江西省2023-2024学年高三年级下册2月联考数学试卷

江西省红色十校2023-2024学年高三下学期2月联考数学

试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.样本中共有5个个体，其值分别为“、]、2、3、4,若该样本的中位数为2,则

。的取值范围为（）

A.（0,1）B.0,2）C,D.[1,2]

2.若椭圆c：二+上=1（〃?>0）的焦点在‘轴上，其离心率为;，则椭圆0的短轴长

为（）

A.2B.4正C.2石D.8

3.已知数列,“｝满足2可+1=a,,+a“+2，数列｛”"｝的前”项和为S“，S,=6，a3+tz5=10-

则5$=（）

A.至B.10C.11D.9

2

4.设m,〃是不同的直线，a,0是不同的平面，则下列命题正确的是（）

A."m//a,n//fi,a//B,则〃?〃〃B.若。_L夕,〃?J_a,勿JL0，则加〃〃

C.若a_L尸,阳//Q,〃//尸,则加D.若加//〃,〃J_6,机_LQ,则a///?

5.某班级举办元旦晚会，一共有&个节目，其中有2个小品节目.为了节目效果，班

级规定中间的2个节目不能安排小品，且2个小品不能相邻演出，则不同排法的种数是

（）

试卷第11页，共33页

A.9A：B-13A：C-22A：D.44A：

6.已知面积为9的正方形N8S的顶点A、8分别在x轴和y轴上滑动，0为坐标原

__2__I__P

点，。尸=产+产，则动点的轨迹方程是（）

A-T+t=1b-44=1

c<4-

a

兀=1,则也至里=(

7・已知为锐角，且tana+tan—+a)

4cos2a

A.1B.-3C.一2

8.已知双曲线的左、右焦点分别是%点48是

丽亏福卜|布|,则该双曲线的离心率是（）

其右支上的两点,=2

B.叵

Ac.2D

-i35-i

二、多选题

.已知I函数/(x)=sin12x+与

9-2cos2x，则下列结论正确的是（）

A.〃x）图象的对称中心为

墨T'"Z)

71

B./x+1是奇函数

试卷第21页，共33页

C/（x）=1

Jx/max

D.〃x）在区间管上单调递减

10.若zrZ2为复数，则（）

A.R+印书+同B.Zl+Z2=Z1+Z2

C.z；=|zJ("eN*)

11.已知函数的X）的定义域为R,对任意实数X,V满足/(x+y)=/(x)+/(y)+2，

且/（2）=o，则下列结论正确的是（）

A./（0）=-2B./（-4）=-6

C.〃x）+2为奇函数D./（x）为R上的减函数

三、填空题

12.设集合M={2，-2，T},A/={X||X-«|<1},若"CN的真子集的个数是1,则正

实数”的取值范围为.

13.在正四面体尸_48c中，〃为我边的中点，过点”作该正四面体外接球的截面，

记最大的截面半径为凡最小的截面半径为厂，则二=；若记该正四面体和其外接

R

球的体积分别为匕和%,则a=.

试卷第31页，共33页

14.定义min{q,a2，L，《,}表示。|、4'中的琅小值，max{q,a2,…,"J表不6'

%、*■、q”中的最大值，设0<加<〃<0<2,已知〃23加或加+2〃43,则

min{maxp_〃,2_p}}的值为.

四、解答题

15.已知函数/(x)=2ax/nx+36("、b为实数)的图象在点”了⑴)处的切线方程

为y=x+1.

(1)求实数a、6的值;

(2)求函数/(x)的单调区间和极值.

16.有5双鞋子，每双标记上数字-2、3、4'5,从中取3只鞋子•

(1)求取出的3只鞋子都没有成对的概率；

(2)记取出的3只鞋子的最大数字为X,求X的分布列和数学期望x\

17.如图，在三棱柱中，G4=G81，AC=AB】，平面48C，

AC=3>NC4G=90、〃、E分别是48、的中点•

(1)证明：4c，平面

(2)求ME与平面BB£C夹角的正弦值.

试卷第41页，共33页

18.设抛物线「:V=2px(p＞0)，过焦点厂的直线与抛物线「交于点

B(x2,y2)-当直线42垂直于X轴时,|AB|=4-

(1)求抛物线『的标准方程.

(2)已知点P(2,0)，直线1尸、8P分别与抛物线r交于点C、D-

①求证：直线C£)过定点；

②求AP4B与APCD面积之和的最小值,

19.同余定理是数论中的重要内容.同余的定义为：设a,6eZ,〃?eN+且切＞L若

向(。-6)，则称。与b关于模加同余，记作a三伙mod/M)(“厂为整除符号)•

(1)解同余方程：犬+2工三0(1«(«13)；

⑵设(1)中方程的所有正根构成数列｛%｝，其中％＜出＜。3

①若4=*-/(〃eN.)，数列出｝的前〃项和为Sj求SW

②若C„=tana2n+3-tana2n+I(«eN+)(求数列｛C“｝的刖"项和T„•

试卷第51页，共33页

参考答案:

1.c

【分析】对实数q的取值进行分类讨论，将数据由小到大排序，结合中位数的定义可得出

实数a的取值范围.

【详解】若3va«4,则这组数据由小到大排列依次为1、2'3、“、4,中位数为3,不

合乎题意；

若0>4,则这组数据由小到大排列依次为-2、3、4、中位数为3,不合乎题意；

若24a<3,则这组数据由小到大排列依次为1、2、°、3、4,中位数为°=2；

若则这组数据由小到大排列依次为1、a、2'3、4,中位数为2；

若则这组数据由小到大排列依次为°、]、2、3、4,中位数为2・

综上所述，实数。的取值范围是.8,2].

故选：C.

2.B

【分析】根据椭圆的离心率求出加，即可求得该椭圆的短轴长.

【详解】对于椭圆C:4+^=l（机>0），由已知可得h=m,则

机29'1

c=yja2—b2=,9-加2'

椭圆C的离心率为r_c_J9-%2.1,解得〃7=2及，贝心=2/，

a33

因此，椭圆C的短轴长为2b=4及.

故选：B.

答案第11页，共22页

3.A

【分析】分析可知，数列｛%｝为等差数列，设等差数列｛”“｝的公差为“，根据己知条件可

得出关于《、"的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的求和公式可求得品的值.

【详解】因为数列｛4,,｝满足2q川=4+凡,2,则数列｛〃“｝为等差数列，设等差数列｛”“｝的

公差为〃，

则S｝=3q+3；4=3%+3d=6,可得“十"一？，①

a3+a5=at+2d+ax+4d=2at+6d=10>可得3+3"=5,②

联立①②可得q=Ld=—,所以，S5=5at+^211=5X—+10x—=—.

225'2222

故选：A.

4.D

【分析】利用线面、面面平行关系判断A；由B的条件可得机,〃判断；由直线加、〃都

平行于a4的交线判断C；由线面垂直的性质推理判断D.

【详解】对于A,若加//%〃///5,a〃夕，则直线机与〃可能相交、也可能平行、还可能是

异面直线，A错误；

对于B,若&_1夕,加_1.%"_1/?，则机_L〃，B错误；

对于C,若a_L四加〃a,〃//夕，直线机与"可能平行，

如直线机、”都平行于a,Q的交线，且机（za,〃aP，满足条件，而机〃〃，C错误；

对于D,若加则加_1,夕，又/WJ_Q，因此a///?，D正确.

答案第21页，共22页

故选：D

5.C

【分析】先确定2个小品的安排方式，再安排其余6个节目，根据分步乘法计数原理可求

得结果.

【详解】用伍⑼表示不安排中间且不相邻的位置，则有（1,3），（1,6），（⑺，（1,8），（2,6），

（2,7），（2,8），（3,6），（3,7），（3,8），（6,8），共11种情况，

二2个小品有1必；=22种安排方式；再安排其余6个节目，共有A：种安排方式；

二不同排法的种数有22人：种・

故选：C.

6.C

8（0,典）P（x,y）[_3

【分析】设点、、，由平面向量的坐标运算可得出与一5.由

7o=2y

x；+=93x；+J/Q=9P

正方形的面积公式可得出"",将飞=5、代入等式0°整理可得出点的轨

7o=2y

迹方程.

【详解】设点0）、8（0,%）、P（x,y）>

,__2—1__2,1、/21、

由。夕=可。工+B=，（Xo,O）+5（0）。）=£苫0,不先，

23

=­x

F2

所以,可得V

1、凫=2y

y=2y°

答案第31页，共22页

因为正方形"'CO的面积为1/域=9,即x；+V；=9,即

|+(24=9,

整理可得《+土=1，因此，动点"的轨迹方程为《+今==1.

4949

故选：C.

7.C

【分析】根据已知条件结合两角和的正切公式可得出关于匕球，的方程，由已知可得出

idncc

tana>0,可得出关于tana的方程，求出tana的值，利用二倍角的正弦和余弦公式可求

得所求代数式的值.

【详解】因为a为锐角，则tana>0，

7T1+tana1

tan—+tana=tana+----------=1

tana4-tan—+a=tana+41-tana

则14J,兀

1-tantana

4

整理可得tan2a-3tana=0，解得tana=3,

所以，sin2a+1_cos2a+2sinacosa+sin2a_(cosa+sina)2

cos2acos2a-sin2a(cosa-sina)(cosa+sina)

cosa+sina1+tana1+3_

=----------------=-----------=------——2.

cosa-sina1-tana1-3

故选：C.

8.B

【分析】由题意,根据双曲线的定义可得忸用=2a,进而|明|=4a,%K|=|48|=6a，在

△ABF、、鸟中，分别用余弦定理表示cosZ，建立关于。的方程，解之即可求解.

答案第41页，共22页

【详解】由函=2&，得网=3|明，结合题设有所|=3愿|，

由双曲线的定义知，卜耳|_卜马=2〃，忸匐-忸周=2°，又|/耳月/用，

佃£-|/闾=2〃\BF2\=2a忸&=4“,|/用=|/川=6“

由."6=3|阳‘得‘得‘

谒=2\BF2\

在中，由余弦定理，得」/「+阳|2T明『36a2+36a2-16a?=7,

2\AF^AB\2-6a-6a9

在中，由余弦定理，得co,/」'4『耳"『_36/+161-62_7,解得

2Ml叫2-6a-4a9

3而

a=-------，

11

_c_3_底

所以双曲线的离心率为"5=5?£=亍

9.BC

【分析】利用三角恒等变换化简函数/(x)的解析式，利用余弦型函数的对称性可判断A选

项；利用诱导公式结合正弦型函数的奇偶性可判断B选项；利用余弦型函数的最值可判断

C选项；利用余弦型函数的单调性可判断D选项.

答案第51页，共22页

【详解】/(x)=sinl2x+—l-2cos2x=一cos2x-(1+cos2x)=-2cos2x-l>

对于A选项，由2瓦=攵+](%EZ)可得工=:专](%£2),

所以，1为奇函数，B对；

对于C选项，f(\2-1=1»C对；

J\x/max=

对于D选项，当工32x<_时，砥2x<—,，=2COS2X单调递减,

7777

所以，/(x)在区间与上单调递增，D错.

故选：BC.

10.BD

【分析】利用特殊值法可判断AC选项；利用共施复数的定义、复数的加法可判断B选项;

利用复数的模长公式、共匏复数的定义以及复数的乘法可判断D选项•

【详解】对于A选项，取4=l—i，z2=l+i>贝L+Z2=2，1+1=2,

所以，4=l+i,Z2=l-i,所以，同="卜友,

所以，目+㈤=2&,1*2卜2,故k+z?卜目+㈤，A错;

对于B选项,设Z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,deR)，

答案第61页，共22页

则Z]+z?=(a+c)+(/>+d)i，Z]+z2=(a+c)-(Z>+rf)i'

z}=a-bi'z2-c-d\'则4+Z2=(a+6)_(c+d)i，所以，z1+z2=+z2'B对；

对于C选项，不妨取Z|=l+i，"=2，则z；=(l+i)2=2i，匕|=日邸=2，

所以，z；w|z『，故Z；H|ZJ'(〃€N)c错；

对于D选项，设4=a+bi(a,，€R),则马=”"所以，㈤=同=,

所以，z「Z|=S+6i)(q_6i)=/+62=|讣同，D对.

故选：BD.

11.ABC

【分析】令x=y=O，解得/(0)=-2即可判断A；令x=2,y=-2求得/(-2)=-4,令

x=y=2求得/(4)=2,令x=4,y=-4求得/(_4)=一6即可判断B；令y=-x可得

/(x)+2+/(-x)+2=0,即可判断C；由AB即可判断D.

【详解】A：令x=y=0，代入/'(x+y)=/(x)+/(y)+2，

得/(0)=2/(0)+2,解得/(0)=-2,故A正确；

B：令》=2,了=-2，代入/(*+川=/(*)+/(刈+2，

得/(0)=/⑵+/(-2)+2,又“2)=0,所以/(—2)=-4;

令x=y=2，代入/(x+>)=/(*)+/(y)+2，

得〃4)=2〃2)+2=2,

答案第71页，共22页

令x=4,y=-4，代入/(x+j，)=/(x)+/(y)+2，

得y(0)=/(4)+/(-4)+2,所以/(-4)=-6,故B正确；

C：^y=-x,代入/(x+y)=f(*)+/(『)+2,

得/(O)=fM+/(-X)+2'则/(x)+2+/(-x)+2=0'

所以函数/(x)+2为奇函数，故C正确；

D：由选项AB知，/(0)=-2,f(-2)=-4，则/(O)>/(-2)，

所以函数/(X)不为R上的减函数，故D错误.

故选：ABC

⑵{印<0<3}

【分析】解出集合汽，分析可知，集合/小汽的元素个数为1，确定集合McN，可得出

关于实数〃的不等式，解之即可.

【详解】由卜_司<]可得，解得a-l<x<a+l'

因为a>(T则a-l>T且a+l>「

因为“cN的真子集的个数为1，设MCN的元素个数为〃，则=解得〃=「

因为M={2,-2,-1}，则A/cN={2}，所以'a-l<2<a+l>解得1<"3，

因此，实数。的取值范围是{a[i<q<3}.

故答案为：{a|l<a<3}・

答案第81页，共22页

13.旦也瓜3百兀

332

【分析】把正四面体p_/8c放置于正方体中，利用正四面体与正方体有相同的外接球，

结合球的截面小圆的性质、体积公式计算即得.

【详解】将正四面体尸放置于正方体中，可得正方体的外接球即为该正四面体的外

接球，如图,

外接球球心0为正方体的体对角线的中点，设正四面体的棱长为2a，则正方体棱

长为缶，

由外接球直径等于正方体的体对角线，得正四面体p_48c外接球半径

R=—>/3x41a=^-a'

22

当过口中点河的正四面体外接球截面过球心0时,截面圆面积最大，截面圆半径为氏，

当该截面到球心。的距离最大时，截面圆面积最小，此时球心。到截面距离为

2

可得最小截面圆半径-ON?=”,因此2="；

R3

答案第91页，共22页

正四面体尸一"C外接球体积匕=竽"_.（《4=将加，

正四面体的体积匕=（及a）3_4x；x；x（及43=乎“3,因此,=孚.

故答案为：显;述E

32

【分析】设〃一加=工，Pf=y,2-p=z,可知x>0,y>0,N>0，可得出

〃=2-y_z,设M:!m*"//},分〃23加「+2〃43两种情况讨论，结合不等式

m=2-x-y-z

的基本性质可求得M的最小值.

【详解】设〃-机=x,p-n=y,2-p=z>E.0<m<n<p<2,则x>0，y>0,z>0.

所以，\n=2-y-z,

[m=2-x-y—z

若〃23加，贝lJ2_y-z_N3（2_x-y_z），故3x+2y+2zN4，

M=max{x,^,z}3M>3x7A/>3x+2y+2z>4^>—

设，因此，<2A/22尸故，即7,

2M>2z

若m+2〃«3，则2_x_y_z+2（2-y_z）W3，即x+3y+3zN3，

M>x7A/>x+3^+3z>3x=3v=32=2

则3MN3y，故，当且仅当亍时，等号成立，

3M>3z

答案第101页，共22页

综上所述,min{max{〃_"p_〃,2_p}}的最小值为3

7

故答案为：

7

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于换元〃-机=x,P~n=y,2-p=z

M=max{x,y,z}＞将加、"用工、八z表示，结合不等式的性质求解―

1

a=­

15-⑴；

b=-

3

⑵减区间为增区间为g+，j,极小值为/1%一52,无极大值.

【分析】(1)利用导数的几何意义可得出关于0、6的方程组，即可得出实数0、人的值;

(2)利用导数分析函数/(x)的单调性，结合极值的定义可得结果.

【详解】(I)解：因为/(x)=2ax/nx+3Z)，该函数的定义域为(0,+s)，

/r(x)=2a(l+lnx)»

因为函数,(x)=2办.[口工+36(。、b为实数)的图象在点(]j⑴)处的切线方程为y=x+l，

)=2a=lfJ_

=36=2,解得，2

Bb=-

3

(2)解：由(1)可得/(%)=xlnx+2，该函数的定义域为(o,+8)，/r(x)=1+lnxJ

答案第111页，共22页

由r（x）=°可得x=L列表如下:

e

X1

e

—+

J0

J减极小值增

所以，函数“X）的减区间为（0,1）,增区间为g,+8）,极小值为/（5=-』+2,无极大

值.

16.(1)|

1q

（2）分布列答案见解析，E（X）=£

【分析】（1）分析可知，只需在指定三双鞋子，每双鞋子各取一只，利用组合计数原理结

合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）分析可知，随机变量x的可能取值有2、3、4、5,计算出x在不同取值下的概率，

可得出随机变量X的分布列，进而可求得/（x）的值.

【详解】（1）解：取出的3只鞋子都没有成对，只需在指定三双鞋子，每双鞋子各取一只,

所以，取出的3只鞋子都没有成对的概率为2=或2=迎=2.

C：）1203

（2）解：由题意可知，随机变量x的可能取值有2、3、4'5'

则/（X=2）=C；+f；C；=J_,p（x=3）=C©：C泣

Jo30Go15

答案第121页，共22页

产”=4产户二,p（x=5）=CC：C；Gj

Ci。ioGo15

所以，随机变量Y的分布列如下表所示:

7?R1q

所以，£（%）=2x—+3x—+4x—+5x—=—

v,301510153

17.（1）证明见解析

⑵正

6

【分析】(1)由线面垂直的性质可得出/耳L/C，由已知条件可得出/C_L/G，结合线

面垂直的判定定理可证得结论成立；

(2)以c为坐标原点，以五、CA'函的方向分别为X、y、z轴的正方向，建立如图

所示的空间直角坐标系C-"，利用空间向量法可求得ME与平面BB,C、C夹角的正弦值•

【详解】(1)证明：因为"J_平面Z8C，/Cu平面/8C，所以，AB,±AC'

因为ZCJC,=90°，则AC1AC,'

又/qu平面14G，/C|U平面/8£，所以，/C_L平面48c「

(2)解：以C为坐标原点，以3、CA'福的方向分别为X、》、z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系C-切，

答案第131页，共22页

则C（0,0,0）、8（300）、4（0,3,0）、用（0,3,3）、G（-3,3,3）、f,3,3）、喉|，。）,

所以，血=134,3），5=（3，°，°），西=（°，3,3）,

BBC。万=（x,y,z）[MCS=3X=0

设平面的法向量为，则「示2,八

nCD.=3y4-3z=0

得x=0，令y=l，得z=-l，故方=(O,l,T>

3

MEH3V2

所以cosME,n=V

2

故""与平面'8CC夹角的正弦值为

6

18.（1）y2=4x

⑵①证明见解析；②[0.

【分析】（1）利用弦长求解p,即可求解抛物线方程；

（2）①设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出

定点；

答案第141页，共22页

②利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得与APC。面积之和的最小

值.

ADXARn

【详解】（1）解：由题意，当直线垂直于轴时，直线的方程为'=等,

pa=2p2P=4P=2

X=

联立2可得2，则，所以，即

y2=2pxJ=±P

所以抛物线「的方程为/=4x.

（2）证明：①若直线与x轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，

同理可知，直线8也不与x轴重合，易知点尸（i,o），

设。（七,%）、。卜4，居），设直线N8的方程为x=〃沙+1，

联立Jx=叼+1彳导y?-4〃沙-4=0A=16m2+16>0

jy2=4x、.

因此必+%=4m，yxy2=-4•

设直线/C的方程为x=〃y+2,联立卜=号+2得V-4,沙-8=0,

[y2=4x

则A16〃幻O>,因此必+%=4〃，必为=-8,贝|]必=』，同理可得%

斗力

答案第151页，共22页

k-%一♦_%-1_4_4一必％一1

所以,。Xy-x4货_因%+以_A_A2（,+%）2m.

44必先

因此直线8的方程为》=2〃?壮_乃）+'3，

由对称性知，定点在x轴上，

令°得，->_V,C-81（-8）16m16

v1

寸x=-2my3+x3=-2my3+—=-2m——+———=-----+—

4yt41y"乂乂

=lKtZJ+N=4+4但+之］