2024年高考数学双曲线的应用问题讲义

双曲线的应用问题

一、单选题

1.双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点工发出的光线

经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点耳我国首

先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性

质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为

22

土方=1,4月为其左、右焦点，若从右焦点工发出的光线经双曲

3

线上的点A和点3反射后，满足NBAD=90°,tanZABC=,则该双

曲线的离心率为（）

2.设函数尸仆）的图象由方程,+日=1确定，对于函数"%）给

出下列命题：

Pi:eR,为W々，恒有/（、）一〃*2）＜0成立；

y=的图象上存在一点p,使得P到原点的距离小于亚;

A：对于X/xwH,2/（尤）+尤＞0恒成立；

则下列正确的是（）

A.PiB.C.「P”P3D.

3.如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m,水面宽AB=30m.

若水面下降5m,则水面宽是（）（结果精确到01m）（参考数值：

72»1.41,V?土2.24,6a2.65）

A.43.8mB.44.8mC.52.3mD.53.0m

4.人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双

耳定位效应（简称双耳效应）.根据双耳的时差，可以确定声源产

必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上.又若声源P所在的双曲

线与它的渐近线趋近，此时声源P对于测听者的方向偏角明就近

似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定.一般地，

甲测听者的左右两耳相距约为20所,声源尸的声波传及甲的左、

右两耳的时间差为3x10%,声速为334m/s,则声源P对于甲的方向

偏角&的正弦值约为（）

A.0.004B.0.04C.0.005D.0.05

5.双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离

差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台

的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置

双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况;

如图所示，已知三个发射台分别为A,B,C且刚好三点共线，已

知AB=34海里，AC=20海里，现以的中点为原点，所在直

线为x轴建系.现根据船尸接收到C点与A点发出的电磁波的时间

差计算出距离差，得知船P在双曲线仁五-f=1的左支上，若

3664

船P上接到A台发射的电磁波比B台电磁波早1852M（已知电磁波

在空气中的传播速度约为0.3km4is,1海里=1.852km）,则点尸的坐

标（单位：海里）为（）

D.（45,±160）

6.如图，A,3两点在双曲线y=j上，分别经过A,3两点向坐标

轴作垂线段，已知阴影部分的面积S为1,则面积S1+S2等于（）

7.一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是

丁―f=1»目1,10],在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要

求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（）

B.2

C.3D.2.5

8.在xQy平面上，将等轴双曲线必-丁=1的右支和它的两条渐近

线、以及两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D,则。绕丁轴

旋转一周而成的几何体的体积为（）（提示:祖瞄原理）

43

A.BC,—乃D,—万

34

9.直线y=，+2与曲线手-平=1的交点个数为

A.0B.1C.2D.3

10.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正

西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时

间比其它两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离是1020〃?.

则该巨响发生在接报中心的（）处.（假定当时声音传播的速度

为340m/s,相关各点均在同一平面上）

A.西偏北45。方向，距离680M"B.东偏南45。方向，距离

680而7?

C.西偏北45。方向，距离680■九D.东偏南45。方向，距离680672

22

11.有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆点+方=1和双曲线

22

三-斗=1(。〉加〉0)的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M、

mn

N；A、B分别在左右两部分实线上运动，则AJ'"周长的最小值

为：

A.2(a-m)B.(a—m)

C.2(b-ri)D.2(a+m)

二、填空题

22

12.在X0y平面上，将双曲线的一支巳=1(x>0)及其渐近线

916

4

y=和直线y=0、y=4围成的封闭图形记为如图中阴影部

分，记。绕y轴旋转一周所得的几何体为Q,过(0,y)(0WyW4)作Q

的水平截面，计算截面面积，利用祖瞄原理得出Q体积为

13.函数y=/(x)的定义域为1)J(i,+°°),其图象上任一点PXy)

满足必-产=1,则给出以下四个命题：

①函数y=一定是偶函数；②函数y=/(x)可能是奇函数；

③函数y=/（x）在（1,也）单调递增；④若y=/（x）是偶函数，其值域

为（0,+oo）

其中正确的序号为.（把所有正确的序号都填上）

三、双空题

14.在平面直角坐标系％2y中，点M不与点0重合，称射线

与圆Y+/=1的交点N为点M的“中心投影点”.

⑴点M（l,百）的“中心投影点”为；

2

（2）曲线Y—q=i上所有点的“中心投影点，，构成的曲线的长度

是______,

参考答案

1.C

【分析】连接耳4耳3,已知条件为4AB=90。，tanNAB耳=1,设h用=7〃,

由双曲线定义表示出|转用已知正切值求出忸用，再由双曲线定义

得|跖|,这样可由勾股定理求出加(用”表示)，然后在工中，应

用勾股定理得出区。的关系，求得离心率.

【解析】易知耳AD共线,耳3,C共线,如图，设|秋|=%|人阊=〃,

则m—n—2a,

33

由tanZABC二—得，tanZABT^^-,AB=ZF2AD=9Q°

加344

所以tan/A34=洞=.\AB\=-m,则忸闾=融河―仙园=§根，

所以\BFl|=2«+忸F,|=2a+：根-〃=4a+；根,

由|A7^「+|AB「=忸£「得.=(4a+g㈤之，因为机＞0,故解得根=3a,

贝lj〃=3Q_2Q=Q,

在△A/g中，m2+H2=(2c)2,即9a2+/=402,所以e=$=叵.

a2

故选：c.

B

C

【点评】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出的关系,

解题方法是利用双曲线的性质及已知条件得出人明的性质，从而在

这个三角形中把M胤，|4月结合双曲线定义用。表示，然后再用勾股定理

求得出的关系式.

2.C

【分析】分类讨论去绝对值可得函数"X)的图象，根据图象以及椭圆

和双曲线的性质可得答案.

【解析】当转。心。时，方程乎+乎=1化为亍+5=l(x20,y20)表

示椭圆的一部分；

当x>0,y<0时，方程？1+”=1化为(一二=i(x>0,y<0)表示双曲线

4242

的一部分；

当x<0,y>0时，方程?1+竺=1化为二一g=i(x<0,y>0)表示双曲线

4224

的一部分；

所以函数y=的图象如图所示：

［：Vxpx2e7?,x尸乙,恒有〈0成立,等价于函数〃x)在

R上为单调递减函数，由图可知，命题耳正确;

鸟：y=/(x)的图象上存在一点p,使得P到原点的距离小于0.

22_

根据椭圆性质可知，椭圆?+]=1短轴端点(0,伪到原点的距离最小

为0,根据双曲线的性质可知，双曲线的顶点(2,0)到原点的距离的

最小为2,故函数y=/(x)的图象上不存在一点P,使得P到原点的距

离小万，命题E不正确；

鸟：对于X/xwH,2/(尤)+x>0恒成立等价于对于X/xeH,

i22

从图象可知，直线产-[x的斜率大于双曲线一=1的渐近线

”一等x的斜率，所以直线y=—；x与曲线]—；=1(%>0»<0)有交点,

故命题G不正确.

所以々入鸟\，八月、」《V6不正确，「Ev6正确.

故选：c

【点评】分类讨论去绝对值，作出方程坐+2¥=1所确定的图象，

利用图象求解是解题关键.

3.B

22

【分析】设出双曲线方程二=1(。〉0),写出点5(15,-a-5),代入

aa

双曲线方程即可求解.

【解析】如图：建系，

因为拱桥是等轴双曲线，

22

则设双曲线方程二-二=1(。〉0),c(o.-«),

aa

又因为|蝴=30,皿=5,则5(15,-a-5),

将3代入双曲线方程，可得与=1,

aa

22

解得。=20,即呆呆1，

当水面下降5m,纵坐标以=-"1。，

代入双曲线方程可得.=1。行,

:.\MN\=2XN=2^~^.

故选：B

4.D

【分析】由已知求出为、焦距2c,利用您4,可得sin。'J庐可

smaa11+—

\a

得答案.

【解析】设两耳所在双曲线的实轴长为2a,焦距为2c,虚轴长为23

71b

贝Ij2a=3x1()-5x334=00100257),2c=0.2(/w),由题意tana

~~a

a2a0.01002

所以您q=0.0501~0.05

smac2c0.2

故选：D.

5.B

【分析】根据双曲线的定义求出点P所在的双曲线的标准方程

-^--^=l(x>15),将方程与巨匚—片=1联立，求解即可.

225643664

【解析】设由船P到3台和到A台的距离差确定的双曲线方程为

22

了一铲=1(尤叫，

因为船P上接到A台发射的电磁波比3台电磁波早1852口,

则船P到B台和到A台的距离差为附-附=2a=I®：•誓3=30海里,

I.OJZ

故。=15,又c=17,故。=8,

故由船P到3台和到A台的距离差所确定的双曲线为

22

————=l(x>15),

22564''

(X-27)2y2/\

-----------=l(x<21)

36641)

联立225

工人=l(x〉15)

〔22564''

解得^^,±320、

7)

故选：B.

【点评】本题考查了双曲线的定义、圆锥曲线在生活中的应用，考查

了理解转化能力，属于中档题.

6.C

【分析】根据双曲线的性质，可以直接结论.

【解析】丁A,3两点在双曲线y=3上

X

.0.面积S|+$2等于3+3-2x1=4.

故选：C.

【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题型.

7.A

【分析】根据清洁钢球能擦净凹槽的最底部的轴截面图，只需圆与双

曲线的顶点相交，联立圆与双曲线方程，得到关于丁的一元二次方程,

要满足方程的根不能大于1,即可求解.

【解析】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如下图所示，

圆心在双曲线的对称轴上，并与双曲线的顶点相交，

设半径为厂，圆心为(0,7+1),

圆方程为：/+6-=，代入双曲线方程必一必=1,

得y2_(r+l)y+r=0,;.y=l,y=r,

要使清洁球到达底部，r<l.

故选:A

【点评】本题考查圆锥曲线方程的实际应用，关键要把实际问题抽象

转化为数学问题，属于较难题.

8.A

【分析】根据对称性将几何体分为上下两部分，由已知中过

（O,y）（OW"l）作几何体的水平截面，计算截面面积，利用祖迪原理得

出几何体的体积即可.

【解析】双曲线必-/=1的渐近线方程为y=±~

记。绕丁轴旋转一周所得的几何体为Q,根据对称性分为上下两部分,

过（0,y）（0wyW1）作几何体上半部分的水平截面，

则截面面积S=»（炉-力==，

利用祖瞄原理得Q的体积相当于底面面积为〃高为2的圆柱的体积,

Q的体积V*=nx2=2兀,

故选A.

【点评】本题考查了几何体的体积计算问题，也考查了双曲线的简单

几何性质应用问题，正确理解题意是解题的关键，是中档题.

9.B

【分析】作出曲线(芈=1的图像，利用k，+2是y2+x2=2的切线,

渐近线方程为V=土x,即可得出结论.

22

【解析】当XNO时，曲线方程为5=1,图形为双曲线在y轴的右半

部分；当x<0时，曲线方程为y2+x2=2,图形为圆在y轴的左半部分；

如图所示，因为y=x+2是y2+x2=2的切线，渐近线方程为y=±x,所以

【点评】本题主要考查双曲线的简单性质，属于基础题型.

10.A

y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,

则4—1020,0)，3(1020,0)，0(0,1020。

设P(x,y)为巨响为生点，由4C同时听到巨响声，得|网=附|,故

P在AC的垂直平分线P0上，尸。的方程为丁=-。因3点比A点晚4s听

到爆炸声，故，阀-如=340x4=1360由双曲线定义知p点在以AB为

22

焦点的双曲线T-2=1上，依题意得

ab

a=680,c=1020,z.b°=c2-a2=10202-6802=5义3402,故双曲线方程为

22

高一将，…代入上式，得

±68075,.|PB|>|PA|-680A/5,y=6806,即P(—680/680石)，

故PO=680函.

故巨响发生在接报中心的西偏北45。距中心680折加处.

故选A

【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时由题设条件作出图形,

利用数形结合思想是解题的关键..

11.A

【解析】由题得：设周长为/

\BM\+\BN\=2a

=^/=|AB|+|BN|+|yUV|=\AB\+2a-\BM\+\AM\-2m

\AM\-\AN\=2m

\AB\+\AM\>\BM\=>l>2a-2m

当且仅当M、A、B共线时，周

长的最小

【点评】考察椭圆和双曲线的综合，根据题意要得周长得最小值，首

先要将周长得表达式写出，根据椭圆和双曲线得性质得AB、BN、

AM、AN的关系将其替换到周长中，然后根据三