广东省深圳市南山区2023-2024学年九年级下学期一模数学试卷（含答案）

前海学校2023-2024学年第二学期九年级一模数学试卷

一.选择题（每题3分，共30分）

1.一小袋味精的质量标准为"50±0.25克”，那么下列四小袋味精质量符合要求的是（）

A.50.35克B.49.80克C.49.72克D.50.40克

2.2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作

为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000

亿次.将数据3000亿用科学记数法表示为（）

A.3xl08B.3xl09C.3xlO10D.3x10"

3.由一个长方体和一个圆柱组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（）

主视方向A._____________1B.

4.下列计算中，正确的是（）

A.a2-=a5B.（a3）2=a5C.(2a)5=10a5D.a4+a4=as

5.如图，已知直线AB//CD,EG平货ZBEF,Zl=40°,则N2的度数是（）

6.如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O

为圆心，OA,QB长分别为半径，圆心角NO=120。形成的扇面，若。4=3m，OB=1.5m,则阴影部分的面

积为（）

1

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A(0,l),B(4,l),C(5,6),贝lJsinZBAC=()

口屈

A.-D.----------

25

8.如图，点尸在AABC的边AC上,要判断尸sA48,添加一个条件，不正确的是()

Ap4DABAC

A.ZABP=ZCB.ZAPB=ZABCC.—D.

ABACAPCB

9.如图1,点尸从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶

点、B.设点尸运动的路程为x,*=y,图2是点尸运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长

为()

10.皮克定理是格点几何学中的一个重要定理,它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S=N,其中N,

2

L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点.已

知40,30),5(20,10),0(0,0),则AABO内部的格点个数是()

A.266B.270C.271D.285

二.填空题(每题3分，共15分)

11.因式分解：3x2-12=.

2

12.分式方程=2的解是

x—2x

13.如图，在RtAABC中，ZB4c=90。，AB^AC,点。为3c上一点，连接4）.过点5作3E_LAD于点E,

过点C作CF_LAD交AD的延长线于点尸.若BE=4,CF=1,则EF的长度为.

1〃

14.如图，平行于x轴的直线/与反比例函数y=±（x>0）和y=9（尤>0）的图象交于A、3两点，点C是x轴

xx

上任意一点，且AABC的面积为3,则左的值为一.

15.如图，正方形ABCD中，点石是。边上一点，连接AE,过点3作3G_LAE于点G,连接CG并延长交

AD于点/，当AF的最大值是2时，正方形A3CD的边长为.

三.解答题（共55分）

32_4Y+4

17.（7分）先化简，再求值：（上"1）JR钻'其中x=3.

3

18.（8分）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行

了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图.根据图中提供的信

息，解答下列问题：（写出必要的计算过程）

女人数名

3町

0O

0

7O70

8Q

5O

20%

4Q

3O

O28互助迸取

2A5%

1O

0

助等SI

（1）这次调查的学生共有多少名？

（2）请将条形统计图补充完整.

（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生

关注最多的两个主题的概率.（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B,C、D,E）

19.（8分）某校在商场购进A、3两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买6品牌篮球花费

了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买3品牌篮球数量的2倍，已知购买一个3品牌篮球比购买一个A品

牌篮球多花30元.

（1）问购买一个A品牌、一个3品牌的篮球各需多少元？

（2）该校决定再次购进A、3两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮

球售价比第一次购买时提高了8%,3品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两

种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个5品牌篮球？

4

20.(8分)如图，在AABC中，ZC=90°,N54C的平分线交BC于点。，过点。作AD的垂线交互于点E.

(1)请画出AADE的外接圆O(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；

(2)求证：是.O的切线；

(3)过点。作。尸，AE于点尸，延长。尸交।O于点G,若DG=8,EF=2.求O的半径.

21.(9分)用四根一样长的木棍搭成菱形ABCD,P是线段DC上的动点(点尸不与点。和点C重合)，在射

线3P上取一点连接DA/,CM,使NCDM=/CBP.

操作探究一

(1)如图1,调整菱形ABCD,使NA=90。，当点M在菱形ABC。外时，在射线3P上取一点N,使=,

连接QV,则NBMC=,—=

MN

操作探究二

(2)如图2,调整菱形ABCD，使NA=120。，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上取一点N,梗BN=DM,

连接0V,探索MC与的数量关系，并说明理由.

拓展迁移

(3)在菱形ABCD中，ZA=120°,AB=6.若点P在直线CD上，点Af在射线的上，且当

NGDM=ZPBC=45。时，请直接写出的长.

5

22.（10分）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ad（a＞0）型抛物线图象.发现：如图1所示，该

类型图象上任意一点尸到定点厂（0,工）的距离PF,始终等于它到定直线的距离HV（该结论不需

4。4a

要证明）.他们称：定点P为图象的焦点，定直线/为图象的准线，＞=-工叫做抛物线的准线方程.准线/与

4a

y轴的交点为其中原点O为777的中点，切=20尸=」-.例如，抛物线y=2V,其焦点坐标为产（0」），

2a8

准线方程为/:＞=-',其中尸尸=/W,FH=2OF=工.

'84

【基础训练】

（1）请分别直接写出抛物线〉的焦点坐标和准线/的方程：，；

-4----------

【技能训练】

（2）如图2,己知抛物线y=上一点P（x°,%）（毛＞0）到焦点P的距离是它到x轴距离的3倍，求点尸的

坐标；

【能力提升】

（3）如图3,已知抛物线y=的焦点为P,准线方程为/.直线=交y轴于点C,抛物线上动

点尸到x轴的距离为4,到直线机的距离为4，请直接写出4+4的最小值；

【拓展延伸】

该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线＞=混（。＞0）平移至y=a（x-〃）2+上伍＞0）.抛物线

y=a（尤-〃）2+左（。＞0）内有一定点F（Jt,k+—）,直线/过点M{h,k--L）且与x轴平行.当动点P在该抛物线

4a4a

上运动时，点P到直线/的距离电始终等于点P到点尸的距离（该结论不需要证明）.例如：抛物线

y=2（52+3上的动点P到点F（l,y）的距离等于点P到直线/:y=胃的距离.

请阅读上面的材料，探究下题：

C4）如图4,点D（-1,a9是第二象限内一定点，点尸是抛物线了=工1/_1上一动点.当尸O+PD取最小值时,

请求出APOD的面积.

6

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

1.一小袋味精的质量标准为“50土0.25克”，那么下列四小袋味精质量符合要求的是（）

A.50.35克B.49.80克C.49.72克D.50.40克

【解答】解：由题意，知：合格味精的质量应该在（50-0.25）克到（50+0.25）克之间;即49.75克至50.25克之

间，符合要求的是3选项.

故选：B.

2.2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作

为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000

亿次.将数据3000亿用科学记数法表示为（）

A.3x10sB.3xl09C.3xlO10D.3x10"

【解答】解：3000亿=3000x1（）8=3x10”,

故选：D.

3.由一个长方体和一个圆柱组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（）

【解答】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的内部是一个圆.

7

故选：D.

4.下列计算中，正确的是（）

A.a2-a5=a5B.（a3）2=a5C.（2a）5=10a5D.a4+a4=as

【解答】解：A.a2-a3=a5,故A符合题意；

B.（a3）2=a6,故5不符合题意；

C.（2炉=32/,故C不符合题意；

D.a4+a4=2<J4,故£）不符合题意.

故选：A.

5.如图，已知直线AB//CD,EG平分NBEF,4=40。，则N2的度数是（）

:，：

A.70°B.50°C.40°D.140°

【解答】解：,Zl=40°,

ZBEF=180°-Z1=180°-40°=140°,

EG平分ZBEF,

:.NBEG=/FEG=70。,

AB//CD,

.-.Z2=ZBEG=70°.

故选：A.

6.如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O

为圆心，OA,长分别为半径，圆心角NO=120。形成的扇面若。4=3切，OB=L5m,则阴影部分的面

积为（）

旬〔册

冰

心

*、、J

------------------------------------------0

图1图2

8

A.4.25^m2B.3.25%疗C.3/Fm2D.2.25%疗

【解答】解：S阴=S扇形RA-S扇形50c

9

120/rx—

_120;rx9______4

360360

=2.2571m2.

故选：D.

7.如图，在平面直角坐标系xQy中，有三点A(0,l),5(4,1),C(5,6),贝UsinNBAC=()

【解答】解：过。作。。，移交回延长线于。,

A(0,l),B(4,l),C(5,6),

.•.0(5,1),

「.CD=6—1=5,AD=5,

/.AC=50,

•/R“_CD

..sinJ^BAC==,

AC2

故选：C.

9

y八

8.如图，点P在入钻C的边AC上，要判断AABPsA4cB,添加一个条件，不正确的是（）

【解答】解：在AABP和AACB中，ZBAP=ZCAB,

.•.当N4BP=NC时，满足两组角对应相等，可判断AAfiPsMCB,故A正确；

当=时，满足两组角对应相等，可判断AAB~AACB,故3正确；

当丝=4巨时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断AAB~AACB,故C正确；

ABAC

当侬=4C时，其夹角不相等，则不能判断人旬〜44°8,故。不正确；

APBC

故选：D.

9.如图1,点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶

点、B.设点P运动的路程为％殁=丫，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长

【解答】解：如图，令点尸从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O,再从点。沿直线运动到顶点3,

10

A

结合图象可知，当点P在AO上运动时，—=1,

PC

:.PB=PC,AO=2A/3,

又,A45C为等边三角形，

:.ZBAC=60°,AB=AC,

\APB=AAPC(SSS),

:.ZBAO=ZCAO=30°,

当点P在OB上运动时，可知点P到达点3时的路程为4有，

OB=2A/3,BPAO=OB=2y(3,

:.ZBAO^ZABO^30°,

过点。作8_LAB,垂足为O,

:.AD=BD,贝U/ir>=AO-cos30°=3,

AB=AD+BD—6,

即等边三角形ABC的边长为6.

故选：A.

10.皮克定理是格点几何学中的一个重要定理,它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S=N+,L-l,其中N,

2

L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点.已

知4(0,30),5(20,10),0(0,0),则AABO内部的格点个数是()

A.266B.270C.271D.285

【解答】解：由A(0,30)可知边Q4上有31个格点(含点O,A),

直线OB的解析式为y=；x,

.•.当x为小于或等于20的正偶数时y也为整数，即03边上有10个格点(不含端点O,含端点8)；

直线AB的解析式为y=-元+30,

.•.当0<x<20且x为整数时，y均为整数，故边钻上有19个格点(不含端点)，

11

.•.£=31+19+10=60,

AABO的面积为S=L30x20=300,

2

.•.300=N+、60-l,

2

:.N=211.

故选：C.

二.填空题(共5小题)

11.因式分解：3X2-12=_3(x+2)(x-2)

【解答】解：原式=3(胡一4)

=3(x+2)(x—2).

故答案为：3(x+2)(x-2).

12.分式方程^匚=2的解是x=-2.

x-2x—一

【解答】解：—

x—2x

方程两边同乘工(%-2),去分母得4%=2(兀-2),

解这个整式方程得尤=-2,

检验：把％=—2代入%(%-2)w0,

x=-2是分式方程的解.

故答案为：x=-2.

13.如图，在RtAABC中，440=90。，=A。，点。为5。上一点，连接AD.过点5作B£*_L49于点石,

过点。作交4)的延长线于点尸.若BE=4,CF=1,则EF的长度为3.

【解答】解：BELAD,CF±AD,

ZBEA=ZAFC=90°,

:.ZBAE+ZABE=9(r,

44。=90。，

12

ZBAE-^-ZFAC=90°,

:.ZFAC=ZABE,

NBEA=NAFC

在AABE和AC4F中，ZABE=ZFAC,

AB=AC

:.AABE=ACAF(AAS),

:.AF=BE,AE=CF,

BE=4,CF=1,

,\AF=BE=4fAE=CF=1,

,\EF=AF-AE=4-1=3,

故答案为：3.

14.如图，平行于x轴的直线/与反比例函数y=±(x>0)和丫=人(尤>0)的图象交于A、3两点，点C是x轴

XX

上任意一点，且AABC的面积为3,则发的值为7.

【解答】解：如图，连接。4,OB,

直线/与x轴平行，

一S^ABC=SgB0~SmOM-SAAQM

SMOM=-，S2OM=5kI'

/.-\k\--=3,又左＞0,

22

.,.左=7,

故答案为：7.

13

15.如图，正方形ABCD中，点E是8边上一点，连接钻，过点3作3GLAE于点G,连接CG并延长交

AD于点尸，当AF的最大值是2时，正方形ABCD的边长为8.

【解答】解：以"为直径作圆，因为NAGB=90。，所以G点在圆上.

当CF与圆相切时，AF最大.

此时E4=FG,BC=CG.

设正方形的边长为x,贝I」。尸=x-2,FC=2+x,

在RtADFC中，利用勾股定理可得：

X2+(X-2)2=(2+尤＞，

解得x=8.

三.解答题(共7小题)

L1

16.计算：|-V3|-(4-^)°-2sin60O+(-)-1.

L1

【解答】解：|-A/3|-(4sin60°+(-)

14

=/一1一2x3+5

2

=73-1-73+5

=4.

17.先化简，再求值：(上…1)+.—4彳+4,其中工=3.

x-1x-1

【解答】解：(―-x-l)^^*2~*4%+4

x-1x-1

_3-(x+l)(x-l)x-1

-rn(x-2)2

_3-X2+1

=(x-2)2

_(2+x)(2-x)

=(x-2)2

2+x

=------，

2—x

当x=3时，原式=二+^=—5.

2-3

18.某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样

调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图.根据图中提供的信息,

解答下列问题：（写出必要的计算过程）

（1）这次调查的学生共有多少名？

（2）请将条形统计图补充完整.

（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生

关注最多的两个主题的概率.（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B,C、E）

AB名

9町

oco

7o

6g

5o

4o

3o

2o

Io

o

迸

取

【解答】解：（1）56^20%=280（名），

答：这次调查的学生共有280名；

（2）关注“互助”的人数为280x15%=42（名），关注“进取”的人数为280-42-56-28-70=84（名）,

补全条形统计图，如图所示,

15

名

,人数

9电

0

O

0

O

7

Q

6

O

5

2

4

3

0

0

2

0

1

0

:

如下

状图

列树

(3)

开始

/7K

/7K

/Ax

zAx

CD

AB

E

BC

EA

D

AB

E

CD

EA

D

BC

种，

有两

“石”

”和

到“C

好选

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果数

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所以

10

20

2000

花费了

牌篮球

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0元

250

花费了

牌篮球

买A品

，购

篮球

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种品

3两

进A、

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在商

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19.

篮球

品牌