2024年中考数学 二次函数面积定值、比例问题以及米勒角问题（含答案）

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二次函数面积定值、比例问题以及米勒角问题

/■/题型•解读/

【题型1】作铅垂高解决面积定值问题例3—1内蒙古通辽市•中考真题

例i—i湖北武汉市•中考真题

2024•辽宁盘锦•中考真题

2024•齐齐哈尔・中考真题（删减）

2024・福建•统考模拟预测

南通•中考真题

【题型4］面积比例问题的转化为线段比

2024•山东泰安•中考真题例4-1

【题型2】作平行线解决面积问题深圳市中考真题

例2—1山东省临沂市•中考真题

牡丹江中考真题

2024•四川甘孜•中考真题

2024•四川内江中考真题

四川凉山州•中考真题

2024•四川泸州中考真题

连云港•中考真题

2024•四川内江中考真题

2024•黑龙江•中考真题

【题型5】米勒角（最大张角问题）

江苏徐州•中考真题例题5-1

【题型3】面积比例问题的转化定值问题山东烟台中考真题

或函数表达式

2024•四川宜宾中考真题

加出满分•技巧/

一、面积定值与等值问题

1.定值问题

【问题描述】

如图，抛物线y=-/+2x+3与x轴交于/、B两点、（点/在点3左侧），与了轴交于点C,连接

BC,抛物线在线段2C上方部分取一点P,连接依、PC,若3c面积为3,求点P坐标.

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思路1:铅垂法列方程解.

根据3、C两点坐标得直线2c解析式：y=-x+3,设点尸坐标为（加，-/+2"?+3）,

过点尸作尸。_Lx轴交8C于点°,则点。坐标为（加，-m+3）,

222

PQ=^-m+2m+3）-（-m+3）|=|-m+3m|,S^PBC=-1x3x|-m+3/H|=3,分类讨论去绝对值解方

程即可得加的值.

思路2:构造等积变形

同底等鬲三角形面积相等.

取8C作水平宽可知水平宽为3,根据△尸8c面积为3,可知铅垂高为2,

在y轴上取点。使得C0=2,过点。作BC的平行线，交点即为满足条件的P点.

当点。坐标为（0,5）时，尸。解析式为：尸-x+5,联立方程：-尤2+2X+3=-X+5,解之即可.

2

当点0坐标为（0,1）时，尸。解析式为：y=-x+l,联立方程：-X+2X+3=-X+1,解之即可.

2.等值问题

【问题描述】

如图，抛物线y=-/+2x+3与x轴交于/、B两点、（点/在点8左侧），与夕轴交于点C,连接

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BC,抛物线上存在一点尸使得△P8C的面积等于△8OC的面积，求点P坐标.

思路1:铅垂法

计算出△BOC面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解.

思路2:构造等积变形

过点。作2c的平行线，与抛物线交点即为所求尸点，

另外作点。关于点C的对称点M,过点M作2c平行线与抛物线的交点亦为所求尸点.

先求直线解析式，再联立方程即可求得尸点坐标.

二、面积比例问题

1、方法突破

除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析,

往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类.

大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化.

策略一：运用比例计算类

策略二：转化面积比

如图，B、D、C三点共线，考虑和△/CD面积之比.

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A

转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则Sv/Bo：Sss=8O：a).

更一般地，对于共边的两三角形4ABD和AACD,连接8C,与ND交于点£,则

S,ABD:S.ACD=BM-.CN=BE-.CE.

策略三：进阶版转化

在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常

见有："4'字型线段比、“8”字型线段比.

字型线段比：SUBD:Ss=BD:CD=BA:AM.

字型线段比：BD：

“8”S“ASVACD=BD-.CD=AB.CM.

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转化为垂线：共底，面积之比化为高之比：S.MD:S,ACD=BD-.CD=BM-.CN.

总结：面积能算那就算，算不出来就转换；底边不行就作高，还有垂线和平行.

三、米勒角问题（最大张角）

【问题描述】

1471年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题：

如图，点/、3直线/的同一侧，在直线/上取一点尸，使得N4P3最大，求尸点位置.

【问题铺垫】

圆外角：如图，像N4P5这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角.

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相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半.

D_冷厂）

故口图，NP=NACB-NPBC=―=—.

2

换句话说，对同一个圆而言，圆周角>圆外角.

【问题解决】

结论：当点尸不与/、2共线时，作△P4B的外接圆，当圆与直线/相切时，N4PB最大.

证明：在直线/上任取一点M（不与点尸重合），连接川0、BM,

N4MB即为圆。的圆外角，

ZAPB>NAMB,NAPB最大.

...当圆与直线/相切时，NAPB最大.

特别地，若点4、8与P分别在一个角的两边，如下图，则有Op2=o/.o8.（切割线定理）

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证明：•:/POA=NBOP,NOPZ=NO5。(弦切角定理)

AAOAOP,

・・AAOPs△尸03,..——=――,..OP2=OA-OB.

OPOB

即可通过04、05线段长确定。尸长，便知尸点位置.

核心•题型/

核心•题型/

【题型1］作铅垂高解决面积定值问题

例1一1湖北武汉市•中考真题

1.抛物线L：>=-/+6x+c经过点4(0,1),与它的对称轴直线x=l交于点B.

(1)直接写出抛物线L的解析式；

(2)如图1,过定点的直线^=履-左+4(后<0)与抛物线L交于点M、N.若△BMN的面积等于1,

求左的值.

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【分析】

（1）解析式：y=-x2+2x+l；

（2）考虑到直线过定点Q（1,4）,且M、N均为动点，故考虑用割补法.

S*BMN=Sv@BN-IQBM,分别过M、N作对称轴的垂线，垂足分别记为G、H,

=；QBXNH-*BXMG=；QB（NH一MG）=；QB匹-xM）,

考虑4一%〃：联立方程：一工2+2x+l=Ax-左+4,化简得—十（左一2）%—左+3=0,

2

XN~XM=个（k-2）-4（__+3）=y/k—8,:•SVBMN=耳'2xylk—8=1,

解得：k[=-3,左2=3（舍）.

故k的值为一3・

2024•齐齐哈尔•中考真题（删减）

7

2.如图，抛物线歹=--+5%+2上的点4C坐标分别为（0,2）,（4,0）,抛物线与x轴负半轴交于

点B,点M为y轴负半轴上一点，且。河=2,连接4C,CM,点P是抛物线位于第一象限图

象上的动点，连接/p,CP,当=S-CM时，求点P的坐标

【答案】P（2,5）

【分析】过点P作玄，x轴于点匕交线段4C于点E,用待定系数法求得直线4c的解析式为

1。设点P的横坐标为夕（0<?<4）,则尸，，一夕之+^2+2）,E（p,-^p+2],故

y=----x+2

2

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PE=-p2+4p(0<p<4),先求得3=6=8,从而得到■尸£℃=一2/+8。=8,解出p的

值，从而得出点P的坐标；

【详解】解：过点P作尸尸，x轴于点凡交线段4C于点瓦

设直线AC的解析式为y=Ax+加(左。0),

将4(0,2),。(4,0)代入歹=履+加，得

%=一；，...直线的解析式为〉=

m=2AC

,解得1--x+2

4左+机=0'2

m=2

设点P的横坐标为P(0<P<4)

则尸(P,一22+gp+2),E"gp+2),

PE=-p2+-^p+2-i1+2)=-p2+4p(0<p<4)

2

2

S„ACM=8,•••SAPAC=^PE-OC=-2p+8/7=8,解得月=02=2,：.尸(2,5)

南通・中考真题

3,定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的'等值点例如,

点(1,1)是函数+；的图象的“等值点”.

(1)分别判断函数y=x+2,/一X的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐

标；如果不存在，说明理由；

3

(2)设函数>=—(x>0),>=r+6的图象的“等值点”分别为点4,B,过点5作BCLx轴，垂

x

足为C.当A4BC的面积为3时，求b的值；

解：(1)在y=x+2中，令x=x+2,得0=2不成立，

A函数>=x+2的图象上不存在“等值点”；

在尸中，令炉一x=x,

解得：石=0,%2=2,

函数歹=——X的图象上有两个“等值点，，(0,0)或(2,2)；

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33

(2)在函数歹=一(%>0)中，令1=一，

XX

解得：X=G，

百)，

在函数>=-%+/?中，令x=—x+b,

解得：％=，

二畤，为，

•/BC_L/轴,

，0),

：.BC=^\b\,

■：A43C的面积为3,

••.1xl|/)|x|V3-^|=3,

当6<0时，〃一2回—24=0,

解得6=_26，

当0”6<26时，〃一2回+24=0,

△=(-273)2-4x1x24=-84<0,

•••方程b2-7.43b+24=0没有实数根，

当瓦.2g时,b2-2V3/)-24=0,

解得：b=46,综上所述，方的值为-26或

2024•山东泰安•中考真题

⑴求二次函数的表达式;

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⑵若点P在二次函数对称轴上，当V3CP面积为5时，求P坐标;

(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D,使/D43+//C8=90。；请判断小明的说法是否正确,

如果正确，请求出。的坐标；如果不正确，请说明理由.

【答案】(1)了=/+5》+4

⑵］川或L

【分析】(1)直接运用待定系数法求解即可；

(2)首先求出直线8C解析式，然后通过设尸点坐标，并表示对应。点坐标，从而利用“割补法”计

算V8CP的面积表达式并建立方程求解即可；

【详解】(1)解：将/(-4,0),8(-1,0)代入y=#+6x+4得:

16。-46+4=0£7—1

解得:.•.抛物线解析式为y=x2+5x+4；

a-b+4=06=5'

(2)解：由抛物线y=x?+5x+4可知，其对称轴为直线x=-g,C(0,4),

缶=4

设直线BC解析式为：y=kx+c,将8(-1,0),。(0,4)代入解得：^_4，

直线3C解析式为：y=4x+4,此时，如图所示，作尸0〃x轴，交3c于点0,

加+6m+6m+6

APQ=•c=!尸0(几一%)=;义x4=

4,•~BCP42

m+6

•・•要使得VBCP面积为5,二=5,解得：冽=4或加二一16,

2

，尸的坐标为

【题型2】作平行线解决面积问题

例2—1山东省临沂市•中考真题

5.在平面直角坐标系中，直线了=x+2与X轴交于点/,与y轴交于点8,抛物线

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y-ax2+bx+c{a<0)经过点A>B.

(1)求a、b满足的关系式及c的值.

(2)如图，当。=-1时，在抛物线上是否存在点P,使AP4B的面积为1?若存在，请求出符合条

件的所有点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】

(1)点力坐标为(-2,0),点B坐标为(0,2),

代人解析式可得：c=2,4a-2b+2=0

(2)考虑4、B水平距离为2,“以8的面积为1,故对应的铅垂高为1.

当a=—1时，可得b=—1,抛物线解析式为y=—X?—x+2.

取点C(0,3)作力B的平行线，其解析式为：y=x+3,

联立方程一x?—x+2=x+3,解得x=-l,故点弓坐标为(一1,2)

取点。(0,1)作4B的平行线，其解析式为：y=x+l,

2

联立方程一x~x+2=x+l,解得西=-1+也，x2=-1-V2.

2024•四川甘孜•中考真题

6.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于/㈠⑼，B两点，与y轴相交于点。(0，-3).

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（2）P为第一象限抛物线上一点，VP3C的面积与V/5C的面积相等，求直线4P的解析式

\b=-2,

【答案】⑴⑵y=x+l

[c=-3.

（3）存在，点p的坐标为（I+3T,-2+"Q或（1一0T,-2-"Q

【分析】（1）由待定系数法即可求解；

（2）5人8C=54小得到/「〃8<^,即可求解；

（3）由题意的：ZAEP=ZAEP',P'E=PE,即可求解.

[\-b+c=0,

【详解】（1）由题意，得《。

[c=-3.

[c=-3.

（2）由（1）得抛物线的解析式为y=x2-2x-3.

令尸0,贝UX2-2X-3=0,得士=1,x2=3.

：.B点的坐标为（3,0）.

SgBC=S&ABC,

AP//BC.

•：5（3,0）,C（0,-3）,

直线3c的解析式为y=x-3.

,/AP//BC,

：.可设直线AP的解析式为y=尤+机.

,/4（-1,0）在直线4尸上,

**.0=­1+加.

m=l.

，直线/P的解析式为>=%+1.

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四川凉山州•中考真题

7.如图，抛物线)=◎?+6尤+C的图象过点4-1,0)、8(3,0)、C(o,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点尸，使得APZC的周长最小，若存在，请求出点尸的坐标及

APNC的周长；若不存在，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合)，使得

5/>3=5怀"？若存在，请求出点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】

(1)抛物线解析式为：y=—x?+2x+3；

(2)将军饮马问题，作点C关于对称轴的对称点。(2,3),连接力0,与对称轴交点即为所求P

点，可得P点坐标为(1,2),△PAC的周长亦可求.

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(3)过点C作4P平行线与抛物线交点即为M点，联立方程得解；

记4P与y轴交点为Q点，作点C关于Q点的对称点点D,

过点D作AP的平行线，与抛物线在x轴上方部分的交点即为所求M点,

联立方程得解.

连云港•中考真题

8.如图，抛物线7=蛆2+(/+3.-(6加+9)与》轴交于点/、B,与>轴交于点C,已知

3(3,0).

(1)求用的值和直线8C对应的函数表达式；

(2)尸为抛物线上一点，若S^BCMS^BC，请直接写出点尸的坐标;

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2

解：(1)将8(3,0)代入夕=加/+(加2+3〃一(6〃z+9),化简得，m+m=Q,

则机=0(舍)或加=一1,/.m=-\,y=-x2+4x-3.

•••C(0,-3),设直线5c的函数表达式为y=履+人，

0=3k+bk=\

<^(3,0),C(0,-3)代入表达式，可得,一3=6，解得，

b=-39

直线3C的函数表达式为y=x-3.

(2)如图，过点工作/[/ABC,设直线交V轴于点G,将直线3c向下平移GC个单位，得到

4L0),

直线/G的表达式为y=x-l,

y=x-lX=1x=2

联立厂3+4.3,解得)=0,或

7=1

.•.片(2,1)或(1,0),

由直线ZG的表达式可得G(0,-l),

GC=2,CH=2,

二.直线的表达式为：y^x-5,

y=x-5

联立

y=-x2+4x—3

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3-V173+V17

X二-------x二-------

2或2

解得，I---，，

-7-V17-7+V17'

y=

2y=~T~

，-后、3+#7-7+V17

.••什■），；

2-'22

符合题意的点尸的坐标为：（2,1）,（1,0）,（智立，-7-,（士手，

综上可得，

-7+V17

-2-

2024•黑龙江•中考真题

9.如图，抛物线y=a/+6x+3与x轴交于N（-3,0）,3（l,0）两点，交了轴于点C.

（1）求抛物线的解析式.

（2）抛物线上是否存在一点尸，使得Sv?Bc=gSv4Bc，若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请

说明理由.

【答案】（1）＞=---2x+3

⑵存在，点户的坐标为（-2,3）或（3,-12）

【分析】（1）采用待定系数法，将点A和点B坐标直接代入抛物线y=ax?+6x+3,即可求得抛物线

的解析式.

（2）过线段NB的中点且与3c平行的直线上的点与点B,点。连线组成的三角形的面积都等

于;Sv®,则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可

求得答案.

【详解】（1）解：因为抛物线y=ax?+6x+3经过点/（-3,0）和点8（1,0）两点，所以

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J9a-36+3=0

[。+6+3=0'

解得

[a=—\

[b=-2f

所以抛物线解析式为：y=-x2-2x+3.

（2）解：如图，设线段22的中点为D,可知点。的坐标为（-1,0）,过点。作与8C平行的直线/,

假设与抛物线交于点月，P2（月在巴的左边），（心在图中未能显示）.

设直线BC的函数解析式为y=kx+b1（k^0）.

因为直线3c经过点8（1。）和。（0,3）,所以

肚+4=0

U=3,

解得（[左二=—33，

所以，直线3C的函数解析式为：y=-3x+3.

又以//BC,

可设直线《鸟的函数解析式为丁=-3%+仇,

因为直线4鸟经过点。（-1,0）,所以

3+仇=0.

解得仇=—3.

所以，直线/[5的函数解析式为y=-3x-3.

根据题意可知，

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S\JDBC=5S7ABC•

叉PFJIBC,

所以，直线斗巴上任意一点尸,与点8,点C连线组成的VP'5C的面积都满足SVPBC=；Sv48C，

所以，直线65与抛物线y=-%2—2X+3的交点6,鸟即为所求，可得

—3x—3=-—2x+3,

化简，得

%2-x—6—0,

解得万=3,、2二一2,

所以，点4的坐标为（-2,3）,点鸟的坐标为（3,-12）.

故答案为：存在，点尸的坐标为（-2,3）或（3,-12）.

江苏徐州•中考真题

10.如图，点/、3在夕=?/的图象上.已知工、3的横坐标分别为-2、4,直线N3与y轴交于

点、C,连接。4、OB.

（1）求直线的函数表达式；

（2）求。。3的面积；

（3）若函数y=的图象上存在点尸，使"45的面积等于A4O5的面积的一半，则这样的点尸

4

共有个.

/、2的横坐标分别为-2、4,

―,3（4,4）,

设直线48的解析式为〉=依+6,

-2k+b=\k=-

必+1，解得2,

b=2

直线AB为y=-x+2；

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(2)在y=；x+2中，令1=0,则歹=2,

/.C的坐标为(0,2),

OC=2,

二.SMOB=SMOC+^^BOC=-x2x2+—x2x4=6.

(3)过OC的中点，作48的平行线交抛物线两个交点召、P2,此时的面积和△£45的面

积等于A4O5的面积的一半，

作直线片鸟关于直线45的对称直线，交抛物线两个交点6、舄,此时△鸟45的面积和△鸟45的面

积等于A4O5的面积的一半，

所以这样的点尸共有4个，

故答案为4.

【题型3】面积比例问题的转化定值问题或函数表达式

例3-1内蒙古通辽市•中考真题

11.已知，如图，抛物线＞=办2+6x+c(aw0)的顶点为"(1,9),经过抛物线上的两点4-3,-7)和

的直线交抛物线的对称轴于点C.

(1)求抛物线的解析式和直线48的解析式.

(2)在抛物线上/、M两点之间的部分(不包含/、M两点)，是否存在点。，使得5皿。=2%6?

若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

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【分析】

(1)设顶点式，代入4点坐标，可得解析式为：y=-x2+2x+8.

当x=3时，y=5,故点B坐标为(3,5),直线4B的解析式为：y=2x-l.

(2)铅垂法表示乙4CD的面积：

设点D坐标为(m,-m2+2机+8),过点O作DP±x轴交48于P点，

则P点坐标为(m,2加-1),线段DP=一标+9,

2

lx4x(-m+9)--2m2+18,

^MACD21

面积公式表示△MCD的面积：

过点。作。Q_LMC交MC于点Q,则DQ=l-m,

S\MCD=g*MCxDQ=；x8x(l-加)=-4m4-4

2

S'DAC=2SV℃M，-2m+18=2(-4/77+4)

解得：m=5或一1.考虑。点在4、M之间的抛物线上，故m=-1.

。点坐标为(一1,5).

2024•辽宁盘锦•中考真题

12.如图，抛物线了=尔+加+3与x轴交于点5(3,0),与夕轴交于点C.

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（1）求抛物线的解析式.

（2）如图，点£是第一象限内一点，连接NE交了轴于点。，NE的延长线交抛物线于点尸，点尸在线

段C。上，Q.CF=OD,连接E4,FE,BE,BP,若S△小=5^理，求VP/8面积.

7

【答案】⑴y=+2%+3,⑵0（2,3）,（3）—

/、/、.{u—b-\-3=0

【分析】（1）将点N（T，O）,8（3,0）代入抛物线;；=尔+云+3得到9°+36+3_（），解方程组即可得

到答案；

（2）设MN=4m,BN=3m,JJ']BM=QM=5m,则。N=9m，ON=3-3m,从而表示出点0的

坐标为（3-3根,9%），代入抛物线解析式，求出加的值即可得到答案；

（3）求出直线/P的表达式，利用％4在=SWE,得到;。尸•（乙-4）=；/9力，求出点P的坐标,

再根据SypAB=g/iBxyp进行计算即可得到答案.

【详解】（1）解：:抛物线歹=a/+6x+3与％轴交于点4（一1,0）,5（3,0）,

[Q—b+3=0[Q=—1

二•C羽a八，解得：入。，•二抛物线的解析式为：y=*+2x+3；

[9a+3b+3=0[b=2

（2）解：设点P（加，-加之+2加+3）,直线力尸的解析式为y=履+6,

-k+b=0k=-(m-3)

••7（T，0）,

km+b-—m2+2m+36=-(m-3)

二直线4P的解析式为y=-("?-3)x-(w-3),当x=0时,y=-(m-3)=3-m,

.'.(0,3-m),:.OD=3-m,:.CF=OD=3-m,

在抛物线y=-x2+2x+3中，当x=0时，＞=3,；.C(0,3),OC=3,

:.DF=OC-OD-CF=3-[3-m)-{i-m)=2m-3,

设点E的坐标为«，一(机一3)/-(相一3)),v^(-1,0),3(3,0),.14g=4,

:.^DF\xA-xE)=^AB-yE,.-.|x(2ffl-3)x(z+l)=|x4x[-(m-3)?-(m-3)],

5(57、1177

解得：m=~,「•点P的坐标为于z,-S„PAB=-ABxyp=-x4x-=-.

13.在平面直角坐标系X分中，已知抛物线＞=办2+区经过力(4,0),B(1,4)两点.P是抛物

线上一点，且在直线4B的上方.

高考复习材料

(1)求抛物线的解析式;

(2)若△CMB面积是APAB面积的2倍，求点P的坐标

【答案】(1)y=一#+*,⑵存在，果或(3,4)

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；

416

(2)待定系数法求得直线的解析式为歹过点P作PMJ_x轴，垂定为M,PM交AB

于点N.过点B作BE，PM,垂足为E.可得SAPAB=S^PNB+S^PNA=^PN,设

,则加+号).由尸N=(-十/+争〃)一(一■|〃?+号)=4，解方

程求得加的值，进而即可求解；

【详解】(1)解：(1)将2(4,0),B(1,4)代入＞=办2+6无，

'__4

[164+46=0a34716

得,“，解得《，’.所以抛物线的解析式为y=-3/+与x.

a+b=41635

i7b=—

13

(2)设直线的解析式为丁二履+《左。0),

将/(4,0),B(1,4)代入歹=履+£,

k=--

(r4k+t=03416

得＜74,解得“•所以直线48的解析式为》=--X+—.

左+，=41633

1t=—

3

过点P作PM_Lx轴，垂足为M,PM交AB于点、N.

过点B作BELPM,垂足为E.

高考复习材料

所以SAPAB=SsAPNA=/NXBE吟PNXAM=卅乂回+AM)*PN.

因为4(4,0),B(1,4),所以SeB=gx4x4=8.

因为△Q4B的面积是△R4B面积的2倍，所以2x5PN=8,PN=~.

乙J

设尸(九一刎2+与加)(1＜加＜4),则N(加，一料+埒.

所以於卜刎y4修+同吟即一轲+多一号咚

解得叫=2,加2=3.所以点P的坐标为(2,g)或(3,4).zz

2024•福建•统考模拟预测

14.在平面直角坐标系x。，中，已知抛物线了="2+加经过N(4,0),B(1,4)两点.P是抛物

线上一点，且在直线48的上方.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若△O/B面积是△尸N8面积的2倍，求点P的坐标；

【答案］⑴＞=_#+等

⑵存在，0号或(3,4)

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；

416

(2)待定系数法求得直线48的解析式为歹=-§、+了，过点尸作轴，垂足为PM爻

AB于点、N.过点、B作BE工PM,垂足为E.可得以咖=+$加=“N,设

网”?,_十"2+号"?)(1＜机＜4),则NO",*加+号).由尸N=(_点"2+号机)―(号加+里昔，解方

程求得加的值，进而即可求解；

【详解】(1)解：(1)将/(4,0),B(1,4)代入歹=办2+云，

高考复习材料

__4

116a+46=0a=~34，16

得〈,“，解得〈，，.所以抛物线的解析式为＞=*/+半x.

\a+b=41633

ib7=—

I3

(2)设直线的解析式为歹=履+%(左。0),

将4(4,0),B(1,4)代入＞=履+乙

[4k+t=0

得周=4，

一

3

解得〔J•

16

t=—

13

416

所以直线AB的解析式为j^=-jx+—.

过点尸作尸W_Lx轴，垂足为PM史AB于,&N.

过点、B作BE工PM,垂足为瓦

所以S,B=S/B+SAPNA=±PNXBE*PNXAM=±PNx1BE+AM).PN.

因为/(4,0),B(1,4),所以&O/B=；X4X4=8.

因为4OAB的面积是△P/8面积的2倍，

所以2x=尸N=8,PN=~.

2，3

设《加，一方—+号相)(i＜加＜4),则N(加,一方加+号).

所以PN十刎+部卜卜枭+竽卜号,

理4"2,20妨168

3333'

解得加i=2,加2=3.

所以点P的坐标为〔2,g)或(3,4).

高考复习材料

【题型4】面积比例问题的转化为线段比

例4—1

15.如图，抛物线y=af+2x+c(a<0)与x轴交于点N和点8(点N在原点的左侧，点2在原点的

右侧)，与>轴交于点C,OB=OC=3.

(1)求该抛物线的函数解析式.

(2)如图，连接2C,点。是直线8c上方抛物线上的点，连接CD.OD交BC于点、F,当

SXCOF；SXCDF=3:2时,求点D的坐标.

【分析】

(1)解析式：y=-/+2x+3

(2)显然△COF和△CDF共高，可将面积之比化为底边之比.

OF:DF=S^C0F:SWDF=3:2,

思路1:转化底边之比为“2”字型线段比

在y轴上取点E(0,5),(为何是这个点？因此此时。C:CE=3:2)

过点E作BC的平行线交x轴于G点，

EG与抛物线交点即为所求。点，

根据平行线分线段成比例，OF:FD=OC:CE=3：2.

直线EG解析式为：y——x+5,

与抛物线联立方程，得：-x2+2%+3=-%+5,

解得：玉=1,x2=2.

故。点坐标为(1,4)或(2,3).

思路2:转化底边之比为“8”字型线段比

高考复习材料

过点。作OG〃y轴交BC边于点G,则——=—,又0C=3,故点G满足0G=2即可.这个问题设

FDDG

D点坐标即可求解.

OF0B

也可以构造水平“8”字，过点。作OG〃x轴交BC于点G,则一=——，又。B=3,；.DG=2即

FDDG

可.但此处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议.

其实本题分析点的位置也能解：

思路3:设点D坐标为(加+2川+3),

(3369\

根据。F:DF=3:2,可得尸点坐标为1加2+1"[+1]，

点F在直线上，将点坐标代入直线BC解析式：y=-x+3,

3693、

——m2+—m+—=——加+3.

5555

解得㈣=1,m2=2,

故。点坐标为(1,4)或(2,3).

这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由D点坐标如何得到尸点坐标.

深圳市中考真题

16.如图抛物线经昨苏+6x+c过点N(TO),点C(0,3),且O8=OC.

(1)求抛物线的解析式及其对称轴；

(2)点尸为抛物线上一点，连接CP,直线。尸把四边形C5PZ的面积分为3:5两部分，求点尸的坐

标.

高考复习材料

【分析】

（1）解析式为y=-》2+2x+3,对称轴为直线x=l.

（2）连接CP,可将四边形CBP力分为△CAP和

即SvCAP-SvCBP=3.5或SvCAP,SycBP=53.

考虑和△CBP共底边CP,记CP与x轴交于点M,则SVCAP:s7cBp=AM:BM

①BM=5:3,点M坐标为IM，

根据C、M坐标求解直线CM解析式：y=-2x+3,

联立方程：+2x+3=-2x+3,解得：再=。（舍），x2=4.

故P点坐标为（4,-5）.

②AM:BM=3:5,点M坐标为

根据C、M坐标求解直线CM解析式为：y=-6x+3,

联立方程：-f+2x+3=-6x+3,解得：再=0（舍），了2=8.

故P点坐标为（8,-45）.

高考复习材料

牡丹江中考真题

17.抛物线y=-/+阮+c经过点A(-3,0)和点C(0,3).

(1)求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点。的坐标；

(2)若过顶点。的直线将A4c〃的面积分为1:2两部分，并与x轴交于点。,则点。的坐标

为—,

注：抛物线^ax2+bx+c(a^0)的顶点坐标,)

y2a4a

角单d寻：＜,y——x2—2x+3,*.*y=—x~—2x+3=—(x+1)~+4,

[c=3

顶点。(一1,4).

(2)取线段/C的三等分点E、F,连接。£、。尸交x轴于点贝h

高考复习材料

s皿E：SADEC=1:2,=2:1,•・•点）（一3,0）,点C（0,3）,

二.£（一2,1）,尸（一1,2）,尸二轴于点2,，02（-1,0）,

设直线DE的解析式为：y=kx+b（k0）,

+6=4