2025届河北省衡中清大教育集团高一数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析

2025届河北省衡中清大教育集团高一数学第二学期期末质量检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，且，，则（）A． B． C． D．2．已知一组数据1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为（）A．2 B．3 C．2 D．33．设x、y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为（）A．0 B．0.5 C．1 D．24．一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是（）A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.755．已知向量,满足,和的夹角为,则()A． B． C． D．16．已知是非零向量，若，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．7．下列命题中不正确的是（）A．平面∥平面，一条直线平行于平面，则一定平行于平面B．平面∥平面，则内的任意一条直线都平行于平面C．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线8．设a，b，c为的内角所对的边，若，且，那么外接圆的半径为A．1 B． C．2 D．49．在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．方程的解所在区间是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，且，则__________．12．在锐角△ABC中，BC＝2，sinB+sinC＝2sinA，则AB+AC＝_____13．利用直线与圆的有关知识求函数的最小值为_______.14．已知函数的图象关于点对称，记在区间的最大值为，且在（）上单调递增，则实数的最小值是__________．15．设为，的反函数，则的值域为______.16．若关于的方程（）在区间有实根，则最小值是____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，且.（1）求的值；（2）若在上有且只有一个零点，，求的取值范围.18．已知函数（）.（1）若在区间上的值域为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，记的角所对的边长分别为，若，的面积为，求边长的最小值；（3）当，时，在答题纸上填写下表，用五点法作出的图像，并写出它的单调递增区间.019．已知向量=,=,=,为坐标原点.（1）若△为直角三角形，且∠为直角，求实数的值；（2）若点、、能构成三角形，求实数应满足的条件.20．已知向量，，.（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）记的内角的对边分别为.若，，求的值．21．已知数列满足：.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；（2）求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据同角三角函数的基本关系及两角和差的正弦公式计算可得.【详解】解：因为，．因为，所以．因为，，所以．所以．故选：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，属于中档题.2、C【解析】

先由平均数的计算公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可。【详解】由题可得x=所以这组数据的方差S2故答案选C【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据：x1,x2,3、C【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，3），化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×2﹣3＝1．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．4、D【解析】

由题意可知摸出黑球的概率，再根据摸出黑球，摸出红球为互斥事件，根据互斥事件的和即可求解.【详解】因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，所以摸出黑球的概率是，因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件，所以摸出黑球或红球的概率，故选D.【点睛】本题主要考查了两个互斥事件的和事件，其概率公式，属于中档题.5、B【解析】

由平面向量的数量积公式，即可得到本题答案.【详解】由题意可得.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积公式，属基础题.6、D【解析】

由得，这样可把且表示出来．【详解】∵，∴，，∴，∴，故选D．【点睛】本题考查向量的数量积，掌握数量积的定义是解题关键．7、A【解析】

逐一考查所给的选项是否正确即可.【详解】逐一考查所给的选项：A.平面∥平面，一条直线平行于平面，可能a在平面内或与相交，不一定平行于平面，题中说法错误；B.由面面平行的定义可知：若平面∥平面，则内的任意一条直线都平行于平面，题中说法正确；C.由面面平行的判定定理可得：若一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行，题中说法正确；D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线，不可能相交，题中说法正确.本题选择A选项.【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.8、A【解析】

由得b2+c2-a2=bc．利用余弦定理，可得A=．再利用正弦定理可得2R=，可得R.【详解】∵,∴,整理得b2+c2-a2=bc，根据余弦定理cosA=，可得cosA=∵A∈（0，π），∴A=由正弦定理可得2R==,解得R=1，故选A【点睛】已知三边关系，可转化为接近余弦定理的形式，直接运用余弦定理理解三角形，注意整体代入思想.9、D【解析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选D．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10、D【解析】

令，则，所以零点在区间.方程的解所在区间是，故选D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据向量平行的坐标表示可求得；代入两角和差正切公式即可求得结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查两角和差正切公式的应用，涉及到向量平行的坐标表示，属于基础题.12、1【解析】

由正弦定理化已知等式为边的关系，可得结论．【详解】∵sinB+sinC＝2sinA，由正弦定理得，即．故答案为1．【点睛】本题考查正弦定理，解题时利用正弦定理进行边角关系的转化即可．13、【解析】

令得，转化为z==，再利用圆心到直线距离求最值即可【详解】令，则故转化为z==，表示上半个圆上的点到直线的距离的最小值的5倍，即故答案为3【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合思想，是中档题14、【解析】，所以，又，得，所以，且求得，又，得单调递增区间为，由题意，当时，。点睛：本题考查三角函数的化简及性质应用。本题首先考查三角函数的辅助角公式应用，并结合对称中心的性质，得到函数解析式。然后考察三角函数的单调性，利用整体思想求出单调区间，求得答案。15、【解析】

求出原函数的值域可得出其反函数的定义域，取交集可得出函数的定义域，再由函数的单调性可求出该函数的值域.【详解】函数在上为增函数，则函数的值域为，所以，函数的定义域为.函数的定义域为，由于函数与函数单调性相同，可知，函数在上为增函数.当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值.因此，函数的值域为.故答案为：.【点睛】本题考查函数值域的求解，考查函数单调性的应用，明确两个互为反函数的两个函数具有相同的单调性是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16、【解析】

将看作是关于的直线方程，则表示点到点的距离的平方，根据距离公式可求出点到直线的距离最小，再结合对勾函数的单调性，可求出最小值。【详解】将看作是关于的直线方程，表示点与点之间距离的平方，点到直线的距离为，又因为，令，在上单调递增，所以，所以的最小值为．【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式以及对勾函数单调性的应用，意在考查学生转化思想的的应用。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）利用降次公式、辅助角公式化简表达式，利用求得的值.（2）令，结合的取值范围以及三角函数的零点列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】（1），，，即.（2）令，则，，，在上有且只有一个零点，，，的取值范围为.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.18、（1）；（2）；（3）填表见解析，作图见解析，（）.【解析】

（1）利用二倍角公式和辅助角公式可把化简为，再求出的范围后根据正弦函数的性质可得关于的方程组，解方程组可得它们的值.（2）先求出，再根据面积求出，最后根据余弦定理和基本不等式可求的最小值.（3）根据五点法直接作出图像，再根据正弦函数的性质可得函数的单调增区间.【详解】，当时，，则.因为，所以，解得，即.（2）由，得，又的面积为，所以，即，所以，当且仅当时，.（3）由题意得，填表0111作图如下图：由得（），所以函数的单调递增区间是（）.【点睛】本题考查正弦型函数在给定范围上的最值、余弦定理、三角形中的面积公式、正弦型函数的图像与单调性以及基本不等式，本题综合性较高，为中档题.19、（1）；（2）【解析】

（1）利用向量的运算法则求出，，再利用向量垂直的充要条件列出方程求出m；（2）由题意得A，B，C三点不共线，则与不共线，列出关于m的不等式即可．【详解】（1）因为=，=，=，所以，，若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则，∴3（2﹣m）+（1﹣m）＝0，解得．（2）若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，得3（1﹣m）≠2﹣m，∴实数时，满足条件．【点睛】本题考查向量垂直、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线、三点不共线等问题，属于基础题．20、（1）最小正周期为，单调递减区间为；（2）或【解析】

（1）由向量的数量积的运算公式和三角恒等变换的公式化简可得，再结合三角函数的性质，即可求解．（2）由（1），根据，解得，利用正弦定理，求得，再利用余弦定理列出方程，即可求解．【详解】（1）由题意，向量，，所以，因为，所以函数的最小正周期为，令，解得，所以函数的单调递减区间为．（2）由（1）函数的解析式为，可得，解得，又由，根据正弦定理，可得，因为，所以，所以为锐角，所以，由余弦定理可得，可得，即，解得或．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，三角恒等变换的应用，以及正弦定理和余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角