2022-2023学年湖北省恩施州来凤县八年级下期末数学试卷附答案解析

2022-2023学年湖北省恩施州来凤县八年级下期末数学试卷

一、选择题（每小道3分，共36分）

1.（3分）若代数式、匚晨在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

222

A.%之可B.%VgC.%H*ID.%<可

2.（3分）下列运算中正确的是（）

A.V2+V3=V5B.6V154-2V3==3V45

够=

C.V18-V8=V2D.28

3.（3分）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）

A.对角线相等

B.对角线互相垂直

C.对角线互相平分

D.对角线互相垂直且相等

4.（3分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）

,—53

A.7,24,25B.V41,4,5C.-1,-D.40,50,60

44

5.（3分）如果通过平移直线了=当得到y=亨的图象，那么直线必须（）

A.向上平移5个单位B.向下平移5个单位

C.向上平移六个单位D.向下平移9个单位

6.（3分）中考前夕，数学老师想看看小明同学的数学成绩是否稳定，于是他统计了小明同

学近5次数学模拟考试的成绩，对于这名数学老师来说，他最想知道的是小明这5次考

试数学成绩的（）

A.平均数和中位数B.方差或极差

C.众数或中位数D.平均数或众数

7.（3分）疫情期间，为保障学校师生安全，某校每天进行全员核酸检测，小胡下课后从教

室去160米的检测点做核酸检测，他用了2分钟到达检测点，扫码检测共用了2分钟，

做完核酸检测后，他及时回教室，用了2.5分钟，下列图象能正确表示小胡离教室的距离

与时间关系的是（）

第1页（共24页）

8.（3分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线y=2x-1与直线＞=区+6

（左W0）相交于点P（2,3）.根据图象可知，关于x的不等式2x-1＞履+6的解集是

9.（3分）下列判断正确的是（）

A.一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形

B.四个内角都相等的四边形是菱形

C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

D.四条边都相等的四边形是正方形

10.（3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图

所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设

直角三角形较长直角边长为。，较短直角边长为"若。6=8,大正方形的面积为25,则

第2页（共24页）

A.9B.6C.4D.3

11.（3分）如图，在矩形N8CD中，点M在NB边上，把沿直线CM折叠，使点8

落在/。边上的点E处，连接EC,过点8作BFLEC,垂足为尸，若CO=1,CF=2,

11

A.V5-2B.V3-1C.-D.-

12.（3分）如图，在四边形4BCD中，//=/B=90°,AD=10cm,BC=8cm,点P从

点。出发，以lcm/s的速度向点/运动，点M从点8同时出发，以相同的速度向点C

运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点P的运动时间为/（单

位：s）,下列结论：

①当f=4s时，四边形/BMP为矩形；

②当f=5s时，四边形CD/W为平行四边形；

③当时，f=4或5s；

④当CO=PM时，/=4或6s.

其中结论正确的个数有（）

二、填空题（每小题3分，共12分）

13.（3分）晨光中学规定学生的体育成绩满分为100分，其中早操及体育课外活动占20%,

期中考试成绩占30%,期末考试成绩占50%,小惠的三项成绩依次是95分，90分，85

分，小惠这学期的体育成绩为分.

14.（3分）阅读材料：如果我们能找到两个正整数x,＞使x+y=a且肛=6,这样Ja+2册=

J（V^）2+（Vy）2+2V^-Vy=J（«+/=返+⑺，那么我们就称Ja+22为“和谐

二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”.例如：V3+2V2=

第3页（共24页）

I2+(V2)2+2x1xV2=J(1+V2)2=1+V2,根据阅读材料解决下列问题：化简

“和谐二次根式”V11+2V28=.

15.（3分）如图，菱形/BCD的对角线/C,AD相交于点。，点E是2C的中点./C=8,

BD=6,则OE长为.

16.（3分）甲、乙两车从/城出发匀速行驶至2城.在整个行驶过程中，甲、乙两车离开

4城的距离y（千米）与甲车行驶的时间/（小时）之间的函数关系如图所示.则下列结

论：①/,5两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车

出发后1.5小时追上甲年；④当甲、乙两车相距50千米时，1=^或个，其中正确的结

论序号为.

17.（8分）计算：

（1）（3V18+.A/50—4^^）+V32；

（2）（1+V2+V3）X（1+V2-V3）.

18.（8分）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口/出发，客船与货船的速度比为4：3,

出发1小时后，客船比货船多走了10海里.客船沿北偏东25。方向航行，2小时后货船

到达3处，客船到达C处，若此时两船相距100海里.

（1）求两船的速度分别是多少？

（2）求货船航行的方向.

第4页（共24页）

北

19.（8分）在平面直角坐标系中，一次函数》=履+6（k,6都是常数，且左W0）的图象经

过点(1,0)和(0,2).

（1）当-2<xW3时，求y的取值范围；

（2）已知点尸Cm,〃）在该函数的图象上，且加-〃=4,求点P的坐标.

20.（8分）如图，在平行四边形/BCD中，点E,尸分别在边48,CD上，且四边形

为正方形.

（1）求证：4E=CF；

（2）已知平行四边形48CD的面积为20,AB=5,求的长.

21.（8分）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分.对

参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信

息.

a.甲、乙两位同学得分的折线图:

b.丙同学得分：10,10,10,9,9,8,3,9,8,10

c.甲、乙、丙三位同学得分的平均数：

同学甲乙丙

平均数8.68.6m

根据以上信息，回答下列问题.

（1）求表中m的值；

（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该

同学演唱的评价越一致.据此推断：甲、乙两位同学中，评委对的评价更一致

第5页（共24页）

（填“甲”或"乙”）；（写出推断过程）

（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平

均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀，据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，

表现最优秀的是（填“甲”“乙”或“丙”）.（写出推断过程）

22.（10分）某书店现有资金7700元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套，其

中甲种图书每套500元，乙种图书每套400元，丙种图书每套250元.书店将甲、乙、

丙三种图书的售价分别定为每套550元，430元，310元.设书店购进甲种图书x套，乙

种图书y套，请解答下列问题：

（1）请求出y与x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；

（2）若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套，则该书店有几种进货方案？

（3）在（1）和（2）的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调整:

甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调。（。为正整数）元，丙种图书的售价下调。

元，这样三种图书全部售出后，所获得的利润比（2）中某方案的利润多出20元，请直

接写出书店是按哪种方案进的货及a的值.

23.（10分）如图，已知四边形ABCD为正方形，/2=2a,点E为对角线/C上一动点，

连接。£,过点£作昉_LZ）£.交射线8C于点R以昉为邻边作矩形DEFG,连

接CG.

①求证：矩形。所G是正方形；

②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

第6页（共24页）

24.(12分)在平面直角坐标系中，直线尸-3x-1交x轴于点4交y轴于点B,直线尸—亲+3

交x轴于点C,交y轴于点D

(1)如图1,连接BC,求△3。的面积；

(2)如图2,在直线尸一次+3上存在点E,使得/4BE=45°,求点E的坐标；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接OE,过点E作。。的垂线交y轴于点尸，点尸在

直线跖上，在平面中存在一点。，使得以0E为一边，O,E,P,。为顶点的四边形为

菱形，请直接写出点。的坐标.

第7页(共24页)

2022-2023学年湖北省恩施州来凤县八年级下期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小道3分，共36分）

1.（3分）若代数式J号在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

2222

A.%之4B.%V@C.xWq

【解答】解：根据二次根式有意义得，2-3x20,

根据分式有意义的条件得，2-3xW0,

即2-3x>0,

X<T

故选：B.

2.（3分）下列运算中正确的是（

A.V2+V3=V5B.6V152V3=3V45

C.V18-V8=V2D.24=8

【解答】解：4或与百不是同类二次根式,不能合并，此选项运算错误，不符合题意;

B.6同+2百=3代，此选项运算错误,不符合题意;

C.V18-V8=3V2-2V2=V2,此选项运算正确，符合题意;

\a_4号=同，此选项运算错误，不符合题意.

D.22=

故选：C.

3.（3分）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）

A.对角线相等

B.对角线互相垂直

C.对角线互相平分

D.对角线互相垂直且相等

【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直

不一定成立.

故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分.

故选：C.

4.（3分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）

第8页（共24页）

—53

A.7,24,25B.闻y,4,5C.一,1,一D.40,50,60

44

【解答】解：4V72+242=252,

...以7、24、25为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

B.；42+52=（V41）2,

...以4、5、俯为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

35

C.Vl2+（-）2=（-）2,

44

35

，以三、1、三为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

44

D.V402+502：#602,

・••以40、50、60为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；

故选：D.

5.（3分）如果通过平移直线＞=冷得到y=字的图象，那么直线^=/必须（）

A.向上平移5个单位B.向下平移5个单位

C.向上平移1个单位D.向下平移1个单位

【解答】解：直线＞=幸向上平移六个单位得到y=亨的图象，

故选：C.

6.（3分）中考前夕，数学老师想看看小明同学的数学成绩是否稳定，于是他统计了小明同

学近5次数学模拟考试的成绩，对于这名数学老师来说，他最想知道的是小明这5次考

试数学成绩的（）

A.平均数和中位数B.方差或极差

C.众数或中位数D.平均数或众数

【解答】解：老师最关注小明数学成绩的稳定性，由于方差和极差都能反映数据的波动

大小，故判断小明的数学成绩是否稳定，应知道方差或极差.

故选：B.

7.（3分）疫情期间，为保障学校师生安全，某校每天进行全员核酸检测，小胡下课后从教

室去160米的检测点做核酸检测，他用了2分钟到达检测点，扫码检测共用了2分钟，

做完核酸检测后，他及时回教室，用了2.5分钟，下列图象能正确表示小胡离教室的距离

与时间关系的是（）

第9页（共24页）

【解答】解：：小胡下课后从教室去160米的检测点做核酸检测，他用了2分钟到达检

测点，

，前两分钟内小胡与教室的距离逐渐增大，在第2分钟的时候达到160米，

..•扫码检测共用了2分钟，

...第2分钟到第4分钟小胡与教室的距离不变，即为160米；

•••做完核酸检测后，他及时回教室，用了2.5分钟，

...第4分钟到第6.5分钟，小胡与教室的距离逐渐减小，且第6.5分钟时距离为0,

•••四个选项中只有C选项的函数图象符合题意，

故选：C.

8.（3分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线y=2x-1与直线>=依+6

（左W0）相交于点P（2,3）.根据图象可知，关于x的不等式2x-1>区+6的解集是

C.x<3D.x>3

【解答】解:根据图象可得：不等式2x-l>x+6的解集为：x>2,

故选：B.

9.（3分）下列判断正确的是（)

第10页（共24页）

A.一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形

B.四个内角都相等的四边形是菱形

C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

D.四条边都相等的四边形是正方形

【解答】解：一组对边平行且对角线相等的四边形不是矩形，/错误，故不符合要求；

四个内角都相等的四边形是矩形，8错误，故不符合要求；

两组对边分别相等的四边形是平行四边形，C正确，故符合要求；

四条边都相等的四边形是菱形，。错误，故不符合要求.

故选：C.

10.（3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图

所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设

直角三角形较长直角边长为0,较短直角边长为6,若必=8,大正方形的面积为25,则

小正方形的边长为（）

【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,

11

•.•每一个直角三角形的面积为：Ax8=4,

从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和,

-1

.,.4x-^ab+（a-b）2=25,

:.（Q-b）2=25-16=9,

*.a-6=3.

故选：D.

11.（3分）如图，在矩形/BCQ中，点M在45边上，把△5C"沿直线CM折叠，使点B

落在4D边上的点E处，连接过点5作出口_£C,垂足为尸，若CZ）=1,CF=2,

则线段/E的长为（）

第11页（共24页）

1

D.

2

【解答】解：・：BC=CE,/EDC=NCFB=9Q°,NDEC=NBCF,

:.△EDgMFB(AAS),

：.DE=CF=2,

：.CE=VCD2+DE2=Vl2+22=V5=BC=AD,

；.AE=AD-DE=岳—2,

故选：A.

12.（3分）如图，在四边形4BCD中，//=/2=90°,AD=lQcm,BC=8cm,点尸从

点。出发，以1c%/s的速度向点N运动，点M从点8同时出发，以相同的速度向点C

运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点P的运动时间为单

位：s）,下列结论：

①当t=4s时，四边形/BMP为矩形；

②当/=5s时，四边形CAPA/为平行四边形；

③当时，f=4或5s；

④当时，/=4或6s.

其中结论正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：根据题意，可得DP=fcm-BM=tcm,

AD=10cm,BC=8cm,

：.4P=（10-f）cm,CM=（8-/）cm,

当四边形/BMP为矩形时，AP=BM,

即解得f=5,故①不正确；

当四边形CDPW为平行四边形时，则。P=CM,

第12页（共24页）

即8-f=3解得f=4,故②不正确；

当C£>=PM时，分两种情况：

当四边形CDPM是平行四边形时,则DP=CM,

即8—,解得t=4,

当四边形CDPM是等腰梯形时，

过点M作"GL/D于点G,过点。作于点区如图所示,

:CD=PM,GM=HC,

；.RtZ\MGP沿RtLCHD（HL）,

：.GP=HD,

：.AG=HP+GP=10-t+y1,

又BM=t,//=48=90°,MGLAD,

.\AG=BM,

即t=10-t+t—1T）,

解得t=6,

综上可得，当时，

t—6或t—4,

故③错误，④正确，

正确的结论有1个.

故选：A.

二、填空题（每小题3分，共12分）

13.（3分）晨光中学规定学生的体育成绩满分为100分，其中早操及体育课外活动占20%,

期中考试成绩占30%,期末考试成绩占50%,小惠的三项成绩依次是95分，90分，85

分，小惠这学期的体育成绩为88.5分.

【解答】解：小惠这学期的体育成绩=（95X20%+90X30%+85X50%）=88.5（分）.

第13页（共24页）

故答案为88.5.

14.（3分）阅读材料：如果我们能找到两个正整数x,y使x+y=a且孙=儿这样Ja+2VF=

J（V^）2+（Vy）2+2V^-Vy=J（V^+Vy）2=F+0，那么我们就称Ja+2班为“和谐

二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”.例如：53+2鱼=

］12+（鱼）2+2*1*&=］（1+&）2=1+/，根据阅读材料解决下列问题：化简

“和谐二次根式"Vil+2V28=2+V7_.

［解答］解：V11+2V28

=J（V4）2+（V7）2+2xV4xV7

=J（V4+b）2

=V4+V7

=2+«,

故答案为：2+夕.

15.（3分）如图，菱形/BCD的对角线/C,AD相交于点。，点E是的中点./C=8,

5

BD=6,则。£长为

【解答】解：由菱形的性质可得，力。=*14c=4,BO=^1BD=3,/AOB=90°,

：.AB=7A（fl+BO2=5,

是NC的中点，E是2c的中点，

的中位线，

15

：.0E=^AB=^,

故答案为：j.

16.（3分）甲、乙两车从/城出发匀速行驶至2城.在整个行驶过程中，甲、乙两车离开

4城的距离y（千米）与甲车行驶的时间;（小时）之间的函数关系如图所示.则下列结

第14页（共24页）

论：@A,8两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车

出发后1.5小时追上甲年；④当甲、乙两车相距50千米时，t=3或与，其中正确的结

论序号为①②③.

【解答】解：由图象可知3两城相距300千米，而乙是在甲出发1小时后出发的，且

用时3小时，即比甲早到1小时，

..・①②都正确；

设甲车离开/城的距离〉与/的关系式为y甲=〃，把（5,300）代入得，

5左=300,

左=60,

•»y甲=60方，

设甲车离开4城的距离》与，的关系式为＞乙=冽什〃，把（1,0）,（4,300）代入得,

（m4-n=0

l4m+n=300'

解得｛巾=喘

In=-100

・7y乙=100%-100,

令＞甲=）/乙，得60/=100/-100,

,=2.5,

即甲、乙两直线的交点横坐标为才=2.5,此时乙出发时间为1.5小时，

即乙车出发1.5小时后追上甲车，

...③正确；

令,甲-y乙1=50,得

|60；-100/+100|=50,

BP|100-404=50,

100-401=50,100-40/=-50,

第15页（共24页）

解得，t=竽，

60/=50,

t=l

此时y甲=50,乙还没有出发，

60/=250,

.25

此时/甲=250,乙已到达2城，

即当t=我1=苧或t==需时，两车相距50千米，

...④错误，

综上，①②③正确，

故答案为：①②③.

三、解答题(共72分)

17.(8分)计算：

(1)(3V18+1V50-4J1)+痕；

(2)(1+V2+V3)x(1+V2-V3).

【解答】解：(1)原式=(9V2+V2-2鱼)+4衣

=8V2+4V2

=2；

(2)原式=[(1+V2)+V3]x[(1+V2)-V3]

=(1+V2)2-(V3)2

=1+2V2+2-3

=2>/2.

18.(8分)如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口/出发，客船与货船的速度比为4：3,

出发1小时后，客船比货船多走了10海里.客船沿北偏东25。方向航行，2小时后货船

到达3处，客船到达C处，若此时两船相距100海里.

(1)求两船的速度分别是多少？

(2)求货船航行的方向.

第16页(共24页)

北

【解答】解：(1)设客船与货船的速度分别是以海里/小时和3x海里/小时，

根据题意得4x-3x=10,

解得x=10,

.,.4x=40,3x=30,

即客船与货船的速度分别是40海里/小时和30海里/小时；

(2)：/8=30X2=60海里，/C=40X2=80海里，BC=100海里，

:.AC2+AB2=BC2,

：.ZBAC=90°,

VZDAC^25°,

：.ZBAE=900-ZDAC=65°,

即货船航行的方向为南偏东65°.

19.(8分)在平面直角坐标系中，一次函数歹=履+6(.k,6都是常数，且左W0)的图象经

过点(1,0)和(0,2).

(1)当-2<xW3时，求y的取值范围；

(2)已知点P(优，在该函数的图象上，且加-〃=4,求点P的坐标.

【解答】解：设解析式为：»=履+6,

将(1,0),(0,2)代入得：产+七°，

3=2

解得：及工，

・••这个函数的解析式为：y=-2x+2；

(1)把工=-2代入y=-2x+2得，y=6,

才巴x=3代入y=-2x+2得，y=-4,

・寸的取值范围是-4WyV6.

(2)・・,点P(m,n)在该函数的图象上，

..n-2m+2,

第17页(共24页)

m-n—4,

.,.m-(-2m+2)=4,

解得m—2,n=-2,

，点尸的坐标为(2,-2).

20.(8分)如图，在平行四边形/BCD中，点E,尸分别在边48,CD上，且四边形

为正方形.

(1)求证：4E=CF；

(2)已知平行四边形48CD的面积为20,AB=5,求的长.

【解答】(1)证明：••,四边形/BCD是平行四边形,

：.AB=CD,

:正方形BEDF,

：.BE=DF,

：.AB-BE=CD-DF,

：.AE=CF-,

(2)解：•.•正方形

：.BF±AB,

:.BF・AB=2Q,

：.BF=4,

•：CF=CD-DF=5-4=\,

在Rt^BCF中，

CF^+BF-^BC1

:.BC=417.

21.(8分)某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分.对

参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信

息.

第18页(共24页)

a.甲、乙两位同学得分的折线图：

b.丙同学得分：10,10,10,9,9,8,3,9,8,10

c.甲、乙、丙三位同学得分的平均数：

同学甲乙丙

平均数8.68.6m

根据以上信息，回答下列问题.

（1）求表中m的值；

（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该

同学演唱的评价越一致.据此推断：甲、乙两位同学中，评委对乙的评价更一致（填

“甲”或"乙”）；（写出推断过程）

（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平

均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀，据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，

表现最优秀的是丙（填“甲”“乙”或“丙”）.（写出推断过程）

1

(2)甲同学的方差$2甲=^x[2X(7-8.6)2+2X(8-8.6)2+4X(9-8,6)2+2X(10

-8.6)2]=1.04,

乙同学的方差群乙=^x[4X(7-8,6)2+2X(9-8.6)2+4X(10-8.6)2]=1.84,

甲乙，

评委对甲同学演唱的评价更一致.

故答案为：乙；

1

(3)甲同学的最后得分为gx(7+8X2+9X4+10)=8.625；

8

1

乙同学的最后得分为qx(3X7+9X2+10X3)=8.625；

8

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1

丙同学的最后得分为4X（8X2+9X3+10X3）=9.125,

8

...在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙，

故答案为：丙.

22.（10分）某书店现有资金7700元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套，其

中甲种图书每套500元，乙种图书每套400元，丙种图书每套250元.书店将甲、乙、

丙三种图书的售价分别定为每套550元，430元，310元.设书店购进甲种图书x套，乙

种图书p套，请解答下列问题：

（1）请求出y与x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；

（2）若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套，则该书店有几种进货方案？

（3）在（1）和（2）的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调整:

甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调a（。为正整数）元，丙种图书的售价下调a

元，这样三种图书全部售出后，所获得的利润比（2）中某方案的利润多出20元，请直

接写出书店是按哪种方案进的货及a的值.

【解答】解：（1）根据题意得购进丙种图书（20-x-y）套，则有500x+40Qy+250（20

-x-y）=7700,

所以解析式为：>=一|/18；

（2）根据题意得：—得工+18>1,

1

解得：x<10引

又。三1,

1

1<%<10^,

因为x,y,（20-x-y）为整数，

.*.x=3,6,9,

即有三种购买方案：①甲、乙、丙三种图书分别为3套，13套，4套，

②甲、乙、丙三种图书分别为6套，8套，6套，

③甲、乙、丙三种图书分别为9套，3套，8套，

（3）若按方案一：则有13。-4a=20,解得。=等（不是正整数，不符合题意），

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若按方案二：则有8a-6a=20,解得。=10（符合题意），

若按方案三：则有3a-8a=20,解得。=-4（不是正整数，不符合题意），

所以购买方案是：甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套，a=10.

23.（10分）如图，已知四边形为正方形，/8=2鱼，点E为对角线NC上一动点，

连接。E,过点E作£下，。£交射线2。于点F以DE、所为邻边作矩形。EPG,连

接CG.

①求证：矩形。EFG是正方形；

②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

【解答】①证明：过E作于"点，过£作ENLCD于N点，如图所示:

:正方形48。，

AZBCD=90°,/ECN=45°,

/.ZEMC=ZENC=ZBCD=90°,

且NE=NC,

，四边形£MCN为正方形，

:四边形。EPG是矩形，

：.EM=EN,ZDEN+ZNEF=ZMEF+ZNEF=9Qa,

NDEN=NMEF,

又NDNE=/FME=90°,

2DNE=4FME

在△DEN和中，,EN=EM,

ZDEN=乙FEM

：.^DEN^/XFEM（ASA）,

：.ED=EF,

矩形DEFG为正方形；

②解：CE+CG的值为定值，理由如下：

•.•矩形DEFG为正方形，

：.DE=DG,ZEDC+ZCDG=90°,