2024届重点中学高考模拟试卷数学试题及答案解析（四套）

PAGEPAGE452024届重点中学高考模拟试卷数（理）学试题（一）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集，集合，，则（）A． B． C． D．2．设复数在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知双曲线的一个焦点的坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．4．2018年12月1日，地铁一号线全线开通，在一定程度上缓解了出行的拥堵状况。为了了解市民对地铁一号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中（35岁以上含35岁）的信息，下列结论中不一定正确的是（）A．样本中男性比女性更关注地铁一号线全线开通B．样本中多数女性是35岁以上C．35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多D．样本中35岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高5．设为的边的延长线上一点，，则（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入的值可以为（）A．6 B．10 C．8 D．47．函数的图像过点，若相邻的两个零点，满足，则的单调增区间为（）A. B.C. D.8．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A． B． C． D．9．在中，角，，所对的边分别为，，，，，，A．1 B． C． D．10．函数的大致图象有可能是（）A．B．C．D．11．已知，，，是球的球面上四个不同的点，若，且平面平面，则球的表面积为（）A． B． C． D．12．设为不超过的最大整数，为可能取到所有值的个数，是数列前项的和，则下列结论正确个数的有（）（1） （2）190是数列中的项（3）（4）当时，取最小值A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应位置).13．已知不等式组所表示的平面区域为，则区域的外接圆的面积为______．14．若函数的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为，则的值为______．15．若曲线在处的切线与直线垂直，则切线、直线与轴围成的三角形的面积为_______．16．已知三角形的内角、、所对的边分别为、、c，若，，则角最大时，三角形的面积等于__．三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知数列与满足：，且为正项等比数列，，．（1）求数列与的通项公式；（2）若数列满足，为数列的前项和，证明．18．近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线．某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天．得到的统计数据如下表，为收费标准（单位：元/日），为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准与“入住率”的散点图如图：50100150200300400906545302020（1）若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过的农家乐的个数，求的概率分布列；（2）令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程．（结果保留一位小数）（3）若一年按365天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额最大？（年销售额入住率收费标准）参考数据：，，，，，，，e5≈148.4.19．设矩形中，，，点、分别是、的中点，如图1．现沿将折起，使点至点的位置，且，如图2．图1图2（1）证明：平面；（2）求二面角的大小．20．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为．（1）求抛物线的方程；（2）设直线交于，两点，是的中点，若，求点到轴的距离的最小值，并求此时的方程．21．已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）当时，证明：对，；（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．在直角坐标系中，圆的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为，．（1）将圆的参数方程化为极坐标方程；（2）设点的直角坐标为，射线与圆交于点，求面积的最大值．23．已知函数，且的解集为．（1）求实数的值；（2）设，，，且，求的最大值．参考答案一、选择题：题号123456789101112答案AAACCCBBCAAC二、填空题．13．14．15．116．三、解答题．17．（1）由……①时，……②可得：，，，设公比为，，，．（2）证明：由已知：，，当时，，，，即．18．（1）的所有可能取值为，，．则，，，的分布列012（2）由散点图可知更适合于此模型．其中，，所求的回归方程为．（3），，令，若一年按天计算，当收费标准约为元/日时，年销售额L最大，最大值约为元．19．（1）证明：由题设知：，又，，，面，面，面，，在矩形中，，，、为中点，，，，，，又，面，面，（2）面，由（1）知面面，且，以为原点，为轴，为轴建立如图的空间直角坐标系在中，过作于，，，，，（也可用）、、、，面的一个法向量为，设面的一个法向量为，、，由，即，令，则，，，，，二面角为．20．（1）因为的外接圆与抛物线的准线相切，所以的外接圆圆心到准线的距离等于圆的半径，圆周长为，所以圆的半径为，又因为圆心在的垂直平分线上，所以，解得，所以抛物线方程为．（2）①当的斜率不存在时，因为，所以，得，所以点到轴的距离为9，此时，直线的方程为，②当的斜率存在且时，设的方程为，设、，，由，化简得，所以，由韦达定理可得，，所以，即，又因为，当且仅当时取等号，此时解得，代入中，得，，所以直线的方程为或，即直线方程为．21．（1）当时，，于是．又因为当时，且．故当时，，即．所以函数为上的增函数，于是．因此对，．（2）方法一：由题意在上存在极值，则在上存在零点，①当时，为上的增函数，注意到，，所以，存在唯一实数，使得成立．于是，当时，，为上的减函数；当时，，为上的增函数，所以为函数的极小值点；②当时，在上成立，所以在上单调递增，所以在上没有极值；③当时，在上成立，所以在上单调递减，所以在上没有极值，综上所述，使在上存在极值的的取值范围是．方法二：由题意，函数在上存在极值，则在上存在零点．即在上存在零点．设，，则由单调性的性质可得为上的减函数．即的值域为，所以，当实数时，在上存在零点．下面证明，当时，函数在上存在极值．事实上，当时，为上的增函数，注意到，，所以，存在唯一实数，使得成立．于是，当时，，为上的减函数；当时，，为上的增函数，即为函数的极小值点．综上所述，当时，函数在上存在极值．22．1）圆的参数方程为，圆的普通方程为，即，圆的极坐标方程为，即．（2）射线的极坐标方程为，，射线与圆交于点，，，点的直角坐标为，，，当，即时，面积取最大值．23．（1）依题意得，，即，可得．（2）依题意得（）由柯西不等式得，，当且仅当，即，，时取等号．∴的最大值为．2024届重点中学高考模拟试卷数（理）学试题（二）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A.B.C.D.2.已知复数．若在复平面内对应的点分别为，线段的中点对应的复数为，则（）A. B.5 C. D.3.二项式的展开式中项的系数为，则（）A.4 B.5 C.6 D.74.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，5.已知为正方形，其内切圆与各边分别切于，，，，连接，，，．现向正方形内随机抛掷一枚豆子，记事件：豆子落在圆内，事件：豆子落在四边形外，则（）A. B.C. D.6.某公同一种型号的产品近期销售情况如下表:月份x23456销售额y(万元)15.116.317.017.218.4根据上表可得到回归直线方程，据此故居，该公司7月份这种型号产品的销售额为A.19.5万元B.19.25万元C.19.15万元D.19.05万元7.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是（）A.B.C.D.8.将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到图象，若关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.9.设数列{}的前n项和为，，定义数列{}如下:对于正整数m，是使不等式成立的所有n的最小值，则数列{}的前60项的和为A.960B.930C.900D.84010.已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若,，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.211.为推导球的体积公式，刘徽制造了一个牟合方盖（在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，这两个圆柱的公共部分叫做牟合方盖），但没有得到牟合方盖的体积．200年后，祖暅给出牟合方盖的体积计算方法，其核心过程被后人称为祖暅原理：缘幂势既同，则积不容异．意思是，夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积也相等．现在截取牟合方盖的八分之一，它的外切正方体的棱长为1，如图所示，根据以上信息，则该牟合方盖的体积为（）A. B. C. D.12.已知函数，若存在x1、x2、…xn满足则x1+x2+…+xn的值为（）A.4 B.6 C.8 D.10二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为:14.把3男生2女生共5名新学生分配到甲、乙两个班，每个班分的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为__________．（用数字作答）15.设抛物线C:的焦点为F，斜率为k的直线过F交C于点A，B，，则直线AB的斜率为：.16.已知点A，B，C均位于同一单位圆O上，且BA⋅BC=AB2三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角所对的边分别为.（1）求角；（2）若的中线的长为，求的面积的最大值.18.如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA＝AB＝BC＝CD＝2，PD＝2，PA⊥PD，Q为PD的中点.（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；（Ⅱ）求直线PD与平面AQC所成角的正弦值.19.2022年北京冬奥会申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男55女合计（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．附表：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63520.已知分别是椭圆的左，右焦点，分别是椭圆的上顶点和右顶点，且，离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过的直线与椭圆相交于两点，求的最小值.21.(本小题满分12分)已知.(1)若曲线在点(，2)处的切线也与曲线相切，求实数m的值；(2)试讨论函数零点的个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的方程为，直线的极坐标方程为.(I)写出的极坐标方程和的平面直角坐标方程;(Ⅱ)若直线的极坐标方程为,设与的交点为与的交点为求的面积.23.23.已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若，使得，求实数的取值范围.参考答案一、选择题题号123456789101112答案AACDCDCCAABC二、填空题13.14.15.16.[5,7]三、解答题17.（1)，即.(2)由三角形中线长定理得：，由三角形余弦定理得：，消去得:（当且仅当时，等号成立），即18.（Ⅰ）证明如图所示，取PA的中点N，连接QN，BN.在△PAD中，PN＝NA，PQ＝QD，所以QN∥AD，且QN＝AD.在△APD中，PA＝2，PD＝2，PA⊥PD，所以AD＝＝4，而BC＝2，所以BC＝AD.又BC∥AD，所以QN∥BC，且QN＝BC，故四边形BCQN平行四边形，所以BN∥CQ.又BN⊂平面PAB，且CQ平面PAB,所以CQ∥平面PAB.（Ⅱ）如图，取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO.由(1)知PA＝AM＝PM＝2,所以△APM为等边三角形，所以PO⊥AM.同理BO⊥AM.因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥BO.如图，以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，D(0,3,0)，A(0，－1,0)，B(，0,0)，P(0,0，)，C(，2,0)，则＝(，3,0).因为Q为DP的中点，故Q，所以＝.设平面AQC的法向量为m＝(x，y，z)，则可得令y＝－，则x＝3，z＝5.故平面AQC的一个法向量为m＝(3，－，5).设直线PD与平面AQC所成角为θ.则sinθ=|cos〈，m〉|＝＝.从而可知直线PD与平面AQC所成角正弦值为19.（1）根据已知数据得到如下列联表有兴趣没有兴趣合计男451055女301545合计7525100根据列联表中的数据，得到所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生对冰球有兴趣的概率是，由题意知，从而X的分布列为X012345，.20.（Ⅰ）依题意得，解得，（Ⅱ）由（1）知，设，的方程为，代入椭圆的方程，整理得，，，，，，当且仅当时上式取等号.的最小值为。21.解:(1)曲线在点处的切线方程为即令切线与曲线相切于点，则切线方程为∴∴令，则记，于是，在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，∴，于是，（2①当时，恒成立，在R上单调递增，且，∴函数在R上有且仅有一个零点；(2)当时，在R上没有零点；(3)当时，令，则，即函数的增区间是，同理，减区间是，∴.①若，则，在R上没有零点；②若，则有且仅有一个零点；③若，则.令，则，∴当时，单调递增，.∴又∵，∴在R上恰有两个零点综上所述，当时，函数没有零点；当或时，函数恰有一个零点；当时，恰有两个零点.22.试题解析：（Ⅰ）直角坐标与极坐标互化公式为，，∵圆的普通方程为，∴把代入方程得，，∴的极坐标方程为，的平面直角坐标方程为；（Ⅱ）分别将代入极坐标方程得；.∴的面积为.23.试题解析：（Ⅰ）∵，∴,∵的解集为，∴，∴．（Ⅱ）∵,∵，使得，即成立，∴，即，解得，或,∴实数取值范围是．2024届重点中学高考模拟试卷数（理）学试题（三）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1．设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则（）A． B． C． D．2．若直线与以，为端点的线段没有公共点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．3．已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（）A．5 B．6 C． D．5．已知实数，满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值为（）A． B． C． D．6．已知直线：与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（）A． B． C． D．8．对于下列表格中的五对数据，已求得的线性回归方程为，则实数的值为（）1961972002032041367A．8 B． C． D．9．已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点的横坐标为1，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．10．在平面直角坐标系中，点为椭圆的下顶点，，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则椭圆的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．11．已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（）A． B． C． D．12．，表示不大于的最大整数，如，，且，，，，定义：．若，则的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．过点且和双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为__________．14．设某总体是由编号为，，，，的个个体组成，利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体编号为__________．第行第行15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使成立，则该椭圆的离心率的取值范围为__________．16．已知抛物线的焦点为，准线为，过点斜率为的直线与抛物线交于点（在轴的上方），过作于点，连接交抛物线于点，则_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知集合A＝{x|－1≤x≤0}，集合B＝{x|ax＋b·2x－1＜0，0≤a≤2，1≤b≤3}．（1）若a，b∈N，求的概率；（2）若a，b∈R，求的概率．18．（12分）如图，在中，的对边分别是，,为的平分线，.（1）若，求；（2）求面积的最小值.19．（12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”．（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，得到数据如下表所示：将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望．附：观测值公式：．临界值表：20．（12分）已知平面直角坐标系内的动点P到直线l1：x＝2的距离与到点F(1,0)的距离之比为eq\r(2).（1）求动点P所在曲线E的方程；（2）设点Q为曲线E与y轴正半轴的交点，过坐标原点O作直线l，与曲线E相交于异于点Q的不同两点M，N，点C满足Oeq\o(C,\s\up6(→))＝2eq\o(OQ,\s\up6(→))，直线MQ和NQ分别与以C为圆心，|CQ|为半径的圆相交于点A和点B，求△QAC与△QBC的面积之比λ的取值范围．21．（12分）已知椭圆：过点，右焦点是抛物线的焦点．（1）求椭圆的方程；（2）已知动直线过右焦点，且与椭圆分别交于，两点．试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在求出点的坐标；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）设，当时，对任意，存在，使，求实数m的取值范围．参考答案解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1．设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则（）A． B． C． D．【解析】抛物线的焦点为，∴椭圆的焦点在轴上，∴，由离心率，可得，∴，故．故选A．2．若直线与以，为端点的线段没有公共点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【解析】直线可化为，∵该直线过点，∴，解得；又∵该直线过点，∴，解得；又直线与线段没有公共点，∴实数的取值范围是．故选D．3．已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，可得，，，，，，，故选C．方法二：利用椭圆性质可得，．4．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（）A．5 B．6 C． D．【解析】设、在准线上的射影分别为为、，准线与横轴交于点，则，由于点是的中点，，∴，∴，设，则，即，解得，，故答案为C．5．已知实数，满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值为（）A． B． C． D．【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最大值，在点或点处取得最小值，即．题中的不等式即：，则恒成立，原问题转化为求解函数的最小值，整理函数的解析式有：，令，则，令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，，据此可得，当，时，函数取得最大值，则此时函数取得最小值，最小值为．综上可得，实数的最大值为．故选A．6．已知直线：与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】根据题意，可得曲线表示一个半圆，直线表示平行于的直线，其中表示在轴上的截距，作出图象，如图所示，从图中可知，之间的平行线与圆有两个交点，，在轴上的截距分别为，，∴实数的取值范围是，故选B．7．若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（）A． B． C． D．【解析】如图，已知，可知焦点，准线：，过点作准线的垂线，与抛物线交于点，作根据抛物线的定义，可知，取最小值，已知，可知的纵坐标为2，代入中，得的横坐标为2，即，故选D．8．对于下列表格中的五对数据，已求得的线性回归方程为，则实数的值为（）1961972002032041367A．8 B． C． D．【解析】依题意得，，回归直线必经过样本点的中心，于是有，由此解得，故选A．9．已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点的横坐标为1，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【解析】因为直线与双曲线交于，两点，且线段的中点的横坐标为1，所以，设，，则有，，，，，两式相减可化为，，可得，，，双曲线的离心率为，故选B．10．在平面直角坐标系中，点为椭圆的下顶点，，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则椭圆的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【解析】因为是平行四边形，因此且，故，代入椭圆方程可得，所以．因，所以，即，所以，即，解得，故选A．11．已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（）A． B． C． D．【解析】设为椭圆短轴一端点，则由题意得，即，因为，所以，，，，，，故选C．12．，表示不大于的最大整数，如，，且，，，，定义：．若，则的概率为（）A． B． C． D．【解析】由，得函数的周期为．函数的图像为如图所示的折线部分，集合对应的区域是如图所示的五个圆，半径都是．由题得，事件对应的区域为图中的阴影部分，；∴由几何概型的公式得．故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．过点且和双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为__________．【解析】设双曲线方程为，双曲线过点，则，故双曲线方程为，即．14．设某总体是由编号为，，，，的个个体组成，利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体编号为__________．第行第行【解析】由题意，从随机数表第行的第列数字开始，从左到右依次选取两个数字的结果为，，，，，，，故选出来的第个个体编号为．15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使成立，则该椭圆的离心率的取值范围为__________．【解析】在中，由正弦定理得，则由已知得，即，设点由焦点半径公式，得，，则，解得，由椭圆的几何性质知，则，整理得，解得或，又，故椭圆的离心率，故答案为．16．已知抛物线的焦点为，准线为，过点斜率为的直线与抛物线交于点（在轴的上方），过作于点，连接交抛物线于点，则_______．【解析】由抛物线定义可得，又斜率为的直线倾斜角为，，所以，即三角形为正三角形，因此倾斜角为，由，解得或（舍），即，．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知集合A＝{x|－1≤x≤0}，集合B＝{x|ax＋b·2x－1＜0，0≤a≤2，1≤b≤3}．（1）若a，b∈N，求的概率；（2）若a，b∈R，求的概率．解：（1）因为a，b∈N，(a，b)可取(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)共9组．令函数f(x)＝ax＋b·2x－1，x∈[－1，0]，因为a∈[0，2]，b∈[1，3]，f(x)在[－1，0]上是单调递增函数．f(x)在[－1，0]上的最小值为－a＋eq\f(b,2)－1．要使A∩B≠，只需－a＋eq\f(b,2)－1＜0，即2a－b＋2＞0．所以(a，b)只能取(0，1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)7组．所以A∩B≠的概率为eq\f(7,9)．（2）因为a∈[0，2]，b∈[1，3]，所以(a，b)对应的区域为边长为2的正方形（如图），面积为4．由（1）可知，要使A∩B＝，只需f(x)min＝－a＋eq\f(b,2)－1≥0⇒2a－b＋2≤0，所以满足A∩B＝的(a，b)对应的区域是如图阴影部分．所以S阴影＝eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，所以A∩B＝的概率为P＝eq\f(\f(1,4),4)＝eq\f(1,16)．18．（12分）如图，在中，的对边分别是，,为的平分线，.（1）若，求；（2）求面积的最小值.【解析】（1）因为，，所以，所以.在中，由余弦定理，得解得.（2）设，则由（1）可知，所以，在中，由余弦定理可知所以，，消去x，得，化简，得.当时，为等边三角形，此时;（10分）当时，由基本不等式可得，当时取等号，此时.19．（12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”．（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，得到数据如下表所示：将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望．附：观测值公式：．临界值表：【解析】（1）在直方图中，从左至右前个小矩形的面积之和为，后个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内．设直方图的面积平分线为，则，得，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为千元．（2）由直方图知，网购消费金额在千元以上的频数为，所以“网购迷”共有人．由列联表知，其中女性有人，则男性有人，所以补全的列联表如下：因为，查表得，所以有的把握认为“网购迷与性别有关”．（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为，．设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，，据题意，，．所以，．因为，则，所以的数学期望为．20．（12分）已知平面直角坐标系内的动点P到直线l1：x＝2的距离与到点F(1,0)的距离之比为eq\r(2).（1）求动点P所在曲线E的方程；（2）设点Q为曲线E与y轴正半轴的交点，过坐标原点O作直线l，与曲线E相交于异于点Q的不同两点M，N，点C满足Oeq\o(C,\s\up6(→))＝2eq\o(OQ,\s\up6(→))，直线MQ和NQ分别与以C为圆心，|CQ|为半径的圆相交于点A和点B，求△QAC与△QBC的面积之比λ的取值范围．解析（1）设动点P(x，y)，由题意可得eq\f(|x－2|,\r(x－12＋y2))＝eq\r(2)，整理得x2＋2y2＝2，即eq\f(x2,2)＋y2＝1为所求曲线E的方程．（2）由已知得Q(0,1)，C(0,2)，|CQ|＝1，即圆C的方程为x2＋(y－2)2＝1.由题意可得直线MQ，NQ的斜率存在且不为0，设直线MQ的方程为y＝k1x＋1，与x2＋(y－2)2＝1联立得(1＋keq\o\al(2,1))x2－2k1x＝0，所以xA＝eq\f(2k1,1＋k\o\al(2,1)).设直线NQ的方程为y＝k2x＋1，与x2＋(y－2)2＝1联立得(1＋keq\o\al(2,2))x2－2k2x＝0，所以xB＝eq\f(2k2,1＋k\o\al(2,2))，因此λ＝eq\f(S△QAC,S△QBC)＝eq\f(\f(1,2)|QC||xA|,\f(1,2)|QC||xB|)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(xA,xB)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(k11＋k\o\al(2,2),k21＋k\o\al(2,1)))).由于直线l过坐标原点，所以点M与点N关于坐标原点对称．设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，所以k1k2＝eq\f(1－y0,－x0)·eq\f(1＋y0,x0)＝eq\f(y\o\al(2,0)－1,x\o\al(2,0)).又M(x0，y0)在曲线E上，所以eq\f(x\o\al(2,0),2)＋yeq\o\al(2,0)＝1，即k1k2＝－eq\f(1,2)，故λ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(k11＋k\o\al(2,2),k21＋k\o\al(2,1))))＝eq\f(4k\o\al(2,1)＋1,2k\o\al(2,1)＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,k\o\al(2,1)＋1)))，由于keq\o\al(2,1)>0，所以eq\f(1,2)<λ<2.故λ的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).21．（12分）已知椭圆：过点，右焦点是抛物线的焦点．（1）求椭圆的方程；（2）已知动直线过右焦点，且与椭圆分别交于，两点．试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在求出点的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）因为椭圆过点，所以．又抛物线的焦点为，所以，所以，解得（舍去）或．所以椭圆的方程为．（2）假设在轴上存在定点，使得，①当直线的斜率不存在时，则，，，，由，解得或；②当直线的斜率为时，则，，，，由，解得或．由①②可得，即点的坐标为．下面证明当时，恒成立，当直线的斜率不存在或斜率为时，由①②知结论成立．当直线斜率存在或且不为时，设其方程为，，，由，得，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且，．，所以．综上所述，在轴上存在定点，使得恒成立．22．（12分）已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）设，当时，对任意，存在，使，求实数m的取值范围．【解析】（1）函数的定义域为，又，由，得或，当即时，由得；由得或；当即时，当时都有，∴当时，单调减区间为，单调增区间为，当时，单调增区间是，没有单调减区间．（2）当时，由（1）知在单调递减，在单调递增，从而在上的最小值为．对任意，存在，使得，即存在，使得的值不超过在区间上的最小值为．由得，∴．令，则当时，．∵，当时，；当时，，，故在上单调递减，从而，从而实数．山西省实验中学2024届高三年级第四次联考数学（理科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量、数列、不等式（约40%）；空间向量与立体几何、直线与圆（约60%）。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则A． B． C． D．2．已知直线的倾斜角是，则A． B． C． D．3．是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知向量，，若则实数A．或 B．或 C．或 D．或5．在中，角所对的边分别为若,则的形状为A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形6．圆与圆的位置关系是A．相交 B．外离 C．相切 D．内含7．如图是某几何体的三视图（正视图及侧视图中两虚线均垂直，且长度相等），则该几何体的表面积为A． B．C． D．8．若直线与圆交于两点，的中点为则A． B． C． D．9．如图是一个正方体的表面展开图均为棱的中点，是顶点，则在正方体中异面直线和所成角的余弦值为A． B．C． D．10．已知函数则不等式的解集为A． B．C． D．11．如图，矩形中，为边的中点，，将沿直线翻转为若为线段的中点，则在翻转过程中，给出下列命题：①是定值 ②三棱锥的体积存在最大值；③④若平面则平面其中正确的个数为A． B． C． D．12．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262—公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯匾在平面直角坐标系中，已知,圆上有且仅有一个点满足，则的取值集合为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线与平行，则的值是.14．已知圆则圆上到直线的距离为5的点个数为.15．在中，角所对的边分别为若且,则.16．已知一个三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的外接球与内切球的体积之差为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知函数(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数在区间上的值域．18．（本小题满分12分）已知圆(1)求斜率为1且与圆相切的直线的方程；(2)已知点,,是圆上的动点，求面积的最大值．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中,底面四边形为矩形，分别是的中点．(1)求证：平面(2)求证：

20．（本小题满分12分）已知公比为整数的等比数列中，且成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设求数列的前项和21．（本小题满分12分）如图，在梯形中，,,,四边形为正方形，平面平面(1)求证：平面(2)求二面角的余弦值．22．（本小题满分12分）已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：当时,数学（理科）参考答案1．D 2．A 3．A 4．D 5．B 6．B 7．C 8．C 9．B 10．C 11．D 12．A13．或1 14．2 15． 16．17．解：(1)3分所以的最小正周期为4分又由可得所以的单调递减区间为6分(2)由(1)可知，因为，则7分所以8分即所以函数的值域为10分18．解：(1)圆·配方得1分则圆心为，半径2分因为直线的斜率为，可设直线的方程为，即3分因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为4分解得或5分故直线方程是或6分(2)8分圆心到直线的距离为所以面积的最大值为12分19．证明：(1)取中点连接1分因为为中点，所以2分又因为为中点，四边形为矩形，所以所以,即四边形为平行四边形，所以4分又平面，平面所以平面6分(2)连接，，设连接，则7分因为平面，平面，所以所以9分又在矩形中为中点，易证又，，平面，所以平面因为平面,所以11分又，所以.12分20．解：(1)设等比数列的公比为因为成等差数列，