人教版八年级上数学教学案

第一课时三角形的边

一、新课导入

1、三角形是我们早已熟悉的图形，你能列举出日常生活中有什么物体是三角形吗？

2、对于三角形，你了解了哪些方面的知识？你能画一个三角形吗？

二、学习目标

1、三角形的三边关系。

2、用三边关系判断三条线段能否组成三角形。

三、研读课本

认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（-）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

研读一、认真阅读课本（P63至P64“探究”前，时间：5分钟）

要求：知道三角形的定义；会用符号表示三角形，了解按边角关系对三角形进行分类。一边阅读一边完

成检测一。

研读二、认真阅读课本（P64“探究”，时间：3分钟）

要求：思考“探究”中的问题，理解三角形两边的和大于第三边；

游戏：用棍子摆三角形。

检测练习二、6、在三角形ABC中，K

AB+BCACAC+BCABAB+ACBC

7、假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C,第.\

有路线。路线最近，根据是：，于是有：（得出的结论）。r

8、以下以下长度的三条线段能否构成三角形，为什么？B

（1）3、4、8⑵5、6,11⑶5、6、10

研读三、认真阅读课本认真看课本（P64例题，时间：5分钟）

要求：门）、注意例题的格式和步骤，思考（2）中为什么要分情况讨论。

（2）、对这例题的解法你还有哪些不理解的？

（3）、一边阅读例题一边完成检测练习三.

检测练习三、

9、一个等腰三角形的周长为28cm.①腰长是底边长的3倍，求各边的长；

②其中一边的长为6cm,求其它两边的长.（要有完整的过程啊!）

解：

（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？

四、归纳小结

（-）这节课我们学到了什么？（-）你认为应该注意什么问题？

五、强化训练

[A]组

1、以下说法正确的选项是

（1）等边三角形是等腰三角形

（2）三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形

（3）三角形的两边之差大于第三边

（4）三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

其中正确的选项是（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

2、一个不等边三角形有两边分别是3、5另一边可能是（）

A、1B、2C、3D、4

3、以下长度的各边能组成三角形的是（）

A^3cm、12cm>8cmB、6cm>8cm>15cm、3cm>5cmD、6.3cm>6.3cm>12cm

[B]组

4、等腰三角形的一边长等于4,另一边长等于9,求这个三角形的周长。

5、三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.那么第三边的长取值范围是多少？

[C]组（共小1-2题）

6、三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.那么第三边的长取值范围是。

小方有两根长度分别为5cm、8cm的游戏棒，他想再找一根，使这三根游戏棒首尾相连能搭成一个三角

形.

（1）你能帮小方想出第三根游戏棒的长度吗？（长度为正整数）

（2）想一想：如果两边，那么构成三角形的第三边的条件是什么？

（3）如果第三边的长为偶数，那么第三条又有几种情况？

第二课时三角形的高、中线与角平分线（1）

一、新课导入

你还记得“过直线外一点画直线的垂线”怎么画吗？

二、学习目标

1、了解三角形的高的概念；

2、会用工具准确画出三角形的高。

三、研读课本

认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（-）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

1、定义：从三角形的一个向它的所在的直线作，和

之间的线段，叫做三角形的高。

2、几何语言（图1）

•••AD是△ABC的高R^—....L

.♦・八。，8（：于点口（或N=N=90°）图D

逆向：

•••AD_LBC于点D（或N=N=90°）

AD是4ABC中BC边上的高

3、请画出以下三角形的高

第三课时三角形的高、中线与角平分线（2）

一、新课导入

请画出线段AB的中点。A-------------------------

二、学习目标A

1、了解三角形的中线的概念；

2、会用工具准确画出三角形的中线。

三、研读课本

认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（-）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

（1）定义：连结三角形一个和它对边的线段，叫做三角形的中线。

⑵几何语言（右图）

•••AD是4ABC的中线

逆向：

AD是4ABC的中线

（3）画出以下三角形的中线

（三）在研侯哄:程中，你认为魂嘛些不懂的问题?

四、归纳今食\

（T雄课我们当判了什么？X.

（-）祕认为应该注义什么问题？L、

⑴第四课时三角形的高、中线与角平分线（3）

一、新课导入

请画出NAOB的角平分线。

二、学习目标

1、了解三角形的角平分线的概念；

2、会用工具准确画出三角形的角平分线。

三、研读课本

认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（一）划出你认为重点的语句。

（-）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

（1）定义：三角形一个内角的与它的相交，这个角与

之间的线段，叫做三角形的角平分线。

[2）几何语言（右图）：

•••AD是4ABC的角平分线

Z=Z

逆向：

z=z

AD是4ABC的角平分线图3

（3）画出以下三角形的角平分线

思考：三角脚峰平分线与一下网角平分线有何

（三）在研*的过胡，你认为有哪些溢竣问题？

四、归纳夕青\

（-）这♦课我们学至什么?1=1-----------、

（二）你认为碌该注意什么问题?⑵⑶

第五课时三角形的稳定性（角）

一、新课导入

盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅

常常先在窗框上斜钉一根木条（如右图），为什么

这样做呢？

二、学习目标

1、了解三角形的稳定性，四边形没有稳定性，

2、理解稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用。□

三、研读课本

认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（-）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

活动1、自主探究

1、如图（1）,用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

2、如图（2）,用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

3、如图（3）,在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然

后扭动它，它的形状会改变吗？

活动2、议一议

从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流。

三角形木架形状改变，四边形木架形状改变，这就是说，三角形具有性，四边形不具

有性。

斜钉一根木条的四边形木架的形状改变，原因是四边形变成了两个三角形，这样就利

用了三角形的。

活动3、看一看，想一想

三角形的稳定性和四角形的不稳定性在生活中都有广泛应用。

你知道课本图7.1-8和图7.1-9中的例子哪些是利用三角形的稳定性？哪些是利用四

角形的不稳定性？你能再举一些例子吗？

（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？八\

四、归纳小结/

（-）这节课我们学到了什么？!'

（-）你认为应该注意什么问题？、,八产/

第六课时三角形的内角\[4

一、新课导入活动挂架

1、平行线有哪些性质？2、1平角=°；3、三角形的内角和等于

二、学习目标

1、了解三角形的稳定性，四边形没有稳定性，2、理解稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用。

三、研读课本

认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（一）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

活动1、自主探究

在事先准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码[如图1）,并将它的内角剪下拼合在一起，看看

得到什么结果。

（图1）（图2）

活动2、议一议

从上面的操作过程你能得出什么结论？与同伴交流。

把一个三角形其中的两个角剪下拼在第三个角的顶点处(如图2、图3),形成了一个角。说明在

A4BC中，。从中得出：

三角形内角和定理。

活动3、想一想

1、如果我们不用剪、拼方法，可不可以用推理论证的方法来说明三角形内角和定理的正确性呢？

2、：.求证：.

证明：如右图，过点A作直线DE,

使DE//BC

因为DE//BC,

所以NB=N〔)

同理NC=N

因为/BAC、NDAB、/EAC组成角，

所以/BAC+NDAB+/EAC=()

所以/BAC+NB+NC=()

说明：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线通第甩虚线表示。

3、思考：在图2中，CM与A48C的边AB有什么关系？你能从中想出其他证明三角形内角和定理

的方法吗？

活动4、例题

如右以下图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80。方向，C岛在B岛的北偏西40°

方向，从C岛看A、B两岛的视角NAC8是多少度？

(先独立解决，再小组合作，教师点评)

解：/CBA=-=80°-50°=30°

由AD//BE,可得：+=180°

所以NABE=180°-=180°-80°=100°

ZABC=-=100°-40°=60°

在ZABC中，ZABC=180°--=180°-60°-30°=90°

答:O

想一想：你还有其他解法吗？

(三)在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？

四、归纳小结

(一)这节课我们学到了什么？(-)你认为应该注意什么问题？

第七课时三角形的外角

一、新课导入

1、三角形的内角和定理：

2、填空：

(1)在AABC中，ZA=30°,ZB=50°,那么NC=。

(2)在直角AABC中，其中一个锐角是50°,那么另一个锐角等于。

二、学习目标

1、探索并了解三角形的外角的两条性质

2、利用学过的定理论证这些性质

3、能利用三角形的外角性质解决实际问题

三、研读课本

认真阅读课本的内容，完成以下练习。

(一)划出你认为重点的语句。

(-)完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

活动1、做一做，把A48c的一边AB延长到D,ZACD,它

不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？。

定义：三角形的一边与组成的角，叫做三角形的外角。

想一想：三角形的外角有几个？.每个顶点

处有个外角，但它们是。

活动2、议一议

在图1中，NACO与A48C的内角有^1一么

关系？

(1)ZACD=+：

(2)ZACDZA,ZACDZB(填“<”、

再画A48C的其他的外角试一试，还会得到这些结论吗？

同学用几何语言表达这个结论：

三角形的一个外角等于两个内角的；

三角形的一个外角大于任何一个内角。

你能用学过的定理说明这些定理的成立吗？

：NACD是A4BC的外角

求证：“)ZACO=ZA+NB(2)ZACD>ZA,ZACD>ZB

证明：(1)因为NA+NB+/ACB=180°().

所以/A+NB=.

又因为NACB+NACD=180°,所以NACD=.

所以NACD=N().

(2)由(1)的证明结果可以得出：

ZACD>ZA,ZACD>ZB

想一想：你还可以结合右图形给予说明吗？

活动3、例题

如右图，Nl、N2、N3是三角形ABC的不同三个外角，那么它们的和是多少？

解：因为N1=NABC+NACB,

N2=,Z3=()

所以Z1+Z2+Z3

=2(++)/

因为++=180°,/

所以Z1+Z2+Z3=2x180°=360°B

(三)在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？

四、归纳小结

(-)这节课我们学到了什么？(二)你认为应该注意什么问题？

多边形及其内角和

第一课时

(一)引入

你能从图7.3—1中找出几个由一些线段围成的图形吗？

（二）知识点

我们学过三角形。类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（polygon）。

多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形。如果一

个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。如图7.3—2,螺母底面的边缘可以设计为六

边形，也可以设计为八边形。

多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。图7.3—3中的/A、/B、ZC.ND、/E是五边形ABCDE

的5个内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。图7.3-4中的/I是五边形

ABCDE的一个外角。

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagonal）,图7.3—5中，AC、AD

是五边形ABCDE的两条对角线。

特别提醒：n边形（n23）从一个顶点可引出（n-3）条对角线，把n边形分割成（n—2）个三角

形，共有对角线Mn-3）条。

2

如图7.3—6（1）,画出四边形ABCD的任何一条边（例

如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这

样的四边形叫做凸四边形。而图7.3—6（2）中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD（或BC）

所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧。类似地，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整

个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。本节只讨论凸多边形。

我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等。像正方形那样，各个角都相等，各条边都相等

的多边形叫做正多边形。图7.3-7是正多边形的一些例子。

特别提醒：（1）正多边形必须两个条件同时具备，①各内角都相等；②各边都相等。例如：矩形

各个内角都相等，它就不是正四边形。再如：菱形各边都相等，它却不是正四边形。

（三）练习

一起学习课本86页的练习

（四）小结

引导学生总结本节的知识点。

第二课时

（一）思考

三角形的内角和等于180°。正方形、长方形的内角和都等于360°,其他四边形的内角和等于多

少？

（-）探究

任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和。再画几个四边形，量一量，算一算。你

能得出什么结论?能否利用三角形内角和等于180。得出这个结论？

如图7.3—8,画出任意一个四边形的一条对角线，都能将这个四边形分为两个三角形。这样，任意

一个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即360°。

从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗?观察图7.3—9,请填空:

从五边形的一个顶点出发，可以引条对角线，它们将五边形分为个三角形，五边形

的内角和等于180。X

从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，它们将六边形分为个三角形，六边形

的内角和等于180°Xo

通过以上问题，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？

一般地，怎样求n边形的内角和呢?请填空：

从n边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将囱7「an

囹o-o

边形分为个三角形，n边形的内角和等于180°X

总结：过n边形的一个顶点可以做(n—3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形，每个三角

形内角和180°。

所以n边形内角和(n-2)X180°。

把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形内角和公式吗？

方法2：如图：7—3—3过n边形内任意一点与n边形各顶点连接，可得n个三角形，其内角和n

X180°。再减去以0为顶点的周角。

即得n边形内角和n•180°-360°»

得出了多边形内角和公式：n边形内角和等于(n-2)-180°„

(三)例题

例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

解：如图7.3—10,四边形AB如中,

ZA+ZC=180°。

因为/A+/B+NC+ND=(4—2)X180°=360°,

所以NB+ND=360°-(ZA+ZC)

=360°-180°=180°。

这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。

例2如图7.3—11,在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六

边形的外角和等于多少？

分析：考虑以下问题：

(1)任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？

(2)六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少?

(3)上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？

联系这些问题，考虑外角和的求法。

解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角，都等于180°。6个外角连同它们各自相邻的内

角，共有12个角。这些角的总和等于6X180°。

这个总和就是六边形的外角和加上内角和。所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于6X

180°-(6-2)X180°=2X180°=360°。

(四)探究

如果将例2中六边形换为n边形(n的值是不小于3的任意整数)，可以得到同样结果吗？

思路：(用计算的方法)

设n边形的每一个内角为Nl,Z2,N3,……，Zn,其相邻的];外

角分别为180°-Z1,180°-Z2,180°-Z3,-180°-Nn。外://角

和为(180°-Z1)+(180°-Z2)H----1-(1800-Zn)=nX180°,——》/

(Z1+Z2+Z3+...+Nn)=nX180°—(n-2)X180°=360°

注意：以上各推导方法表达将多边形问题转化为三角形问题来解图7.3-12决

的根本思想。

由上面的探究可以得到：

多边形的外角和等于360°。

你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°„

如图7.3—12,从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A,然后转向

出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。由于走了一周，所转的各个角的和

等于一个周角，所以多边形的外角和等于360。。

(五)练习

一起学习课本89页的练习

(六)小结

引导学生总结本节所学的知识点

12.1全等三角形

学习目标

1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；

2.知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；

3.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边.

学习重点

全等三角形的性质.

学习难点

找全等三角形的对应边、对应角.

学习方法：自主学习与小组合作探究

学习过程：

一.获取概念：

阅读教材P90页内容，完成以下问题：

(1)能够完全重合的两个图形叫做全等形，那么叫做全等三角形。

(2)全等三角形的对应顶点：、对应角：、对应边:。

(3〕“全等”符号：读作“全等于”

(4)全等三角形的性质：

(5)如以下图：这两个三角形是完全重合的，那么^ABCAABCL点A与A点是对应顶点；点B与

点是对应顶点;点C与点是对应顶点.对应边：

对应角：。

二观察与思考：

1.将AABC沿直线BC平移得aDEF；将4ABC沿BC翻折180°得到ADBC；将AABC旋转180°得4AED.

议一议：各图中的两个三角形全等吗？

即^^DEF,AABC^,AABC^.(书写时对应顶点字母写在对应的位置上)

启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，•但、都没有改变，所以平移、翻折、旋

转前后的图形，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.

2.说出乙、丙图中两个全等三角形的对应元素。

三、自学检测

1、如图1,AOCA^AOBD,C和B,A和D是对应顶点，•那么这两个三角形中相等的边。相等的角。

2如图2,AABE^AACD,ZADE=ZAED,ZB=ZC,指出其它的对应角

对应边：ABAEBE

3.如图3,AABC^AADE,试找出对应边

对应角.

4.如图4,△力BE,AB与DB,AC与DE是对应边，：=43°,NA=30°,求NBED。

解：VZA+ZB+ZBCA=180(),N3=43°,NA=30°()

NBCA=

VAABCs\DBE,()

ZBED=ZBCA=()

5.完成教材P91练习1、2

四、评价反思概括总结

找两个全等三角形的对应元素常用方法有：

1.两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、翻转、旋转的方法。

2.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，•然后再依据的对应元素找出其余的对应

元素.

3.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边.

4.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角.

五.作业

12.2三角形全等的判定（一）

学习目标B

1.三角形全等的“边角边”的条件.

2.经历探索三角形全等条件的过程，体会利

作、•归纳获得数学结论的过程.

3.掌握三角形全等的“SAS”条件.

4.能运用“SAS”证明简单的三角形全等

学习重点：三角形全等的条件.

学习难点：寻求三角形全等的条件.

学习方法：自主学习与小组合作探究

学习过程：

一、：温故知新

1.怎样的两个三角形是全等三角形？2.全等三角形的性质？

二、读一读，想一想，画一画，议一议

1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），•画出的两个三角形一定全等吗？

2.给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？

阅读：P92操作

总结：通过我们画图可以发现只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），•画出的两个三

角形不一定全等；给出两个条件画出的两个三角形也不一定全等，按这些条件画出的三角形都不能保证

一定全等.

给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？

归纳：有四种可能.即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边.

在刚刚的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三

种情况.

3、如图2,AC、BD相交于0,AO、BO、CO、DO的长度如图所标，AAB0

和ACDO是否能完全重合呢？不难看出，这两个三角形有三对元素是相

等的：

AO=CO,

ZA0B=ZC0I）,

BO=DO.

如果把△OAB绕着0点顺时针方向旋转，因为OA=OC,所以可以使0A与0C重合；又因为NA0B=

ZCOD,OB=OD,所以点B与点D重合.这样4ABO与aCDO就完全重合.

由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等.而且，

从上面的例子可以引起我们猜测：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角

形全等.

4.上述猜测是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：

（1）读句画图：①画/DAE=45°,②在AD、AE上分别取B、C,使AB=3.1cm,AC=2.8cm.③

连结BC,得△ABC.④按上述画法再画一个△△'B'C.

（2）如果把4A'B'C剪下来放到AABC上，想一想B'C与AABC是否能够完全重合？

5.“边角边”公理.

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）

书写格式：在△ABC和△AIBICI中

AAABC^AAiBiC,（SAS）

用上面的规律可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等.所

以“SAS”是证明三角形全等的一个依据..

三、小组合作学习

（1）如图3,AD〃BC,AD=CB,要用边角边公理证明AABC名ZkCDA,需要三个条件，这三个条件

中，已具有两个条件，一是AD=CB（）,二是；还需要一个条件（这个条

件可以证得吗？）.

（2）如图4,AB=AC,AD=AE,Z1-Z2,要用边角边公理证明aABD丝ACE,需要满足的三个条

件中，己具有两个条件：一还需要一个条件（这个条件可

以证得吗？）.

四、阅读例题：P94例1例2

五、评价反思概括总结：

1.根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件.

2.找使结论成立所需条件，要充分利用条件（包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角

等），并要善于运用学过的定义、公理、定理.

六、作业：

七、深化提高

1.：如图，AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点.

求证：△ABEgZXACF.

2.：点A、F、E、C在同一条直线上，AF=CE,BE〃DF,BE=DF.

求证：Z\ABE丝ACDF.

3、：AD〃BC,AD=CB,AE=CF（图3）.

求证：△ADFZ^CBE

§12.2三角形全等的判定（二）

学习目标

1.掌握三角形全等的“角边角”条件.

2.能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证（第2题）明问题.

学习重点

两角一边的三角形全等探究.

学习难点

灵活运用三角形全等条件证明.

学习方法：自主学习与小组合作探究

学习过程：

一.温故知新

1.（1）三角形中三个元素，包括哪几种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边.

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

二种：①定义;

②“SAS”公理____________________________________________________

2.在三角形中，三个元素的四种情况中，我们研究了二种，今天我们接着探究两角一边是否可以

判断两三角形全等呢？

3.三角形中两角一边有几种可能？

①.两角和它们的夹边.

②.两角和其中一角的对边.

二、阅读教材P95-96

判定全等三角形的第二种方法“角边角”定理

两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

书写格式：在aABC和△AiBCi中

AAABC^AAiBiC](ASA)

三、小组合作学习

1.如右图，I)在AB上，E在AC上，AB=AC,NB=/C.

求证：AD=AE.

证明：在4和^中

.'.△ADC^A_____________()

，AD=AE.()

2.观察以下图中的两个三角形，它们全等吗？请说明理由.

11、如图：在aABC和aDBC中，Nl=/2,N3=N4,P是BC上任一点。

求证：PA=PD。

证明：在AABC和aDBC中

Z1=Z2()

：BC=BC()

Z3=Z4()

△ABC^ADBC()

AAB=()

在AABP和△DBP中

AB=()

VZ1=N2()

BP=BP()

AAABP^ADBP()

A=_____()

四、阅读例题：

P96例3例4

五.评价反思概括总结

至此，我们有三种判定三角形全等的方法：

1.全等三角形的定义

2.判定定理：边角边(SAS)角边角(ASA)

推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径.

六、作业：

§12.2三角形全等的判定(三)

学习目标

1.三角形全等的“边边边”的条件.

2.了解三角形的稳定性.

3.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程.

学习重点

三角形全等的条件.

学习难点

寻求三角形全等的条件.

学习方法：自主学习与小组合作探究

学习过程：

--回忆思考：

1.(1)三角形中三个元素，包括哪几种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边.

(2)到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法

种？各是什么？

三种：①定义

②“SAS”公理—

③“ASA”定理_________________________________________________

二、新课

1.回忆前面研究过的全等三角形.

△ABC^AAZB'C',找出其中相等的边与角.

图中相等的边是：AB=A'B、BC=B,C'、AC=A'C.

相等的角是：NA=NA'、ZB=ZBz、ZC=ZCz.

2.三角形AABC你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？

阅读教材P97-98

归纳：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.

书写格式：在△ABC和△AIBIG中

.,.△ABC^AAiBiCt(SSS)

3.小组合作学习

(1)如图，ZXABC是一个钢架，AB=AC,AD是连结点A与BC中点D

的支架.

求证：ZXABD畛aACD.

证明：:D是BC的中点

在aABD和4ACD中

，△丝△().

(2)如图，AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB.要用“边边边”证明aABC丝△FDE,

除了中的AC=FE,BC=DE以外，还应该有一个条件：,怎样才能得到这个条件？

(3)如图,AB=AC,AD是BC边上的中线P是AD的一点，求证：PB=PC

4.三角形的稳定性：生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变

的，•而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.所

以日常生活中常利用三角形做支架.就是利用三角形的稳定性.•例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道

支架等.〔阅读P98)

三、阅读教材例题：

P98-P98例5

四.自学检测课本P99练习.1.2

五.评价反思概括总结

1.本节课我们探索得到了三角形全等的条件，又•发现了证明三角形全等的一个规律SSS.并利用它

可以证明简单的三角形全等问题.

2.到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

①定义;

②“SAS”公理____________________________________________________

③“ASA”定理___________________________________________________

④“SSS”定理___________________________________________________

六.作业

§12.2三角形全等的判定(四)

学习目标

1.掌握三角形全等的“角角边”条件.

2.能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题.

学习重点

两角一边的三角形全等探究.

学习难点

灵活运用三角形全等条件证明.

学习方法：自主学习与小组合作探究

学习过程：

一.温故知新：

1.我们已经学习过可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

2.三角形中两角一边有儿种可能？

1.两角和它们的夹边.

2.两角和其中一角的对边.

二、新课

1.读一读，想一想，画一画，议一议

阅读教材P100

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).

书写格式：在AABC和△AIBIG中

.♦.△ABCdABCi(AAS)

2.定理证明

：如图，在aABC和4DEF中，/A=ND,ZB=ZE,BC=EF,

求证：aABC与4DEF

证明：VZA+ZB+ZC=ZD+ZE+ZF=180°

ZA=ZD,ZB=ZE

.\ZA+ZB=ZD+ZE

NC=NF

在AABC和ADEF中

.,.△ABC^ADEF(ASA).

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).

三、例题：

阅读教材例题：

四.小组合作学习

1.如以下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC,ZB=ZC.

求证：AD=AE.

2以下图中，假设AE=BC那么这两个三角形全等吗？请说明理由.

(2)

3.课本P101练习1、2.3

五.评价反思概括总结

1.本节课我们探索得到了三角形全等的条件，又•发现了证明三角形全等的一个规律AAS.并利用它

可以证明简单的三角形全等问题.

2.可以作为判别两三角形全等的常用方法有几种？各是什么？

①“SAS”公理

②“ASA”定理—

③“SSS”定理___________________________________________________

④“AAS”定理___________________________________________________

六.作业

§12.2三角形全等的判定（五）

-一直角三角形全等的判定

学习目标

1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程;

2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。

3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单推理。

学习重点

运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

学习难点

熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

学习方法：自主学习与小组合作探究

学习过程：I.想一想，填一填：

1、判定两个三角形全等常用的方法：、、、

2、如图，RtZ\ABC中，直角边是、，

斜边是

3、如图，ABJ_BE于C,DE_LBE于E,

⑴假设NA=ND,AB=DE,

那么AABC与ADEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（2）假设NA=ND,BC=EF,

那么aABC与ADEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（3）假设AB=DE,BC=EF,

那么AABC与4DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

⑷假设AB=DE,BC=EF,AC=DF

那么AABC与4DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

n.探究学习

（-）探索新知：

1.阅读教材P101-P102并作出三角形（动手操作）：

2、与教材中的三角形比拟，是否重合？3、从中你发现了什么？

斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等.（HL）

（二）自学检测：

1.如图，Z^ABC中，AB=AC,AD是高，

那么4ADB与4ADC（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

2.如图，CE1AB,DF±AB,垂足分别为E、F,

（1）假设AC//DB,且AC=DB,那么△ACE04BDF,

根据

(2)假设AC〃DB,且AE=BF,那么4ACE畛Z\BDF,根据

(3)假设AE=BF,且CE=DF,那么△ACE&Z\BDF,根据

(4)假设AC=BD,AE=BF,CE=DF(,那么4ACE丝△BDF,根据

(5)假设AC=BD,CE=DF〔或AE=BF),那么△ACEgZ\BDF,根据

3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有()

(A)两条直角边对应相等(B)斜边和一锐角对应相等

(C)斜边和一条直角边对应相等(D)两个锐角对应相等

4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF_LBC于F,DE_LBC于E,

AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗？说说你的理由

答：/

理由：；AF±BC,DE1BC0/

：.ZAFB=ZDEC=°(垂直的定义)BE

在低△和Rt△中

.,士(

；./=Z(

(内错角相等，两直线平行)

(三)、例题:阅读教材例题:P102例7

(四)小组合作学习：

判断题：

(1)一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。()

(2)一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等()

(3)一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等()

(4)两直角边对应相等的两个直角三角形全等()

(5)两边对应相等的两个直角三角形全等()

(6)两锐角对应相等的两个直角三角形全等()

(7)一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等()

(8)一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等()

m.评价反思概括总结

六种判定三角形全等的方法：

1.全等三角形的定义2.边边边(SSS)边角边(SAS)角边角(ASA)角角边(AAS)

3.HL(仅用在直角三角形中)

W.作业

12.3角平分线的性质(1)

一、学习目标

1、能用三角形全等的知识,解释角平分线的原理;

2、会用尺规作角的平分线.

二、温故知新

如图1,在NAOB的两边0A和0B上分别取OM=ON,MC±OA,NC10B.MC

交于C点.

求证：(1)RtAMOC^RtANOC

(2)ZM0C=ZN0C.

三、自主探究合作展示

探究(一)

1、依据上题我们应怎样平分一个角呢？

2、思考:把上面的方法改为“在NA0B的两边上分别截取OM=ON,使MC=NC,连接0C,那么0C即为NA0B

的平分线。”结论是否仍然成立呢？

3、受上题的启示，我们可以制作一个如图2所示的平分角的仪器：其中AB=AD,

BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线

AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗？

探究(二)

思考：如何作出一个角的平分线呢？

ET

:ZAOB.©

求作：NAOB的平分线.

作法：(1)以0为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、0B于M、N.

(2)分别以M、N为圆心，大于‘MN的长为半径作弧.两弧在

2

ZAOB内部交于点C.

(3)作射线0C,射线0C即为所求.

请同学们依据以上作法画出图形。

议一议：1、在上面作法的第二步中，去掉"大于』MN的长”这个条

2

件行吗？

2、第二步中所作的两弧交点一定在NAOB的内部吗？

探究(三)

如图3,0A是NBAC的平分线，点0是射线AM上的任意一点.

操作测量：取点0的三个不同的位置，分别过点0作OE_LAB,ODJ_AC,点D、E为垂足，测量OD、0E的

长.将三次数据填入下表：

观察测量结果，猜测线段0D与0E的大小关系，写出结论：

0D0E图4

第一次

第二次

第三次

府1小M咫子力小，次一I、必下坏:TJ恨犹以四世。

12.3角平分线的性质(2)

一、学习目标

1、掌握角的平分线的性质；

2、能应用角平分线的有关知识解决一些简单的实际问题.

二、温故知新

1、写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题.

2、写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题.

三、自主探究合作展示

(-)思考：命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是否是

真命题？假设是真命题，请给出证明过程。

：如图1,

求证：

证明：

结论：

(二)思考：

如图2所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距

图2

相等，♦离公路与铁路交叉处500m,这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20000）?

（三）应用举例

例：如