2022-2023学年上海市长宁区九年级数学第一学期期末考试模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.把抛物线丁=+4x+l的图象绕着其顶点旋转180。，所得抛物线函数关系式是（）

A.y=2f4x1B.y=2r4x+5C.y=2f+4x1D.y=2r4x+5

2.如图，PA、PB、分别切。。于A、B两点，NP=40°,则NC的度数为（）

A.40°B.140°C.70°D.80°

3.方程/-9=0的解是（）

A.3B.±3C.45D.±4.5

4.如图，已知抛物线%=x2+4x和直线丫2=2x.我们约定：当X任取一值时，X对应的函数值分别为yi、y2,若

y#y2,取yi、y2中的较小值记为M；若yi=y2,记乂=丫1=丫*

下列判断：①当x>2时，M=y2；

②当xVO时，x值越大，M值越大；

③使得M大于4的x值不存在；

④若M=2,则x="1".

5.如图，hllbllb，若也=③，DF=6,则DE等于（）

BC2

A.3B.3.2C.3.6D.4

6.在同一时刻，身高1.6m的小强在阳光下的影长为0.8m,一棵大树的影长为4.8m,则树的高度为（）

A.4.8mB.6.4mC,9.6mD.10m

7.小明随机地在如图正方形及其内部区域投针，则针扎到阴影区域的概率是（）

TI

7D—

BU,4

8.已知关于x的一元二次方程（左一1）V-2%+1=0有两个不相等的实数根，贝此的取值范围是（）

A.k<-2B.k<2C.左>2且女子1D.左<2且女子1

9.某细胞的直径约为0.0000008米，该直径用科学记数法表示为（）

A.8x107米B.8x10—7米C.8x10^米D.80x1。一米

10.二次函数y=V-x-2的图象与x轴的交点个数是（）

A.2个B.1个C.0个D.不能确定

11.若关于x的方程f+（2左+1卜+产-1=0有两个不相等的实数根，则上的取值范围是（）

555s

A.k<--B.k<--C.k--D.k>~—

444J

12.一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个白球和〃个黑球.随机地从袋中摸出一个球记录下颜色，再放

回袋中摇匀.大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在1.2附近，则〃的值为（）

A.2B.4C.8D.11

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐

标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2-6x-16,AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长为.

14.“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自

己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到156个红包，则该群一共有人.

15.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形"，在AABC中，AB=AC,

若4ABC是“好玩三角形”，则tanB»

16.一个圆锥的侧面展开图是半径为6,圆心角为120。的扇形，那么这个圆锥的底面圆的半径为一.

17.某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格.图中人、。分别表示去年、今年水费y（元）

与用水量x（//）之间的关系.小雨家去年用水量为150m3,若今年用水量与去年相同，水费将比去年多元.

18.如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处

的读数恰好是“2”和“10”（单位:cm），那么该光盘的直径是cm.

三、解答题（共78分）

4

19.®分）如图，平面直角坐标系中，一次函数丫=-x+b的图象与反比例函数y=-一在第二象限内的图象相交于

点A,与X轴的负半轴交于点B,与y轴的负半轴交于点C.

(1)求NBCO的度数；

(2)若y轴上一点M的纵坐标是4,且AM=BM,求点A的坐标；

(3)在(2)的条件下，若点P在y轴上，点Q是平面直角坐标系中的一点，当以点A、M、P、Q为顶点的四边形

是菱形时，请直接写出点Q的坐标.

20.(8分)如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树

顶端H的仰角_HDE为45。，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G

的仰角一GER为60,点A、B、C三点在同一水平线上.

G

(1)求古树BH的高；

(2)求教学楼CG的高.

21.(8分)如图，在AA3C中，AB=AC,^A=40。，求£)8的度数.

A

22.GO分)如图，在RtAABC中，LACB=90",AC=6,BC=8,点D为边CB上的一个动点(点D不与点B重合),

过D作DOLAB,垂足为O,点B，在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB，，AD.

(1)求证：ADOB...AACB；

(2)若AD平分LCAB,求线段BD的长；

(3)当AAIVD为等腰三角形时，求线段BD的长.

23.0.0分)如图，在正方形ABCD中，等边AAEF的顶点E、F分别在BC和CD上.

(1)、求证：AABE兰AADF；

(2)、若等边AAEF的周长为6,求正方形ABCD的边长.

24.AO分)脚图1,若抛物线h的顶点A在抛物线12上，抛物线12的顶点B也在抛物线h上(点A与点B

不重合).我们称抛物线h，12互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条.

(1)如图2,抛物线13：y=2)2-1与y轴交于点C,点D与点C关于抛物线的对称轴对称，则点D的坐

标为;

(2)求以点D为顶点的13的“友好”抛物线14的表达式，并指出13与14中y同时随x增大而增大的自变量的取值

范围；

22

(3)若抛物线y=ai(x—m)+n的任意一条“友好”抛物线的表达式为y=a2(x—h)+k,写出ai与a2的关系式，并

说明理由.

25.Q2分)在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板(△ABC)按如图所示放置，若A0=2,OC=1,ZACB=

90o.

(1)直接写出点5的坐标是一；

(2)如果抛物线Z:j=⑪2-ax-2经过点B,试求抛物线I的解析式；

(3)把△ABC绕着点C逆时针旋转90。后，顶点A的对应点Ai是否在抛物线/上？为什么？

(4)在x轴上方，抛物线/上是否存在一点P,使由点A,C,B,P构成的四边形为中心对称图形？若存在，求出点

P的坐标；若不存在，请说明理由.

26.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：

X.・・-10123・・・

y.・・03430・・・

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;

(3)结合图像，直接写出当一2<x<3时，y的取值范围.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、B

【分析】根据图象绕顶点旋转180。，可得函数图象开口方向相反，顶点坐标相同，可得答案.

【详解】Vy=_2v+4x+l

=_2(f_2x+l_l)+l

=_2(X_1)2+3,

...该抛物线的顶点坐标是(1,3),

二在旋转之后的抛物线解析式为：

y=2(x_I)2+3=2r_4x+5.

故选：B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移和旋转，解决本题的关键是理解绕抛物线的顶点旋转180°得到新函数的二次项的系

数符号改变，顶点不变.

2、C

【分析】连接OA,OB根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得NOAP,NOBP的度数，根据四边

形的内角和定理即可求的NAOB的度数，然后根据圆周角定理即可求解.

【详解】•••PA是圆的切线,

.•.经Q4P=9O,

同理经08P=90,

根据四边形内角和定理可得：

经A03=360-经。AP-经0BP-经P=360-9(5-90°-40°=140°,

/.缴CB=-♦^AOB=70.

故选:C.

【点睛】

考查切线的性质以及圆周角定理，连接圆心与切点是解题的关键.

3、B

【解析】根据直接开方法即可求出答案.

【详解】解：•.“2-9=0,

.•.X二±3,

故选：B.

【点睛】

本题考察了直接开方法解方程，注意开方时有两个根，别丢根

4、B

【解析】试题分析：:当yi=y2时，即-x?+4x=2x时，解得：x=0或x=2,

.•.由函数图象可以得出当x>2时，y2>yi;当0Vx<2时，yi>y2；当x<0时，y2>yi.二①错误.

2

,:当x<0时，-y1=-x+4x直线y2=2x的值都随x的增大而增大，

•••当xVO时，x值越大，M值越大..••②正确.

••,抛物线yj=-x2+4x=-(x-2)2+4的最大值为4,J.M大于4的x值不存在.二③正确；

:当0<x<2时，yi>y2>二当M=2时，2x=2,x=l；

r当x>2时，y2>yi，［当M=2时，-X?+4x=2,解得X1=2+：5，x2=2--T(舍劫.

：使得乂=2的*值是1或2+：,〈.：④错误.

综上所述，正确的有②③2个.故选B.

5、C

【解析】试题解析：根据平行线分线段成比例定理，可得：

AB=DE_=3_

BCEF2'

设OE=3x,EF=2x,

'DF=5%=6.

解得：x=1.2.

DE=3x=3.6.

故选C.

6、C

【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个

直角三角形相似.

【详解】设树高为x米，

所以=

0848

上=2

4.8

x=4.8x2=9.6.

这棵树的高度为9.6米

故选C.

【点睛】

考查相似三角形的应用，掌握同一时刻物高和影长成正比是解题的关键.

7、D

【分析】根据几何概型的意义，求出圆的面积，再求出正方形的面积，算出其比值即可.

【详解】解：设正方形的边长为2a,则圆的半径为a,

则圆的面积为：TT婚,

正方形的面积为：（24=4a2,

...针扎到阴影区域的概率是-工=',

故选：D.

【点睛】

本题考查几何概型的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算

阴影区域的面积和总面积的比，这个比即事件(A)发生的概率.

8、D

【分析】根据二次项系数不等于0,且A>0列式求解即可.

【详解】由题意得

k-IWO,且4-4(k-l)>0,

解得

k<2且^子1.

故选D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程依2+床+。=0(存0)的根的判别式A*2-4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式

解答本题的关键.当A>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当A=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当

A<0时，一元二次方程没有实数根.

9、B

【分析】根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aXl(T"且(1<H<10),与较大数的科学

记数法不同的是其所使用的是负指数嘉，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】解：根据科学计数法得：

0.0000008=8X10-7.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查科学计数法，熟记科学计数法的一般形式是ax10一"且(1<同<10)是关键，注意负指数暴的书写规则是

由原数左边第一个不为零的数字开始数起.

10、A

【分析】通过计算判别式的值可判断抛物线与入轴的交点个数.

【详解】由二次函数y二/一%-2,

知〃b=-1,c=-2,

/.b2-4ac=(_1)2_4xlx(_2)=9>0.

・・・抛物线与无轴有二个公共点.

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，抛物线与x轴的交点个数取决于4ac的值.

H、D

【分析】利用一元二次方程的根的判别式列出不等式即可求出k的取值范围.

【详解】解：由题意得

♦=(2k+l)2-4(k2-l)=4k+5>0

解得:k>-

故选D

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题的关键.

12、C

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率.

【详解】解：依题意有：一一=1.2,

解得：n=2.

故选：C.

【点睛】

此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A

出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=一是解题关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、1

【解析】抛物线的解析式为y=x2-6x-16,可以求出AB=10；在RtACOM中可以求出CO=4；贝！J：CD=CO+OD=4+16=1.

【详解】抛物线的解析式为y=xJ6x-16,

则D(0,-16)

令y=0,解得：x=-2或8,

函数的对称轴x=-h=3,即M(3.0),

则A(-2,0)、B(8,0),则AB=10,

圆的半径为』AB=5,

在RtACOM中，

0M=5,0M=3,则:CO=4,

贝!I：CD=CO+OD=4+16=1

故答案是：1.

【点睛】

考查的是抛物线与x轴的交点，涉及到圆的垂径定理.

14、1

【分析】设该群的人数是X人，则每个人要发其他（X-1）张红包，则共有x（x-1）张红包，等于156个，由此可列方程.

【详解】设该群共有x人，依题意有：

xCc-1）=156

解得:x=-12（舍去）或x=l.

故答案为1.

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的应用，正确找准等量关系列方程即可，比较简单.

15、1或

【分析】分两种情形分别求解即可解决问题.

【详解】①如图1中，取BC的中点H,连接AH.

图1

VAB=AC,BH=CH,

/.AH±BC,设BC=AH=la,贝!IBH=CH=a,

②取AB的中点M,连接CM,作CNLAM于N,如图1.

设CM=AB=AC=4a,贝！IBM=AM=la,

VCNXAM,CM=CA,

.♦.AN=NM=a,

在RtACNM中，CN=J（4j.产刷

.3也=始，

故答案为i或Si.

【点睛】

本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、“好玩三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知

识解决问题.

16、2

【详解】试题分析：设此圆锥的底面半径为r,根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，

120万根6q市

2m=,解得r=2cm.

180

考点：圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系.

17、1.

【分析】根据函数图象中的数据可以求得x>120时，。对应的函数解析式，从而可以求得x=150时对应的函数值，

由人的的图象可以求得x=150时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题得以解决.

【详解】设当x>120时，对应的函数解析式为y=kx+b,

（120左+6=480（左=6

{，得（，

\160k+b=720\b=-240

即当x>120时，4对应的函数解析式为V=6x-240,

当x=150时，y=6*艮150-240=660,

由图象可知，去年的水价是480政160=3（元/加），故小雨家去年用水量为〔so加，需要缴费：150卞艮3=450（元）,

660-450=210（元），

即小雨家去年用水量为150机3,若今年用水量与去年相同，水费将比去年多1元，

故答案为：1.

【点睛】

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.

18、10

【分析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径,

从而得解.

【详解】如图，设圆心为O,弦为AB,切点为C.如图所示.则AB=8cm,CD=2cm.

连接OC,交AB于D点.连接OA.

•••尺的对边平行，光盘与外边缘相切，

AOCIAB.

.'.AD=4cm.

设半径为Rem,则R2=42+（R-2）2,

解得R=5,

,该光盘的直径是10cm.

故答案为：10.

【点睛】

此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键.

三、解答题（共78分）

19、（1）ZBCO=45";（2）A（-4,1）；（3）点Q坐标为（-4,-4）或（-4,6）或（-4,乳）或（4,1）.

6

【分析】（1）证明aoBc是等腰直角三角形即可解决问题；

（2）如图1中，作MNLAB于N.根据一次函数求出交点N的坐标，用b表示点A坐标，再利用待定系数法即可解

决问题；

（3）分两种情形：①当菱形以AM为边时，②当AM为菱形的对角线时，分别求解即可.

【详解】⑴:一次函数y二-x+b的图象交x轴于B,交y轴于C,则B（b,0）,C（0,b）,

r.OB=OC=-b,

VZBOC=90°

/.△OBC是等腰直角三角形,

/.ZBCO=45o.

(2)如图1中，作MN_LAB于N,

VM(0,4),MN±AC,直线AC的解析式为：y=-x+b,

二直线MN的解析式为：y=x+4,

(_b-4

fy=x+4广2-

联立，解得：(，

|y=-x+b_h^4

'-2-

...N符，三)，

VMA=MB,MN1AB,

，NA=BN,设A(m,n),

(m+bb-4

22

则有(’nAA)解得：〈"'="'

|l22

.*.A(-4,b+4),

•.•点A在y=-'上，

:.-4(b+4)=-4,

/•b=-3,

•••A(-4,1)；

(3)如图2中,

由(2)可知A(-4,1),M(0,4),

，AM=八：=5,

当菱形以AM为边时，AQ=AQ，=5,AQ〃OM,可得Q(-4,-4),Q，(-4,6),

当A,Q关于y轴对称时，也满足条件，此时Q(4,1),

当AM为菱形的对角线时，设P”(O,b),

则有(4-b)2=42+(b-1)2,

.♦.AQ”=MP”--,

6

6

综上所述，满足条件的点Q坐标为（-4,-4）或（-4,6）或（-4,乳）或（4,1）.

6

【点睛】

本题主要考查反比例函数与一次函数的综合以及菱形的性质定理，根据题意添加辅助线画出图形，数形结合，式是解

题的关键.

20、（1）8.5米；（2）12+2W米

【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；

（2）作HJLCG于G.则△HJG是等腰直角三角形，四边形E尸〃/是矩形，没GJ=EF=HJ=x.构建方程即可解决问

题；

【详解】（1）由题意：四边形是矩形，可得Z>E=A5=7米，AD=BE=1.5

在Rf/DEH中,'：NHDEE5。,

：.HE=DE=7米，

：.BH=EH+BE=8.5米，

所以古树377的高为8.5米；

（2）作打_LCG于J.易证△田G是等腰直角三角形，四边形EE7H是矩形，

:.JF=HE=7米,

设打=x.贝!JGJ=Eb=7/J=x,

*A+GF_JF+GJ

在Rt&EFG中，tan60o=-,

EFEF

即‘‘=n,

X

••A—，

2

：.GF=X工

2

二CG=CF+GF=1.5+?—=12+(米)；

22

所以教学楼CG的高为(12+Mb米.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中

考常考题型.

21、70°

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求得.

【详解】：AB=AC

:经8=经0

:纵+经8+经C=180。，纵=40。

：戟+聋8=180。

：经B=70。

故E8的度数为70。.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质：等边对等角得出经3=经。是解题关

键.

22、(1)证明见试题解析；(2)1；(3)50.

13

【解析】试题分析：⑴公共角和直角两个角相等，所以相似.(2)由(1)可得三角形相似比，设CD,BD,BO

用x表示出来，所以可得3。长.(3)同(2)原理，BD=B'D=x,

AB',B'O,50用x表示，利用等腰三角形求长.

试题解析：

(1)证明：•..OOL48,，/。。好财

：.ZACB=ZDOB=9Q°,

又,：2B=4B.：.ADOB^AACB.

（2）,：AD平分NCA3,DC±AC,DO±AB,

：.DO=DC,

在RtAABC中，AC=6,BC=,8,：.AB=10,

"：ADOB^AACB,

：.D0：BO：BD=AC：BC：AB=3：4：1,

34

设5Z>=x,贝！JOO=OC=-x,50=-x,

55

'：CD+BD=S,：.'x+x=8,解得x=,L即：BD=1.

5

（3厂・•点5与点次关于直线。。对称，：.ZB=NOB，D,

4

BO=BfO=x,BD=B'D=x,

S

•・・N6为锐角，・・・NO5分也为锐角，・・・/45分为钝角，

工当人4B，D是等腰三角形时，ABf=DB\

•・Z5'+5'0+30=10,

445250口口50

Ax+x+x=10,解得x=，即,

551313

.•.当”B，D为等腰三角形时，BD=50.

13

点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.

①垂两边：如图（1）,已知8尸平分/ABC,过点尸作P4IAB,PC\BC,则P4=PC.

②截两边：如图（2）,已知平分，点上，在BN上截取8c=8A,则AABP也ACBP.

③角平分线+平行线一等腰三角形：

如图（3）,已知8P平分/ABC,PA//AC,则A3=AP；

如图（4）,已知3P平分工ABC,EF//PB,则=

(1)⑵⑶⑷

④三线合一（利用角平分线+垂线一等腰三角形）：

如图（1）,已知平分JAC,且A。.BC,则A3=AC,BD=CD.

(1)

23、(1)证明见解析；(2)丁2士不

2

【解析】试题分析：(1)根据四边形ABCD是正方形，得出AB=AD,NB=ND=90。，再根据AAEF是等边三角形，

得出AE=AF,最后根据HL即可证出AABEmAADF；

(2)根据等边AAEF的周长是6,得出AE=EF=AF的长，再根据(1)的证明得出CE=CF,ZC=9O°,从而得出AECF

是等腰直角三角形，再根据勾股定理得出EC的值，设BE=x,贝！jAB=x+.，2,在RtAABE中，AB2+BE2=AE2,求出

x的值，即可得出正方形ABCD的边长.

试题解析：(1)证明：•••四边形ABCD是正方形，

.••AB=AD,

•••△AEF是等边三角形，

AE=AF,

在RtAABE和RtAADF中，

•.AB=AD,AE=AF

•••RtAABE=RtAADF；

(2),••等边AAEF的周长是6,

•••AE=EF=AF=2,

X^RtAABEsRtAADF,

.*.BE=DF,

.-.CE=CF,ZC=90°,

即AECF是等腰直角三角形，

由勾股定理得CE2+CF2=EF2,

••EC”，

设BE=x,则AB=x+"＜，

在RtAABE中，AB2+BE2=AE2,即（x+-、）2+x2=4,

解得X尸卫且或X2=X2二七（舍去），

:AB=W1"的.乃=二'”

22

：正方形ABCD的边长为‘2.

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；

2

24、（1）（41）；（2）/4的函数表达式为y=_l（x_4）+1,2<x<4；（3）q+%=0，理由详见解析

【分析】（1）设x=L求出y的值，即可得到C的坐标，根据抛物线L3：y=:（x_2）2_l得到抛物线的对称轴，由

此可求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；

（2）由（1）可知点D的坐标为（4,1）,再由条件以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，可求出L4的解

析式，进而可求出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；

（3）根据：抛物线Lx的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线Li上，可以列出两个方程，相加可得

（ai+a2）（h-m）2=1.可得/+%=0.

【详解】解：（1）•.•抛物线b：y=:0_2）2_1,

顶点为（2,-1）,对称轴为x=2,

设x=l,则y=l,

AC（1,1）,

...点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4,1）；

（2）解：设〃的函数表达式为y=a（x_4）2+1

由“友好”抛物线的定义，过点（2,」）

：_1=a（2_4『+1

1

\a=—

2

4的函数表达式为y=」/一4>+1

：/3与乙中V同时随x增大而增大的自变量的取值范围是2<x<4

(3)+彷二0

理由如下：

22

■:抛物线y=(%-m)+n与抛物线y=a2(%—/z)+k互为“友好”抛物线，

值二%(h-m)2+〃①

:(

p=q(根-li)2+kf^)

2

①+②得：(/+6z2)(m-/z)=0

:m干h

:%+a2=Q

【点睛】

本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的

关键是数形结合，特别是(3)问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度.

25、(1)点5的坐标为(3,1)；(2)y=」x2--2；(3)点4在抛物线上；理由见解析；(4)存在，点尸

(-2,1).

【分析】(1)首先过点5作轴，垂足为£),通过证明△3OC丝△CQ4即可得BO=OC=1,CZ>=04=2,从

而得知B坐标；

(2)利用待定系数法，将B坐标代入即可求得；

(3)画出旋转后的图形，过点A作x轴的垂线，构造全等三角形，求出4的坐标代入抛物线解析式即可进行判断；

(4)