高等数学上3.7平面曲线的曲率

关于高等数学上3.7平面曲线的曲率一、弧微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为

AB,弧长第2页,共27页，星期六，2024年，5月则弧长微分公式为或几何意义:若曲线由参数方程表示:第3页,共27页，星期六，2024年，5月二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．))弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1、曲率的定义)弧段弯曲程度与有关.转角、弧段长度第4页,共27页，星期六，2024年，5月)yxo（设曲线C是光滑的，（定义曲线C在点M处的曲率第5页,共27页，星期六，2024年，5月2、曲率的计算公式注意:(1)直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.（课本P170）)yxo第6页,共27页，星期六，2024年，5月例1(P171-2)解显然,第7页,共27页，星期六，2024年，5月三、曲率圆与曲率半径定义第8页,共27页，星期六，2024年，5月1.有共同的切线，亦即圆与曲线在点M处相切.曲率圆与曲线在点M处有以下关系：2.有相同的曲率.3.因此，圆和曲线在点M处一阶导数相同、二阶导数同号.第9页,共27页，星期六，2024年，5月例2

解如图,受力分析视飞行员在点o作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径

第10页,共27页，星期六，2024年，5月得曲率为曲率半径为即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.第11页,共27页，星期六，2024年，5月运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支——微分几何学.小结1.弧长微分或2.曲率公式3.曲率圆曲率半径第12页,共27页，星期六，2024年，5月思考题

椭圆上哪些点处曲率最大？思考题解答要使最大，必有最小，此时最大，第13页,共27页，星期六，2024年，5月补充:参数方程曲率公式第14页,共27页，星期六，2024年，5月作业:P177:2,5,8第15页,共27页，星期六，2024年，5月选讲：曲率圆与曲率半径设M

为曲线C

上任一点,在点在曲线把以D为中心,R

为半径的圆叫做曲线在点

M

处的曲率圆(密切圆),R

叫做曲率半径,D

叫做曲率中心.在点M

处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M

处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D

使第16页,共27页，星期六，2024年，5月设曲线方程为且求曲线上点M

处的曲率半径及曲率中心设点M

处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组的坐标公式.第17页,共27页，星期六，2024年，5月由此可得曲率中心公式(注意与异号)当点M(x,y)沿曲线移动时,的轨迹G

称为曲线C的渐屈线,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线C称为曲线G

的渐伸线

.屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停第18页,共27页，星期六，2024年，5月例4.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解:设椭圆方程为由例3可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超过时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.第19页,共27页，星期六，2024年，5月(仍为摆线)例5.

求摆线的渐屈线方程.解:代入曲率中心公式,得第20页,共27页，星期六，2024年，5月摆线半径为a

的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停其上定点M的轨迹即为摆线.参数的几何意义摆线的渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停第21页,共27页，星期六，2024年，5月内容小结曲率中心第22页,共27页，星期六，2024年，5月点击图片任意处播放\暂停例2第23页,共27页，星期六，2024年，5月第24页,共27页，星期六，2024年，5月证如图