2024年山西省长治市壶关县多校中考三模数学试题（原卷版+解析版）

2024年山西省长治市壶关县多校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）1.-7的相反数是（）A7 B.-7 C. D.2.如图所示是由个大小相同的小立方块搭成的几何体，去掉带阴影的小立方块后，剩下几何体的左视图为（）A B. C. D.3.2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京人民大会堂开幕，国务院总理李强作《政府工作报告》（简称《报告》）．《报告》指出，2023年国内生产总值超过126万亿元，增长．数据“126万亿元”用科学记数法表示为（）A.元 B.元C.元 D.元4.下列运算结果正确的是（）A.B.C.D.5.如图，直线，直线l分别与直线相交于点E，F，平分交于点G．若，则的度数为（）A. B. C. D.6.代数式化简结果正确的是（）A. B. C. D.7.如图，将先绕点C按顺时针方向旋转，再向右平移1个单位长度后得到，则点A的对应点的坐标为（）A. B. C. D.8.请阅读以下关于“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明过程．已知：直线与相切于点．求证：与直线垂直．证明：如图，假设与直线不垂直，过点作直线于点．∴，即圆心到直线的距离小于的半径．∴直线与相交．这与已知“直线与相切”相矛盾．∴假设不成立．∴与直线垂直．这种证明方法为（）A.综合法 B.归纳法 C.枚举法 D.反证法9.文房四宝是我国独有书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同．若想从一套四个盲盒（笔、墨、纸、砚盲盒各一个）中随机选两个，则恰好抽中笔和纸盲盒的概率为（）A. B. C. D.10.如图，点是的六等分点，连接．若的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案直接写在答题卡相应的位置）11.因式分解：=___________．12.根据国家统计局公布的数据显示，年全国粮食总产量为万吨，年全国粮食总产量为万吨．若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为____________________．13.如图是由相同的小木棒拼成的一组有规律的图案，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒…依此规律，第个图案中有___________根小木棒．（用含的代数式表示）14.如图，矩形的面积为35，边与双曲线交于点D．若，则k的值为_______．15.如图，在四边形中，，，，过点C作的平行线，交的延长线于点E．若，，则的长为_________________．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（1）计算：,（2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．17.如图，四边形为菱形，与交于点O，以点O为圆心，长为半径画圆，过点C作的切线，交的延长线于点E，．试判断四边形的形状，并说明理由．18.植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．某校在植树节时组织一批学生到校园周边共同种植一批树苗，如果每人种4棵，那么还剩下70棵树苗；如果每人种6棵，那么还少30棵树苗．（1）求参加这次植树活动的学生人数和这批树苗的数量．（2）在本次植树活动中，苗木基地提供的这批树苗只有甲、乙两种，其中甲种树苗每棵3元，乙种树苗每棵4元．若购买这批树苗的费用不超过1000元，则至少需要购买多少棵甲种树苗？19.2024年3月3日是第25个全国爱耳日，今年爱耳日的主题为“科技助听，共享美好生活”．某校举行了爱耳知识竞赛活动，并从七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，结果如下：七、八年级学生竞赛成绩折线统计图七、八年级学生竞赛成绩统计表统计量年级平均数/分中位数/分众数/分方差七年级7065m八年级70n80根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：，，（填“>”“＝”或“<”）．（2）该校七年级有200名学生，八年级有300名学生，若规定竞赛成绩为80分及以上为优秀，请估计七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．（3）根据表格中的统计量，哪个年级的学生在本次爱耳知识竞赛活动中表现得更好一些？请说明理由．20.请阅读下列材料，并完成相应的任务．商品条形码的“秘密”商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．商品条形码是由13位数字组成，每位数字都是不小于0且不大于9的整数，前12位数字分别表示“国家码、生产商编码和产品码”的相关信息，第13位数字表示“校验码”，如图1所示693代表国家码，49170代表生产商编码，0940代表产品码，2代表校验码．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确．性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图1为例）：例：条形码（X校验码）．步骤1：自左向右编号．位置序号12345678910111213代码693491700940X步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s，．步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t，．步骤4：求与t的和m，．步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n，．步骤6：求n与m的差就是校验码X．，即校验码X的值为2．任务：（1）若某商品的条形码为，求校验码Y的值．（2）如图2，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，则根据材料中的步骤4得出m的值为．（用含a的代数式表示）（3）如图3，某商品条形码中的两位数字被墨水污染了，若这两位数字相同，则这位数字是．21.某校九年级兴趣小组开展了“测量发射塔高度”的实践活动，计划利用教学楼测算远处小山坡上发射塔的高度．如图，他们分成两个小组，分别在教学楼A，B两个位置进行观测．其中一个小组的同学在教学楼A处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为，发射塔底端N的俯角为，另一个小组的同学在教学楼B处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为．已知教学楼A，B两个位置的高度差为，求发射塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，，，，，）22.综合与实践问题情境：四边形是正方形，E为对角线所在直线上一动点（不与点A，C重合），连接．将线段绕点B按逆时针方向旋转得到线段，连结．问题解决：（1）如图1，当点E在线段上时，求证：．探索发现：（2）如图2，当点E在的延长线上时，线段与的数量关系为（3）如图3，当点E在的延长线上时，连接并延长，交边于点G，交的延长线于点F，试判断与的数量关系，并说明理由．23综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为．（1）求抛物线的函数表达式．（2）若D是直线上方抛物线上一动点，且，求点D的坐标．（3）在y轴上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2024年山西省长治市壶关县多校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）1.-7的相反数是（）A.7 B.-7 C. D.【答案】A【解析】【详解】根据概念，（-7的相反数）+（-7）=0，则-7的相反数是7．故选A．2.如图所示是由个大小相同的小立方块搭成的几何体，去掉带阴影的小立方块后，剩下几何体的左视图为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据主视图，左视图，俯视图是分别从物体的正面，左面，上面看所得的图形解答即可．本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义是解题的关键．【详解】解：∵几何体是由个大小相同的小立方块搭成，∴去掉阴影部分的剩下部分的左视图为故选．3.2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京人民大会堂开幕，国务院总理李强作《政府工作报告》（简称《报告》）．《报告》指出，2023年国内生产总值超过126万亿元，增长．数据“126万亿元”用科学记数法表示为（）A.元 B.元C.元 D.元【答案】C【解析】【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此解答即可．【详解】解：126万亿元元元，故选：C．4.下列运算结果正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查积的乘方、单项式除以单项式、平方差公式及负指数幂，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据负指数幂、单项式除以单项式及平方差公式可进行求解．【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意；B、，原计算正确，故符合题意；C、，原计算错误，故不符合题意；D、，原计算错误，故不符合题意；故选B．5.如图，直线，直线l分别与直线相交于点E，F，平分交于点G．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质，证明是解答的关键．先根据平行线的性质和角平分线的定义证得，再根据三角形的外角性质求解即可．【详解】解：∵直线，∴，∵平分交于点G，∴，∴，∵，∴，故选：B．6.代数式化简结果正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先通分化简，再根据分式乘除约分即可得到答案.【详解】解：原式，故选A；本题考查分式化简，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算法则．7.如图，将先绕点C按顺时针方向旋转，再向右平移1个单位长度后得到，则点A的对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转变换和平移变换，先根据旋转性质和平移性质画出图形，再根据图形中点的位置即可求解．【详解】解：将先绕点C按顺时针方向旋转，再向右平移1个单位长度后得到如图所示，则点A的对应点的坐标为，故选：C．8.请阅读以下关于“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明过程．已知：直线与相切于点．求证：与直线垂直．证明：如图，假设与直线不垂直，过点作直线于点．∴，即圆心到直线的距离小于的半径．∴直线与相交．这与已知“直线与相切”相矛盾．∴假设不成立．∴与直线垂直．这种证明方法为（）A.综合法 B.归纳法 C.枚举法 D.反证法【答案】D【解析】【分析】根据反证法的定义：先提出与命题结论相反的假设，然后通过推理得出矛盾从而证明原命题成立判断即可．本题考查了反证法的定义，掌握反证法的定义是解题的关键．【详解】解：∵证明过程先做了假设“与直线不垂直”，最后得到一个与题目已知条件相矛盾的结论，即“假设不成立”，∴本题运用的证明方法是反证法；故选．9.文房四宝是我国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同．若想从一套四个盲盒（笔、墨、纸、砚盲盒各一个）中随机选两个，则恰好抽中笔和纸盲盒的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽中笔和纸盲盒的结果数，再利用概率公式可得出答案．本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．【详解】解：列表如下：笔墨纸砚笔（笔，墨）（笔，纸）（笔，砚）墨（墨，笔）（墨，纸）（墨，砚）纸（纸，笔）（纸，墨）（纸，砚）砚（砚，笔）（砚，墨）（砚，纸）共有12种等可能的结果，其中恰好抽中笔和纸盲盒的结果有：（笔，纸），（纸，笔），共2种，恰好抽中笔和纸盲盒的概率为．故选：B．10.如图，点是的六等分点，连接．若的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】连接，交于点，设与交于点，连接并延长，交于点．利用正多边形和圆的性质求得OQ=FQ，然后结合特殊角三角函数求得，然后利用扇形面积和三角形面积公式求解．【详解】解：如图，连接，交于点，设与交于点，连接并延长，交于点．根据题意，得，．所以．所以．因为的半径为2，所以．所以．在中，．所以．所以，故选C．本题考查正多边形和圆，掌握正多边形和圆的性质，扇形面积的计算，通过求基本图形面积解决求不规则的阴影部分面积是解题关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案直接写在答题卡相应的位置）11.因式分解：=___________．【答案】xy（x+2）（x-2）【解析】【分析】先提公因式xy，然后利用平方差公式分解因式．【详解】解：原式＝xy（x2−4）＝xy（x＋2）（x−2）；故答案为：xy（x+2）（x-2）．本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．12.根据国家统计局公布的数据显示，年全国粮食总产量为万吨，年全国粮食总产量为万吨．若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为____________________．【答案】【解析】【分析】利用年全国粮食总产量年全国粮食总产量列方程即可．本题考查了一元二次方程与实际问题，审清题意找出等量关系是解题的关键．【详解】解：∵这两年全国粮食总产量的年平均增长率为，年全国粮食总产量为万吨，∴年全国粮食总产量为万吨，∵年全国粮食总产量为万吨，∴可得方程：，故答案为：．13.如图是由相同的小木棒拼成的一组有规律的图案，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒…依此规律，第个图案中有___________根小木棒．（用含的代数式表示）【答案】【解析】【分析】本题主要考查列代数式，根据图案规律，写出第个图案中图形的个数是解题的关键；根据图案找出规律即可．【详解】解：第一个：，第二个：，第三个：，∴第个图案中有个；故答案为：．14.如图，矩形的面积为35，边与双曲线交于点D．若，则k的值为_______．【答案】21【解析】【分析】本题考查求反比例函数解析式、坐标与图形、矩形的性质、比例性质，设点B坐标为，根据矩形性质得到，轴，则点D的坐标为，根据坐标与图形性质，，然后由已知列方程求k值即可．【详解】解：设点B坐标为，∵矩形的面积为35，∴，轴，则点D的坐标为，∴，，∵，∴，解得，且满足所列方程，故答案为：21．15.如图，在四边形中，，，，过点C作的平行线，交的延长线于点E．若，，则的长为_________________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，连接交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，先求得，再说明，进而求得，最后运用勾股定理求得即可．【详解】解：如图所示，连接交于点，过点作的垂线，交的延长线于点．∵，，∴，即，又∵，∴．∴，∵，，∴垂直平分．∴，∴，∴，又∵，∴．∴，∴，∵，，，垂直平分，∴，，∴，∴．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（1）计算：,（2）解不等式组：，并将解集数轴上表示出来．【答案】（1）；（2），数轴见解析【解析】【分析】（）根据零指数幂的运算法则，绝对值的性质，实数的乘法法则，实数的加减混合运算法则化简即可解答；（）先解出每个不等式的解集，再利用数轴可得一元一次不等式组的解集即可．详解】解：（）；解：（），由得：,由得：，∴原不等式组的解集为．本题考查了零指数幂的运算法则，绝对值的性质，实数的乘法法则，实数的加减混合运算法则，解一元一次不等式组，学会解一元一次不等式组是解题的关键．17.如图，四边形为菱形，与交于点O，以点O为圆心，长为半径画圆，过点C作的切线，交的延长线于点E，．试判断四边形的形状，并说明理由．【答案】菱形，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质可得出，推出是等边三角形，证明四边形是平行四边形，根据可证明四边形是菱形【详解】四边形是菱形，理由：∵四边形为菱形，∴，在中，∴，∴∴是等边三角形，∴∵为的切线，∴，∴，∴∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形18.植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．某校在植树节时组织一批学生到校园周边共同种植一批树苗，如果每人种4棵，那么还剩下70棵树苗；如果每人种6棵，那么还少30棵树苗．（1）求参加这次植树活动的学生人数和这批树苗的数量．（2）在本次植树活动中，苗木基地提供的这批树苗只有甲、乙两种，其中甲种树苗每棵3元，乙种树苗每棵4元．若购买这批树苗的费用不超过1000元，则至少需要购买多少棵甲种树苗？【答案】（1）学生人数为50人，这批树苗的数量为270棵（2）至少需要购买80棵甲种树苗【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．（1）参加这次植树活动的学生人数为x人，这批树苗的数量为y棵，根据如果每人种4棵，那么还剩下70棵树苗；如果每人种6棵，那么还少30棵树苗．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设需要购买m棵甲种树苗，则需要购买棵乙种树苗，根据购买这批树苗的费用不超过1000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【小问1详解】解：参加这次植树活动的学生人数为x人，这批树苗的数量为y棵，由题意得：，解得：，答：参加这次植树活动的学生人数为50人，这批树苗的数量为270棵；【小问2详解】解：设需要购买m棵甲种树苗，则需要购买棵乙种树苗，由题意得：，解得：，又∵m是正整数，∴m的最小值为80，答：至少需要购买80棵甲种树苗．19.2024年3月3日是第25个全国爱耳日，今年爱耳日的主题为“科技助听，共享美好生活”．某校举行了爱耳知识竞赛活动，并从七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，结果如下：七、八年级学生竞赛成绩折线统计图七、八年级学生竞赛成绩统计表统计量年级平均数/分中位数/分众数/分方差七年级7065m八年级70n80根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：，，（填“>”“＝”或“<”）．（2）该校七年级有200名学生，八年级有300名学生，若规定竞赛成绩为80分及以上为优秀，请估计七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．（3）根据表格中的统计量，哪个年级的学生在本次爱耳知识竞赛活动中表现得更好一些？请说明理由．【答案】（1）50，70，>（2）200（3）八年级，理由见解析【解析】【分析】本题考查折线统计图、用样本估计总体、平均数、众数、中位数、方差，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、平均数、众数、中位数、方差的定义及意义是解答本题的关键．（1）根据众数、中位数、方差的定义可得答案．（2）根据用样本估计总体，用200乘以样本中七年级的竞赛成绩为80分及以上的人数所占的百分比，用300乘以样本中八年级的竞赛成绩为80分及以上的人数所占的百分比，相加即可．（3）根据平均数、中位数、方差的意义可得答案．【小问1详解】解：由题意得，．将八年级抽取的10名学生的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第5名和第6名的成绩分别记为70，70，∴．由折线统计图可知，七年级抽取的10名学生的竞赛成绩比八年级抽取的10名学生的竞赛成绩波动性大，∴．故答案为：50；70；．【小问2详解】解：（人）．∴估计七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数约200人．【小问3详解】解：八年级的学生表现更好一些．理由：抽取的七、八年级学生竞赛成绩的平均数相同，说明两个年级学生平均水平相当，但是七年级学生竞赛成绩的方差大于八年级学生竞赛成绩的方差，说明八年级学生的竞赛成绩更集中，波动性小于七年级，故八年级的学生在本次爱耳知识竞赛活动中表现更好一些．20.请阅读下列材料，并完成相应的任务．商品条形码的“秘密”商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．商品条形码是由13位数字组成，每位数字都是不小于0且不大于9的整数，前12位数字分别表示“国家码、生产商编码和产品码”的相关信息，第13位数字表示“校验码”，如图1所示693代表国家码，49170代表生产商编码，0940代表产品码，2代表校验码．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确．性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图1为例）：例：条形码（X为校验码）．步骤1：自左向右编号．位置序号12345678910111213代码693491700940X步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s，．步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t，．步骤4：求与t的和m，．步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n，．步骤6：求n与m的差就是校验码X．，即校验码X的值为2．任务：（1）若某商品的条形码为，求校验码Y的值．（2）如图2，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，则根据材料中的步骤4得出m的值为．（用含a的代数式表示）（3）如图3，某商品条形码中的两位数字被墨水污染了，若这两位数字相同，则这位数字是．【答案】（1）0（2）（3）5【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握新定义是解题的关键．（1）根据新定义求解；（2）根据新定义列代数式求解；（3）根据新定义列方程求解．【小问1详解】解：步骤1：自左向右编号为：位置序号12345678910111213代码692015246102Y步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s，．步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t，．步骤4：求与t的和m，．步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n，．步骤6：求n与m的差就是校验码Y．，即校验码Y的值为0，故答案为：0；【小问2详解】∵∴故答案为：；【小问3详解】解：设这个数字为x，∵，∴，∴，∴，解得：，故答案为：5．21.某校九年级兴趣小组开展了“测量发射塔高度”实践活动，计划利用教学楼测算远处小山坡上发射塔的高度．如图，他们分成两个小组，分别在教学楼A，B两个位置进行观测．其中一个小组的同学在教学楼A处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为，发射塔底端N的俯角为，另一个小组的同学在教学楼B处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为．已知教学楼A，B两个位置的高度差为，求发射塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，，，，，）【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作于点，过点作，交的延长线于点，根据题意可得：，，然后设，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出和的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，则四边形为矩形，由题意得：，，设在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，解得：，∴，，在中，，∴，∴，答：发射塔的高度约为．22.综合与实践问题情境：四边形是正方形，E为对角线所在直线上一动点（不与点A，C重合），连接．