2024年西安市高三数学（理）第四次模拟联考试卷附答案解析

2024年西安市高三数学（理）第四次模拟联考试卷

（满分：150分，考试时间：120分钟）

必考题部分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.设集合/={x|log03(x-l)>0},5={中,<9},则()

A.A=BB./c8=0C.AC\B=BD.ADB=B

•7

2.已知i是虚数单位，若z=」是纯虚数，则实数。=()

2+i

A.-2B.2C.--D.v

22

3.已知>B=-24,a+2^=(-5,2),若之与B模相等，则w=().

A.3B.4C.5D.6

4.以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（）

A.尸史

2x

5.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球。面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为三，面积为3兀，则球O

的表面积等于（）

817182兀12171121兀

A.-----B.-----C.——D.——

8882

6.下列说法不正确的是（）

A.若直线。不平行于平面a,则a内不存在与。平行的直线

B.若一个平面二内两条不平行的直线都平行于另一个平面力，则a〃月

C.设/,m,〃为直线，加，〃在平面a内，则“/_L（z”是“/_L加且/_L〃”的充分条件

D.若平面a_L平面oq,平面/_L平面4，则平面7与平面尸所成的二面角和平面必与平面片所成的二

面角相等或互补

7.化简-----面叱5。+1___=()

tan27.5°-7sin27.5°+cos27.5°

A.—B.—C.百D.2

33

8.已知一个古典概型的样本空间。和事件A,8如图所示.其中

"(。)=12,〃(/)=6,〃(8)=4,"(4。8)=8,则事件A与事件万()

A.是互斥事件，不是独立事件

B.不是互斥事件，是独立事件

C.既是互斥事件，也是独立事件

D.既不是互斥事件，也不是独立事件

9.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大

学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数

学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3H,大一到大三三学年必须将四门选修课程选完,

则每位同学的不同选修方式有()

A.60种B.78种C.84种D.144种

10.函数/(x)=2sin(ox+°)|®>0,帆<9的部分图象如图中实线所示，图中圆C与/(x)的图象交于

M,N两点，且M在y轴上，贝1J()

A.函数/(x)在H，-“上单调递增

B.圆的半径为汉I

3

2

C.函数/(x)的图象关于点[-,,()]成中心对称

2021712023兀

D.函数/(x)在上单调递减

12?12

11.已知点M,N是抛物线「：V=2"(p>0)和动圆C：(x-iy+(y-3)2=尸2(r>0)的两个公共点,

点方是r的焦点，当TW是圆。的直径时，直线的v的斜率为2,则当尸变化时，一+|防1的最小值为()

A.3B.4C.5D.6

12.定义在(0,+")上的可导函数“X),满足广(尤)+祖”=?，且〃e)=；,若

xx

。/['普)c=/(ln&),则应仇c的大小关系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知/(1,2),8(3,4),。(-2,2),。(-3,5),则冠在而上的投影为.

14.数列｛0“｝的前〃项积为“2,那么当〃上2时，an=.

22

15.已知双曲线0-与=l(a,b>0)左右焦点分别为耳，匕，过点耳作与一条渐近线垂直的直线/,且/与

ab

双曲线的左右两支分别交于M,N两点，若|"N|=|环则该双曲线的渐近线方程为.

16.在锐角“8c中,内角4,3,C所对应的边分别是a,b,c,且2csin(8-/)=2asinZcosB+6sin24,

则£的取值范围是.

a

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.记S”是公差为整数的等差数列｛4｝的前〃项和，«,=1,且。5-1，&-2,%-3成等比数列.

⑴求％和5.；

(2)若bnSn=1,求数列也｝的前20项和T20.

18.今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚字宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就.某学校为了解学生

对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试(满分100分)，随机抽取了100名学生的

测试成绩，按照[60.70),[70,80),[80,90),[90,100]分组，得到如图所示的样本频率分布直方图：

3

「骊相心R距

0.041------------------------

0.03------------

0.02・・♦・・・・・+・・・・1・•・・

0.01--1------

6070809010()rf}«ifzkx

(i)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；

(2)从测试成绩在［90,100］的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进

行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛.现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙

能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立，记甲、乙两人中进入复赛的人数为九求4分布列

及期望.

19.如图，三棱柱/8C-421G中，AB=BC=B1A=B}C=B}B=41,。是NC的中点，ABX±BD.

(1)证明：耳。,平面48C；

(2)求点与到平面/CQ4的距离;

⑶求平面44。与平面AB,C的夹角的余弦值.

已知且。/

20./(x)=alnx+gx2—2x(aeR0)g(x)=cos尤+xsin龙.

(1)求g(x)在［-］,句上的最小值;

⑵如果对任意的国4-%,句，存在乙©1/,使得成立，求实数a的取值范围.

_e」x2

22

21.已知椭圆E：，+mMl(a>b>0)过两点(2词(A-1),椭圆的上顶点为尸，圆C：

(x-1)2+/=r2(0<r<V3)在椭圆E内.

4

(1)求椭圆E的方程；

⑵过点P作圆C的两条切线，切点为4B,切线以与椭圆E的另一个交点为N,切线尸5与椭圆£的

另一个交点为直线N3与y轴交于点S,直线与y轴交于点T.求囚”的最大值，并计算出此时

圆C的半径r.

选考题部分

请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个

题目计分.

fx=2+2cos(z

22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(口为参数)，以坐标原点。为极点，尤

[y=zsina

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为0cos，+：)=字.

(1)求圆C的极坐标方程和直线I的直角坐标方程；

⑵已知点且直线/与圆C交于A、3两点，求焉-焉的值.

<2)\MA\\MB\

23.不等式选讲已知。也c均为正实数，函数/卜)=卜-%|+卜+处|+。的最小值为4.

⑴求证：ab+bc+ca>9abc；

(2)求证：6y[ab+3y/bc+2y[ca<4.

5

1.D

【分析】解指数，对数不等式，求出集合48后，结合集合的运算即可求出结果。

［详解］不等式10go,3卜_1）>0，即可logo3（X_l）>logo_31，

根据对数函数的单调性可知，O<X-1<1,解得l<x<2,

所以Z={x［l<x<2},8={中<2},显然集合A是3的真子集,

所以=B,即D正确。

故选：D

2.D

【分析】根据虚数性质结合复数的除法运算可得z=『-REi,再根据z是纯虚数列式求解.

_-i+Q_（-i+a）（2-2+a.

【详解】----=-----------------=----------]

2+i2+i（2+i）（2-i）55

Bzl

.75=0

又因为Z=二是纯虚数，所以：所以

2+iNwO

[5

故选：D.

3.C

【分析】利用坐标求出£+25的模长，进而根据已知条件可以得到一个关于口的方程，问题即可得到解

决.

【详解】因为£+2否=(-5,2),所以『+2可=回，

故卜+20=|a|+4恸+4a-b-29,而又已知工.5=-24，且卜卜,，

所以忖+4忖-96=29,解得忖=5.

故选：C

4.C

【分析】利用排除法，结合函数值的符号和定义域逐项分析判断.

【详解】根据题意，用排除法分析：

|x|

对于选项A：/(x)=—,当x<0时，有/'(x)<0,不符合题意；

6

对于选项B：当x<0时，〃x)=(d+l)e"<0,不符合题意；

对于选项D:y=苦■的定义域为R,不符合题意；

故选：C.

5.A

【分析】求得圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求得球的半径，从而求得球的表面积.

【详解】设圆锥的底面半径为人母线长为/,高为h=&二，

2兀/_2兀

/-3

依题意1,解得，=3/=1,所以〃=2A/L

一•2兀/•/=3兀

[2

设球的半径为R,贝1],+仅一火)2=尺2,

尸2+b21+8__9_

r2+h2-2hR=0,7?=---------

2h472~A41

(9丫_81兀

所以球的表面积为4兀R?=4兀・I4V2J=V

故选：A

6.D

【分析】对于选项ABC,可根据线面平行的判定定理，面面平行的判定定理和线面垂直的判定定理进行

判定；对于选项D,可在长方体中寻找特殊平面进行排除.

【详解】对于选项A：若存在直线，则由直线和平面平行的判定定理知直线〃与平面。平行，与条件相

矛盾，故A正确；

对于选项B：由面面平行的判定定理可知B正确；

对于选项C：由线面垂直的性质定理知：由/_La,可得/_L次且/_L〃，故C正确；

对于选项D：例如在正方体48co中,

平面0为平面45cZ),平面片为平面平面a为平面CCQi。，平面/?为平面A4QZ),

AB

7

此时平面«与平面B所成的二面角为90。,平面«1与平面注所成的二面角为0。，故D错误.

故选：D.

7.B

【分析】利用同角三角函数的商数关系化切为弦，然后利用平方关系和正弦的二倍角公式化简转化为特

殊角的三角函数即可得解.

▼'垩raftan27.50+1sin27.5°+cos27.5°

［详解］原式=­；----------------=一、----------------彳--------；----

tan27.5°-8sin27.50+1sin27.5°-8sin527.5°cos27.5°+cos27.5°

11_273

一l-2sin215°Zos30。'

故选：B.

【点睛】本题考查同角三角函数的关系，特殊角三角函数值，二倍角的正弦公式，利用商数关系切化弦

是解决问题的关键.

8.B

【解析】由〃(4n可=4可判断事件是否为互斥事件，由P(/町=P(/户(万)可判断事件是否为独立事件.

［详解】因为"(0=12,”(⑷=6,MB)=4,n(AU3)=8,

所以"(/ns)=2,(nZ)=4,炳=8,

所以事件A与事件豆不是互斥事件，

所以叩耳«尸⑷叩)=、*小

所以尸(疝)=尸⑷尸(J),所以事件A与事件不是独立事件.

故选：B.

9.B

【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.

【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为11,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2,

则先将4门学科分成三组共£室

种不同方式.再分配到三个学年共有团种不同分配方式，由乘法原理

可得共有当力•团=36种，若是0,1,3,则先将4门学科分成三组共C：C；种不同方式，再分配到三个

学年共有耳种不同分配方式，由乘法原理可得共有C：C1W=24种，若是0,2,2,则先将门学科分成三

8

z^»2y~i2

组共竽种不同方式，再分配到三个学年共有团种不同分配方式，由乘法原理可得共有空•团=18

种

所以每位同学的不同选修方式有36+24+18=78种,

故选：B.

10.D

【分析】根据已知图象得出7=兀，。=2.然后结合“五点法”得出。=g,小）=2$叩》+三；进而即可

代入检验A、C、D项；结合图象，求出",C点的坐标，即可得出半径.

【详解】对于A项，由图象结合对称性易得7=孑-=兀，

3I6/6

所以g=生=2,/（%）=2sin（2x+夕）.

又由图象结合"五点法''可得，2x[—：]+夕=如,左£2,

TT

解得，（p=—+2kji,keZ.

又网<5，所以夕=:,/（x）=2sin^2x+y^.

.、r3兀广广.।87r_兀5兀

因为---<X<-7T,所以----<2%+—<----.

2333

根据正弦函数的单调性可知，函数/（X）在1g,-j上不是单调递增，故A项错误;

对于B项，由A可知，/（0）=2sing=百，M^0,^3j,

C点横坐标为迎=-丁Tl+-T=^Tl,

623

所以，|MC|=仅一6）2=厚；，故B项错误；

rIFVL.、IC（5兀、兀4兀

对于C项，因为2义--—+—=--—,

\o733

根据正弦函数的性质可知，函数/（X）的图象不关于点，成中心对称,

故C错误;

a-rTHe且2021兀202371

对于D项，因为二一

,7兀_2023兀,兀2025兀3兀__,

所以Is一+336兀=-----<2x+-<------=一+33671.

66362

7兀3兀

根据正弦函数的性质可知，y=sinx在上单调递减,

62

9

结合函数的周期性，可知函数[（X）在节匕,上单调递减，故D正确.

故选：D.

11.B

【分析】直线的方程为了=2尤+1,联立直线与抛物线的方程得到国+工2=2宁，结合C是九W的

中点，可得。=6,由抛物线的定义可将，—+|"列转化为的。+性因，当三点在一条直线时，可求

得，+|〃F|的最小值.

【详解】圆C：（x-l）2+（y-3『=/（r>0）的圆，lL、C（l,3）,

当MN是圆C的直径时，直线"N的斜率为2,

设直线MN的方程为了-3=2（》-1）,化简为：y=2x+l,

[y=2x+1、

2c，消去了可得：4x2+（4-2p）x+l=0,

3=2px

设“（国,必），"（乙,%）,所以=2：4,

因为C是的中点，所以"逗=1=区二=2,解得：p=6,

24

故尸（3,0）,/：x=-3,由抛物线的定义可知，过点〃■作必/，/交/于点H,

过点C作CP，/交/于点尸，

所以=,所以厂+|〃^=根。|+|〃7*|。尸|=4,

当。,尸,〃三点在一条直线时取等.

故选：B.

【分析】根据题意，结合条件求导可得/（x）在（0,+e）上为减函数，由其单调性即可判断b,c的大小关

10

系.

2

【详解】由已知可得：xr(x)+2V(x)=lnx,令g(x)=x2〃x),

则g，(x)=_r2/，(x)+2V(x)=]nx,且

心)=手/3=xg'(x)-2g(x)xlwc-2g(x)

再令/z(x)=xlnx-2g(x),贝！Jh'^x)=l+lnx-2gr(x)=l-lnx,

当x£(O,e)时，"(x)>O,/z(x)为增函数;

当x£(e,+8)时，〃(x)<O，Mx)为减函数;

/./z(x)</z(e)=e-2g(e)=e-2e2/(e)=0,

二./'(x)K0在(0,+功上恒成立；.•./(%)在(0,+句上为减函数;

又因为二鲂,回i=噌,出亚=叱

ee4V22

故令9(x)=^d(x)=二产,当xe(O,e)时,”(x)>O，e(x)为增函数；

1,r-V21n2,

->lnV2>-----:.a<c<b

e4

故选：c

13.^l^##-VTo

55

【分析】先求海，CD,再求|同，|西J,ABCD，利用向量夹角余弦公式求夹角，再由投影向量的模

长公式求解.

【详解】因为/(1,2),3(3,4),C(-2,2)。(-3,5),

所以罚=(2,2),C5=(-1,3),

所以园="+2。=2/,|co|=Vi+9=Vio,君.而=-2+6=4,

ABCD

设向量Z5与丽的夹角为。,cos6=

\'AB\CD\2V2-V10-5

那么焉在而上的投影为卜,cos。=2V2x^y-=2^^

I故答案为：马何.

11

n2

14.r

(»-l)2

【分析】设数列｛%｝的前〃项积为北，利用。“=六■求出答案.

【详解】设数列｛%｝的前〃项积为《，则7；=",当〃22时，册=白n2

2

1n-\n-1)

n2

故答案为:

(»-1)2

15.y=±(VJ+l)x

【分析】根据双曲线的定义可求阳结合余弦定理可求2的值.

a

/且垂足为S,

所以后M=4a,

而々S_L/,故々S=b,故cos/巧玛=2,

c

在中，由余弦定理可得16a2=4a2+4c2-2x2cx2“x2,

c

整理得到：24+2"-/=0,故2=1+6,

a

因此该双曲线的渐近线方程为丫=±(百+1口.

故答案为：y=±(V3+l)x.

16.(1,2)

【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式将已知化为sin(3-N)=sin/,根据为锐角三角形可得

5=2/,。=兀-3/以及,再由正弦定理可得£=当=又当，利用两角和的正弦展开式和

64asinAsinA

COSA的范围可得答案.

12

【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得

2sinCsin(B-Z)=2sinAsinAcosB+sinBsin2A

=2sin力sin4cos8+2sin5sin力cos力=2sin力(sinZcosB+sinBcos/)

=2sin4sin(/+5),

因为兀一0=4+5，所以sin(兀一C)=sin(%+5)=sinCwO,

可得sin(8_4)=sin/,

因为0<Z<色,0<B〈工，所以—工<5—

2222

所以8=24,。=兀—34,

ITITITIT

由0<8=2/<-,0<C=TI-3/<—可得一</<—,

2264

所以<cosZ<,—<cos2A<—,

2224

由正弦定理得€=皿=吧刎sin(24+4)_sin2AcosA+cos2AsinA

asinAsinAsinAsin力

=2cos2Z+cos2/=4cos2^4-1G(1,2),

故答案为：（1,2）.

cn(n+Y)

17.⑴%=〃，Sn=-

40

(2)—

v721

【分析】（1）根据已知条件求出公差d,由公式即可确定％和

2

口）根据已知条件求出"=即,裂项相消法求心即可•

【详解】(1)设%=l+(〃—l)d,由(〃8-2)2=(%-1)(%2-3),

1

得(7d—1)9=4d(lld—2),所以4=1或4=/,

IT,“LLl、tT-LL…〃(〃+1)

由于dwZ,所以d=l.所以，an=n,Sn=-=~.

(2)由"S〃=l知：bn=,故

13

40

所以&=2

21

18.(1)82.5

【分析】（1）计算出成绩落在各组的频率，得到该校学生测试成绩的中位数落在［80,90）,设出中位数,

得到方程，求出答案；

（2）先得到甲乙分别能进行复赛的概率，进而得到4的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出数学

期望.

【详解】（1）成绩落在［60,70）内的频率为0.01x10=0.1,

成绩落在［70,80）内的频率为0.03x10=0.3,

成绩落在［80,90）内的频率为0.04x10=0.4,

由于0.1+0.3=0.4<0.5,0.1+0.3+0.4=0.8>0.5,

故该校学生测试成绩的中位数落在［80,90）内，

设中位数为x,则（x-80）x0.04=0.5-0.4,解得x=82.5,

故估计该校学生测试成绩的中位数为82.5

（2）从6道题中选4道共有C：=15种选择，

因为甲能答对其中的4道，故甲能进行复赛的情况有C；C；+C：C；=9种，

故甲能进行复赛的概率为己9=不3，不能进复赛的概率为1-：3=《2，

因为乙能答对其中的3道，故乙能进行复赛的情况有C；C；=3种，

3114

故乙能进行复赛的概率为2=：,不能进复赛的概率为1-£=£,

4的可能取值为0,1,2,

故J分布列如下：

J012

14

8143

P

252525

数学期望为党=0x卷8+lx1^4+2x・3=j4

19.(1)证明见解析

Q

V2

eV3

【分析】(1)先证明平面NBC，得到AD_L8Q,再证明与。，平面NBC.

(2)方法一几何法，取4G的中点2,过点用作用于点石，可证8"，平面NCG4,点用到

平面NCG4的距离即为与〃，求解得解；方法二向量法，建立空间直角坐标系利用向量法求点面距；

(3)建立空间直角坐标系利用向量法求解.

【详解】(1)因为48=BC,。是/C的中点，所以ADL/C,

因为N4_L5D,ABtC\AC=A,45],/Cu平面NB。，

所以2D1平面48c,

又u平面48。，所以2。_1为0,

因为3/=5C，。是NC的中点，

所以BQ./C,BDcAC=D,8Z>,/Cu平面/8C,

所以BQ1平面ABC.

(2)法一:取4。的中点2,连接DDX,BR可得四边形BBQQ是平行四边形，

因为BD_L/C,BQ,AC,BDCBQ=D,BD,BQu平面BBQQ,

所以/C_L平面，又/Cu平面NCC/i，

所以平面83QQ，平面NCG4,

过点用作4〃，DR于点、H,5/u平面BBQQ,

平面BB.D.Dc平面/CG4=DD,,则BiH1平面ACCXAX,

所以点用到平面ZCG4的距离即为4H，

15

jr

因为N8=BC=8/=3C，所以BD=BQ=BiDi，又NDRD=ZB、DB=3,

所以=工=Y2,故点B1到平面ACQA,的距离为也.

法二：由(1)知耳。，平面48C,BDVAC,所以。8,DC,两两垂直，以。为原点，

以DB,DC,。片所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为N3=BC=8/=5C，所以AD=3Q,又BDLBQ,B、B=亚,

所以耳。=3。=1,

AB=BC=母，BDYAC,所以。N=OC=1,

所以。(0,0,0),4(0,-1,0),5(1,0,0),C(0,1,0),耳(0,0,1),

就=(0,2,0),五《=丽=(-1,0,1),设平面NCCH的一个法向量为。=(a,6,c),

m-AC=0f6=0

则，一——.，即〈人，令“=1,

m-AAf=0[-。+c=0

则而=(1,0,1)为平面/eq4的一个法向量，

又DBi=0,0,1,所以点Bx到平面/CG4的距离d=3,

\m\V22

故点A到平面ZCG4的距离为Y2.

2

(3)由(2)法二得函=(0,—1,1),丽=毋=(1,1,0),设平面44。的一个法向量为历=(x),z),

nCB,=0[-y+z=0

则,得，c,令尤=1,贝ljy=-l,z=T,

n-AxB}=0Ix+y=0

所以亢=(1,-1,-1)为平面48c的一个法向量,

16

又平面所以。3=(1,0,0)是平面的一个法向量,

n-DB1_73

cosn,DB=

同.国V3xl3，

故平面AXBXC与平面ABtC的夹角的余弦值为由.

3

20.(1)-1

⑵-g，o］u(o,+<»)

【分析】(1)对g(x)求导，因为g(x)为偶函数，求出g(x)在xe(O/)的单调性,即可求出卜犯句上

的最小值;

(2)由(1)知，g(x)在［-巩乃］上的最小值为-1,所以现€—,e,使得井-1成立,即

2

1-X-Xlr2_r「11,、

a(x2-Inx2)-xf-x2即心2：°,设。3二2______，尤©，即只需。》。⑺而口即可•

2L(?

x2-lnx2叭'x-lnx」

【详解】(1)gf(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx,

显然g(x)为偶函数，当x>0时，

xe(。,,］时，xcosx>0,g'(x)>0,g(x)在((J,'］单调递增；

xe(会万J时，xcosx<0,g'(x)<0,g(x)在匕,乃)单调递减；

g(O)=L=y,g⑺=T,；.g(x)在(0㈤上的最小值为-1.

由偶函数图象的对称性可知g(x)在(-乃，乃)上的最小值为-1.

11_T

(2)先证InxWx-l,设〃(x)=lnx-x+l,则，(%)=——1=----,

令>0n0<x<1,令/(x)<0=>x>1,

・,・力(%)在(0,1)上单调递增,在(L+8)上单调递减.A(x)<A(l)=0

故InxWx-1①恒成立.

由题意可得壬c,e-,e,使得“xJ—aWT成立,

e%

即4(%2-In、2)2；4-X2成立.

17

由①可知％-ln%221>0,

12_

参变分离得&22々尤2

x2-Inx2

-x2-x1

设g(x)=xe—

2e

x-lnx

即只需a1nhi即可.

(x-l)(x-lnx)

0'(%)=

(x-lnx)2

由①知In%—1得一

.11r7l1._I4—X_

・・一x—Inx+1三—x+1—x+1—2—x------->0

2222

令e'(x)>0=l<x<e,令夕—<x<l,

e

：.0(x)在上单调递减，在(I,e)上单调递增.

•••9(x)min=0(l)=T，

.*•aN—，

2

又已知aw0

故a的取值范围为1,0)U(0,+8).

X2y2

21.(I)—+—=I

84

(2)|ST|的最大值为9-4有，此时r=2-G

【分析】(I)根据题意代入两点(2,后)，(布,-1)即可得椭圆方程;

(2)设二==无21(占,乂)也(%2,%),5(0,%),7(0,”)，过点尸的直线/的方程为了=米+2,根据

y=kx+2

点到直线的距离公式得至匹/一1袂2一转+/一4=0,则可得桃广^,再联立,

*y2，求出

184

坐标，设出直线血W的方程，代入",N坐标计算，再求解即可.

18

3+2

/=8v22

1b，解得v

【详解】（1）由题意可得：所以椭圆方程为9+?=】•

611

+=1

L—a7bT

（2）过点尸（0,2）作圆C的两条切线,

当两条切线均存在斜率时，设％=%,%=左2川（再,必）,屈（%2/2），8（0/3）,7（0/4）

I左+2|

经过点P的直线/的方程为歹=履+2,则生房二一，

yjl+k

整理得卜2-1伏2-4左+/一4=0,所以有勺+&=岛,hh=

5

又以尸C为直径的圆的方程为

4

则直线AB的方程为（x-+（y—一［（尤—1>+丁］=：_/，

2/21

整理得x-2y—l+/=o,令x=0得力=一，即S0,^^

y=kx+2

联立//,消去了得（1+2-卜2+8丘=0,

---1---=1

184

—8左-8左2nn-8k,2—4左2\.,（—8危2-4kl}

所以*=T7而也—yr，即M----彳,-----\,M——j------1-

1+2e11+2/1+2好）[1+2片1+2%

2—4公—8匕

-----?=----=/+加

1+2肝1+2片（2m+4）k；-8tk[+加一2=0

不妨设直线跖V的方程为歹=a+加，贝!］，；,整理得

2—4代—8Q（2加+4）k；一8tk,+m—2=0

-----=r=----彳，+m

1+2抬1+2后

2厂2—4

所以《右为方程（2机+4）k-Stk+m-2=0的两个根，贝1］%h=又

2m+4k,b=K

r-r-IsI〃Z—2厂—4A77Z067,"-18

所以------=F—，解得机=-----丁

2m+4r2-17-r2

r2-lr2-l6r2-18=118-（7-r2+48

此时冈="3_/上------m<||18-2V48|=9-473,

2F7-r27-r2

48

当且仅当7-r=#^,即『=2-6时取等号，

7-r

当两条切线中一条斜率不存在时，厂=1,此时以