《3.2双曲线》同步练习及答案

《3.2双曲线》同步练习一、单选题1．双曲线的焦点坐标为（）A． B． C． D．2．已知双曲线的离心率为2，则实数的值为()A．4 B．8 C．12 D．163．下列双曲线中，渐近线方程为的是（）A． B． C． D．4．已知双曲线离心率为3，则双曲线C的渐近线方程为()A． B． C． D．5．已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离为（）A．1 B． C．2 D．6．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线分别与两条渐近线交于、两点，若，，则（）A． B． C．1 D．7．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．8．已知双曲线中心为原点，焦点在轴上，过点，且渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A． B． C． D．9．双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（）．A．2 B． C．4 D．10．已知双曲线的离心率为，则它的一条渐近线被圆截得的线段长为（）A． B． C． D．二、多选题11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是()A．离心率为 B．双曲线过点C．渐近线方程为 D．实轴长为412．已知双曲线，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则有（）A．渐近线方程为 B．C． D．渐近线方程为13．已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（）A．点的横坐标为B．的周长为C．小于D．的内切圆半径为三、填空题14．双曲线的渐近线方程为_____．15．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．16．已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为____.17．过点的直线与直线垂直，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则双曲线的渐近线方程为_______，离心率为_______.四、解答题18．双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）求双曲线的离心率及渐近线方程.19．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知双曲线E过点，且双曲线E的焦点与椭圆C的焦点重合，求双曲线E的标准方程.20．过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于A、B两点，（1）求双曲线的离心率和渐近线；（2）求|AB|.21.已知三点，，.（1）若椭圆过两点，且为其一焦点，求另一焦点的轨迹方程；（2）直线，相交于点，且它们的斜率之和是2，求点的轨迹方程.22．已知双曲线C：(a＞0，b＞0)与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．（1）求双曲线C的标准方程；（2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．23．已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为.（1）求双曲线的方程；（2）若斜率为2的直线交双曲线交于两点，且，求直线的方程.答案解析一、单选题1．双曲线的焦点坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，焦点在轴上，所以，因此所以焦点坐标为；故选B2．已知双曲线的离心率为2，则实数的值为()A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【解析】因为双曲线的离心率为2，所以，解得.故选：C.3．下列双曲线中，渐近线方程为的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】C.，渐近线为：；D.，渐近线为：；故选：.4．已知双曲线离心率为3，则双曲线C的渐近线方程为()A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，由双曲线的几何性质可得渐近线方程为：，故选：C5．已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离为（）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】由题知：，，.到直线的距离.故选：A6．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线分别与两条渐近线交于、两点，若，，则（）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】由，可知，则，因为双曲线的渐近线为，所以，，故为正三角形，且，所以为的中位线，为线段的中点，即，故.故选：C.7．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】将双曲线的标准方程表示为，由于该双曲线的渐近线方程为，则，因此，该双曲线的离心率为.故选：A.8．已知双曲线中心为原点，焦点在轴上，过点，且渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】渐近线方程为,设双曲线方程为,将的坐标代入方程得,,求得则该双曲线的方程为.故选:C.9．双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（）．A．2 B． C．4 D．=【答案】C【解析】设双曲线的焦距为2c，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C．10．已知双曲线的离心率为，则它的一条渐近线被圆截得的线段长为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得e，即ca，即有ba，设双曲线的一条渐近线方程为yx，即为y＝x，圆的圆心为（3，0），半径r＝3，即有圆心到渐近线的距离为d，可得截得的弦长为22．故选：D．二、多选题11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是()A．离心率为 B．双曲线过点C．渐近线方程为 D．实轴长为4【答案】ABC【解析】由题意，可得：焦点在轴上，且；A选项，若离心率为，则，所以，此时双曲线的方程为：，故A正确；B选项，若双曲线过点，则，解得：；此时双曲线的方程为：，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为：，所以，解得：，所以此时双曲线的方程为：，故C正确；D选项，若实轴长为4，则，所以，此时双曲线的方程为：，故D错误；故选：ABC.12．已知双曲线，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则有（）A．渐近线方程为 B．C． D．渐近线方程为【答案】AC【解析】双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30°，可得：，即，故e．且，故渐近线方程为渐近线方程为故选：AC．13．已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（）A．点的横坐标为B．的周长为C．小于D．的内切圆半径为【答案】ABC【解析】设的内心为，连接，双曲线：中的，，，不妨设，，，由的面积为20，可得，即，由，可得，故A符合题意；由，且，，可得，，则，则，故C符合题意；由，则的周长为，故B符合题意；设的内切圆半径为，可得，可得，解得，故D不符合题意．故选：ABC．三、填空题14．双曲线的渐近线方程为【答案】【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为15．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．【答案】【解析】由双曲线的相关性质可知，双曲线的焦点为，顶点为，所以椭圆的顶点为，焦点为，因为，所以椭圆的方程为，故答案为。16．已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】据题设分析知，，所以，得，所以双曲线的离心率.17．过点的直线与直线垂直，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则双曲线的渐近线方程为_______，离心率为_______.【答案】，【解析】过点的直线与直线垂直，直线的方程为，双曲线的两条渐近线方程为，将两个方程联立，可得，，的中点坐标为，点满足，点在线段的中垂线上，即，，则，，渐近线方程为，离心率为.故答案为：，.四、解答题18．双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）求双曲线的离心率及渐近线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意知双曲线焦点为.可设双曲线方程为，点在曲线上，代入得或（舍），∴双曲线的方程为.（2）由（1）得，，∴双曲线的离心率.渐近线方程：.19．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知双曲线E过点，且双曲线E的焦点与椭圆C的焦点重合，求双曲线E的标准方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意知，，所以，，所以又因为双曲线E的焦点在x轴上，所以椭圆C的方程为（2）双曲线E的标准方程为由题可知双曲线E的焦点坐标为，，所以又双曲线E过点，所以，解得，所以双曲线E的标准方程为20．过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于A、B两点，（1）求双曲线的离心率和渐近线；（2）求|AB|.【答案】（1），（2）|AB=8|【解析】（1）因为双曲线方程为,所以,则,所以,渐近线方程为（2）由（1）,右焦点为,则设直线为,代入双曲线中,化简可得,所以,,所以21.已知三点，，.（1）若椭圆过两点，且为其一焦点，求另一焦点的轨迹方程；（2）直线，相交于点，且它们的斜率之和是2，求点的轨迹方程.【答案】(1)；(2)【解析】（1）设另一个焦点，则由椭圆定义知：，，，，说明P是以A、B为焦点的双曲线的左支，其中，所以焦点的轨迹方程为;（2）设，则，，化简得，所以点的轨迹方程为.22．已知双曲线C：(a＞0，b＞0)与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．（1）求双曲线C的标准方程；（2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】由已知椭圆方程求出其焦点坐标，可得双曲线C的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，由双曲线定义，即，所以，，所以所求双曲线的标准方程为．（2）设，，因为A，B在双曲线上，所以，①－②得，所以，，故弦AB所在直线的方程为，即．23