拉氏变换与逆变换

拉普拉斯(Laplace)变换2024/6/91复数与复变函数1.复数(σ,ω为实数)2.复变函数3.复数的代数表示法4.复数的模与幅角2024/6/92设函数若满足：（1）当时，（2）当时，实函数的积分在s的某一域内收敛，则定义的拉普拉斯变换为

一、拉普拉斯变换的定义：（s=

+jω）

称为的象函数；称为的原函数.

2024/6/93拉氏逆变换拉氏变换与拉氏逆变换一一对应2024/6/942010-10-751、单位脉冲函数δ(t)二、常用函数的拉氏变换2024/6/952、单位阶跃函数1(t)2024/6/962010-10-773、单位斜坡（速度）函数2024/6/972010-10-784、单位抛物线（加速度）函数2024/6/985、幂函数：f(t)=tn6、指数函数：

f(t)=eat

(a为常数)2024/6/997、正弦函数和余弦函数2024/6/910三、拉氏变换的基本性质1、线性性质（叠加原理）设f1(t)和f2(t)是两个任意时间函数，它们的象函数分别为F1(s)

和F2(s)

，a和b是两个任意实常数，L[af1(t)+bf2(t)]=aL

[f1(t)]+bL[f2(t)]=aF1(s)

+bF2(s)

L-1[aF1(s)

+bF2(s)]=af1(t)+bf2(t)2024/6/911例：求函数的象函数。f(t)=K(1-e-at)解：L[K(1-e-at)]=L[K]-L[Ke-at]

根据拉氏变换的线性性质，求函数乘以常数的象函数以及求几个函数相加减的结果的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。2024/6/9122、微分性质 函数f(t)的象函数F(s)与其导数的象函数之间有如下关系:零初始条件下：2024/6/913解：例：利用导数性质求余弦函数的象函数。2024/6/9143、积分性质若L[f(t)]=F(s),且各重积分在t=0时的值均为0，则 n重积分2024/6/9154、延迟性质

若L[f(t)]=F(s)，则例：求e-b(t-a)的拉氏变换，a、b为任意实数。5、位移性质若L[f(t)]=F(s)，则F(s-a)=L[f(t)eat]2024/6/9166、初值定理7、终值定理条件：sF(s)的所有极点都在[S]左半平面2024/6/917

2）卷积定理设则3）卷积定理的应用线性系统中如果xo(t)是任意激励下的零状态响应，xi(t)是任意激励，g(t)是系统的脉冲响应，则：8、卷积定理

1）两个时域函数的卷积2024/6/918常用函数拉氏变换表2024/6/9191）A(s)=0无重根，即F(s)只有不相同的极点四、拉氏逆变换的部分分式法，按代数定理将F(s)展开为部分分式：分三种情况：2）A(s)=0有一个k重根P1

，即F(s)有k重极点3）A(s)=0有一对共轭复根2024/6/9201).A(s)=0无重根，即F(s)只有不相同的极点四、拉氏逆变换的部分分式法，2024/6/921例：求的拉氏逆变换。解：求2024/6/922解：将方程两边取拉氏变换，得

整理得

故

例：解方程,其中应用拉氏变换求解线性常系数微分方程2024/6/9232）A(s)=0有一个k重根P1

，即F(s)