鲁教版初三(上)数学第69讲：图形的旋转(学生版)

图形的旋转____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.掌握图形的旋转和中心对称的概念；2.掌握旋转的性质.一、图形的旋转1．旋转的定义：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做________，点O叫做__________，转动的角称为_________.如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的______________.由于旋转前、后两个图形中，对应点与旋转中心的距离总相等，因此对应点必在以旋转中心为圆心，分别以对应点到旋转中心的距离为半径的一组同心圆上，且对应点与旋转中心的连线所成角相等，都等于旋转角.注意：在旋转过程中保持不动的点是旋转中心，保持不变的量是对应元素．2．旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和旋转方向.3．旋转的性质：（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的连线所成的角度；—整体角度（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应线段相等，对应角相等；——局部角度（4）图形的形状和大小都没有发生变化，即旋转不改变图形的形状和大小.—变换结果.4．简单图形的旋转作图：（1）确定旋转________；（2）确定图形中的____________；（3）将关键点沿指定的方向旋转指定的角度；（4）连结各点，得到原图形旋转后的图形.5．旋转对称图形：一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合的图形.二、中心对称1．中心对称图形与对称中心：在平面内，某一图形绕某一点旋转180°后能与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做_________.举例：平行四边形、圆是中心对称图形.2．中心对称和对称中心：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点，3．中心对称和中心对称图形的关系：它们都是图形关于某点成中心对称，但中心对称图形是指一个图形，表示一个图形的特性；成中心对称是针对两个图形而言，表示两个图形之间的对称关系.二者是相对的.4．中心对称的特征：成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过__________，并且都被__________平分；反之，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成____________.5．对称中心的确定：将其中的两个关键点和它们的对称点的连线作出来，两条连线的交点就是_________.6．关于中心对称的作图：（1）确定对称中心；（2）确定关键点；（3）作关键点的关于对称中心的__________；（4）连结各点，得到所需图形.1.图形的旋转【例1】如图，把一块砖ABCD直立于地面上，然后将其轻轻推倒，在这个过程中A点保持不动，四边形ABCD旋转到AD’C’B’位置。（1）指出在这个过程中的旋转中心，并说出旋转角度是多大？（2）指出图中的对应线段。【解析】因为四边形是由四边形ABCD旋转得到的，A保持不动，因此A是旋转中心，又因为AB、在同一平面上，且AD垂直于地面，对应线段AB与成，因此旋转角度是；（2）中由于点A、B、C、D的对应点分别是A、，找出了对应点，对应线段也就不难找了。解答这类题目，应该看哪个点不动，在旋转过程中，图形中的点都动，哪个点不动，哪个点就是旋转中心，只要找出了对应点，对应线段自然可得，抓住“动”与“不动”。【答案】（1）旋转中心是A，旋转角度是（2）对应线段分别是：CD与，AB与，AD与，BC与练习1.如图，正方形ABCD中，E是正方形内一点，把绕点A按逆时针方向旋转，得到旋转后的三角形并回答：（1）图中有哪些相等的线段和相等的角；（2）哪两个三角形的形状、大小都一样。练习2.（2014山西平遥一模）如图，图中的阴影旋转一个角度后，能互相重合，这个角度可以是（）A.30° B.45° C.120° D.90°2.旋转的简单计算【例2】如图，把直角三角形ABC绕直角顶点顺时针方向旋转90°后到达，延长AB交于D，则的度数是（）A.30° B.60° C.75° D.90°【解析】图形中的每个点都旋转了相同的度数。【答案】D练习3.如图，等边中，D是BC上一点，经过旋转后至的位置，若，那么旋转角是（）A.15° B.45° C.60° D.30°练习4.国旗上的五角星是旋转对称图形，它需要旋转（）后，才能与自身重合。A.36° B.45° C.60° D.72°3.旋转中心的确定【例3】如图，小华同学正在黑板上画绕外一点P旋转的旋转图，当他画完A、B两点旋转后的对应点时，不小心将旋转中心P擦掉了，没有旋转中心P，小明不知道如何画下去，你能帮助小明找到旋转中心P，使他继续完成剩下的图形吗？【解析】因为旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，所以旋转中心是对应点连线垂直平分线的交点。解这种类型的题，弄清楚它是一种什么样的题，联系所学知识，灵活使用所学的知识来解答问题，这个题目是旋转方面的题，应联系旋转的特征等。【答案】先连结，然后分别画线段的垂直平分线，则它们的交点就是。练习5.如图，正方形ABCD中，E在BC上，F在AB上，，按顺时针方向旋转一个角度后成。（1）图中哪一个点是旋转中心，旋转角等于多少？（2）指出图中旋转图形的对应线段和对应角。（3）求的度数。练习6.如图，点C是线段AB上任意一点，分别以AC、BC为边在同侧作等边和等边，连结BD、AE，试找出图中能够通过旋转完全重合的图形，它是绕哪一点旋转？旋转了多少度？4.旋转的综合【例4】如图，和都是等边三角形，B在AD上，试利用旋转说明BE=CD。【解析】因为此题是利用旋转说明，所以应考虑应用旋转的一些特征来解题。把题目中的结论与条件互换，即已知BE=CD，问哪两个三角形可以通过旋转得到，这样的题目就是抓住旋转的特征去寻找思路。【答案】因为和都是等边三角形，所以，AB=AC，AE=AD，所以线段AB绕A点逆时针转后与AC重合，AE绕A点逆时针旋转后与AD重合，即绕A点逆时针旋转后与重合，此时BE与CD重合，所以BE=CD。练习7.如图，O是等边三角形的旋转中心，绕点O进行旋转，在旋转过程中，OE、OF与的边构成的图形面积（）A.等于面积的 B.等于面积的C.等于面积的 D.不确定练习8.（2014山东聊城一模）同学们曾玩过万花筒，它是由三块等长的玻璃片围成，如图所示，是万花筒的一个图案，图中所有的小三角形均是形状、大小相同的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是菱形ABCD以A为中心（）A.顺时针旋转得到的B.顺时针旋转得到的C.逆时针旋转得到的D.逆时针旋转得到的练习9.如图，都是等腰直角三角形，，画出以A为旋转中心，顺时针方向旋转后的三角形。5.中心对称【例5】如图，已知四边形，是关于点成中心对称图形，试判定四边形的形状．并说明理由．ＢＡＢＡＤＯＣ【解析】考查中心对称图形的简单逆用，成中心对称旋转180°与原来图形重合，对应边相等，找到相等的对应边就可以确定图形的形状。【答案】解：是平行四边形，理由如下：四边形是关于点成中心对称图形．．四边形是平行四边形．练习10.已知一个凸四边形的四边的长顺次为，且，试判断这个四边形是否是中心对称图形．练习11.如图，数轴上表示1，的对应点分别为点，点．若点关于点的对称点为点，则点所表示的数是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．6.旋转的作图【例6】如图网格中有一个四边形和两个三角形．（1）请你画出三个图形关于点O的中心对称图形；（2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数；这个整体图形至少旋转多少度与自身重合．OO【解析】主要是确定图形的顶点，找各个顶点关于O的对称点，连接各个顶点，画出图形即可。【答案】解：（1）如图OO（2）4条对称轴，这个整体图形至少旋转．练习12.如图，将四边形ABCD绕点O旋转后，画出旋转图形。练习13.（2014河南新乡一模）如图所示，△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B，C的对应点的位置，以及旋转后的△DEF。练习14.请你用几个基本图形设计一个图案，并用一句话说明你所设计图案的创意（要求至少用一次轴对称，一次平移和一次旋转）。1.在右边四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．③2.如图1为旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，应将它绕中心逆时针方向旋转的度数至少为（）度.A.30o B.45o C.60o D.90oOABCOABCDEFxy23图3图1图23.（2014内蒙古呼和浩特一模）如图2，边有两个边长为4cm的正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心上，那么图中阴影部分的面积是().A.4cm2 B.8cm2 C.16cm2 D.无法确定4.如图3，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的,则这点的坐标是()A.(1,1) B.(0,1) C.(−1,1) D.(2,0)5.点与关于原点对称，则.6.如图4，把三角形△ABC绕着点C顺时针旋转350，得到△A＇B＇C，A＇B＇交AC于点D，若∠A＇DC=900，则∠A的度数是__________。7.如图5，△ABC中,ACB=90,B=30,BC=6,三角板绕C逆时针旋转,当点的对应点A'落在边上时即停止转动,则BM的长为_________.MB'A'MB'A'CABACBD图4 图5 图68.如图6，△ABC中,已知∠C=90°,∠B=50°,点D在边BC上,BD=2CD.把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0<m<180）度后,如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上,那么m=_______.9.如图7，在直角坐标系中,点P的坐标为(3,4),将OP绕原点O逆时针旋转90°得到线段OP′,P′的坐标为______.图710.（2014吉林长春一中一模）如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，求线段B′E的长度？__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．下图可以看成正方形ABCD绕点O分别最小旋转（）前后的图形共同组成的。A．30°，45° B．60°，45° C．45°，90° D．22．5°，67．5°2．如图所示的图案中，图（2），（3），（4）与图（1）的关系为（）A．平移 B．轴对称 C．平移且转移 D．其他3．下列各图不能由旋转作出的是（）4．如图所示，其中能用旋转作出的共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．观察如图所示的五个图案（不计颜色），其中可以看成由“基本图案”通过旋转形成的共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6.下列图形中，既是轴对称图形，又是旋转对称图形的是（）A.等腰三角形 B.平行四边形C.等边三角形 D.三角形7.如图，四边形OACB绕点O旋转到四边形DOEF，在这个旋转过程中，旋转中心是_________，旋转角是_________，AO与DO的关系是_______，与的关系是___________。8.如图，，则可以看作是绕点_________按________方向旋转了__________度而得到的。9.如图，绕点C旋转后得到，则的对应角是___________，________，AB=_________，AC=_________。10.如图，是等腰三角形，，延长BC到D，连接AD，作于E，交AC于F，在这个图形中，哪两个三角形可以看成是一个三角形沿某一点旋转而得到的？试说明理由。11．下图可以看成由一个三角形旋转而成的，它一共旋转_________次，分别旋转________而形成的。12．如图所示，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，使AB落到AC上，则P落到点处。如果AP=1，则=___________．13．如图所示，△ABC和△DEF是等边三角形，且边长相等．（1）这个图案可以看成△ABC绕它三边垂直