【解析】【分析】直接根据数量积的定义以及夹角的计算公式即可求解结论.【详解】解：因为向量，，故，，故，向量，的夹角满足；因为，故向量，的夹角等于.故答案为：2，.【点睛】本题考查数量积的计算和夹角的计算公式，属于基础题.14.在中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则______，的面积是______.【答案】(1).(2).【解析】分析】由已知利用正弦定理可求b的值，根据三角形内角和定理可求C的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.【详解】因为，，，由正弦定理，得：，又，所以的面积，.故答案为：，.【点睛】本题主要考查正弦定理和三角形面积公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15.在中，三个内角、、的对边分别是、、，若，，，则______.【答案】【解析】【分析】由余弦定理代入三角形的边长，可得出答案.【详解】在中，，故答案为：.【点睛】本题考查利用余弦定理求角的余弦值，考查计算能力，属于基础题.16.已知函数在区间上单调递增，则实数m的最大值是______.【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可.【详解】解：，当时，，∵在区间上单调递增，∴，得，即m的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式化简，考查三角函数的单调性，属于基础题.17.已知点A(0，4)，B(2，0)，如果，那么点C的坐标为_____________；设点P(3，t)，且∠APB是钝角，则t的取值范围是___________________．【答案】(1).(3,-2)(2).(1,3)【解析】根据题意，设的坐标为又由点则若，则有则有解可得则的坐标为又由，则若是钝角，则且解可得即的取值范围为即答案为(1).(3,-2)(2).(1,3)【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算公式，涉及向量平行的坐标表示方法，其中解题的关键是掌握向量坐标计算的公式．18.已知a，b是异面直线.给出下列结论：①一定存在平面，使直线平面，直线平面；②一定存在平面，使直线平面，直线平面；③一定存在无数个平面，使直线b与平面交于一个定点，且直线平面；④一定存在平面，使直线平面，直线平面.则所有正确结论的序号为______.【答案】②③【解析】【分析】①④用反证法判断，②③.利用线面位置的性质关系判断.【详解】假设①正确，则存在直线平面，使得，又，故，∴，显然当异面直线a，b不垂直时，结论错误，故①错误；设异面直线a，b的公垂线为m，平面，且a，b均不在内，则a，b均与平面平行，故②正确；在直线b上取点A，显然过点A有无数个平面均与直线a平行，故③正确；假设④正确，则由，可得，显然这与a，b是异面直线矛盾，故④错误.故答案为：②③.【点睛】本题主要考查与异面直线的有关的线面关系问题，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.三､解答题19.已知函数.（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求函数的单调递增区间.【答案】（1）；（2）最小正周期；（3）单调递增区间为：，.【解析】【分析】（1）由已知可求即可得解；（2）利用正弦函数的周期公式即可求解；（3）利用正弦函数的单调性即可求解.【详解】解：（1）由于函数，可得；（2）的最小正周期；（3）令，，得，，可得函数的单调递增区间为：，.【点睛】本题考查了正弦定理的周期性与单调性，属于基础题.20.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的对称中心的坐标；（3）求函数在的区间上的最大值和最小值.【答案】（1）最小正周期；（2）对称中心的坐标为，；（3）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可（2）根据三角函数的对称性进行求解（3）求出角的范围，结合三角函数的有界性以及最值性质进行求解即可.【详解】解：（1），则的最小正周期，（2）由，，得，，即的对称中心的坐标为，.（3）当时，，则当时，函数取得最大值，最大值为，当时，函数取得最小值，最小值为.【点睛】本题考查三角恒等变换与三角函数性质的综合运用，其中涉及辅助角公式、周期、三角函数对称中心，主要考查学生的化简计算能力，难度一般.21.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.（1）求的值；（2）如果，求c的值；（3）如果，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由同角三角函数公式以及C为三角形的内角，可得出的值；（2）由余弦定理可得c；（3）由正弦定理求出，进而求出，根据大边对大角确定的符号，再根据三角形内角和为，以及两角和与差的正弦公式得出答案.【详解】解：（1）在中，，且，则，又，故.（2），，，故.（3），∴，解得，又，则，.【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理的应用，属于基础题.22.如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，E是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据底面是正方形，得到，再利用线面平行判定定理证明.（2）连结，，交于点O，连结，由中位线定理得到，再利用线面平行判定定理证明.（3）根据底面是正方形，得到，由侧棱底面，得到，从而平面，由此能证明.【详解】（1）∵四棱锥的底面是正方形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）如图所示：连结，，交于点O，连结，∵四棱锥的底面是正方形，∴O是中点，∵E是的中点.∴，∵平面，平面，∴平面.（3）∵四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，∴，，∵，∴平面，∵平面，∴.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.23.如图，在多面体中，底面为矩形，侧面为梯形，，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使得平面平面？并说明理由．【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（I）由AD⊥DE，AD⊥CD可得AD⊥平面CDE，故而AD⊥CE；（II）证明平面ABF∥平面CDE，故而BF∥平面CDE；（III）取CE的中点P，BE的中点Q，证明CE⊥平面ADPQ即可得出平面ADQ⊥平面BCE．【详解】（Ⅰ）由底面为矩形，知.又因为，，所以平面.又因为平面，所以.（Ⅱ）由底面为矩形，知，又因为平面，平面，所以平面.同理平面，又因为，所以平面平面.又因为平面，所以平面.（Ⅲ）结论：线段上存在点（即的中点），使得平面平面.证明如下：取的中点，的中点，连接，则.由，得.所以四点共面.由（Ⅰ），知平面，所以，故.在△中，由，可得.又因为，所以平面.又因为平面所以平面平面（即平面平面）.即线段上存在点（即中点），使得平面平面【点睛】本题考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质定理的应用，线面平行的判定，熟练运用定理是解题的关键，属于中档题．24.已知向量，，设函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调增区间；（3）若函数，，其中，试讨论函数的零点个数.【答案】（1）最小正周期为；（2）函数的单调增区间为：()；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）通过向量数量积求出函数的表达式，利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，即可求出函数的最小正周期.（2）利用正弦函数的单调增区间，直接求出函数的单调增区间即可.（3）求出函数在时函数的取值范围，即可根据函数的零点的判断方法推出函数零点的个数.【详解】（1）函数，.，，所以函数的最小正周期为：.（2）因为函数，由，，解得，，所以函数的单调增区间为：().（3），因为，所以，，令，得，则函数的零点个数等价于与的交点个数，在同一坐标系中，作出两函数的图象，如图所示：由图象可知：当或时，零点为0个；当时函数有两个零点，当或时，函数有一个零点；【点睛】本题主要考查三角函数与平面向量以及三角函数的图象和性质的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.北京市部分重点中学高一下学期期末考试数学试卷（四）一、选择题（共8小题）.1.复数的虚部为（）A.2 B. C.1 D.i2.已知向量，.若，则（）A. B. C. D.3.在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为.那么以下理解正确的是（）A.某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B.某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C.某顾客消费210元，一定不能中奖D.某顾客消费1000元，至少能中奖1次4.要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度5.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则7.已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆维组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（）A. B. C. D.二、填空题（共6小题）.9.若函数，则值为______.10.已知复数满足，那么__________，__________．11.已知在中，，，，则______.12.已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是______.13.已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个论断：①，②，③，④.以其中的两个论断作为命题的条件，作为命题的结论，写出一个真命题：______.14.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论：①越大越费力，越小越省力；②的范围为；③当时，；④当时，.其中正确结论的序号是______.三、解答题共5题，每题10分，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.已知函数，其，_____（1）写出函数的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数最大值和最小值.从①，②这两个条件中任选一个，补充上面问题中并作答，注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分.16.某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言.（Ⅰ）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；（Ⅱ）求选中1名医生和1名护士发言的概率；（Ⅲ）求至少选中1名护士发言的概率.17.在正方体中，E，F分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）在棱上是否存在一点M，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18.在中，，D是的中点，，.（1）求B；（2）求的面积.19.对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式（determinant），记作，（1）求下列行列式的值：①；②；③；（2）求证：向量与向量共线的充要条件是；（3）讨论关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.答案解析一、选择题（共8小题）.1.复数的虚部为（）A.2 B. C.1 D.i【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的基本概念得答案.【详解】解：复数的虚部为1.故选：C.【点睛】此题考查复数的有关概念，属于基础题2.已知向量，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算，列方程求出x的值.【详解】解：向量，；若，则，即，解得.故选：A.【点睛】此题考查由向量垂直求参数，属于基础题3.在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为.那么以下理解正确的是（）A.某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B.某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C.某顾客消费210元，一定不能中奖D.某顾客消费1000元，至少能中奖1次【答案】B【解析】【分析】根据概率的定义进行判断.【详解】解：中奖概率表示每一次抽奖中奖的可能性都是，故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖，故选：B.【点睛】此题考查对概率定义的理解，属于基础题4.要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论.【详解】解：只要将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选：D.【点睛】此题考查函数的图象变换，属于基础题5.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】化简复数，找出对应点得到答案.【详解】对应点为在第二象限故答案选B【点睛】本题考查了复数的化简，属于简单题.6.设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】D【解析】【分析】利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.【详解】A.若，，则与可能平行，也可能相交，所以不正确.B.若，，则与可能的位置关系有相交、平行或,所以不正确.C.若，，则可能，所以不正确.D.若，，由线面平行的性质过的平面与相交于，则，又.所以，所以有，所以正确.故选：D【点睛】本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.7.已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据必要条件、充分条件的定义即可判断.【详解】解：由可不一定推出四边形为平行四边形，但由四边形为平行四边形一定可得，故“”是“四边形为平行四边形”的必要而不充分条件，故选：B.【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查推理能力，属于基础题8.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆维组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为，求出细沙的体积，由体积相等求解，则答案可求.【详解】解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，∴细沙的体积为.细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r，设高为，则，得.∴.故选：A.【点睛】此题考查圆锥体积公式的应用，属于中档题二、填空题（共6小题）.9.若函数，则的值为______.【答案】【解析】【分析】由已知利用二倍角公式可求，进而根据特殊角的三角函数值即可求解.【详解】解：∵，∴.故答案为：.【点睛】此题考查正弦的二倍角公式的应用，属于基础题10.已知复数满足，那么__________，__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用复数除法运算得到复数，进而求出其共轭与模即可.【详解】复数，故，．【点睛】本题考查复数的运算及基本概念，属于基础题.11.已知在中，，，，则______.【答案】或.【解析】【分析】由已知利用正弦定理可得，结合，可得范围，即可求解B的值.【详解】解：∵，，，∴由正弦定理，可得，∵，可得，∴，或.故答案为：，或.【点睛】此题考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题12.已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是______.【答案】0.79.【解析】【分析】由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事件概率计算公式列出方程，由此能求出a的最大值.【详解】解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，∴，解得.∴a的最大值是0.79.故答案为：0.79.【点睛】此题考查对立事件概率的应用，属于基础题13.已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个论断：①，②，③，④.以其中的两个论断作为命题的条件，作为命题的结论，写出一个真命题：______.【答案】若，，则【解析】【分析】若，，则，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论.【详解】解：l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，可得若，，则，理由：在内取两条相交直线a，b，由可得.，又，可得.，而a，b为内的两条相交直线，可得.故答案：若，，则【点睛】此题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题14.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论：①越大越费力，越小越省力；②的范围为；③当时，；④当时，.其中正确结论的序号是______.【答案】①④.【解析】【分析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可.【详解】解：对于①，由为定值，所以，解得；由题意知时，单调递减，所以单调递增，即越大越费力，越小越省力；①正确.对于②，由题意知，的取值范围是，所以②错误.对于③，当时，，所以，③错误.对于④，当时，，所以，④正确.综上知，正确结论的序号是①④.故答案为：①④.【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题三、解答题共5题，每题10分，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.已知函数，其，_____.（1）写出函数的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数的最大值和最小值.从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分.【答案】若选①（1）；（2）最小值，最大值；若选②（1），（2）最大值，最小值.【解析】【分析】（1）结合所选选项，然后结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式可求；（2）由已知角x的范围，然后结合正弦函数的性质即可求解.【详解】解：选①，（1）因为，，故函数的周期；（2）因为，所以，当即时，函数取得最小值，当即时，函数取得最大值，选②，（1），，故函数的一个周期，（2）由可得，时即时，函数取得最大值，当时即时，函数取得最小值.【点睛】此题考查二倍角公式及辅助角公式的应用，考查正弦函数性质的应用，考查计算能力，属于中档题16.某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言.（Ⅰ）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；（Ⅱ）求选中1名医生和1名护士发言的概率；（Ⅲ）求至少选中1名护士发言的概率.【答案】（Ⅰ）样本空间见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）给6名医护人员进行编号，使用列举法得出样本空间；（Ⅱ）列举出符合条件的基本事件，根据古典概型的概率公式计算概率；（Ⅲ）列举出对立事件的基本事件，根据对立事件概率公式计算概率.【详解】解：（Ⅰ）设2名医生记为，，3名护士记为，，，1名管理人员记为C，则样本空间为：.（Ⅱ）设事件M：选中1名医生和1名护士发言，则，∴，又，∴（Ⅲ）设事件N：至少选中1名护士发言，则，∴，∴.【点睛】本题考查事件空间，考查古典概型，考查对立事件的概率公式．用列举法写出事件空间中的所有基本事件是解题关键，也是求古典概型的基本方法．17.在正方体中，E，F分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）在棱上是否存在一点M，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，1.【解析】【分析】（1）取的中点G，连接，，运用中位线定理和平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）在棱上假设存在一点M，使得平面平面，取M为的中点，连接，，，由线面垂直的判定和性质，结合面面垂直的判定定理，可得所求结论.【详解】解：（1）取的中点G，连接，，因为F为的中点，所以∥，且，在正方体中，因为E为的中点，所以∥，且，所以∥，，可得四边形为平行四边形，所以∥，又因为平面，平面，则∥平面；（2）在棱上假设存在一点M，使得平面平面，取M为的中点，连接，，，因为F为的中点，所以∥，因为，可得，因为平面，平面，所以，因为平面，平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面，故.【点睛】此题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定和性质的应用，考查面面垂直的判定，考查推理能力，属于中档题18.在中，，D是的中点，，.（1）求B；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接由已知条件和正弦定理求出B的值.（2）根据余弦定理求出c的值，再根据面积公式即可求出.【详解】解：（1）由及正弦定理，可得：，所以：，由于：，，因为，解得：；（2）延长线段到E，使得，因为D是的中点，所以是的中位线，所以，因为，所以，在中，由余弦定理可得，解得，所以.【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理应用，考查两角和正弦公式的应用，考查计算能力，属于中档题19.对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式（determinant），记作，（1）求下列行列式的值：①；②；③；（2）求证：向量与向量共线的充要条件是；（3）讨论关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.【答案】（1）1，0，0；（2）证明见解析；（3）当时，有唯一解，，.【解析】【分析】（1）利用行列式的定义可以直接求出行列式的值.（2）若向量与向量共线，由和时，分别推导出；反之，若，即，当c，d不全为0时，不妨设，则，，推导出，，当且时，，与共线，由此能证明向量与向量共线的充要条件是.（3）求出，，由此能求出当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，并能求出解.【详解】解：（1）解：①②；③.（2）证明：若向量与向量共线，则：当时，有，即，当时，有，即，∴必要性得证.反之，若，即，当c，d不全为0时，即时，不妨设，则，∴，∵，∴，∴，∴与共线，当且时，，∴与共线，充分性得证.综上，向量与向量共线的充要条件是.（3）用和分别乘上面两个方程两端，然后两个方程相减，消去y得：，①同理，消去x，得：，②∴当时，即时，由①②得：，，∴当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，且，.【点睛】此题考查行列式求值，考查向量共线的充要条件的证