2024年高考数学模拟卷(三)（新高考专用）（含解析）

2024年高考数学模拟卷（三）（新高考专用）

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的）

1.（2023•北京模拟）已知集合4={尤|一1忘:<<1},B={x|0<xW2},贝ljAUB=（）

A.{x|—1«1}B.{x[0<x〈l}

C.{x[0<xW2}D.{x|—1WXW2}

73—i

2.（2023•宁波模拟）设i为虚数单位，若复数z满足；=不，则z的虚部为（）

A.-2B.-1C.1D.2

a

3.（2023•青岛模拟）若{小}为等比数列，则a1<a3<a5^^是“数列{厮}是递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2023•杭州模拟）已知平面向量a=（l,3）,\b\=2,且|“一臼=迎，则（2a+B>（“一6）等于（）

A.1B.14C.V14D.V10

5.（2023•长春模拟）安排包括甲、乙在内的4名大学生去3所不同的学校支教，每名大学生只去一个学校，每

个学校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有（）

A.36种B.30种C.24种D.12种

6.（2023・潮州模拟）过圆/+9=4上一点P作圆。：兀2+丫2=机2（加>0）的两条切线，切点分别为A,B,若/APB

=?则实数机等于（）

A.gB.gC.1D.2

7.已知椭圆C：£+g=l（a>b>0）,尸为其左焦点，直线y=fcv（A>0）与椭圆C交于点A,B,5.AF±AB.^ZABF

=30°,则椭圆C的离心率为（）

8.（2023•滨州模拟）设a=sina，b=&-1,c=ln则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全

部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9.（2023・岳阳模拟）2022年11月28日，平江一益阳高速公路通车运营，湖南省交通运输厅统计了平益高速2023

年1月22日至1月28日的高速公路车流量（单位：万车次），并与2022年12月22日至12月28日比较，得至U同

1

比增长率/同比增长率=该月车流量-上月同期车流量)数据,绘制了如下统计图，则下列结论正确的是()

I上月同期车流量J

35

1及

长

1恭

W1彰

A8％

3

、%

珊

W蜓O%

—5%

-8%

--10%

().-17%

22H23024日25日26日27日28日

□2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量/万车次

一同比增长率

A.2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量的极差为25

B.2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量的中位数为18

C.2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量比2022年12月22日至12月28日高速公路车流量大的

有4天

D.2022年12月25日的高速公路车流量小于20万车次

10.(2023•襄阳模拟)48为随机事件，已知P(A)=0.5,P(B)=0.3,下列结论中正确的是()

A.若A,B为互斥事件，则尸(A+B)=0.8

B.若A,8为互斥事件，则P(A+8)=0.8

C.若A,8是相互独立事件，尸(A+B)=0.65

D.若P(B|A)=0.5,则P(B|A)=0.1

11.(2023・厦门模拟)已知函数兀c),g(x)的定义域都为R,g(x)为奇函数，且/(x)+g(x)=2,式x)+g。-2)=2,

则()

A.八0)=0B.g(l)=0

c-E/(0=0D5g(。=。

i=li=l

12.(2023・黄山模拟)在棱长为2的正四面体ABC。中，过点C且与2。平行的平面a分别与棱4。交于

点、E,凡点。为线段CD上的动点，则下列结论正确的是()

A.ACLEF

B.当E,。分别为线段AB,C。中点时，CF与所成角的余弦值为平

C.线段的最小值为小

D.空间四边形8CFE的周长的最小值为4+小

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.(2023・淮北模拟)[x-的展开式的常数项是.(用数字作答)

2

14.（2023•哈尔滨模拟）在正四棱台ABC。一AiBiCQi中，上、下底面边长分别为3啦，4小,该正四棱台的外

接球的表面积为100兀，则该正四棱台的高为.

15.（2023・淄博模拟）已知函数«x）=sinox一小coss（o>0）的零点是以胃为公差的等差数列.若段）在区间［0,

加上单调递增，则机的最大值为.

16.（2023•蚌埠模拟）已知抛物线C：丁=2度。>0）的焦点为R准线为/,点加在/上，点A,B在C上，若A,

B,尸三点共线，且的外接圆交/于点M,P,△MFB的外接圆交/于点M,Q,则露制

四'解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）（2023・烟台模拟）已知△ABC内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,6cosc+小csin3=a+c.

（1）求角B的大小；

（2）若△ABC为钝角三角形，且a—c=2,求AABC外接圆半径的取值范围.

18.（12分）（2023・淄博模拟）在长方体ABC。一A1B1GD1中，AB=BC=2,过4，G，8三点的平面截去长方体

的一个角后，得到如图所示的几何体ABC。-4GD1,且这个几何体的体积为10.

（1）求棱A3的长；

⑵求平面AiBCi和平面BCiD夹角的余弦值.

3

19.（12分）（2023•厦门模拟）移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域.截至2022年底，

我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家.下图是2018—2022

年移动物联网连接数W（单位：亿户）与年份代码，的散点图，其中年份2018—2022对应的/分别为1-5.

卬/亿户

25

20

15

10

5

0

12345

（1）根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算样本相关系数（精确到0.01）,并推断它们的相关程度；

（2）①假设变量％与变量V的〃对观测数据为（为，?）,（X2,㈤，…，（Xn,yn）,两个变量满足一元线性回归模型

Y=bx+e,（随机误差e^yi-bxi）.请推导：当随机误差平方和Q=£e；取得最小值时，参数b的最

E(e)=0,Q(e)=/Z=1

小二乘估计;

--\Y=bx+e,

②令变量LLf,y=v—w,则变量尤与变量F满足一元线性回归模型，利用①中结论

区e）=0,O（e）=/，

求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数.

£,•一）（叱_取）5_T5__5

附：样本相关系数r=t一.2（叱一.）=76.9,£（号一。（吗一w）=27.2,£叱=60.8,

序，-噂（吗-可"TT

^769^27.7.

4

20.（12分）（2023・邵阳模拟）记S,为等差数列｛斯｝的前〃项和，已知。3=5,%=81,数列｛仇｝满足。向十。2历+

。3优+…+火力”=（"-l）-3,i+1+3.

（1）求数列｛为｝与数列｛仇｝的通项公式；

bn,〃为奇数,

⑵若数列｛0｝满足金1求｛6｝前2〃项和T.

〃为偶数,2n

Cln^n+2

21.（12分）（2023•广州模拟）已知圆B：x2+j2+4.r=0,圆/2：^+/-4%-12=0,一动圆与圆/i和圆尸2同时

内切.

（1）求动圆圆心M的轨迹方程；

⑵设点M的轨迹为曲线C,两条互相垂直的直线/i，b相交于点/2，/i交曲线C于M,N两点，L交圆B于

P,。两点，求与△PQV的面积之和的取值范围.

5

22.（12分）（2023・盐城模拟）已知函数应x）=e'—e"（a+ln尤）.

（1）当。=1时，求人尤）的单调递增区间；

（2）若"r）20恒成立，求a的取值范围.

2024年高考数学模拟卷（三）（新高考专用）

答案解析

（时间：120分钟满分：150分）

一'选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的）

1.答案D

解析因为集合A=｛尤|—IWxWl｝,2=｛x|0＜xW2｝,所以AUB=｛x|-1WXW2｝.

2.答案D

解析由彳=F=蚌书挡=中=2+二则z=2i—1,所以z的虚部为2.

11—1（1—1）（1+1）2

3.答案B

解析若等比数列｛斯｝是递增数列,可得。1＜。3＜。5一定成立；反之,例如数列｛（—此时满足的

但数列｛念｝不是递增数列，所以“的＜。3＜。5”是“数列｛斯｝是递增数列”的必要不充分条件.

4.答案B

解析因为|〃一肝="2—2〃仍+从=10,⑷=15,忸|=2,所以〃•方=2,所以（2〃+方＞（〃一方）=202一办2一〃.。=20

-4-2=14.

6

5.答案B

解析若每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，则不同的安排方法有C3AW=36(种)，若甲、乙安排

在同一所学校，则不同的安排方法有A?=6(种)，

因为甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有36—6=30(种).

6.答案C

解析取圆f+>2=4上任意一点P,过尸作圆。：^2+》2=根2(%>0)的两条切线力，PB,

TTJT

当NAP8=W时，/4尸0=5且04_14巴|OP|=2；

则1tMi=30尸|=1,所以实数加=|。4|=1.

7.答案A

解析设椭圆的右焦点为尸2,连接A3,BF2,故四边形AEB6为平行四边形,

设以尸|=根，/曲8=90°,ZABF=30°,贝U|F8|=2相，/2l=HH=机，

\BF\+\BF2\=2m+m=2a,机=竽，

在△即于2中，由余弦定理得(20)2=停)2+惇)2—2X系X牛Xcos120°,

故e

C巾

a3

8.答案B

解析将9用变量x替代，贝l〃=sinx,Z?=ex—1,c=ln(x+l),x£(0,l),

令/(%)=sinx-ln(x+l),贝1/(x)=cosx—j-

令g(x)=f(x)=cosx——Y，贝U/(x)=—sinx+__/-2,易知g'(x)在(0,1)上单调递减，

JiIJ-(XI1J

且g'(0)=l>0,g'(1)=^—sinl<0,3xoe(O,l),使得g'(xo)=O,

当xG(0,xo)时,g'(x)>0,(x)单调递增；当xd(xo,D时,g'(x)<0,/(x)单调递减.

又/'(0)=0,(l)=cosl—40,(x)>0,...危)在(0,1)上单调递增，

即sinx>ln(x+l),/.a>c,

记力(x)=e*—(sinx+l),x^(0,l),贝!J(x)=ex—cosx>0,・'.%(%)在(0,1)上单调递增,

/z(x)>/z(O)=O,即e*—l>sinx,b>a,

综上，b>d>c.

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全

部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)

9.答案BC

解析对于A,由题图知，2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量的极差为27—3=24,故A错误；

7

对于B,易知2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量的中位数为18,故B正确；

对于C,2023年1月23日，1月26日，1月27日，1月28日这4天的同比增长率均大于0,所以2023年1

月22日至1月28日的高速公路车流量比2022年12月22日至12月28日高速公路车流量大的有4天，故C

正确；

对于D,2023年1月25日的高速公路车流量为18万车次，同比增长率为-10%,设2022年12月25日的高速

1Q-%

公路车流量为X万车次，则1—=—10%,解得尤=20,故D错误.

10.答案ACD

解析对于A,由A,2是互斥事件，故P(A+8)=尸(A)+P(2)=0.5+0.3=0.8,正确.

对于B,由(CdOUduBnJHCB)知，P(A+7B)=1-P(AB)=1-0=1,错误.

对于C,由于A,2是相互独立事件，P(AB)=P(A)P(B),

，P(A+8)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.3-0.5X0.3=0.65,正确.

对于D,P(B|A)=与黑=0.5,则P(4B)=0.25,.,.P(B|T)=尸(8A)P(B)—P(AB)0.3—0.25

P(lj=-PH)=-06=0.1,正确.

11.答案BD

解析对于A,由/(x)+g(x)=2,令x=0可得式0)+g(0)=2,

又g(x)为奇函数，故g(0)=0,八0)=2,故A错误；

对于B,由y(尤)+g(x)=2及y(尤)+g(x—2)=2可得g(x)=g(尤-2),

又g(x)为奇函数，则g(x)=—g(—尤)=g(x—2),令尤=1,则g(l)=—g(—l)=g(—1),故g(l)=g(—1)=0,故B

正确；

n

对于C,由於)+g(x)=2及g(l)=O可得式1)=2,当〃=1时，Z/(0=o不成立，故C错误；

1=1

对于D,由A,B可得g(O)=g⑴=0且g(x)周期为2,故g(i)=O(iGN*),故£g⑺=0，故D正确.

i=l

12.答案ABD

A

解析由题知，BD〃平面CEF,而平面CEFA平面ABD=EB,平面AB。，春、尸质定理可

知,BD//EF,Xj&n

一一一一一一一一一27r7i二0瓯

又ACBD=(AB+8C>8O=ABBr)+BCBO=2X2XcosH+2><2Xcosi=0,

C

EPAC±BD,ikAC±EF,A正确；

连接A。，BQ,易得AQ=BQ=y[^=CF,又AE=EB=1,于是EQLAB(三线合一)，故£。=叱6)2-1=立,

取FD的中点尸，连接P。，PE,由中位线可知PQ=生，

在△AEP中由余弦定理，得EP2=AE2+AP2-2AE-APCOS即"=坐，由CF//PQ,CF与EQ所成角即

8

c,37

2+4~4y[6

为/EQP（或其补角），在△EQP中根据余弦定理，得cos/EQP=-一=¥，B正确;

根据B选项分析，当E,。分别为线段AB,CD的中点时，EQ=殍小,C错误;

由BD〃EF,△A8O为正三角形，则△AEF也是正三角形，

故EF=AE,故四边形BCFE的周长为BC+BE+EF+CF^2+（BE+AE）+CF=4+CF,

当尸为A。的中点，即C凡LA。时，CF有最小值41即空间四边形BCFE的周长的最小值为4+小，D正确.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.答案240

解析因为（X一君6的展开式的通项公式为冗+i=c^6-{—泉）=（—2）仁与*6—于，令6一|左=0,解得左=4.

所以♦君6

的展开式的常数项是75=（-2）4Ct=240.

14.答案1或7

解析设正四棱台的外接球的半径为R,则4位?2=100兀，解得R=5,

连接AC,8。相交于点E,连接AiG,Bid相交于点忆连接EF,

则球心O在直线EF上，连接08,OBi,

如图（1）,当球心。在线段EF上时，则0B=06=R=5,

因为上、下底面边长分别为女口，4^2,所以8E=4,囱尸=3,图⑴

由勾股定理得OF=、OB1—BIF2=4,OE=7OB2_BE2=3,

此时该正四棱台的高为3+4=7；

如图（2）,当球心。在FE的延长线上时，

同理可得OF=\]OB?—BIF2=4,OE=7OB2—BE2=3,

此时该正四棱台的高为4-3=1.

15.答案记

1.=2sinfox,

解析因为为'）=sinox-]5cos5（0>0）,所以7（无）=2|]smcox—2coscox

因为八X）的零点是以E为公差的等差数列，所以函数周期为兀，即普=兀，解得。=2；

IT717rTTTTiTT

当工£[0,刈时，2%一大£一彳，2m—T,因为“x）在区间[0,加上单调递增，所以2根一5W5,解得小W方.

所以机的最大值为万.

16.答案1

解析如图所示，

因为所以MA为△MAP外接圆的直径，MB为外接圆的直径,

所以AP_U,BQ±l,

9

由抛物线的定义得|AP|=|AF|,\BQ\=\BF\,

则ZAMP=ZAMF,所以/MAP=NBMQ,ZAMP=ZMBQ,

所以Rt^AMPsRt^MBQ,则盟=盟，

\MP\-\MQ\_\MP\\MQ\_\MP\\MQ\_

m"lA/q-IB/q~\AP\'\BQ\~\BQ\'\AP\~l-

四'解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.解⑴因为bcosC+y[3csinB=a+c,

由正弦定理可得sinBcosC+小sinCsin5=sinA+sinC=sin(7i—B—Q+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sin

C,

即小sinCsinB=cosBsinC+sinC,

又CG(0,7r),所以sinCWO,故小sin8=cos8+1,即4§sin8—cos8=1,所以2sin(8一袭)=1,

—；c兀(兀兀)7171..7C

又8一1仁(一不~56)>所以(8—4=不即at

ahc

(2)由正弦定理;4=S妊「=2R,得〃=2RsinA,c=27?sinC,

Sill/iSillDSillCz

所以q—c=2R(sinA—sinC)=2RsinA—sin(^—=2R、inA一坐cosA—^sinA)

—27?^jsinA一坐cosA)=2Hsin(A—§=2,①

JTJT2冗

又因为△ABC为钝角三角形，且a—c=2>0,又由(1)知B=],所以

所以A—9伉所以$磋一»仁仕，号)，又由①式可知，R=―JX,

所以Re殍，2).

-

18.解⑴设AiA=/z,由题设/何体钻co~4Gq―腺方体ABCD-451GA忆棱锥4G―10'

即S四边形A5CQX"一；X义%=1°，gP2X2X/i-|xjx2X2X/z=10,解得。=3,

故AiA的长为3.

(2)以点。为坐标原点，分别以D4,DC,。。所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

由已知及⑴可知。(0,0,0),4(2,0,3),5(2,2,0),G(0,2,3),

设平面Ai3G的法向量为〃=Q,v,w),有忆_L48,n±CiB,

_nA\B=Q[2v—3w=0,

其中45=(0,2,-3),CI=(2,0,-3),则有彳9即.。八

[n.OB^O,以一34=0,

10

取讪=2,得平面A/G的一个法向量忆=(3,3,2)；

设平面的法向量为/=(x,y,z),

有〃'±BCi,n'±BD,其中属=(-2,0,3),DB=(2,2,0),

n''BCi=0,—2x+3z=0,

则有＜一即

n'DB=0,.2%+2y=0,

取z=l,得平面5G。的一个法向量〃'=1'一1'O'

22

故〈〃，n'〉|=

|cos网球「用华ii9

,2

则平面AiBCi和平面BC\D夹角的余弦值为五.

19.解(1)由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关.

所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强.

⑵①Q=£e；=£(%—如y=£(＞；—2如=人2£毛2—,

1=1i=li=lz=lz=lz=l

n

要使。取得最小值，当且仅当Bi=l

i=l

Vw

所以y关于x的经验回归方程为y=2.72无，又w=^—=等=12.16,

53

所以当r=7时，则x=7—3=4,iv=y+w=2.72X4+12.16=23.04,

所以预测2024年移动物联网连接数为23.04亿户.

20.解(1)设等差数列｛%｝的公差为d,

11

ct\+2d=5,

,3=5,

即19X8

K=81,•*ci\~~1,d^~2)••cin~~2AZ1.

9的+2~d=81,

=n+1

'•aib\~\-412^2+^3^3+,•,+anbn(H—l)-3+3,①

••・。协1+〃2匕2+3+。〃-必〃-1=(〃-2>3"+3(〃22),②

・••①一②得4滴〃=(2〃一1>3〃，・・・瓦=3〃(〃22).当〃=1时，aibi=3,d=3,符合儿=3〃,

bn=3〃.

(2)“〃=C1+C2+C3H-----\~C2ny依题有，

T2n=(bl+b3~\卜风―1)+(+cT1〃〃J.

。4。6a211a2n+2)

3(1—32")32n+1—3

记T奇="+/?3HFZ72n-l,贝IT奇=—―32=g-

21.解(1)由尸i：^+/+4%=0,得(x+2)2+y2=4,可知尸](一2,0),其半径为2,

由B：，十丁一4%-12=0,得(九一2)2+丁=16,可知/2(2,0),其半径为4.

设动圆半径为r,动圆圆心M到R的距离为〃，到尸2的距离为相，则有

几+2=r,，〃+r=2,

=>〃一根=2或j=>m—n=2,即|〃一利=2=2。，得〃=1,

m+4=r[m+r=4

又下i6l=4=2c>2〃，

所以动圆圆心"的轨迹是以B,巳为焦点的双曲线，由，二次+加，可得加=3,

所以动圆圆心M的轨迹方程为x2-^=l.

⑵①当直线/1的斜率存在时，由题意得上N0,设/1：y=kx—2k,M(xi,yi),N(x2,yi),

y=kx—2k,cc

4M—4廿一3

与双曲线联立j2=>(3—一以2—3=0,则修+%2=—3—左2,%i%2=3—产，

[3—%0,

由于/1交双曲线两个不同的交点，所以，，々4」八/c得合力3且3W0,

[A=16犷+4(3—F)(4F+3)=36A2+36>0,

且1MM=71+