深圳宝安2023年高中数学教师解题比赛(一)试题含答案

深圳市宝安区2023年教师解题比赛(一)

(考试时间：60分钟试卷满分：100分)

单位：姓名：

注意事项：

1．答卷前，请老师们务必将自己所在单位名称，姓名填写在试卷指定位置上。

2．共8道试题题，共计100分。答卷时间60分钟。

3．请在试题下完整书写全部解答过程，错位答题成绩无效。

一、选择题(本题共计3小题，每题8分，合计24分)

1.(单选)“关于x的方程有实数解”的一个充分不必要条件是()

A.B.C.D.

8239

2.(多选)若(2x-3)(x-2)=a0+a1(x-1)+a2(x-1)+a3(x-1)+⋯+a9(x-1),则下列结论正确的是

()

A.a1+a2+⋯+a9=1B.a5=84

a1a2a9

C.++⋯+=1D.a+2a+⋯+9a9=0

2222912

3.(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，如图，M为CC1上的动点，AM⊥平面α．下面说法正确

的是()

32

A.直线AB与平面α所成角的正弦值范围为,

32

B.点M与点C1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大

C.点M为CC1的中点时，若平面α经过点B，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形

D.已知N为DD1中点，当AM+MN的和最小时，M为CC1的中点

二、填空题(本题共计2小题，每题8分，合计16分)

ππ1π

4.已知α∈0,，cosα+=，则cos2α+=．

26312

(x+1)ex,x<0

2

5.已知函数f(x)=(+)2,若关于x的方程fx-afx=0有3个不相等的实数根，则实

x1,x≥0

ex

数a的取值范围是．

三、解答题(本小题共计3小题，每题20分，合计60分)

11111123

6.判断sin10°的值落在下面哪个区间中：①,;②,；③,;④,．请写出判断依

76655466

据和理由．

1n-1

7.已知数列a的前n项和S=-a-+2,(n∈N∗)，数列b满足b=2na．

nnn2nnn

(1)求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；

nn-1∗

(2)设数列cn满足ancn-3=λn-1(λ为非零整数，n∈N)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈

∗

N，都有cn+1>cn．

8.已知､分别为椭圆：的左，右顶点，为椭圆上一动点，，与

直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，，求的

最小值．

深圳市宝安区2023年教师解题比赛(一)

(考试时间：60分钟试卷满分：100分)

单位：姓名：

注意事项：

1．答卷前，请老师们务必将自己所在单位名称，姓名填写在试卷指定位置上。

2．共8道试题题，共计100分。答卷时间60分钟。

3．请在试题下完整书写全部解答过程，错位答题成绩无效。

一、选择题(本题共计3小题，每题8分，合计24分)

1.(单选)“关于x的方程有实数解”的一个充分不必要条件是()

A.B.C.D.

【答案】C．

8239

2.(多选)若(2x-3)(x-2)=a0+a1(x-1)+a2(x-1)+a3(x-1)+⋯+a9(x-1),则下列结论正确的是

()

A.a1+a2+⋯+a9=1B.a5=84

a1a2a9

C.++⋯+=1D.a+2a+⋯+9a9=0

2222912

【详解】令x=1，得a0=-1，令x=2，得a0+a1+a2+⋯+a9=0，所以a1+a2+⋯+a9=1，A正确；

884433

由(2x-3)(x-2)=[2(x-1)-1][(x-1)-1]，所以a5=2×C8×(-1)-C8×(-1)=196，B错误；

33383323339

令x=，得2×-3-2=a0+a1-1+a2-1+a3-1+⋯+a9-1，所以a0

2222222

a1a2a9a1a2a9

+++⋯+=0，又a0=-1，所以++⋯+=1，故C正确；

2222922229

82398

设f(x)=(2x-3)(x-2)=a0+a1(x-1)+a2(x-1)+a3(x-1)+⋯+a9(x-1)，则f(x)=2(x-2)

728

+8(2x-3)(x-2)=a1+2a2(x-1)+3a3(x-1)+⋯+9a9(x-1)，令x=2，得a1+2a2+⋯+9a9=0，

故D正确．【答案】ACD．

3.(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，如图，M为CC1上的动点，AM⊥平面α．下面说法正确

的是()

32

A.直线AB与平面α所成角的正弦值范围为,

32

B.点M与点C1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大

C.点M为CC1的中点时，若平面α经过点B，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形

D.已知N为DD1中点，当AM+MN的和最小时，M为CC1的中点

【详解】对于A选项，以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系

，则点、，设点，平面，则

D-xyzA2,0,0B2,2,0M0,2,a0≤a≤2∵AM⊥αAM为平面α的一个

AB⋅AM42

法向量，且AM=-2,2,a，AB=0,2,0，cos<AB,AM>===

AB⋅AM2×a2+8a2+8

3232

∈,，所以，直线AB与平面α所成角的正弦值范围为,，A选项正确；

3232

对于B选项，当M与C1重合时，连接A1D、BD、A1B、AC，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥平面

ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥CC1，∵四边形ABCD是正方形，则BD⊥AC，∵CC1∩AC=C，

∴BD⊥平面ACC1，∵AC1⊂平面ACC1，∴AC1⊥BD，同理可证AC1⊥A1D，∵A1D∩BD=D，∴AC1

32

⊥平面A1BD，易知△A1BD是边长为22的等边三角形，其面积为S△ABD=×22=23，周长

14

为22×3=62.设E、F、Q、N、G、H为棱A1D1、A1B1、BB1、BC、CD、DD1的中点，易知六边形

EFQNGH是边长为2的正六边形，且平面EFQNGH⎳平面A1BD，正六边形EFQNGH的周长为62，

32

面积为6××2=33，则△A1BD的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，B

4

选项错误；

对于C选项，设平面α交棱A1D1于点Eb,0,2，点M0,2,1，AM=-2,2,1，∵AM⊥平面α，DE⊂平

面α，∴AM⊥DE，即AM⋅DE=-2b+2=0，得b=1，∴E1,0,2，点E为棱A1D1的中点，同理可知，F

1

为棱A1B1的中点，则F2,1,2，EF=1,1,0，而DB=2,2,0，∴EF=DB，∴EF⎳DB且EF≠DB，

2

由空间中两点间的距离公式可得DE=22+02+12=5，BF=2-22+1-22+2-02=5，

∴DE=BF，四边形BDEF为等腰梯形，C选项正确；

对于D选项，将矩形ACC1A1与矩形CC1D1D延展为一个平面，如下图所示：若AM+MN最短，则A、

MCAC221

M、N三点共线，∵CC1⎳DD1，∴===2-2，∵MC=2-2≠CC1，所以点M

NDAD22+22

不是棱CC1的中点，D选项错误【.答案】AC．

二、填空题(本题共计2小题，每题8分，合计16分)

ππ1π

4.已知α∈0,，cosα+=，则cos2α+=．

26312

2π2ππ1π22

【详解】因为sinα++cosα+=1，又cosα+=，所以sinα+=±，又α∈

666363

πππ2ππ22π

0,，所以α+∈,，所以sinα+=，所以sin2α+=

2663636

ππ42π2π7π

2sinα+cosα+=，cos2α+=2cosα+-1=-，所以cos2α+=

66966912

8-728-72

cos2α+π-π=cos2α+πcosπ+sin2α+πsinπ=．【答案】．

6464641818

(x+1)ex,x<0

2

5.已知函数f(x)=(+)2,若关于x的方程fx-afx=0有3个不相等的实数根，则实

x1,x≥0

ex

数a的取值范围是．

(x+1)ex,x<0

xx

【详解】因为f(x)=2,当x<0时fx=x+1⋅e，则fx=x+2⋅e，当x<-2时

(x+1),x≥0

ex

fx<0，当-2<x<0时fx>0，所以fx在-∞,-2上单调递减，在-2,0上单调递增，fx

-2

在x=-2取得极小值，f-2=-e，f-1=0，当x<-1时fx<0，当-1<x<0时fx>0，当x

(x+1)21-x2

→-∞时，fx→0；当x≥0时fx=，则fx=，当0≤x<1时fx>0，当x>1时

exex

fx<0，所以fx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递增，所以fx在x=1取得极大值，f1

4

=，当x>0时fx>0，f0=1，当x→+∞时，fx→0；所以fx的函数图像如下所示：

e

22

方程fx-afx=0，即fx-a⋅fx=0，即fx=0或fx=a，因为方程fx-

afx=0有3个不同的实数根，由图可知fx=0有一个实数根x=-1，所以fx=a有两个实数

1414

根，即y=fx与y=a有两个交点，所以<a<．【答案】,．

e2ee2e

三、解答题(本小题共计3小题，每题20分，合计60分)

11111123

6.判断sin10°的值落在下面哪个区间中：①,;②,；③,;④,．请写出判断依

76655466

据和理由．

112

【详解】因为sin30°=sin10°+20°=sin10°cos20°+cos10°sin20°=，=sin10°1-2sin10°+

22

222331

2sin10°cos10°=sin10°1-2sin10°+2sin10°1-sin10°=3sin10°-4sin10°，设fx=4x-3x+，

2

21

则fsin10°=0，fx=12x-3=32x-12x+1<0对任意的x∈0,恒成立，所以函数fx

2

1111117

在0,上为减函数，且0<sin10°<sin30°=，因为f=>0，f=-<0，由零点存在

226545250

11

性定理可知sin10°∈,【.答案】②．

65

1n-1

7.已知数列a的前n项和S=-a-+2,(n∈N∗)，数列b满足b=2na．

nnn2nnn

(1)求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；

nn-1∗

(2)设数列cn满足ancn-3=λn-1(λ为非零整数，n∈N)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈

∗

N，都有cn+1>cn．

1n-1*1

【详解】(1)在Sn=-an-+2,(n∈N)中，令n=1，得S1=-a1-1+2=a1，解得a1=，当n≥2

22

---

1n21n11n1n

时，Sn-1=-an-1-+2，∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+，∴2an=an-1+，即2an=

222

n-1n

2an-1+1．∵bn=2an，∴bn=bn-1+1，即当