山东省淄博市沂源县某中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（含答案解析）

山东省淄博市沂源县实验中学2023-2024学年七年级下学期

期中数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列命题：①一个三角形中至少有两个锐角，②如果两个角是内错角，那么这两个

角的平分线互相平行，③如果。为实数，那么|a|>0,真命题是（）

A.①B.②《»C.①②③D.①②

[x-y=3,

2.方程组，'的解是（）

[3x-y=l

fx=l\x-UC•匕'D.W

A.彳B.

卜=-4[y：

3.如图，若NADB=NCBD,则下列结论正确的是（）

K

叶十

A.ZABD=ZBDCB.AB//CD

C./BAD=/BCDD.AD//BC

\mx+ny=6

是二元一次方程组-，的解，则的值为

nx-my=1

A.-2B.-4C.2D.4

5.如图，点C在/AOB的边OA上，用尺规作出了CP〃OB,作图痕迹中，同是

（）

cZ\Fp

0IDB

A.以点C为圆心、OD的长为半径的弧

B.以点C为圆心、DM的长为半径的弧

C.以点E为圆心、DM的长为半径的弧

D.以点E为圆心、OD的长为半径的弧

6.盒中装有4只白球5只黑球，从中任取一只球，取出的球是白球的概率是（）

试卷第1页，共6页

54

A.BD.

20-I9

7.一副三角板如图就置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一

个三角板的斜边上，图中Na的度数为（）

A.45°B.60°C.75°D.85°

8.如图，点。、E分别在线段8C、4C上，连接4）、BE,若44=35。，N8=25。,

ZC=50°,则N1的大小为（）

A.60°B.70°C.75°D.85°

•x-2y=5

9.在解方程组时•，小明由于粗心把系数♦抄错了，得到的解是.小

7x-4y=★

fx=—9

亮把常数★抄错了，得到的解是，则原方程组的正确解是（）

U=T6

\x=1|x=-l\x=1\x=1

A.<B.\C.\D.<

[y=ilv=i[y=TU=2

10.如图，已知直线。〃6,直角三角形顶点C在直线b上，且4=55。，若Nl=58。,

则N2的度数是（）

b

A.35°B.32°C.38°D.42°

II.如图，直线a〃b,直角三角形如图放置，ZDCB=90°,若N1+NB=65。，则N2的

度数为（）

试卷第2页，共6页

「B

A.20°B.25°C.30°D.35°

12.如图，Zl=140°,Z2=100°,则N3=()

C.130°D.140°

二、填空题

(3x-2y=6

13.方程组.,u的解是_____.

[2x+3y=17

13

14.从兀，0,y,百，-1中任取一个数，取到无理数的概率是.

15.如图，在A/8C中，/8=45。，CO平分N/C8交48于点O,过点/作/ELCD

交BC于点、E,交CD于点F,若N8/E=20。，则NC4F的大小为.

16.(1)如图1,尸是J8C中8c边的延长线上一点，4=50。，ZB=70°,则

乙4cp=；

(2)如图2,N/8是A/IBC的外角，若N/CZ)=110。，ZB=50°,则乙4=

(3)如图3,若N3=120。，则Nl-N2=.

试卷第3页，共6页

17-若关于x，y的方程组[a,借x+h,+y力=c.；的解为fx[=一3，则方程组fU5av[X++2"2y2-66G=-0。

的解为__________

三、解答题

18.解二元一次方程方程组:

[x=y-5

⑴[4x+3y=29

[2x+3y=-4

⑵|6xf=l6

19.如图，已知CD是/NC8的平分线，4=70。，Z5=60°,DE//BC.

20.已知一个不透明的口袋中装有7个除颜色外其他都相同的球，其中3个白球，4个

黑球.

(1)从中随机取出1个球是黑球的概率是多少？

(2)若向口袋中再放入5个白球和若干个黑球，从口袋中随机取出1个球是白球的概率是

!，求需放入多少个黑球.

4

21.如图，直线分别与直线ZC、0G交于点8、F,且N1=N2,NZ8厂的角平

分线BE交直线DG于点E,ZBFG的角平分线FC交直线AC于点C.

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(2)若NC=35。，求N8EO的度数.

(2)如果放入10个球，使水面上升到50cm,应放入大球、小球各多少个？

(3)现放入若干个球，使水面升高21cm,且小球个数为偶数个，问有几种可能，请一一

列出(写出结果即可).

23.已知：在“5C和VX7Z中，Z^=40°,Zr+ZZ=95°,将VXXZ如图摆放，使得乙¥

的两条边分别经过点B和点C.

(1)当将VXYZ如图［摆放时，则+

(2)当将VXEZ如图2摆放时，请求出45X+4CY的度数，并说明理由;

试卷第5页，共6页

(3)能否将VX1N摆放到某个位置时，使得8X,CX同时平分/Z8C和NZC8?请直接写

出你的结论：

24.有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种

客车与2辆乙种客车的总载客量为105人.

(1)请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？

(2)某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全

部师生送到指定地点.若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元,

请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用.

25.(1)如图，ABIICD,4=43°/C=33。，求//PC的度数；

(2)如图，AB//CD,当点P在线段BD上移动时，设N8/P=a,4DCP=?，写出N/PC

与a,£之间的数量关系，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，如果点P在射线DM上运动，请你直接写出//PC与a,夕之

间的数量关系.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】根据三角形的内角和定理、平行线的判定、绝对值定义进行判断即可.

【详解】①一个三角形中至少有两个锐角，根据三角形的内角和定理，一个三角形最多有一

个直角或钝角，所以至少有两个锐角.故是真命题；

②如果两个角是内错角，那么这两个角的平分线互相平行，此命题成立需要加上，这两个角

是平行线的内错角，才能成立，是假命题；

③如果。为实数，那么同20,故③为假命题.

故选A.

【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关的定理是解题关键.

2.B

【分析】可以依次把每组数值代入方程组，能使两个方程左右两边相等的即是答案.或直接

解方程组，可得方程组的解.

fx=I[x-y=3,

【详解】A：把"代入，'方程左右两边不相等，故本选项错误；

B:把[=-I代入:一’=：两个方程左右两边都相等，故本选项正确；

=[x-y=3,

C：把力代入]-方程左右两边不相等，故本选项错误；

[y=4[3x-y=\

D：把代入：方程左右两边不相等，故本选项错误；

[y=4[3x-y=[

故选B.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，能使方程组的每一个方程左边两边相等的

未知数的值叫做方程组的解.

3.D

【分析】N/O8和NCB。是直线AD与直线BC被直线BD所截得的一组内错角.根据两条直

线被第三条直线所截，内错角相等，两直线平行对各选项进行判断.

【详解】•:NADB=ZCBD

ADHBC（内错角相等，两直线平行），故D正确.

A.ZABD=NBDC,由已知条件无法证明乙48。=/8DC,故A错误：

答案第1页，共15页

B.ABI/CD,由已知条件无法证明"8//CO,故B错误；

C.NBAD=ZBCD,由已知条件无法证明=故C错误；

故选D.

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定方法是关键.

4.D

[2m+n=8

【分析】先把x=2,y=l代入方程，可得、,,解可求小、”的值，最后把机、〃的值

[2〃-m=l

代入所求代数式计算即可.

[2m+n=8

【详解】解：把x=2,产1代入方程，可得。,

[2n-m=[1

[m=3

解得。，

[n=2

/.2m-n=2x3・2=4.

故选：D.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握加减消元的思想.

5.C

【分析】根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断.

【详解】解：由作图可知作图步骤为：

①以点0为圆心，任意长为半径画弧DM,分别交OA,0B于M,D.

②以点C为圆心，以0M为半径画弧EN,交0A于E.

③以点E为圆心，以DM为半径画弧FG,交弧EN于N.

④过点N作射线CP.

根据同位角相等两直线平行，可得CP〃OB.

故选C.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识,

属于中考常考题型.

6.D

【分析】如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现加种结

果，那么事件A的概率P(J)=依，根据概率的求法，找准两点:①全部情况的总数;②符合条件

答案第2页，共15页

的情况数目，二者的比值就是其发生的概率.

【详解】解：根据题意可得：一袋中装有4个白球，4个黑球，共9个,

4

任意摸出1个，摸到白球的概率是，故选D.

ni

【点睛】本题主要考查概率的求法，解决本题的关键是要熟练掌握概率公式概率P(/)=-.

n

7.C

【分析】过Na顶点〃作平行于直角三角形的斜边，则根据两直线平行内错角相等即

可求得Na的度数.

【详解】如图，设两块三角板分别为△48C、4DEF,DE与BC的交点为M,过点M作

MN//AB

则N8A/N=N8=30°

*：AB〃CD,MN〃AB

：.MN//CD

：./NME=/E=45°

:・/a=NBMN+/NME=3。°+45°=75°

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的两个性质：两直线平行内错角相等，平行于同一条直线的两条

直线平行，作平行线是难点，平行线性质的应用是关键.

8.B

【分析】由题意易得N8EC=105。，然后根据三角形外角的性质可进行求解.

【详解】解：VZB=25°,ZC=50°,

・•・在△BEC中，由三角形内角和可得N3EC=105。，

VZ^=35°,

・・・/T=NBEC-NA=70。；

故选B.

答案第3页，共15页

【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是

解题的关键.

9.C

【分析】通过小明由于粗心把系数•抄错了，得到=通过小亮把常

数★抄错了，得到••(-9)-2x(-16)=5,便可将原方程组复原，再求解即可.

\9x-2y=5

【详解】对于方程组，/工，

[7x_4y=★

1

x=——

小明由于粗心把系数•抄错了，得到的解是3

解得★=11

x=-9

小亮把常数★抄错了，得到的解是

y=-16

.•.•■(-9)-2x(-16)=5

解得・=3

3x-2y=5X=1

二原方程组为,解得

lx-4y=HN=-l

故答案选：C.

【点睛】本题是二元一次方程组错解复原问题.通过错解复原原方程组是本题的关键.

10.B

【分析】依据直线。〃方，即可得到N3=N1=58。，再根据N/C8=90。，即可得到N2=32。.

【详解】解：如图，•.•直线。〃b,

，Z3=Z1=58°,

V4c8=90°

,Z2=32°.

答案第4页，共15页

故选：B.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等.

11.B

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得N3=N1+/B,再根据

两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解.

：a〃b,ZDCB=90°,

，Z2=180°-N3-90。=180o-65°-90°=25°.

故选B.

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性

质，熟记性质并准确识图是解题的关键.

12.B

【分析】根据三角形的外角和等于360。计算即可.

【详解】解：N2、N3是三角形的三个外角，

.•./1+/2+/3=360°,

VZ1=14O°,Z2=100°,

.♦./3=360。-Z1-N2=360°-140°-100°=120°,

故选:B.

【点睛】此题考查了三角形的外角和，解题的关键是熟练掌握三角形的外角和.三角形的外

答案第5页，共15页

角和是360。.

13-1[x==43

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.

3x-2y=6①

【详解】解:

2x+3y=17②'

①x3-②X2得：13-52,

解得：x=4,

把x=4代入①得：12-2y=6,

解得：尸3,

卜二4

则方程组的解为\y=^'

x=4

故答案为:

7=3'

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与

加减消元法.

2

14.-/0.4

5

【分析】根据概率公式为满足要求的事件结果数;事件总的结果数，代值求解即可得到答案.

13

【详解】解：兀，0,丛,T这5个数中，无理数为兀、为共2个，

132

由概率公式可得从兀，0,y,石，T中任取一个数，取到无理数的概率是

..-2

故答案为：—

【点睛】本题考查简单概率公式的运用，读懂题意，分析出满足要求的事件结果数是解决问

题的关键.

15.65。/65度

【分析】此题考查了三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和是180。得出=

是解题的关键.

根据垂直的定义得到乙4尸C=NEFC，根据角平分线的定义得到ZACF=NECF,由三角形

的内角和定理得出NC4F=NCE4,再根据三角形的外角定理即可求解.

答案第6页，共15页

【详解】解：QNELCO交CQ于点产，

:"AFC=/EFC=9。。,

•••。。平分4C8,

:.NACF=NECF,

•・•ZAFC+NCAF+Z^CF=180°,/EFC+ACEA+ZECF=180°,

Z.CAF=/CEA,

・・・NCEA=/B+/BAE,Z5=45°,NBAE=20。,

ZG4E=65°,

N。［=65。,

故答案为：65°.

16.120。/120度60。/60度60。/60度

【分析】本题主要考查了三角形外角的性质：

(1)根据三角形的一个外角的度数等于与它不相邻的两个内角的度数和进行求解即可；

(2)根据三角形的一个外角的度数等于与它不相邻的两个内角的度数和进行求解即可；

(3)先由平角的定义得到/4=60。，再根据三角形的一个外角的度数等于与它不相邻的两

个内角的度数和进行求解即可.

【详解】解：(1)VZz4=50°,4=70。,

・・・NACP=N4+=120。；

故答案为：120。；

(2)VZ^CZ)=110°,Z5=50°,

・・・N力=N4CD—NB=60。，

故答案为：60°；

(3)VZ3=120°,

・,.Z4=180°-Z3=60°,

・・・Zl-Z2=Z4=60°,

故答案为；60°.

|18

x=­

17.\5

y=6

答案第7页，共15页

5I

6,铲+47=q-x=3

,依据题意得:，求解即可.

【分析】将解方程组变形为

5L1

a2--x+b2--y=c2

x=3

【详解】•••关于x,V的方程组的解为

=C2y=2

5,I

将解方程组

5乙1

%,铲+4."=G

3

5L1

-x=3

O36

二关于x,夕的方程组的解为;

5,1

a2--x+b2-y=c2

18

x——

解得5,

y=6

'18

x=—

故答案为：5.

y=6

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，用到了换元法，体现了整体思想.

x=2

18.(1)

y=7

【分析】（1）利用代入消元法，先求出y,再求出X即可.

（2）利用加减消元法，先求出＞,再求出x即可.

【详解】（1）解：）“富

[4x+3y=29②

把①代入②，得4（y-5）+3y=29

解得尸7

把了=7代入①得x=y-5=2

[x=2

所以，原方程组的解是「

[y=7

答案第8页，共15页

2x+3y=-4①

(2)解:

6x-5y=16②

②-①x3得-14y=28

解得尸-2

把尸-2代入①得2x-6=-4

解得x=l

所以，原方程组的解是[=1

口=-2

【点睛】本题考查了利用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，解题关键是能把二元

一次方程组转化成一元一次方程.

19.25°

【分析】先利用三角形的内角和定理求出N/C8,再利用角分线定义和两直线平行，内错

角相等求出

【详解】解：4=70。，4=60。,

二ZACB=]80°-//-N8=180°-70°-60°=50°,

8是/NC8的平分线，

/DCB=/ACD=25°,

又DE\\BC,

：.NEDC=NDCB=25°,

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键

在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

4

20.（l）y

（2）需放入20个黑球

【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量：

（1）根据概率计算公式求解即可；

（2）设需要放入x个黑球，根据概率计算公式可得方程一-=7,解方程即可得到

x+5+3+44

答案.

【详解】（1）解：•.♦袋子中有3个白球，4个黑球，且每个球被取出的概率相同，

答案第9页，共15页

••・从中随机取出1个球是黑球的概率是17r5

(2)解：设需要放入x个黑球，

5+31

由题意得,

x+5+3+44

解得x=20,

经检验，x=20是原方程的解，

答：需放入20个黑球.

21.(1)见解析；(2)145°

【分析】(1)求出/1=/8FG,根据平行线的判定得出NC〃DG,求出NEBF=NBFC,根

据平行线的判定得出即可；

(2)根据平行线的性质得出NC=NCFG=/8£F=35。，再求出答案即可.

【详解】解：(1)证明：•••/1=N2,N2=NBFG,

:—BFG,

：.AC//DG,

：.ZABF=ZBFG,

,：NABF的角平分线BE交直线DG于点E,NBFG的角平分线FC交直线AC于点C,

：.NEBF=gZABF,ZCFB=yNBFG,

：.ZEBF=ZCFB,

：.BE//CF；

(2)'JAC//DG,BE//CF,ZC=35°,

二ZC=ZCFG=35°,

：./CFG=NBEG=35°,

：.ZBED=180°-ZBEG=145°.

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.

22.(1)2,3

(2)大球4个，小球6个

(3)a=0,6=7或q=6,b=3

【分析】(1)设一个小球使水面升高无厘米，一个大球使水面升高y厘米，根据图象提供的

数据建立方程求解即可：

答案第10页，共15页

(2)设应放入大球机个，小球“个，根据题意列二元一次方程组求解即可；

(3)设放入小球“个，大球6个，根据题意列出方程，由小球个数为偶数个列出所有符合

条件的a、b的值即可.

【详解】(1)设一个小球使水面升高x厘米，由图意，得3x=32-26,解得x=2；

设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得2y=32-26,解得：y=3.

所以，放入一个小球水面升高2cm,放入一个大球水面升高3cm,

故答案为：2,3；

w+n=10

(2)设应放入大球个，小球〃个.由题意，得

3m+2n=50-26

答：如果要使水面上升到50cm,应放入大球4个，小球6个；

(3)设放入小球“个，大球6个，

根据题意，得：2a+36=21,

①当〃=0时，6=7；

②当。=3时，6=5；

③当a=6时，6=3；

④当a=9时，b=l.

又•••小球个数为偶数个，

.,.a=0,b=~l或a=6,6=3.

【点睛】本题考查了列二元一次方程组和列一元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程

组及一元一次方程的解法的运用，解答时理解图画含义是解答本题的关键.

23.(1)235

⑵乙18X+N/CY=45°

(3)不能

【分析】(1)要求48X+4CY的度数，只要求出//8C+NC8X+N4C8+N8CY,利用

三角形内角和定理得出48C+入1。8=180。-4=180。-40。=140。；根据三角形内角和定

理，/C8X+/5C¥=/y+/Z=95。，即可求出答案；

答案第11页，共15页

(2)要求48X+4CY的度数，只要求出48C+4C8-(Z8C¥+NCBX)的度数.根

据三角形内角和定理，ACBX+ZBCX=zr+ZZ=95°,4BC+4cB=180。-4=140。，求

解即可；

(3)假设能将VXYZ摆放到某个位置时，使得BX,CX同时平分//8C和//C8,则

ZCBX+ZBCX=ZABX+ZACX=95°,那么448C+//C5=190。，与三角形内角和定理

矛盾，即可证明.

【详解】(1)在“5C中，ZA+ZABC+ZACB=l80°,ZA=40°,

二ZABC+ZACB=180°-40°=140°,

在ASCY中，Zy+ABCX+ACBX=180°,

二Z.BCX+ZCBX=180°-",

在Vy/Z中，Z¥+Ny+NZ=180。，

/.Zy+ZZ=1800-ZAr,

二NCBX+ZBCX=/y+NZ=95。，

ZABX+ZACX=ZABC+ZCBX+ZACB+ABCX=140°+95°=235°；

(2)ZABX+ZACX=45。.理由如下：

VNF+NZ=95。

:.NX=180。-(NY+ZZ)=85°

4&¥+45=180°-4-/^2。-4。8=180°-40°-(180°-85°)=45°；

(3)不能.

假设能将VATZ摆放到某个位置时，使得8X,CX同时平分NN8C和NZC8,

则NCBX+ZBCX=NABX+4CY=95°,那么ZABC+Z/4C8=190°,

与三角形内角和定理矛盾，所以不能.

故答案为：不能.

【点睛】此题考查三角形外角和定理，外角性质，熟练掌握这些性质是