专题05 全等三角形的综合应用（五大类型）（题型专练）（解析版）

专题05全等三角形的综合应用（五大类型）【题型1利用三角形全等测量能到两端的距离】【题型2利用三角形全等求两端的距离】【题型3利用三角形全等测量物体的内径】【题型4利用三角形全等解决工程中的问题】【题型5利用三角形全等解决面积问题】【题型1利用三角形全等测量能到两端的距离】1.（2022秋•新昌县期末）为了测出池塘两端A，B的距离，小红在地面上选择了点O，D，C，使OA＝OC，OB＝OD，且点A，O，C和点B，O，D分别都在一条直线上，小红认为只要量出D，C的距离，就能知道AB，小红是根据△OAB≌△OCD来判断AB＝DC的，那么判定这两个三角形全等用到的基本事实或定理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】B【解答】解：在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS）．故选：B．2.（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，再测得AD的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△ADC的理由是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS【答案】A【解答】解：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS）．故选：A．3.（2022春•深圳期末）如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是（）A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS【答案】B【解答】解：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（SAS），∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）．故选：B．4．（2022春•威宁县期末）如图，要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再作出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此，测得ED的长就是AB的长，则上述操作，判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS【答案】B【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．故选：B．5．（2021秋•龙凤区校级期末）已知如图，要测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B'，使∠ACB'＝∠ACB，这时只要出AB'的长，就知道AB的长，那么判定△ABC≌△AB'C的理由是（）A．ASA B．AAS C．SAS D．HL【答案】A【解答】解：∵AC⊥AB∴∠CAB＝∠CAB′＝90°在△ABC和△AB′C中，，∴△ABC≌△AB′C（ASA）∴AB′＝AB．故选：A．6．（2022春•沈河区校级月考）如图，小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了35步到达一棵树C处，接着再向前走了35步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他一共走了140步，如果小刚一步大约50cm，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离为35米．【答案】35．【解答】解：所画示意图如下：由题意知：AC＝DC＝35步，DE＝140﹣35﹣35＝70（步），∴70×0.5＝35（米），在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（ASA），∴AB＝DE＝35米，答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为35米．7．（2022•汉滨区四模）如图，一条河流MN旁边有两个村庄A，B，AD⊥MN于D．由于有山峰阻挡，村庄B到河边MN的距离不能直接测量，河边恰好有一个地点C能到达A，B两个村庄，与A，B的连线夹角为90°，且与A，B的距离也相等，测量C，D的距离为150m，请求出村庄B到河边的距离．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过点B作BE⊥MN于点E，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC与△CEB中，．∴△ADC≌△CEB（AAS）．∴BE＝CD＝150m．即村庄B到河边的距离是150米．8．（2021秋•让胡路区校级期末）小明利用一根3m长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯前选一点P，使BP＝3m，并测得∠APB＝70°，然后把竖直的竿子CD（CD＝3m）在BP的延长线上移动，使∠DPC＝20°，此时量得BD＝11.2m．根据这些数据，小明计算出了路灯的高度．你知道小明计算的路灯的高度是多少？为什么？【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠CPD＝20°，∠APB＝70°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝70°，在△CPD和△PAB中∵，∴△CPD≌△PAB（ASA），∴DP＝AB，∵DB＝11.2，PB＝3，∴AB＝11.2﹣3＝8.2（m），答：路灯的高度AB是8.2米．9．（2022秋•天山区校级期末）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AC＝DF，AB∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝16m，BF＝5m，求FC的长度．【答案】（1）见解析；（2）6m．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝16m，BF＝5m，∴FC＝16﹣5﹣5＝6（m）．10．（2022秋•周口期中）如图，要测量河两岸上A，B两点的距离，在点B所在河岸一侧平地上取一点C，使A，B，C在一条直线上，另取点D，使CD＝BC，测得∠DCB＝100°，∠ADC＝65°，在CD的延长线上取点E，使∠BEC＝15°．这时测得DE的长就是A，B两点的距离，为什么？【答案】见解析．【解答】证明：∵∠DCB＝100°，∠ADC＝65°，∴∠A＝15°，∴∠BEC＝∠A，在△BCE和△DCA中，，∴△BCE≌△DCA（AAS），∴AC＝CE，∵BC＝CD，∴AC﹣BC＝CE﹣CD，即AB＝DE，∴测得DE的长就是A，B两点的距离．【题型2利用三角形全等求两端的距离】11．（2021秋•临海市期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF相等，那么判定△ABC与△DEF全等的依据是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SSS【答案】A【解答】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故选：A．12．（2022秋•椒江区期末）小明在学习了全等三角形的相关知识后，发现了一种测量距离的方法，如图，小明直立在河岸边的O处，他压低帽子帽沿，使视线通过帽沿，恰好落在河对岸的A处，然后转过身，保持和刚才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的B处（A，O，B三点在同一水平直线上），小明通过测量O，B之间的距离，即得到O，A之间的距离．小明这种方法的原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL【答案】C【解答】解：∵AB⊥CO，∴∠ACO＝∠BCO，在△AOC与△BOC中，，∴△AOC≌△BOC（ASA），∴AO＝BO，故选：C．13．（2022秋•泗水县期末）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（）A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm【答案】A【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，∴DE＝DC+CE＝30（cm），答：两堵木墙之间的距离为30cm．故选：A．14.（2022秋•亳州期末）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼AB的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处测得E处的俯角为α，小华站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为β，发现α与β互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米．（1）求证：AF＝CE；（2）求单元楼AB的高．【答案】（1）见解析；（2）单元楼AB的高为39米．【解答】解：（1）过点F作FG⊥AB，垂足为G，由题意得：∠AGF＝∠EDC＝90°，BG＝EF＝1米，FG＝BE＝20米，∠AFG＝β，∠CED＝α，∴∠CED+∠ECD＝90°，∵α+β＝90°，∴∠ECD＝β＝∠AFG，∵BE＝CD＝20米，∴FG＝CD＝20米，∴△AGF≌△EDC（AAS），∴AF＝CE；（2）∵△AGF≌△EDC，∴AG＝ED＝BD﹣BE＝58﹣20＝38（米），∴AB＝AG+GB＝39（米），∴单元楼AB的高为39米．15．（2022秋•成武县期末）如图，阳阳为了测量高楼AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，∠APC＝90°，量得点P到楼底距离PB与旗杆高度CD相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离DB＝36米．若∠CPD＝36°，∠APB＝54°，求楼高AB．【答案】楼高AB是26米．【解答】解：∵∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝54°．在△CPD和△PAB中，，∴△CPD≌△PAB（ASA），∴DP＝AB．∵DB＝36，PB＝10，∴AB＝36﹣10＝26（米），答：楼高AB是26米．【题型3利用三角形全等测量物体的内径】16．（2022秋•同安区期中）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（）A．5厘米 B．6厘米 C．1厘米 D．厘米【答案】D【解答】解：在△COD和△BOA中，，∴△COD≌△BOA（SAS），∴CD＝AB＝5厘米，∴圆形容器的壁厚为：（6﹣5）÷2＝（厘米），故选：D．17．（2022秋•西乡塘区校级月考）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【答案】A【解答】解：∵O是AA′、BB′的中点，∴AO＝A′O，BO＝B′O，在△OAB和△OA′B′中，∴△OAB≌△OA′B′（SAS），故选：A．18.（2022秋•泰山区校级月考）如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO应满足下列的哪个条件？（）A．AO＝CO B．BO＝DO C．AC＝BD D．AO＝CO且BO＝DO【答案】D【解答】解：如图，连接CD，已知对顶角∠AOB＝∠COD，所以根据全等三角形的判定定理SAS可以判定△AOB≌△COD，由此推断AB＝CD．故选：D．19.（2022秋•北京期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AC，BD的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB≌△COD的依据是SAS．【答案】SAS．【解答】解：在△COD和△AOB中，，∴△COD≌△AOB（SAS），∴AB＝CD，∴此方案依据判断三角形全等的SAS公理，故答案为：SAS．【题型4利用三角形全等解决工程中的问题】20．（2022秋•海淀区校级期中）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（）A．AAS B．ASA C．SSS D．SAS【答案】C【解答】解：由题意可得，在△OMC和△OMD中，，∴△OMC≌△OMD（SSS），则∠COM＝∠DOM，故射线OM就是∠AOB的平分线．故选：C．21．（2022秋•长汀县期中）一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了 C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、3或3、4去均可【答案】C【解答】解：带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形，故选：C．22．（2022秋•沙河口区期末）如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E到路段AB的距离相等吗？为什么？【答案】见试题解答内容【解答】解：D，E与路段AB的距离相等，理由：∵点C是路段AB的中点，∴AC＝CB，∵两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，∴DC＝EC，∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，在Rt△ACD和Rt△BCE中∵，∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），∴AD＝BE，∴D，E到路段AB的距离相等．23．（2022春•三原县期末）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠AEB＝∠ADE＝∠BCE＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∠AED+∠BEC＝90°，∠BEC+∠EBC＝90°，∴∠DAE＝∠CEB，∠AED＝∠EBC，在△ADE与△ECB中，，∴△ADE≌△ECB（ASA），∴AD＝CE，DE＝BC，∴DC＝DE+CE＝BC+AD＝350+150＝500米．24．（2021秋•黔西南州期末）如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时