广东省广州增城市2024年高考适应性考试数学试卷含解析

广东省广州增城市2024年高考适应性考试数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在AABC中，a,dc分别为所对的边，^^f（x）=^x3+bx2+（a2+c2-ac）x

+1有极值点，则的范围是（）

2.已知命题p:元<2加+l,q:%2一5犬+6<0,且2是4的必要不充分条件，则实数加的取值范围为（）

11

A.m>—B.m>—C.m>lD.m>l7

22

丫2

3.已知耳，£是双曲线y2=i（〃〉o）的两个焦点，过点片且垂直于1轴的直线与。相交于A,B两点，若

\AB\=42,则AABF2的内切圆半径为（）

A,也R出「3近D.正

3333

4.计算/og21.n5〃)^^

sin—cos—1等于()

3322

A.——B.-C.——D.-

33

5.已知函数=［置2（：l），x>L则/［/（_2）］=（）

,•A-—

A.1B.2C.3D.4

已知双曲线c：123

6.-A=1(。>0,6>0)的渐近线方程为y=?—x,且其右焦点为（5,0）,则双曲线C的方程为（)

ab4

22

D/

A.乙-乙=1B-cY

9163443

7.在正方体ABC。—4月GA中，点石，F,G分别为棱AA，RD,4月的中点，给出下列命题：①AC]LEG；

71

②GC//ED③5c平面8GG；④阶和即成角为“正确命题的个数是()

A.0c.2D.3

6

8.+-I的展开式中的常数项为()

x

A.-60B.240C.-80D.180

9.欧拉公式为*=cosx+isinx,(i虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数,

建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e至表

示的复数位于复平面中的()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.已知函数/(x)=3sin(+>0,0<0<兀)，若/0,对任意xeR恒有/(%)W,在

71兀

上有且只有一个王使/(石)=则。的最大值为(

区间15"~53,)

123111105117

A.B.——C.D.

~T4~4~

11.设i是虚数单位，贝！1(2+3。(3-2。=()

A.12+51B.6-6iC.5iD.13

12.已知函数/(x)=ln%-@+a在xe[l,e]上有两个零点，则。的取值范围是()

X

A.士TB.C.士TD.[-1,e)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知两个单位向量a,b满足则向量4与6的夹角为.

14.(x+l)(x-2)6展开式中%2的系数为

15.已知正四棱柱的底面边长为3cm,侧面的对角线长是3j$cm,则这个正四棱柱的体积是cm3.

16.AABC内角A,B,C的对边分别为b,c,若2ccosB=2a+b,则NC=

解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(%)=|%—3|+|%—1].

(1)若不等式/(x)Kx+根有解，求实数加的取值范围；

(2)函数/(%)的最小值为〃，若正实数〃，b,。满足Q+Z?+C=〃，证明：4ab+be+ac>Sabc.

x=3+4/

18.(12分)在直角坐标系x0y中，直线/的参数方程为<°.,。为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半

[y=-2+3t

轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕2+2夕cos。-8=0.

(1)求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若点。是直线/的一点，过点0作曲线C的切线，切点为Q,求归。|的最小值.

19.(12分)以直角坐标系x0y的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位.已知曲线C的

x=4+3cos9

参数方程：\.八(。为参数)，直线/的极坐标方程：6>=a(«e[0,^),pe7?)

y=3+3sin，

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)若直线/与曲线。交于A、B两点,求|。4|+|。河的最大值.

x=2+2cosa

20.(12分)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为〈0.(戊为参数).以坐标原点。为极点，x

y=2sincu

轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为夕sin(e+j)=等.

(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

(2)设点M(0,l),若直线/与曲线C相交于A、B两点,求的值

21.(12分)在，ABC中，内角A氏C的对边分别是a,dc,满足条件c=2b-伍,C=工.

4

(1)求角A；

(2)若ABC边AB上的高为石，求AB的长.

22.(10分)已知函数/(X)=e*+ax,g(x)=e*lnx.

(1)若对于任意实数％之0,/(力>0恒成立，求实数。的范围；

(2)当a=—1时，是否存在实数无[Le],使曲线C：y=g(x)—“X)在点尤。处的切线与V轴垂直？若存在，求

出无。的值；若不存在，说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

试题分析：由已知可得/'(尤)=-+2法+(a?+o2_a,=°有两个不等实根

=4>A=4b2-4(。2+c2—ac)>0a2+c2-Z?2<ac=>cosB=；———<；=>3e,兀］.

考点：1、余弦定理；2、函数的极值.

【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑

思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先利用转化化归思想将原命题转化为

/'(%)=尤2+2法+(4+—ac)=0有两个不等实根,从而可得

A=4人2-4(«2+c2-ac)>0=>«2+c2-&2<acncosB="———<—=>5e］?，兀］.

'，lac2UJ

2、D

【解析】

求出命题q不等式的解为2(尤<3,。是q的必要不充分条件，得q是。的子集，建立不等式求解.

【详解】

解：命题〃：x<2根+1，4：/一5%+6<0,即：2<x<3,

。是q的必要不充分条件，

.,.(2,3)=(=»,2m+1,),

:.2m+l>3,解得"21.实数僧的取值范围为切21.

故选：D.

【点睛】

本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：

⑴解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参

数的不等式(组)求解.

⑵求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验.

3、B

【解析】

首先由|A5|=行求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求

解.

【详解】

由题意6=1将x=-c代入双曲线C的方程，得y=±—则一=12,4={2,。=，3,由

aa

\AF2\-\AF]\=\BF2\-\BFl\=2a=242,^^ABF2的周长为

\AF2\+\BF2\+\AB\=2a+\AFl\+2a+\BFl\+\AB\=4a+2\AB\=6y/2,

设AABK的内切圆的半径为厂，则工x60r=Lx26x0,r=3,

223

故选：B

纣

\

【点睛】

本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想,属于中档题.

4、A

【解析】

利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.

【详解】

原式=l0g2中xcos(2〃—=log2^xcosM=log2=log22^_3

--

乙\DJ乙\JJ乙乙2,

故选：A

【点睛】

本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.

5、C

【解析】

结合分段函数的解析式,先求出了(-2),进而可求出/[/(-2)].

【详解】

由题意可得4―2)=32=9,则/[/(-2)]=/(9)=log2(9-l)=3.

故选:C.

【点睛】

本题考查了求函数的值，考查了分段函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题.

6^B

【解析】

I)3X2-V2

试题分析：由题意得一=：,c2=a-+b2=25,所以a=4,b=3,所求双曲线方程为上―乙=1.

a4169

考点：双曲线方程.

7、C

【解析】

建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.

【详解】

设正方体边长为2,建立空间直角坐标系如下图所示，A(2,0,0),q(0,2,2),G(2,l,2),

C(0,2,0),E(l,0,2),D(0,0,0),JB1(2,2,2),F(0,0,l),JB(2,2,0).

①，=(—2,2,2),EG=(l/,0),AG-£G=—2+2+0=0,所以AC1，EG,故①正确.

②，GC=(-2,1,-2),ED=(-1,0,-2),不存在实数彳使GC=丸红＞,板GCIIED不成立,故②错误.

③，BXF=(-2,-2,-1),=(0,-1,2),BCX=(-2,0,2),“麻=0,即.%=2w0,故即F平面不

成立，故③错误.

EF•BB[

④,EF=(—1,0,—1),54=(0,0,2),设即和3耳成角为0,则cos8=由于

\EF[\BB]

,所以9=5,故④正确・

综上所述，正确的命题有2个.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.

8、D

【解析】

求（d—的展开式中的常数项，可转化为求展开式中的常数项和《项，再求和即可得出答案.

【详解】

由题意，中常数项为=60,

：中《项为图可0=2吗,

所以（丁―的展开式中的常数项为：

X3x240^-1x60=180.

x

故选：D

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.

9、A

【解析】

计算=cos2+isin工得到答案.

3322

【详解】

根据题意d*=cosx+isinx,故e®=cos—+zsin—=—H———z,表示的复数在第一象限.

3322

故选：A.

【点睛】

本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.

10、C

【解析】

IJTJT\

根据/(%)的零点和最值点列方程组，求得私。的表达式(用人表示)，根据〃下)在石,W上有且只有一个最大值,

求得0的取值范围，求得对应攵的取值范围，由左为整数对左的取值进行验证，由此求得。的最大值.

【详解】

兀73(24+1)

---CD~\~(p—CD=------

3

由题意知＜匕,公eZ,贝卜,4其中左=匕一匕，k'=k'+k、.

兀,兀(2左'+1)兀

+/=42兀+'，

9=-4—，

上有且只有一个最大值，所以工—乌=@〈2丁，得0＜。＜30,即3(2k+1)«30,所以

515154

左＜19.5,又左eZ,因此左V19.

717

---G)+(p=女］兀，

11r7Q兀兀

①当左=19时，co=——，此时取。二』可使＜3成立，当xe

15"~5时,

44兀,71

—a)+(p=k2Ti+—,

—%+ye(2.771,6.6^),所以当(匹=4.5兀或6.5兀时，〃%)=3都成立，舍去;

兀7

---CD-\-(P—与冗,

②当左=18时，。=工，此时取e=二可使＜3成立，当xe兀兀时,❷+臬

9(2.1兀,5.8兀),

44兀7兀15744

§口+/=&兀+万，

所以当一匹+：=2.5兀或4.5兀时，/(%)=3都成立，舍去;

兀7

---(p—左］兀，

③当％=17时'由及'此时取展+可使'3成立，当xe兀兀1053兀

时,-------XH--------G(2.571,671),

兀,兀159?44

+/兀+于

所以当学玉+亍=4.5兀时，/(%)=3成立；

综上所得。的最大值为U曳.

4

故选:C

【点睛】

本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数

学思想方法，属于中档题.

11、A

【解析】

利用复数的乘法运算可求得结果.

【详解】

由复数的乘法法则得(2+3z)(3-2z)=6+5Z-6Z2=12+5Z.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.

12、C

【解析】

对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数/(九)的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.

【详解】

:+/=］«国.

当1时，/(%)在［l,e］上单调递增，不合题意.

当aK—e时，/f(%)<0,/(尤)在［1,6］上单调递减，也不合题意.

当—e<a<—l时，则时，/'(九)<0,/(%)在［1,一。)上单调递减，xe(—a,e］时，/,(%)>0,/(九)在

(—a,e］上单调递增，又/⑴=0,所以“力在xe［l,e］上有两个零点，只需/(e)=l—/+a»0即可，解得

e

-----V〃<-1・

1-e

综上，。的取值范围是-^-,-11.

Ll-e)

故选C.

【点睛】

本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2

3

【解析】

--1

由|a+〃|=|a|得cos〈a力〉=—Q,即得解.

【详解】

由题意可知|a\=\b\=\,贝！)|a+/＞『=2+2a•5=

解得。必=一,，所以cos〈a,Z?〉=一，，

22

27r

向量。与b的夹角为

2

故答案为：y

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14、48

【解析】

变换(x+l)(x—2)6=%(%—2)6+(l—2)6,根据二项式定理计算得到答案.

【详解】

6rr666

(尤―2)6的展开式的通项为：7；+1=C；x--(-2),(X+1)(X-2)=X(X-2)+(X-2),

取r=5和r=4,计算得到系数为：C；•(一2丫+或•(—2)4=48.

故答案为：48.

【点睛】

本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

15、54

【解析】

Aa设正四棱柱的高为h得到的+后==勿=6,故得到正四棱柱的体积为7=9x6=54.

故答案为54.

16、120°

【解析】

*/2ccosB=2a+Z?,2cx---------------=2a+b,即a1+b2-c2—cibf

lac

a2+/-2

:.cosC=c：.C=120°.

lab2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)［-l,+oo)(2)见解析

【解析】

⑴分离机得到g(x)=/(九)—x=|x-3|+|x—l|-x,求g(x)的最小值即可求得〃z的取值范围；(2)先求出"，得到

a+b+c=2,利用乘"1"变化即可证明不等式.

【详解】

-3x+4,x<1

解：(1)设g(%)=/(%)_%=k_3|+|%_1_x=<_尤+2,1<%<3,

x-4,x>3

・・・g(%)在(-8,3］上单调递减，在(3,+8)上单调递增.

故g(%)min=g(3)=一1.

•••且":)4根有解，・・・加2—1.

即加的取值范围为［-1,+8).

(2)/(x)Hx-3|+|x-l|>|(x-3)-(x-l)|=2,当且仅当14%V3时等号成立.

.•.〃=2,即a+/?+c=2.

,74〃4bce

V(ez+Z?+c)—+—+—=l+—+——+l+—+——+4z+l—+—

\abc)bcacab

/ab4ac4bc、1「

=6+—+—+——+—+—+—>16.

bacacb

当且仅当a=2，b=~,c=l时等号成立.

22

II4

—H----F—>8,即4a/?+〃。+。。力8。)。成立.

abc

【点睛】

此题考查不等式的证明，注意定值乘，T变化的灵活应用，属于较易题目.

18、(1)3%—4y—17=0,(x+l)2+/=9；(2)见解析

【解析】

(1)消去t,得直线/的普通方程，利用极坐标与普通方程互化公式得曲线C的直角坐标方程；(2)判断/与圆4相离,

连接在放AAPQ中，怛IAQF242—32=7,即可求解

【详解】

元=3+4%

(1)将/的参数方程—cC(，为参数)消去参数，得3x-分-17=0.

[y=-2+3t

X=pcosdc

因为〈,夕？+22cos6-8=0,

y=psinO

所以曲线C的直角坐标方程为(x+l『+y2=9.

(2)由(1)知曲线C是以(—1,0)为圆心，3为半径的圆，设圆心为4,

1-3-171

则圆心A到直线I的距离d=J------L=4〉3,

5

所以/与圆A相离，且|出".

连接AQ,AP,在放AAPQ中，怛Q|2=|R4『—|AQ/"2—32=7,

所以，|PQ|之有，即归0的最小值为近.

【点睛】

本题考查参数方程化普通方程，极坐标与普通方程互化，直线与圆的位置关系，是中档题

19、(1)02-8夕cos6-6夕sin8+16=0；(2)10

【解析】

(1)消去参数，可得曲线C的普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，代入即可求得曲线C的极坐标方程;

(2)将，代入曲线C的极坐标方程，利用根与系数的关系，求得与+22，夕122,进而得到

\O^+\OB\=\PlI+|p21=10|sin(«+^>)|,结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】

x=4+3cos6、，公

(1)由题意，曲线C的参数方程为...八(。为参数)，

y=3+3sin，

消去参数，可得曲线C的普通方程为(x—4)2+(y—3)2=9,即/+8x—6y+16=0,

又由x=pcos0,y=psin0,x~+y2=p1,

代入可得曲线。的极坐标方程为02一82cos6—62sine+16=0.

(2)将。=。(。£[0,乃))代入夕2_8Qcos9-6/7sine+16=0,

夕1+R=8cosa+6sincr

得夕2—(8cosa+6sina)夕+16=0,即<

4P2=16〉0

所以+=回+|/721T8cosa+6sinM=10卜皿。+砌,

4TC

其中tan0=—,当a+0=一时，|O4|+|。同取最大值，最大值为10.

32

【点睛】

本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及曲线的极坐标方程的应用，着重考查

了运算与求解能力，属于中档试题.

20、(1)C的普通方程为(x—2)2+寸=4,/的直角坐标方程为x+y=l；(2)36.

【解析】

pcos3=x

(1)在曲线。的参数方程中消去参数。可得出曲线C的普通方程，利用两角和的正弦公式以及.八可将直

psmc/=y

线I的极坐标方程化为普通方程；

[6

x_-----1t

2

(2)设直线/的参数方程为£la为参数)，并设点4、3所对应的参数分别为6、%,利用韦达定理可

I2

求得|舷4|+|〃6|=匐+囿的值.

【详解】

%=2+2cosa

(1)由1,得x—2=2cose,y=2sin。，

y=2sina

•••曲线C的普通方程为(x-2)2+丁=4,

由夕sin[e+71?)=乎，

得夕5也夕+夕(：05。=：1,二直线/的直角坐标方程为％+丁=1；

4

_A/2

x-------1

2

(2)设直线/的参数方程为广a为参数)，

E+2

2

代入(x—2)?+y2=4,得/+3"+1=0,则A=18—4=14>0,

设A、6两点对应参数分别为:、t2>+r2=-3A/2<0,32=1>°，

<0,与<0，阿+|岫=11|+卜2|=，1+胃=3拒.

【点睛】

本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，考查计算能

力，属于中等题.

21、(1)j.(2)2G-2

【解析】

(1)利用正弦定理的边角互化可得sinC=2sinB—gsinA，再根据3=%-A—C=万-A+f,利用两角和的

正弦公式即可求解.

L71

(2)已知09=6，由A=一知AT)=1,在ABDC中,解出BD即可.

3

【详解】

(1)由正弦定理知

sinC=2sinB-&sinA

由己知C=?,而5=〃_A_C=〃_]A+£]

=2sin(A+(1—0sinA

=A+^^sinA-\/2sinA

=A/2COSA

“1,n

cosA=—,A=一

23

(2)已知CD=6，

TC

则由A=§知AD=1

5CD

B=7i—A—C=—