安徽省合肥市第四十五中学橡树湾校区2023-2024学年八年级（下）期中数学试卷

第1页（共1页）安徽省合肥市第四十五中学橡树湾校区2023-2024学年八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每题4分，满分40分）1．（4分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．（4分）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2y﹣3＝0 C． D．x2+1＝03．（4分）已知△ABC的三个角度数的比∠A：∠B：∠C＝1：2：3，BC＝2，则AC为（）A． B．4 C．2 D．4．（4分）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（）A． B． C． D．5．（4分）在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4，则BC的长为（）A．5 B． C．5或 D．5或6．（4分）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2 B．﹣1 C． D．﹣27．（4分）下列式子正确的是（）A．＝ B． C． D．8．（4分）一组学生组织春游，预计共需要费用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元，设原来这组学生有x人，则可列方程为（）A． B． C． D．9．（4分）如图，梯子AB靠在墙上，梯子底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m10．（4分）关于x的方程（x2+x）2+2x2+2x﹣3＝0，则x2+x的值是（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．3或﹣1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（5分）如果3x2+6x﹣8的值与2x2﹣1的值相等，则x＝．13．（5分）如图，由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝15，S3＝1，则S1的值是．14．（5分）如图，长方形ABCD中，AB＝5cm，AD＝4cm，动点P从点D出发，沿DA向终点A以1cm/s的速度移动，动点Q从点A出发沿A﹣B﹣C向终点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止．（1）若经过x秒，用x的代数式表示AP，则AP＝cm；（2）经过秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm2．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：（3﹣2+）÷2．16．（8分）解方程：2x2﹣5x+2＝0．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，在5×5的网格中，网格线的交点称作格点．（1）作出一个面积为10，顶点都在格点的正方形ABCD；（2）在5×5的网格中，任意两个格点间不同长度的线段有条．18．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k﹣1＝0．（1）若x＝1是方程的一个根，求k的值；（2）求证：方程有两个不相等的实数根．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）观察下列等式，解答问题．；；；…（1）请直接写出第5个等式：；（2）利用上述规律，比较与的大小；（3）直接写出＝．20．（10分）某商厦1月份的营业额是100万元，第一季度的营业额是364万元，问第一季度后两个月的月平均营业额的增长率是多少？六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）21．（12分）（1）如图，在△ABC中，AD⊥BC，求证：AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2；（2）在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC边上的高AD＝4，求边BC的值．22．（12分）如图，要建一个面积为150m2的长方形花园ABCD，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道墙，另三边用栅栏围成，BC边留有2m的门EF，如果栅栏的长为33m．（1）若墙足够长，则花园的长和宽各为多少？（2）若给定墙长为am，请直接写出围成的花园只有一种围法时，a的取值范围是．七、（本题满分14分）23．（14分）（1）如图1，点C在线段BD上，AB＝CD，BC＝DE，∠B＝∠D＝90°，求证：△ACE为等腰直角三角形；（2）如图2，M（0，5），N（6，2），以MN为斜边作等腰直角△MNQ，求点Q的坐标；（3）在第（2）问的前提下，过点Q作y轴垂线l，在l上取一点P，直接写出PM+PN的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题4分，满分40分）1．（4分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；B、是最简二次根式，符合题意；C、不是二次根式，不符合题意；D、＝x，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；故选：B．2．（4分）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2y﹣3＝0 C． D．x2+1＝0【解答】解：A．该方程中，当a＝0时，它不是一元二次方程，不符合题意；B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；C．该方程不是整式方程，不符合题意；D．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意；故选：D．3．（4分）已知△ABC的三个角度数的比∠A：∠B：∠C＝1：2：3，BC＝2，则AC为（）A． B．4 C．2 D．【解答】解：∵△ABC的三个内角度数之比是∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴AB＝2BC＝4，∴BC＝＝2．故选：A．4．（4分）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：，x2﹣x＝，x2﹣x+＝+，（x﹣）2＝，故选：A．5．（4分）在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4，则BC的长为（）A．5 B． C．5或 D．5或【解答】解：在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝，故选：B．6．（4分）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2 B．﹣1 C． D．﹣2【解答】解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，所以+＝＝＝﹣2．故选：D．7．（4分）下列式子正确的是（）A．＝ B． C． D．【解答】解：当a≤0，b＜0时，≠，故选项A不正确；当a＜0时，＝|a|≠a，故选项B不正确；当a≤0，b≤0时，≠•，故选项C不正确；∵a﹣2+b＝2﹣2+2＝（﹣）2≥0，∴2≤a+b，故选项D正确．8．（4分）一组学生组织春游，预计共需要费用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元，设原来这组学生有x人，则可列方程为（）A． B． C． D．【解答】解：由题意得：，故选：C．9．（4分）如图，梯子AB靠在墙上，梯子底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m【解答】解：在直角三角形AOB中，∵OA＝2，OB＝7∴AB＝＝＝．由题意可知AB＝A′B′＝，又∵OA′＝3，根据勾股定理得：OB′＝＝＝，∴BB′＝7﹣＜1．故选：A．10．（4分）关于x的方程（x2+x）2+2x2+2x﹣3＝0，则x2+x的值是（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．3或﹣1【解答】解：设x2+x＝t，则此方程可化为t2+2t﹣3＝0，∴（t﹣1）（t+3）＝0，∴t﹣1＝0或t+3＝0，解得t1＝1，t2＝﹣3，∴x2+x的值是1或﹣3．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥0且x≠1．【解答】解：由题意得：，解得：，故答案为：x≥0且x≠1．12．（5分）如果3x2+6x﹣8的值与2x2﹣1的值相等，则x＝﹣7或1．【解答】解：根据题意得：3x2+6x﹣8＝2x2﹣1，∴x2+6x﹣7＝0，分解因式得：（x+7）（x﹣1）＝0，∴x+7＝0，x﹣1＝0，解方程得：x1＝﹣7，x2＝1．故答案为：﹣7或1．13．（5分）如图，由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝15，S3＝1，则S1的值是9．【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG•DG＝GF2+2CG•DG，S2＝GF2，S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG•NF，∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2＝15，∴GF2＝5，∴S2＝5，∵S3＝1，∴S1的值是9．故答案为：9．14．（5分）如图，长方形ABCD中，AB＝5cm，AD＝4cm，动点P从点D出发，沿DA向终点A以1cm/s的速度移动，动点Q从点A出发沿A﹣B﹣C向终点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止．（1）若经过x秒，用x的代数式表示AP，则AP＝（4﹣x）cm；（2）经过秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm2．【解答】解：（1）∵动点P从点D出发，沿DA向终点A以1cm/s的速度移动，∴经过x秒，DP＝xcm，∴AP＝AD﹣DP＝（4﹣x）cm．故答案为：（4﹣x）；（2）4÷1＝4（s），5÷3＝（s），（5+4）÷3＝3（s）．当0＜x＜时，AP＝（4﹣x）cm，AQ＝3xcm，∴AP•AQ＝2，即（4﹣x）•3x＝2，整理得：3x2﹣12x+4＝0，解得：x1＝，x2＝（不符合题意，舍去）；当≤x≤3时，AP＝（4﹣x）cm，∴（4﹣x）•5＝2，解得：x＝（不符合题意，舍去）．∴经过秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm2．故答案为：．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：（3﹣2+）÷2．【解答】解：（3﹣2+）÷2＝（6﹣+4）÷2＝÷2＝．16．（8分）解方程：2x2﹣5x+2＝0．【解答】解：∵2x2﹣5x+2＝0，∴（x﹣2）（2x﹣1）＝0，则x﹣2＝0或2x﹣1＝0，解得x1＝2，x2＝．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，在5×5的网格中，网格线的交点称作格点．（1）作出一个面积为10，顶点都在格点的正方形ABCD；（2）在5×5的网格中，任意两个格点间不同长度的线段有19条．【解答】解：（1）如图，四个格点三角形直角边长为1，3，斜边10，作为正方形的边长．（2）分类①水平或竖直位置任意两格点间的线段.1，2，3，4，5共5种．.②两格点间的线段作为直角三角形的斜边，直角边为：1，1，；1，2；1，3；1，4；1，5；2，2；2，3；2，4；2，5；3，3；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5共15种．其中直角边3，4，斜边为5，为重复数据．所以共有19种不同长度的线段．故答案为：19．18．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k﹣1＝0．（1）若x＝1是方程的一个根，求k的值；（2）求证：方程有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：把x＝1代入x2+（2k+1）x+k﹣1＝0得1+2k+1+k﹣1＝0，解得k＝﹣；（2）证明：∵Δ＝（2k+1）2﹣4（k﹣1）＝4k2+4k+1﹣4k+4＝4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）观察下列等式，解答问题．；；；…（1）请直接写出第5个等式：﹣；（2）利用上述规律，比较与的大小；（3）直接写出＝9+3﹣．【解答】解：（1）第5个等式为＝﹣；故答案为：﹣；（2）∵﹣2＝，2﹣＝，∴+2＞2+，∴＜，即﹣2＜2﹣；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+•••+﹣＝+﹣1﹣＝10+3﹣1﹣＝9+3﹣．故答案为：9+3﹣．20．（10分）某商厦1月份的营业额是100万元，第一季度的营业额是364万元，问第一季度后两个月的月平均营业额的增长率是多少？【解答】解：设第一季度后两个月的月平均营业额的增长率是x，则该商厦2月份的营业额为100（1+x）万元，3月份的营业额为100（1+x）2万元，根据题意得：100+100（1+x）+100（1+x）2＝364，整理得：25x2+75x﹣16＝0，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣3.2（不符合题意，舍去）．答：第一季度后两个月的月平均营业额的增长率是20%．六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）21．（12分）（1）如图，在△ABC中，AD⊥BC，求证：AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2；（2）在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC边上的高AD＝4，求边BC的值．【解答】解：（1）在Rt△ABD，Rt△ACD中，根据勾股定理得：AB2﹣BD2＝AD2，AC2﹣CD2＝AD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2；（2）在Rt△ABD，Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD＝＝＝4，DC＝＝＝3，∴BC＝BD+DC＝4+3．22．（12分）如图，要建一个面积为150m2的长方形花园ABCD，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道墙，另三边用栅栏围成，BC边留有2m的门EF，如果栅栏的长为33m．（1）若墙足够长，则花园的长和宽各为多少？（2）若给定墙长为am，请直接写出围成的花园只有一种围法时，a的取值范围是15≤a＜20．【解答】解：（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为（33﹣2x+2）m，依题意得：x（33﹣2x+2）＝150，整理得：2x2﹣35x+150＝0，解得：x1＝7.5，x2＝10，∴35﹣2x＝20或35﹣2x＝15．答：花园的长为20m或15m，宽为7.5m或10m．（2）当a＜15时，不能围成花园，题目无解；当15≤a＜20时，围成的花园只有一种围法，题目只有一个解；当a≥20时，围成的花园有二种围法，题目有两个解；综上所述，当15≤a＜20时，围成的花园只有一种围法，即a的取值范围是15≤a＜20，故答案为：15≤a＜20．七、（本题满分14分）23．（14分）（1）如图1，