山西省西安中学2024届高考冲刺模拟数学试题含解析

山西省西安中学2024届高考冲刺模拟数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

C2、

1.已知偶函数/(%)在区间(—8,0］内单调递减，a=/(log0百)，b=fsin，贝!I。，b,

c满足()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

2

2.已知复数2=币‘其中】为虚数单位,则目=<)

A.B.73C.2D.V2

3.已知集合”=任卜l〈xV2},N={x|x(x+3)<0},则)

A.[-3,2)B.(-3,2)C.(-1,0]D.(-1,0)

4.设函数/Xx)的定义域为R,满足/(x+2)=2/。)，且当xe(0,2］时，/(x)=—%(%-2).若对任意xe(―8,列),

40

都有了(九)<至，则加的取值范围是().

91923

A.—00,—B.—co,——C.(-co,7]D.—00,——

433

5.已知在平面直角坐标系xQy中，圆G：+(y-nz-6)2=2与圆C2：(x+l)~+(y-2j=1交于A,3两

点，若|。4|=|。用，则实数机的值为()

A.1B.2D.-2

x-<iy+3>0

6.已知y=or+人与函数/(x)=21nx+5和g(x)=12+4都相切，则不等式组<7。八所确定的平面区域在

x+by-2>0

_?+丁+2%—2y—22=0内的面积为()

A.171B.3nC.6»D.\2兀

7.已知复数Z]=cos23+zsin23和复数Z2=cos37+zsin37,贝!Jzjz2为

叵iB,@+LD,是一,

22222222

8.如图，在三棱柱ABC-43]G中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4,A41=8.若£,歹分别是棱5与CC

上的点，且3£=与后，£F=；CG，则异面直线4E与A尸所成角的余弦值为()

A.叵B.叵C.巫D.叵

10131310

V(m)+/(n-2)>0

9.已知奇函数/(%)是R上的减函数，若以〃满足不等式组/(m-1)»0，则2m—”的最小值为()

/(m)<0

A.-4B.-2C.0D.4

10.已知定义在R上的函数/(x)=x・2W,a=/(log3^),^=-/(log31),c=/(ln3),则a,b,c的大小关

系为()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

11.已知复数z满足z—N=o,且z-2=9,则2=()

A.3B.3iC.±3D.±3i

12.在棱长为。的正方体ABC。—A4Gq中，E、尸、”分别是A3、AD.A4的中点，又尸、。分别在线段4月、

4。上，且AP=AQ=根(0(根＜a)，设平面MEbf平面MPQ=/,则下列结论中不成立的是()

A.///平面3。。用B.ILMC

C.当机=@时，平面砂D.当m变化时，直线/的位置不变

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(x+1)，的展开式中/的系数为.

IT1TT

14.若sin(cr+—)=一一，1£(0,兀),贝！Jcos(-----a)=__________.

6312

15.已知复数zi=l-2i,Z2=a+2i(其中，是虚数单位，aGR),若ziz是纯虚数，则〃的值为.

16.已知等比数列｛。“｝的各项都是正数，且3a2，；%，4%成等差数列，则/。82(。3+/)+%)=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在四棱锥尸-A5CD中，底面ABC。是矩形，〃是K4的中点，平面ABCD,且

PD=CD=4,AD=2.

(1)求AP与平面CMB所成角的正弦.

(2)求二面角M—CB—尸的余弦值.

18.(12分)已知函数/(x)=|x—1|-2,+3].

(1)求不等式/(%)<1的解集；

(2)若存在实数x,使得不等式机2—3加-/(x)<0成立，求实数机的取值范围.

19.(12分)已知函数/(x)=r^——(«>0).

广一ax+1

(1)当a=0时，试求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线；

(2)试讨论函数/(尤)的单调区间.

20.(12分)已知函数/(》)=日sinx+c嗯[(-R).

(1)当xc[0,刃时，求函数的值域；

(2)八A6C的角A,瓦C的对边分别为”,"。且°=石，/(C)=1,求A5边上的高//的最大值.

21.(12分)已知六面体ABCDEF如图所示，跖1平面ABC。，BE//AF,AD!IBC,BC=1,CD=后,

FM1

AB=AF=AD=2,M是棱ED上的点，且满足——=一.

MD2

(1)求证：直线〃平面M4C；

(2)求二面角A—MC—。的正弦值.

22.(10分)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通

过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分：100分)数据，统计结果如下表所示.

组别[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频数2515020025022510050

(1)已知此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(〃,210),〃近似为这1000人得分的平均值(同一组中的数据用该

组区间的中点值为代表)，请利用正态分布的知识求尸(36<Z<79.5)；

(2)在(1)的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.

(i)得分不低于〃的可以获赠2次随机话费，得分低于〃的可以获赠1次随机话费；

(ii)每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.

赠送的随机话费/元2040

3_j_

概率

44

现市民甲要参加此次问卷调查，记X为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望.

附：7210»14.5>若X,则X<〃+cr)=0.6827,P(/z-2a<X<//+2cr)=0.9545,

—3。<XW〃+3cr)=0.9973.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

2

首先由函数为偶函数，可得函数/（%）在［0,+8）内单调递增，再由log06>sin7C3,即可判定大小

>7

【详解】

因为偶函数“X）在（7,0］减，所以/（%）在［0,+w）上增,

2

log在百>1，713

sinee,c<b<a.

144°4

故选:D

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和单调性，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，属于中档题.

2、D

【解析】

把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案.

【详解】

22（1-/）

解：Z=T77=（I+,♦）（­）=一，

则|z|=V1+1=V2.

故选：D.

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.

3、C

【解析】

先化简N={x|x(x+3)<0}={x|-3£r<0},再根据M={©-l<x<2},求两集合的交集.

【详解】

因为N={x|x(x+3)<0}={x|-3<r<0}>

又因为M^{x\-l<x<2},

所以MAN={x|-1<烂0}.

故选：C

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

4、B

【解析】

求出/'(*)在xe(2",2〃+2]的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案.

【详解】

当xe(2〃,2〃+2]时,x-2n&(0,2],/(x)=2"(x—2〃)=—2"(x—2〃)(x—2〃—2),

40

/(X)max=2"，X4<y<8,所以加至少小于7,此时/(X)=—23(X—6)(X—8),

令/(x)=3得—23(x—6)(x—8)=],解得X=?或X=?,结合图象，故机

故选：B.

【点睛】

本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.

5、D

【解析】

由|Q4|=|O用可得，。在AB的中垂线上，结合圆的性质可知。在两个圆心的连线上，从而可求.

【详解】

因为|。4|=|。石，所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，0(0,0),G(阿加+6),G(—L2)三点

m+6

共线，所以一^=-2,得m=-2,故选D.

m

【点睛】

本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.

6、B

【解析】

根据直线丁=奴+人与/(%)和g(x)都相切，求得a,6的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆

x2+y2+2x-2y-22^0,由此求得正确选项.

【详解】

,2.2

/'(%)=—,g'(x)=2x.设直线y=ax+Z?与“X)相切于点A®,21nx0+5),斜率为一，所以切线方程为

X/

22.21(1)1

y-(21nx0+5)=—(x-x0),化简得y=—％+2111%+3①.令g(x)=2x=—，解得x=—，g一=—+4,

211

所以切线方程为y——+4=—x——,化简得丁=一九—二+4②.由①②对比系数得21nx0+3=一二+4,

[天)xo<xoJx0x0x0

化简得21n%+J—1=0③.构造函数％(x)=21nx+g—l(x>0),"(x)=2=2(「(1),所以从同在

(0,1)上递减，在(L+⑹上递增，所以可尤)在x=l处取得极小值也即是最小值，而从1)=0,所以〃(尤)=0有唯一

x-ay+3>Qfx-2y+3>0

解.也即方程③有唯一解毛=1.所以切线方程为y=2x+3.即a=2力=3.不等式组《「°八即/"八，

\x+by-2>0[x+3y-2>0

2

画出其对应的区域如下图所示.圆炉+V+2》_2y—22=0可化为(x+lp+(J；-1)=24,圆心为A(-l,l).而方程

x-2y+3=0fx=-lfx-2y+3>0

组/c八的解也是，•画出图像如下图所示，不等式组0c八所确定的平面区域在

x+3y-2=0[y=l[x+3y-2>Q

f+V+2x—2y—22=0内的部分如下图阴影部分所示.直线x—2y+3=0的斜率为；，直线x+3y—2=0的斜率

11

1----1--

为一：.所以tan4AC=tan(NA£D+N/4£>E)='y'=l,所以/氏4。=?,而圆4的半径为@=26，所

1--X—

23

以阴影部分的面积是:xfx(26『=3乃.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考

查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.

7、C

【解析】

利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出.

【详解】

ziZ2=（cos23°+isin23°）•（cos37°+isin37°）=cos60°+isin60°=—+乌

'一22

故答案为C.

【点睛】

熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系,

点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.

8、B

【解析】

建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线4E与AE所成角的余弦值.

【详解】

依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设A3的中点为。，建立空间直角坐标系如下图所示.所以

A（0,-2,8）,E（0,2,4）,A（0,-2,0）,F（-273,0,6）,所以4石=（0,4,—4）,AF=卜26,2,6）所以异面直线人也与

\E-AF8—24_V26

AF所成角的余弦值为

MM472x2713—13

故选：B

【点睛】

本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.

9、B

【解析】

根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.

【详解】

m<2-n

奇函数/（尤）是R上的减函数，则"0）=0,m-n-l<Q,画出可行域和目标函数，

m>0

z=2m—n,即〃=2根—z,z表示直线与y轴截距的相反数，

根据平移得到：当直线过点（0,2）,即加=0.〃=2时，2=2〃?-〃有最小值为-2.

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.

10、D

【解析】

先判断函数在％>0时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到b=/(log32),比较

Iog36，bg32,ln3三个数的大小，然后根据函数在％>0时的单调性，比较出三个数”，"c的大小.

【详解】

当尤>0时，/(%)=%-2|v|=x-2X=>/'(x)=2r+x-In2-2X>0,函数/XM在天〉。时，是增函数.因为

HX

/(-%)=-X-2=-X-2=-/(x)，所以函数/(%)是奇函数，所以有b=-f(log31)=/(-log31)=/(log32),

ln3>1>log3A/5>log32>0,函数/(尤)在尤>0时，是增函数，所以c>a>b,故本题选D.

【点睛】

本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.

11、C

【解析】

设2=〃+初，贝！二〃一次，禾(］用z-z=0和z-N=9求得a,/?即可.

【详解】

设2=〃+初，贝!=a-bi,

因为z—5=0,则(a+切)一(a—次)=2次=0,所以b=o,

又zN=9,即a2=9,所以a=±3,

所以z=±3,

故选:c

【点睛】

本题考查复数的乘法法则的应用，考查共朝复数的应用.

12、C

【解析】

根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可.

【详解】

因为473=4。=〃2,所以/3。//用2,因为瓜厂分别是45、40的中点,所以石尸//5£>,所以尸。//班,因为面同£户

面MPQ=/,所以P。〃跳？//.选项A、D显然成立；

因为BD//EF//1,6。_L平面ACQA，所以/，平面ACCX\，因为MCu平面ACQA，所以/J_,所以B项成

立；

易知AQ1平面MEF,AC1平面MP0而直线AG与&C不垂直，所以C项不成立.

故选：C

【点睛】

本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、6

【解析】

在二项展开式的通项中令x的指数为2,求出参数值，然后代入通项可得出结果.

【详解】

44r

(x+1)的展开式的通项为Tr+1=C]x-,令4—r=2nr=2,

因此，a+i)4的展开式中好的系数为c：=6.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.

14、

6

【解析】

因为(。+5+©所以②一]=；一(1+5•因为°£(。，兀)，所以1+又sin(o+g)=-：<0,所

6124124666663

以。+工£（兀,-^）,所以

66

7120/71、R7LJI、、71/71、.71./71、

--------,cos(------a)=cos[----(a+—)]=cos—cos(cr+—)+sm—sm(a+—)

6312464646

-4-A/2

6

15、-1

【解析】

a+4=0

由题意马/2=。+4+（2-2a»,令°°八即可得解.

2—2aH0

【详解】

Vzi=l-2i,Z2=a+li,

/.Zj-z2=(1-2i)(a+2z)=a+4+(2-2a)i,

_a+4=0

又z『Z2是纯虚数，〜八，解得：a--1.

2-2aw0

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查了复数的概念和运算，属于基础题.

16、-2

【解析】

根据等差中项性质，结合等比数列通项公式即可求得公比；代入表达式，结合对数式的化简即可求解.

【详解】

等比数列｛%｝的各项都是正数，且3a2,g/，4al成等差数列，

则%-3%+4%,

由等比数列通项公式可知qq?=3au+4q,

所以/_3q_4=0,

解得q=4或q=-l（舍），

所以由对数式运算性质可得

Zog2（a3+4）-（。4+。5）

,a,q2+a,q3,1

="暇仁方=/限7

,1。

=lo§24=2

故答案为：-2.

【点睛】

本题考查了等差数列通项公式的简单应用，等比数列通项公式的用法，对数式的化简运算，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4

17、（1）y.

⑶3710

⑵F

【解析】

分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）

先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可.

详解：

（1）•••ABC。是矩形，

AAD1CD,

又；平面ABC。，

APD±AD,PD±CD,即P£>,AD,CO两两垂直，

...以。为原点，DA,DC,0P分别为％轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系，

由尸。=CD=4,AD=2,得A（2,0,0）,B（2,4,0）,C（0,4,0）,£>（0,0,0）,P（0,0,4）,M（l,0,2）,

则北=（一2,0,4）,BC=（-2,0,0）,MB=（1,4,-2）,

设平面CMS的一个法向量为&=（%,%，4）,

BCn.=0-2x=0

则《，即L+“2【0'令"I'得当=°'…，

MB•々二0

：•勺=(0,1,2),

•cos(AP,\n[,8_4

2>/5-A/5-5)

4

故AP与平面CMB所成角的正弦值为j.

(2)由(1)可得PC=(O,4,T),

设平面PBC的一个法向量为巧=(x2,j2,z2),

BCn2=—2x?=0

即4f令%=1，得冗2=°，

PC%=o4%-4z2=0

:.%=(0,1,1),

3_3厢

..cosq%%6友一10

故二面角M-CB-P的余弦值为上叵.

10

点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可，但要注意坐标

的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.

18、(1)(-co,-6)l(-2,+oo)；(2)(-1,4).

【解析】

(1)将函数y=/(九)的解析式表示为分段函数，然后分xW—3、—3<x<l、1»1三段求解不等式/(%)<1,综合

可得出不等式的解集；

(2)求出函数y=/(x)的最大值/(1)1mJ由题意得出加—3w</(x)111ax,解此不等式即可得出实数心的取值范

围.

【详解】

x+7,x<-3

•'/(x)=|x-l|-2|x+3|=<-3x-5,-3<x<l.

—x—7,%21

(1)当xW—3时，由/(x)=x+7<l,解得x<-6,此时x<-6；

当一3<%<1时，由=解得］>-2,此时一2<%<1；

当时，由/(%)=—*一7<1,解得x>—8,此时xNl.

综上所述，不等式八%)<1的解集(f,-6)!(―2,转)；

(2)当3时，函数〃x)=x+7单调递增，则3)=4；

当—3<x<l时,函数/(%)=-3x-5单调递减,则/⑴</(%)</(—3),即-8</(x)<4；

当时，函数/(X)=—x—7单调递减，贝!|/(x)W/(—l)=—8.

综上所述，函数y=/(x)的最大值为=/(-3)=4,

由题知，m2-3m<f(x)^=4,解得一1<相<4.

因此，实数隙的取值范围是(—L4).

【点睛】

本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值不等式中的参数问题，考查分类讨论思想的应用，考查运算求

解能力，属于中等题.

19、(1)y=x+l.(2)见解析

【解析】

(1)对函数进行求导，可以求出曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线，利用直线的斜截式方程可以求出曲线的切线

方程；

(2)对函数进行求导，对实数。进行分类讨论，可以求出函数/(尤)的单调区间.

【详解】

(1)当。=0时，函数定义域为R,=\(::2"'(0)=1,

(%+1)

所以切线方程为y=x+i；

x~-ax+l-2x+ajex(^x2-(a+2)x+l+a^ex(%-l)(%-(a+l))

(2)/(%)=-

(d-ox+l)(Y-ax+l)卜2-奴+1)

,ex(x-l)2

当。=0时，函数定义域为R,f(x)=(22°」/(x)在火上单调递增

(x+1)

当ae(0,2)时，△=片一4<0,.“2—以+1>0恒成立，函数定义域为R,又a+1>1,，/(幻在(-0,1)单调递增,

(1,1+a)单调递减，(1+a,+8)单调递增

当。=2时，函数定义域为(f,l)u(L+8),/'(力=小二2,，/(%)在(-8』)单调递增，(1,3)单调递减，(3,+8)

(x-l)

单调递增

当ae(2,+oo)时，A=Q2—4＞。设式―依+1=。的两个根为芯,多且占＜%，由韦达定理易知两根均为正根，且

0＜占＜1＜》2，所以函数的定义域为(-00,%)口(9，+30),又对称轴工="|＜。+1,且

(a+1)2—a(a+1)+1=a+2＞0x9＜a+1,

・••/(%)在(—,石),(玉,1)单调递增，。，尤2)，(%M+1)单调递减，(l+a,+8)单调递增

【点睛】

本题考查了曲线切线方程的求法，考查了利用函数的导数讨论函数的单调性问题，考查了分类思想.

113

20、(1)---,1.(2)—

L2J2

【解析】

(1)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.

(2)由题意利用余弦定理.三角形的面积公式.基本不等式求得ah的最大值，可得A6边上的高〃的最大值.

【详解】

痴,«、..十岭、6.2%16-1+COSX1.(乃)

解：(1).函数f(九)=——sin%+cos------=--sin%+------------=sin%+—＞

2222226J

n77r

当xe[0,时，x+—e,sinx+—e

666I6•

(2)ABC中，c=6,/(C)=l=sin^C+|j/.c=1.

由余弦定理可得/=3=tz2+Z?2-2ab-cosC=a2+b2-ab..ab，当且仅当〃=b时，取等号，

即ab的最大值为3.

再根据SABC=5・也,”=gassing,故当ah取得最大值3时，〃取得最大值为

【点睛】

本题考查降易公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式，所用公式较多，选用恰

当的公式是解题关键，本题属于中档题.

21、(1)证明见解析(2)I运

18

【解析】

(1)连接设BDcAC=O,连接M。.通过证明MO/ABF,证得直线平面以4C.

(2)建立空间直角坐标系，利用平面MAC和平面MCD的法向量，计算出二面角A-MC-。的正弦值.

【详解】

(1)连接3。，设BDcAC=O,连接M。,

因为AD〃3C,所以△BOCSA£)Q4,所以空=422

OBBCT

4m.MD2DO

在一EBD中，因为标=,~OB

所以MO且MOu平面MAC,

故3尸〃平面MAC.

(2)因为AD〃3C,AB=2,BC=1,AD=2,CD=#),所以ABLAD,

因为5EAF,班1平面ABC。，所以”，平面ABC。，

所以AF_LAB,AFLAD,

取AB所在直线为％轴，取AQ所在直线为丁轴，取AF所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

由已知可得8(2,0,0),C(2,l,0),D(0,2,0),E(2,0,3),歹(0,0,2)

所以。E=(0,—2,2),因为——=—,

MD2

2(44、

所以。/=耳。歹=[0,一耳,耳，

所以点"的坐标为

所以AC=(2,1,0),AM=0,|,1,设加=(x,y,z)为平面MAC的法向量,

2x+y=0

m-AM=0

则n24八，令x=l,解