梁的弯曲内力

平面弯曲梁的内力§【素养目标】增强学生“四个自信”；培养其发现问题、分析问题、解决问题的能力。做到实事求是，具体问题具体分析。弯曲和平面弯曲1.弯曲:以弯曲变形为主的构件通常称为梁。

受力特点：杆件受到垂直于杆件轴线方向的外力或在杆轴线所在平面内作用的外力偶的作用。变形特点：杆轴线由直变弯。FPqM房屋建筑中的楼（屋）面梁、挑梁2.平面弯曲

工程中常见的梁，其横截面大多为矩形、工字形、T形、槽形等梁的类型

凡是通过静力平衡方程就能够将梁的支座反力全部求出的梁，统称为静定梁。梁的三种基本形式悬臂梁FPFPqM简支梁外伸梁MFPq一、梁的内力——剪力和弯矩

FPFAyFByABalABFP11xFsMMFs弯矩M

：

构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。CCABFAyFByFPFPFByAFAy∑Y=0FAy－FS=0FS=FAy

(↓)∑MC=0－FAyx+M=0M=FAyx

(

)剪力FS

：

构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。剪力绕脱离体产生顺时针转动趋势时为正FFFSFSFFFSFS剪力绕脱离体产生逆时针转动趋势时为负剪力：剪力和弯矩的正负号规定外力使脱离体产生下部受拉时为正

弯矩：外力使脱离体产生上部受拉为负MM

截面法是求梁的内力的最基本的方法。其步骤为

(1)求支座反力。

(2)用假想的截面将梁从要求剪力和弯矩的位置截开。

(3)取截面的任一侧为隔离体，作出其受力图，列平衡方程求出剪力和弯矩。用截面法求指定截面上的剪力和弯矩

例

试用截面法求图示悬臂梁1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。已知：q=15kN/m，FP=30kN。

解由于悬臂梁具有一端为自由端的特征，所以在计算内力时可以不求其支座反力。FPq2m1m1122AB（1）求1-1截面的剪力和弯矩取1-1截面的右侧为隔离体。1-1截面上的剪力和弯矩都按照正方向假定。

FP=30kNq=15kN/m2m1m1122ABFPqBM1FS1

∑Y=0

－FP－q×1＋FS1=0

FS1=FP＋q×1=30＋15×1=45kN

∑M1=0M1＋

q×1×2.5＋

FP×3=0

M1=－q×1×2.5－FP×3=－15×1×2.5－30×3=－127.5kN·m

计算结果为负，说明1-1截面上弯矩的实际方向与图中假定的方向相反，即1-1截面上的弯矩为负值。

计算结果为正，说明1-1截面上剪力的实际方向与图中假定的方向一致，即1-1截面上的剪力为正值。（2）求2-2截面上的剪力和弯矩FP=30kNq=15kN/m2m1m1122ABFPqBM2FS2取2-2截面的右侧为隔离体。

∑Y=0

FS2－FP－q×1=0

FS2=FP＋q×1=30＋15×1=45kN(正剪力)

∑M2=0 M2＋

q×1×0.5＋

FP×1=0

M2=－q×1×0.5－FP×1=－15×1×0.5－30×1=－37.5kN·m(负弯矩)

例

用截面法求外伸梁指定截面上的剪力和弯矩。M=

75kN·mFP=100kN1.5m1.5m1.5m11223344ABCFByFAy∑MB=0

解（1）求支座反力(↑)∑Y=0 FBy=25kN(↓)M=

75kN·mFP=100kN1.5m1.5m1.5m11223344ABCFByFAyFP=100kNACM1V1（2）求1-1截面上的剪力和弯矩列平衡方程∑Y=0V1＋

FP=0

V1=－FP=－100kN(负剪力)∑M1=0M1＋FP×a=0

M1=－FPa=－100×1.5=－150kN·m(负弯矩)M=

75kN·mFP=100kN1.5m1.5m1.5m11223344ABCFByFAyFAyFP=100kNACM2V2（3）求2-2截面上的剪力和弯矩∑Y=0V2＋

FP－FBy－=0

V2=－FP＋FBy

=－100＋125=25kN(正剪力)∑M2=0M2＋FP×a=0

M2=－FP

a

=－100×1.5=－

150KN·m(负弯矩)M=

75kN·mFP=100kN1.5m1.5m1.5m11223344ABCFByFAyM4V4FByFByM3V3M（4）求3-3截面的剪力和弯矩∑Y=0V3－FBy=0

V3=FBy=25kN(正剪力)∑M3=0M3＋M＋FBy×a=0

M3=－M－FBy×a

=－75－25×1.5=－112.5kN·m(负弯矩)（5）求4-4截面的剪力和弯矩∑Y=0 V4－FBy=0

V4=FBy=25kN(正剪力)∑M4=0 M4＋

FBy×a=0

M4=－FBy×a=－25×1.5=－37.5kN·m(负弯矩)总结与提示截面法是求内力的基本方法。

(1)用截面法求梁的内力时，可取截面任一侧研究，但为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。

(2)作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知的剪力和弯矩通常均按正方向假定。

(3)在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作隔离体上的外力来看待，因此，平衡方程中剪力、弯矩的正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身的正、负号相混淆。

为了形象地表明沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化情况，通常将剪力和弯矩在全梁范围内变化的规律用图形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。作剪力图和弯矩图最基本的方法是：根据剪力方程和弯矩方程分别绘出剪力图和弯矩图。

绘图时，以平行于梁轴线的横坐标x表示梁横截面的位置，以垂直于x轴的纵坐标（按适当的比例）表示相应横截面上的剪力或弯矩。剪力图和弯矩图

在土建工程中，对于水平梁而言，习惯将正剪力作在x轴的上面，负剪力作在x轴的下面，并标明正、负号；正弯矩作在x轴的下面，负弯矩作在x轴的上面。即弯矩图总是作在梁受拉的一侧。

对于非水平梁而言，剪力图可以作在梁轴线的任一侧，并标明正、负号；弯矩图作在梁受拉的一侧。

lFPABxFPFPlV图M图

例

作图8示悬臂梁在集中力作用下的剪力图和弯矩图。

解(1)列剪力方程和弯矩方程。将坐标原点假定在左端点A处，并取距A端为x的1-1截面的左侧研究。剪力方程为：

Fs=－FP(0＜x＜l)

弯矩方程为：

M=－FPx(0≤x＜l)(2)作剪力图和弯矩图当x=0时MA=0当x=l时MB=－FPl

解：①求支反力②内力方程qRA③根据方程画内力图RBLxx（+）

（+）

（－）

M

x

V

观察剪力图和弯矩图得出如下结论：

●

在分布荷载区：剪力图是斜直线，弯矩图为抛物线。在剪力等于零时，弯矩有极值。

x1x2FByFAyABCabFPlAC段：距A端为x1的任意截面1-1以左研究CB段：距B端为x2的任意截面2-2以右研究V图M图x1x2FByFAyABCabFPl

在梁上无荷载作用的区段，其剪力图都是水平线，在集中力作用处，剪力图突变，突变的绝对值等于集中力的数值，而弯矩图是斜直线，在集中力作用处，弯矩图发生转折，出现尖角现象。

ABCabM例：绘出如图所示简支梁的剪力和弯矩图。FAyFByxx解：①求支反力②内力方程③根据方程画内力图ABCabM例：绘出如图所示简支梁的剪力和弯矩图。解：1．确定约束力

AC段：0<x<aCB段：a<x<a+bFAyFByxx2．写出剪力和弯矩方程ΘM/(a+b)xV

Mb/(a+b)Ma/(a+b)MxΘ28VV剪力、弯矩与外力间的关系外力无分布载荷段均布载荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0V图特征M图特征CPCm水平直线xVV>0VV<0x斜直线增函数xVxV降函数xVCV1V2V1

–V2

=P

突变xVC无变化斜直线xM增函数xM降函数抛物线xM凸状xM凹状折角

突变xMMx

利用规律绘制梁的内力图应用规律绘制梁的剪力图和弯矩图

用规律作剪力图和弯矩图的步骤

(1)求支座反力。

对于悬臂梁由于其一端为自由端，所以可以不求支座反力。

(2)将梁进行分段

梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布荷载的起止截面都是梁分段时的界线截面。

(3)由各梁段上的荷载情况，根据规律确定其对应的剪力图和弯矩图的形状。

(4)确定控制截面，求控制截面的剪力值、弯矩值，并作图。

控制截面是指对内力图形能起控制作用的截面。当图形为平行直线时，只要确定一个截面的内力数值就能作出图来，此时找到一个控制截面就行了；当图形为斜直线时就需要确定两个截面的内力数值才能作出图来，此时要找到两个控制截面；当图形为抛物线时就需要至少确定三个截面的内力数值才能作出图来，此时至少要找到三个控制截面；

一般情况下，选梁段的界线