数学文化 课件 1-西方古代数学与欧氏几何

数学文化第1章

古代西方数学与欧式几何章节目录1.1

原始文明中的数学1.2

几何学的诞生与经验数学1.3

古希腊数学与数学演绎法、数学抽象法1.4

欧几里得《几何原本》及其文化意义

中国、环地中海国家包括土耳其与北非的近东是人类文明的发祥地。1.1

原始文明中的数学

由于即使在最原始的人类社会，也必须对生活必需品进行以物易物的交换，所以就必须进行计算。从而在原始文明中，也已经迈出了数学上最初的几步。

由于利用手指和脚趾能使计算的过程变得容易，因此，对原始人像小孩一样利用自己的全部手指和脚趾去数东西也就不足为奇了。带这种记数法的痕迹已融会在今天的语言中，如“digit”一词，不仅有数字1，2，3，…的含义，也有手指和脚趾的意义。手指的利用，无疑地解释了今天记数系统中采用十进位的原因。

在原始文明中已经发明了表示数的特殊记号。特别是，原始人已经知道3只羊、3个苹果有很大的共性，即数量3。这样，数字就被看作是一种抽象的思想——数与特殊实物无关。这一点，在思想史上具有重要的意义。

原始文明也发明了基本的算术四则运算：加、减、乘、除。从对现代落后种族的一项研究中，我们知道，原始部落的牧民在出售牲畜时，总是一只只单独的分开来卖。如果选择用羊的数目乘以每只羊的售价的方法，就会把牧民搞糊涂，以致于怀疑被欺骗了。所以，把握四则运算并不是一件简单的事情。

在原始文明中，基本的几何概念来源于对物质实体所形成图形的观察。例如角的概念，很可能最初就来自于对肘和腿等形成的角的观察。在许多语言中，表示角的边的词与表示腿的词相同。如我国就将直角三角形的两边称为“勾”与“股”。

在孕育了现代文化和数学的近东文明中最主要的是埃及和巴比伦文明。在其最早期的记载中，我们发现了高度发达的记数系统（数系）、代数学与非常简单的几何学。对于从1到9的数字，埃及人曾用过这样简单的记号来表示：︱，‖，等。对于10，他们曾用记号∩表示。如20就记为∩∩︳。中国在宋代使用的数字如下：︱，‖，‖︳，×，…，而O表示0，如10记为︱O。

位值制很重要。采用10进制（以10为基底），10个符号就足以表示无论多大的数。印度人发明了今天称为阿拉伯数字的数字符号和10进制。古巴比伦人引入的进制是60进制。所以希腊人、欧洲人直到16世纪都将这套记数系统运用于所有的数学计算与天文学计算中。而且直到今天还用于角度和时钟上。捷克摩拉维亚狼骨（约三万年前）古巴比伦的“记事泥板”中关于“整勾股数”的记载”

（马其顿，1988年）20世纪两河流域约50万块泥版文书出土，其中300多块与数学有关（约公元前1000年）（文达，1982年）

0是一个非常特殊的数字。中国人可以说是最早发明了类似于今天的数字0的符号。现在的数学史上，一般认为0是印度人发明的。

在古巴比伦和埃及的文明中，算术已经超出了利用整数和分数的范围。他们已能够解决一些含有未知量的方程。实际上，欧几里得体系中的代数知识部分的来源于巴比伦文明。

古埃及人在数学方面达到了很高的水平，掌握了多方面的数学知识。古埃及人大约在公元前3500年就已经有了文字。埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫僧侣文。现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书，一卷藏在伦敦，叫莱茵德纸草书；一卷藏在莫斯科，称为莫斯科纸草书。据说写这份纸草书是生活在公元前1800年到前1600年的阿摩斯。从纸草书上，人们发现古代的埃及人已学会用数学来管理国家和宗教的事物，确定付给老劳役者的报酬，求谷仓的容积和田地的面积，按土地面积征收地税，等等。1.2

几何学的诞生与经验数学1.2.1古埃及的数学

这些知识转换成数学语言就是：加减乘除运算，分数运算，一元一次方程和一类相当于二元二次方程组的特殊问题等。纸草书上还有关于等差数列和等比数列的问题。他们还学会了计算矩形、三角形和梯形的面积，长方体、圆柱体、棱台的体积等，与现代计算值相近。并且，他们用公式来计算圆面积，相当于取值为，这是十分了不起的结果。莱茵德纸草书(1650B.C.)莫斯科纸草书

从莫斯科纸草书和莱茵德纸草书中可知古埃及人已采用10进制的象形符号。数目的写法，从1到10，以及100,1000,10000,100000,1000000均有不同的象形文符号，唯独没有表示0的符号。数字1用一竖表示，许多竖则表示个位数；一段绳子表示10；1卷绳子表示100；池塘里的荷花表示1000；手指表示10000；用蝌蚪代表100000，因为蝌蚪能大量繁殖，取其众之意；举起双手的人表示巨大或永恒，代表1000000。与众不同的长度单位是古埃及数学形式的显著特色。这些单位是指、掌、脚掌和肘，古埃及数学家在这些单位之间规定了一定的相互关系。1至1000000之间的数，是根据排在一起的上述基本数学符号相加的原则组成。

古埃及的数学基本上是采用十进制的。在算术的四则运算中，古埃及人实际上只是通过加法来完成的，减法是倒数，乘法则是化成加迭法步骤来进行运算的。在做乘法时，只是把乘数和被乘数一次次地相加，直到约数为止。以为例，其运算式如下：

/123

246

/492

/8184把左列的乘数从1开始加位下去，直到把乘数加到13为止（把前面标以“/”的数字1,4,8加在一起，即1+4+8=13），然后把右列相对应的被乘数加在一起23+92+184，得到结果为299，即

古埃及的数学基本上是采用十进制的。在算术的四则运算中，古埃及人实际上只是通过加法来完成的，减法是倒数，乘法则是化成加迭法步骤来进行运算的。在做乘法时，只是把乘数和被乘数一次次地相加，直到约数为止。以为例，其运算式如下：

/123

246

/492

/8184把左列的乘数从1开始加位下去，直到把乘数加到13为止（把前面标以“/”的数字1,4,8加在一起，即1+4+8=13），然后把右列相对应的被乘数加在一起23+92+184，得到结果为299，即

除法运算是乘法的逆运算，以为例，其运算式如下：

/17

/214428

/856将右列的除数7加倍，在能把除数加到等于被除数77时为止7+14+56，然后在左列相对应的数前标以“/”记号。并把它们加在一起1+2+8，得到结果是11，即为商，所以。这样看来，77除以7就是找出几个7相加等于77。对古埃及人来说，四则运算都可以化为记数形式，这种运算方法虽然比较缓慢，但无需记忆，运算起来还是很简单的。

人们一般认为埃及人在几何方面要超过巴比伦人。一种观点认为，几何学是“尼罗河的恩赐”。希罗多德（Herodotus）曾记述，在公元前14世纪，塞索斯特里斯（Sesostris）王将土地分封给所有的埃及人。如果一年一度的尼罗河泛滥冲毁了某个人的土地，法老就会根据报告派监工来测量冲毁的土地。这样，从埃及的土地测量中，几何学（geometry）——geo意指土地，metron意指测量——就产生并兴盛起来。要注意的是，希罗多德可能正确的指出了几何学在埃及受重视的原因，但事实是在公元前14世纪以前的1000多年前几何学就已经存在了。埃及金字塔建于约公元前2900年的埃及法老胡夫

的金字塔，塔基每边长约230米，塔基的正方程度与水平程度的

平均误差不超过万分之一。

在计算体积方面，古埃及人已经知道立方体、柱体等一些简单图形体积计算方法，并指出立方体、直棱柱、圆柱的体积公式为“底面积乘以高”。

古埃及人对分数的记法和计算都比现在复杂得多。埃及人用“单位分数”（分子为1的分数）来表示分数。对一般的分数则拆成“单位分数”表示，例如

在莱茵德纸草书中发现，古埃及人已经在做一些代数题目。例如，纸草书第26题，用现代语言表达为“一个量与其1/4相加之和是15，求这个量”。这是一个一元一次方程问题。

古希腊时代以前的数学，包括古埃及、古巴比伦、古中国与古印度等文明古国，都以经验的积累为主要特征。数学公式由经验日积月累而成。古人通过实践积累了一定的经验，形成了一些初步的数学知识，但还没有上升为系统的理论。古埃及人和古巴比伦人的几何学是经验的法则，或者说是实际技艺。

我们可以肯定地说，古巴比伦人与古埃及人已经积累了相当丰富的几何知识。但是，它们还不是一门有自己的定理和证明的理论科学的几何学。公元前7世纪时几何从埃及传到希腊。在希腊，伟大的唯物主义哲学家泰勒斯、德谟克利特和许多人又将它发展了。毕达哥拉斯和他的门生们对几何学的发展作出了卓越的贡献。

1.2.2经验数学

在历史上，希腊文化是继承和吸收爱琴海的米诺斯文明、埃及文明和腓尼基文明而形成的后继文明。它吸收了这些文明中的一些数学文化传统，并进而把它发展成为一种以数学来解释世界的独特方式。在这一发展过程中，毕达哥拉斯学派、柏拉图、欧几里得等起到了极其重要的作用。1.3

古希腊数学与数学演绎法、数学抽象法1.3.1古希腊数学

毕达哥拉斯学派对数学的观念带有浓厚的原始文化的数学神秘色彩。亚里士多德曾说，毕达哥拉斯学派把数看作是真实物质对象的组成部分。这种“万物皆数”的观点构成了毕达哥拉斯学派的核心观念。毕达哥拉斯(公元前580年～公元前500年)

据传，毕达哥拉斯学派关于谐音的研究对于其核心观念的形成起到了十分重要的作用。他们发现，弹弦音质的变化来源于弦长短的数量变化，两根绷得同样紧的弦如果长度成正比，那么就会发出谐音。既然音乐这种似乎与数毫无联系的现象最终都可以用数得到解释，这就极大地增强了毕达哥拉斯学派用数来解释世界的信心。

由上述信念出发，毕达哥拉斯学派又进而提出行星的运动也可用数的关系来表达。由于认为物体在空间运动时会发出声音，运动快的物体比运动慢的物体发出的声音高，因此毕达哥拉斯学派认为，行星的运动最终也可以通过“天际”的音乐表示为数量关系：离地球越远的天体运动越快。各个行星则因其离开地球距离的不同而发出的声音匹配为和谐之音，等等。

综观毕达哥拉斯学派的研究，我们可以清楚地看到人们对数学神秘性的继承和发展。但是，这种神秘的数学研究却把人们对世界的认识和理解引向了一条数学化的道路。

首先，纯粹的数学研究应首先归功于毕达哥拉斯学派；

其次，毕达哥拉斯学派对数的研究则是人类第一次用数学来研究世界、研究自然的本质，是人类第一次企图从数与数的关系上来解释世界，解释自然。

柏拉图（公元前428—前387年）是古希腊最有名的哲学家。在雅典，他创立了从事哲学和科学研究的学院——Academy。作为一个哲学家，柏拉图突出地强调了数学对于哲学与了解宇宙的重要作用。柏拉图认为，存在着一个物质世界——地球以及其上的万物，通过感官我们能够感觉到这个世界。同时，还存在着一个精神的世界，一个诸如美、正义、智慧、善、完美无缺和非尘世的理念世界。感官所能把握的，只是具体的和逝去了的东西，只有通过心灵才能达到对这些永恒理念的理解。这种理念论，就是柏拉图哲学的核心。柏拉图与亚里士多德倡导逻辑演绎的结构

柏拉图认为世界是按照数学来设计的。他指出，神永远按几何规律办事。柏拉图并试图对世界的本原作出进一步的具体论述。他指出，构成物质世界的真正元素并不是土、气、火与水等具体物质，而是五种正多面体，因为这些元素的每一个原子都是正多面体：土的原子是立方体，火的原子是正四面体，气的原子是正八面体，水的原子是正二十面体，另外，正十二面体对应的则是宇宙。在柏拉图那里，数学就成为了构造世界的基石。柏拉图对数学重要意义的突出强调极大地激励了他的同时代人与后人积极地从事数学的研究。

古希腊人对于数学第一个卓越贡献就是提出了数学演绎的方法。古希腊人是天才的哲学家，他们热爱理性，爱好精神活动，这就使他们与其他民族有很大的区别。公元前5世纪的古雅典人热衷于讨论生与死、生命不朽、精神的本质、善恶之分等问题，就像我们现在热衷于物质进步一样。哲学家最基本的工具就是演绎推理，因此古希腊人在着手数学研究时偏爱这种方法也就不足为奇了。而且哲学家关心的是真理，即非物质性的少数关于永恒、不朽的问题，而确定性是真理必不可少的要素。

1.3.2数学演绎法

古希腊人坚持演绎推理是数学证明中惟一的方法是他们对人类文明最为重要的贡献。它使数学从木匠的工具盒、农民的小棚和测量员的背包中解放出来了，使得数学成为人们头脑中的一个思想体系。从此，人们开始靠理性而不是靠感官去判断什么是正确的。正是依靠这种判断，理性才为西方文明开辟了道路。

因此，古希腊人以一种比其他方法更为高超的方法，清楚地揭示了他们赋予人的理性力量以至高无上的重要性。尽管演绎法有如此多的优点，但它并不能取代实验法、归纳法或者类比推理。确实，当前提能保证100%正确时，那么演绎推出的结论也100%正确。但是这样确定的前提却不一定是有用的，而且遗憾的是没有人能发现这样的前提。因此，获得知识的方法都有其利弊。尽管如此，古希腊人却坚持，所有的数学结论只有通过演绎推理才能确定。古希腊人的第二个卓越贡献在于他们将数学抽象化。

古希腊人将物质实体从数学概念中剔除，仅仅留下了外壳。他们为什么这样做呢？显然，思考抽象事物比思考具体事物要困难得多，但却可以获得一个突出的优点——获得一般性。一个已经证明了的关于抽象三角形的定理一定适用于由三根木棒搭成的图形以及由地球、太阳、月亮在任何时候所形成的三角形。古希腊人偏爱抽象概念，对他们来说，抽象概念是永恒的、理想的和完美的，而物质实体却是短暂的、不完善的和易腐朽的。物质世界除了提供一个理念的模型外，没有其它意义。1.3.3

数学抽象法

欧几里得（Euclid，约公元前330~前275）的《几何原本》（Elements）是数学史上一个伟大的里程碑。欧几里得《几何原本》从它刚问世就受到人们的高度重视，在西方世界，除了《圣经》以外没有其他著作的作用、研究、印行之广泛能与《原本》相比。自1482年第一个印刷本出版以后，至今已有一千多种版本。1.4

欧几里得的《几何原本》及其文化意义1.4.1欧几里得的《几何原本》

在我国，明朝时期意大利传教士利马窦与我国的徐光启合译前六卷，于1607年出版。中译本书名为《几何原本》。徐光启在《几何原本杂议》中对这部著作曾给以高度的评价。他说：“此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改。有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。有三至三能：似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之至难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已。”

250年后，《几何原本》的后面各卷才由中国数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合作翻译，并于1857年完成此项伟大的工作。至此，《几何原本》第一次完整地传入中国。《几何原本》的英译名为Elements，原意是指一学科中具有广泛应用的重要定理。欧几里得在这本书中用公理法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。全书共分13卷，包括有5条公设、5条公理、119个定义和465个命题，构成历史上第一个数学公理演绎体系。

各卷的内容大致可分类如下:

第一卷：几何基础。包括23个定义,48个命题。另外提出了5条公设和5条公理。在以后各卷再没有加人新的公设和公理。该卷的最后两个命题是毕达哥拉斯定理及其逆定理

第二卷：几何代数。以几何形式研究代数公式,主要讨论毕达哥拉斯学派的几何代数学。

第三卷：圆形。包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理。

第四卷：正多边形。主要讨论给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。

第五卷：比例说。对欧多克斯的比例理论作了精彩的解释,被认为是最重要的数学杰作之一。

第六卷：相似图形。

第七、八、九卷：初等数论。探讨偶数、奇数、质数、完全数等的性质。给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”,讨论了比例、几何级数,还给出了许多数论的重要定理。

第十卷：不可公度量。讨论无理量,即不可公度的线段,共有命题115个。

第十一、十二、十三卷：立体几何。探讨立体几何中的定理,并证明只存在有五种正多面体。

目前中学几何课本中的内容，绝大多数都能在《几何原本》中找到。

欧几里得在《几何原本》第一卷中列出了23个定义、5个公设和5个公理。它们的区别是，公理是适用于一切科学的真理，而公设则只应用于几何学。在非欧几何出现以前，公设和公理都被人们当做是不成问题的真理加以接受。

5条公设（1）连接任何两点可以作一直线段。

（2）一直线段可以沿两个方向无限延长而成为直线。

（3）以任意一点为中心，通过任意给定的另一点可作一圆。

（4）凡直角都相等。

（5）如果同一平面内任一条直线与另两条直线相交，同一侧的两内角之和小于两直角，则这两直线经适当延长后在这一侧相交。（其等价命题是：在一个平面中，过已知直线外一点做直线的平行线能做一条且仅能做一条。）

5条公理

（1）等于同量的量，彼此相等。

（2）等量加等量，其和仍相等。

（3）等量减等量，其差仍相等。

（4）彼此能重合的东西是相等的。

（5）整体大于部分。1.《几何原本》的特点

第一，封闭的演绎体系。在《几何原本》中,除了推导时需要逻辑规则外,每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理,原则上不再依赖其他的东西。因此，