2023-2024学年广东省揭阳市重点中学高三下第一次测试数学试题含解析

2023-2024学年广东省揭阳市重点中学高三下第一次测试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则,，的大小关系为（）A． B． C． D．3．在中，，，，若，则实数()A． B． C． D．4．设是定义域为的偶函数，且在单调递增，，则（）A． B．C． D．5．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．6．已知函数在上单调递增，则的取值范围（）A． B． C． D．7．设命题p:>1,n2>2n,则p为（）A． B．C． D．8．执行程序框图，则输出的数值为（）A． B． C． D．9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A． B． C． D．10．已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为A． B． C． D．11．如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．12．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，若，，则________.14．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则_______.15．已知（为虚数单位），则复数________．16．已知集合，.若，则实数a的值是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆O经过椭圆C：的两个焦点以及两个顶点，且点在椭圆C上．求椭圆C的方程；若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且，求直线l的倾斜角．18．（12分）改革开放年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示在分以上为交通安全意识强.求的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；已知交通安全意识强的样本中男女比例为，完成下列列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；安全意识强安全意识不强合计男性女性合计用分层抽样的方式从得分在分以下的样本中抽取人，再从人中随机选取人对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有人得分低于分的概率.附：其中19．（12分）网络看病就是国内或者国外的单个人、多个人或者单位通过国际互联网或者其他局域网对自我、他人或者某种生物的生理疾病或者机器故障进行查找询问、诊断治疗、检查修复的一种新兴的看病方式.因此，实地看病与网络看病便成为现在人们的两种看病方式，最近某信息机构调研了患者对网络看病，实地看病的满意程度，在每种看病方式的患者中各随机抽取15名，将他们分成两组，每组15人，分别对网络看病，实地看病两种方式进行满意度测评，根据患者的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图：（1）根据茎叶图判断患者对于网络看病、实地看病那种方式的满意度更高？并说明理由；（2）若将大于等于80分视为“满意”，根据茎叶图填写下面的列联表：满意不满意总计网络看病实地看病总计并根据列联表判断能否有的把握认为患者看病满意度与看病方式有关？（3）从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取2人，求这2人平分都低于90分的概率.附，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知数列的前项和为，且点在函数的图像上；（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足：，，求的通项公式；（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；21．（12分）若正数满足，求的最小值.22．（10分）已知，，求证：（1）；（2）.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限．【详解】由题意,对应点坐标为，在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．2、C【解析】

根据函数的奇偶性得，再比较的大小，根据函数的单调性可得选项.【详解】依题意得，，当时，，因为，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，，即，故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.3、D【解析】

将、用、表示，再代入中计算即可.【详解】由，知为的重心，所以，又，所以，，所以，.故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.4、C【解析】

根据偶函数的性质，比较即可.【详解】解：显然，所以是定义域为的偶函数，且在单调递增，所以故选：C【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.5、D【解析】

求得定点M的轨迹方程可得，解得a，b即可.【详解】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，则=2，化简得.∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，∴，解得，∴椭圆的离心率为．故选D．【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．6、B【解析】

由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围.【详解】由,可得,时,,而,又在上单调递增,且,所以,则,即,故.故选:B.【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.7、C【解析】根据命题的否定，可以写出：，所以选C.8、C【解析】

由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案.【详解】，，，，，满足条件，，，，，满足条件，，，，，满足条件，，，，，满足条件，，，，，不满足条件，输出.故选：C【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.9、D【解析】循环依次为直至结束循环，输出，选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10、D【解析】

如图所示，设依次构成等差数列，其公差为.根据椭圆定义得，又，则，解得，.所以，，，.在和中，由余弦定理得，整理解得.故选D．11、B【解析】

根据二次函数图象的对称轴得出范围，轴截距，求出的范围，判断在区间端点函数值正负，即可求出结论.【详解】∵，结合函数的图象可知，二次函数的对称轴为，，，∵，所以在上单调递增.又因为，所以函数的零点所在的区间是.故选:B.【点睛】本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.12、C【解析】

根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.此时椭圆长轴长为，短轴长为6，所以椭圆离心率，所以.故选：C【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、127【解析】

已知条件化简可化为,等式两边同时除以，则有，通过求解方程可解得,即证得数列为等比数列,根据已知即可解得所求.【详解】由..故答案为:.【点睛】本题考查通过递推公式证明数列为等比数列,考查了等比的求和公式,考查学生分析问题的能力,难度较易.14、9【解析】

已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得结果.【详解】由余弦定理和，可得，得，由，，，由正弦定理，得.故答案为:.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,难度一般.15、【解析】

解：故答案为：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.16、9【解析】

根据集合交集的定义即得.【详解】集合，，，，则a的值是9.故答案为：9【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或【解析】

(1)先由题意得出,可得出与的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆的方程，可求出与的值，从而得出椭圆的方程；(2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，可求出，然后进行检验；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为,设点，先由直线与圆相切得出与之间的关系，再将直线的方程与椭圆的方程联立，由韦达定理，利用弦长公式并结合条件得出的值，从而求出直线的倾斜角.【详解】（1）由题可知圆只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得，又点在椭圆上，所以，解得，即椭圆的方程为.（2）圆的方程为，当直线不存在斜率时，解得，不符合题意；当直线存在斜率时，设其方程为，因为直线与圆相切，所以，即.将直线与椭圆的方程联立，得：，判别式，即，设，则，所以，解得，所以直线的倾斜角为或.【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.18、，概率为；列联表详见解析，有的把握认为交通安全意识与性别有关；.【解析】

根据频率和为列方程求得的值，计算得分在分以上的频率即可；根据题意填写列联表，计算的值，对照临界值得出结论；用分层抽样法求得抽取各分数段人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值.【详解】解：解得.所以，该城市驾驶员交通安全意识强的概率根据题意可知，安全意识强的人数有，其中男性为人，女性为人，填写列联表如下：安全意识强安全意识不强合计男性女性合计所以有的把握认为交通安全意识与性别有关.由题意可知分数在，的分别为名和名，所以分层抽取的人数分别为名和名，设的为，，的为，，，，则基本事件空间为，，，，，，，，，，，，，，共种，设至少有人得分低于分的事件为，则事件包含的基本事件有，，，，，，，，共种所以.【点睛】本题考查独立性检验应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，属于中档题.19、（1）实地看病的满意度更高，理由见解析；（2）列联表见解析，有；（3）.【解析】

（1）对实地看病满意度更高，可以从茎叶图四个方面选一个回答即可；（2）先完成列联表，再由独立性检验得有的把握认为患者看病满意度与看病方式有关；（3）利用古典概型的概率公式求得这2人平分都低于90分的概率.【详解】（1）对实地看病满意度更高，理由如下：（i）由茎叶图可知：在网络看病中，有的患者满意度评分低于80分；在实地看病中，有的患者评分高于80分，因此患者对实地看病满意度更高.（ii）由茎叶图可知：网络看病满意度评分的中位数为73分，实地看病评分的中位数为87分，因此患者对实地看病满意度更高.（iii）由茎叶图可知：网络看病的满意度评分平均分低于80分；实地看病的满意度的评分平均分高于80分，因此患者对实地看病满意度更高.（iV）由茎叶图可知：网络看病的满意度评分在茎6上的最多，关于茎7大致呈对称分布；实地看病的评分分布在茎8，上的最多，关于茎8大致呈对称分布，又两种看病方式打分的分布区间相同，故可以认为实地看病评分比网络看病打分更高，因此实地看病的满意度更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一一种或其他合理理由均可得分.（2）参加网络看病满意度调查的15名患者中共有5名对网络看病满意，10名对网络看病不满意；参加实地看病满意度调查的15名患者中共有10名对实地看病满意，5名对实地看病不满意.故完成列联表如下：满意不满意总计网络看病51015实地看病10515总计151530于是，所以有的把握认为患者看病满意度与看病方式有关.（3）网络看病的评价的分数依次为82，85，85，88，92，由小到大分别记为，从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取2人，所有可能情况有：；；；共10种，其中，这2人评分都低于90分的情况有：；；共6种，故由古典概型公式得这2人评分都低于90分的概率.【点睛】本题主要考查茎叶图的应用和独立性检验，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20、（1）（2）当n为偶数时，；当n为奇数时，.（3）【解析】

（1）根据,讨论与两种情况,即可求得数列的通项公式;（2）由（1）利用递推公式及累加法,即可求得当n为奇数或偶数时的通项公式.也可利用数学归纳法,先猜想出通项公式,再用数学归纳法证明.（3）分类讨论,当n为奇数或偶数时,分别求得的最大值,即可求得的取值范围.【详解】（1）由题意可知,.当时,,当时,也