2023年高考数学解答题5

试卷第=page22页，共=sectionpages22页试卷第=page11页，共=sectionpages33页学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．化简求值：(1)272(2)lg5【答案】(1)7+(2)-【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解.（2）根据对数的运算性质即可化简求值.（1）2723（2）lg2．判断下列函数的奇偶性：（1）fx（2）fx（3）fx（4）fx【答案】（1）奇函数（2）既不是奇函数也不是偶函数（3）既是奇函数又是偶函数（4）奇函数【分析】根据函数奇偶性的概念，逐问判断即可.【详解】（1）由4-x2≥0x+3所以fx的定义域为-所以fx又f-x=4-（2）因为fx的定义域为-1,1，不关于原点对称，所以f（3）对于函数fx=1-x2+因为对定义域内的每一个x，都有fx=0，所以f-所以fx=（4）函数fx的定义域为R，定义域关于原点对称①当x=0时，-所以f-x=f0②当x>0时，-x<0③当x<0时，-x>0综上，可知函数fx为奇函数3．设命题p:实数x满足2<x≤3，命题q:实数x满足a<(1)若a=1，且p∧q为真，求实数(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)2<x<3(2)1<a≤2【分析】（1）由复合命题的真值表可得；（2）由充分不必要条件与集合的包含关系可得.【详解】（1）当a=1时，命题p:2<x≤3，命题q:1<x<3，又p∧q为真，所以2<x≤31<x<3，故实数（2）命题p:2<x≤3，命题q:a<x<3a，要使p是q的充分不必要条件，则a≤2，3<3a，故实数a的取值范围是1<a≤2.4．已知函数fx是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，（1）求f0及f（2）若关于x的方程fx-m=0【答案】（1）f0=0，ff1【解析】（1）根据函数的解析式，以及函数的对称性，即可求解；（2）由已知只需x>0时，fx【详解】（1）fx是定义在R且当x≥0时，ff(0)=0,（2）函数fx是定义在R关于x的方程fx只需x>0时，f当x≥0时，f所以-【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，以及由方程根的个数求参数，熟练掌握二次函数图像与性质是解题的关键，属于基础题.5．若已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)【答案】能，见解析【分析】先利用余弦函数的定义列式求解x，然后根据P点的坐标求sinθ与tan【详解】能求出sinθ，tan因为角θ的终边过点P(所以cosθ因为x≠0，所以x=1或①当x=1时，点P的坐标为(1,3)，角θ此时sinθ②当x=-1时，点P的坐标为(-1,3)，角θ此时sinθ【点睛】本题考查了三角函数定义的运用，考查学生基础知识的掌握情况，难度不大.6．已知函数fx=2sinωx+（1）求函数fx（2）求函数fx的单调递增区间【答案】（1）f(x)=2sin(2【分析】（1）利用周期公式可得ω,将点π4,2代入即得解析式;（2）由【详解】（1）由已知得π=2π将点π4,2代入解析式，2由0<φ<π可知φ（2）令-解得-3π于是函数fx的单调递增区间为-【点睛】本题考查正弦函数的图像和性质,基础题.7．如图所示，M是菱形ABCD所在平面外一点，MA=MC．求证：AC垂直于平面【答案】证明见解析.【分析】设AC交BD于点O，由题可得AC⊥BD,MO【详解】设AC交BD于点O，连接MO,因为ABCD是菱形，所以AC⊥因为MA=MC，且所以MO⊥因为MO、BD是平面BDM上的两条相交直线，所以AC垂直于平面BDM．8．已知集合A={x|2-a≤x≤2+a}，B={x|1<x【答案】(0,1)【分析】由题设A是B的真子集，结合已知集合的描述列不等式求a的范围.【详解】由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，即又A=x2-所以{2-a>12+a<4，可得9．设集合A=（1）请写出一个集合B，使“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A（2）请写出一个集合B，使“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A【答案】（1）B=1,2,3（答案不唯一）；（2）【分析】根据充分必要性判断集合A与集合B之间的包含关系，从而写出符合题意的集合B.【详解】（1）由于“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”（2）由于于“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”10．如图，矩形ABCD与矩形DEFG全等，且CG=(1)用向量AD与AB表示DF；(2)用向量BG与DF表示AC.【答案】(1)DF(2)AC【分析】（1）平面向量基本定理，利用向量的加减与数乘运算法则进行求解；（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算进行解答.(1)DF=(2)以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系xAy，设AD=1，因为矩形ABCD与矩形DEFG全等，且CG所以AB=2，则C1,2，B0,2，G1,1，所以AC=1,2，BG=1,-1，11．如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：（1）该几何体的体积；（2）该几何体的表面积.【答案】（1）256；（2）240.【解析】（1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可.【详解】连接A1C1，B1D1交于点O，取B1C（1）VV∴V（2）∵PO=3，∴PESSS【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高.12．已知集合M满足：{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况.【答案】{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}【解析】根据子集与真子集的定义，即可求解.【详解】由题意可以确定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；含有5个元素：{1，2，3，4，5}.故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.13．判断下列函数的奇偶性：(1)fx(2)fx(3)fx(4)fx【答案】(1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)非奇非偶函数【分析】（1）利用偶函数的定义可判断函数的奇偶性；（2）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（3）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（4）利用反例可判断该函数为非奇非偶函数.（1）f(x)的定义域为f(-x)=(-（2）f(x)的定义域为f(-x)=(-（3）f(x)的定义域为f(-x)=-（4）f(1)=|1|+1=2,故f(1)≠f(-1),f14．已知集合A={x|a-(1)当a=1时，求((2)若“x∈B”是“x∈A【答案】(1)((2)a<-4或【分析】（1）根据补集与交集的运算性质运算即可得出答案.（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要条件等价于A⊆B.【详解】（1）当a=1时，集合A={x|0≤x(C（2）若“x∈B”是“x∈A①当A=∅时，a②A≠∅，则a≥-4且a-综上所述，a<-4或0≤15．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s12和（1）求x，y，s12，（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y-【答案】（1）x=10,y=10.3,s【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.【详解】（1）x=y=s1s2（2）依题意，y-x=0.3=2×0.15=2y-x≥216．已知复数z=m(m-（1）纯虚数；（2）z=2+5【答案】（1）m=0；（2）m【解析】（1）利用m(m（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等m(m【详解】（1）若复数是纯虚数，则mm-1=0（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等可得m(解得m=2或17．求函数y=3sin【答案】对称轴为x=kπ【分析】结合y=3sinx的性质，分别令2x【详解】由2x+π所以对称轴为x=由2x+π所以对称中心为kπ2【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的对称轴及对称中心，用到了整体代换的思想，属于基础题.18．某校1200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：

成绩分组频数频率平均分[0，20)30.01516[20，40)ab32.1[40，60)250.12555[60，80)c0.574[80，100]620.3188（1）求a，b，c的值；（2）如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；（3）试估计这次数学测验的年级平均分．【答案】（1）a=10；b=0.05；c=100；（2）P=0.81；（【解析】（1）根据频率和为1即可得b=0.05，根据频率与频数关系即可得a=10，（2）根据题意，抽出的200人的数学成绩中，及格的有162人，故P=0.81（3）根据平均数的计算公式计算即可.【详解】解：(1)由题意可得，b=1-(0.015+0.125+0.5+0.31)=0.05a=200×0.05=10，(2)根据已知，在抽出的200人的数学成绩中，及格的有162人．所以P=(3)这次数学测验样本的平均分为x=所以这次数学测验的年级平均分大约为73分．19．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A【答案】证明见解析【分析】证明EF//BC，进而证明出EF//平面BCHG，再证明A1E//【详解】证明：∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF//∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面∴EF//平面BCHG∵A1G∴四边形A1∴A1∵A1E⊄平面BCHG，GB∴A1E∥∵A1∴平面EFA1∥20．平面内给定三个向量a=(3,2)，b=(-1,2)，（1）求满足a=mb-n（2）若(a+kc【答案】（1）m=59，n=-8【分析】（1）依题意求出mb（2）首先求出a+kc【详解】解：（1）因为a=(3,2)，b=(-1,2)，c(3，2)=a=mb-nc∴-m-4n=3（2）a+kc=(3，2)+k2b-a=2(-1，2)-(3，∴-5(2+k)-2(3+4k21．如图，函数fx的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为0,4，2,0，6,4，求f【答案】2【分析】直接利用函数的图象从里往外计算.【详解】解：由题得ff22．小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.【答案】（1）0.398；（2）0.994.【分析】结合独立事件的乘法公式即可.【详解】解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件.则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.23．用符号表示下列语句，并画出图形.（1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.【答案】（1）α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B；图象见解析；（2）A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB；图象见解析【分析】由题意将自然语言转化为符号语言,根据点线面的关系,借用集合符号,表示即可.【详解】（1）用符号表示：α∩β＝l（2）用符号表示：A∈α【点睛】本题主要考查点、线、面的关系的符号表达,属于基础题.24．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当时（1）求f(（2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明）【答案】（1）f(x)=x2+2x-1,x<0【分析】（1）根据奇函数的性质，当x=0时，f(0)=0，当x>0（2）根据二次函数的图像与性质，直接画图像，并求出单调性.【详解】（1）当x=0时，f当x>0时，-x<0所以f(（2）f(单调递增区间为：(-1,0)，(0,1)，单调递减区间为：(-∞,1)，(1,+∞).25．已知函数f((1)求f(x)(2)当a>0时，求f(a)【答案】(1)定义域为[-3,-2)∪(-2,+∞)，(2)f(a)=【分析】（1）由根式、分式的性质求函数定义域，将自变量代入求f(-3)即可（2）根据a的范围，结合（1）的定义域判断所求函数值是否有意义，再将自变量代入求值即可.【详解】（1）由{x+3≥0x且f(-3)=（2）由a>0，结合（1）知：f(a)所以f(a)=26．已知-1≤x≤1【答案】2【分析】令t=3x，t∈【详解】因为y=4⋅3x令t=3x因为-1≤x≤1，所以1又因为对称轴t=1∈所以当t=1，即x=0时，27．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋3cosα【答案】0【分析】根据题意可设角α终边上任一点为P(k，－3k)，分k＞0和k＜0时进行讨论，求得对应的三角函数值，代入即可.【详解】设角α终边上任一点为P(k，－3k)，则r＝k2当k＞0时，r＝10k所以sinα＝-3k10k所以10sinα＋3cosα=当k＜0时，r＝-10所以sinα=-1cos所以10sin综上，10sin28．汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．如图所示，三个汉字可以看成轴对称图形．小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)，则小敏获胜，否则小慧获胜．（1）写出该试验的样本空间Ω；（2）设小敏获胜为事件A，试用样本点表示A.【答案】（1）Ω＝{(土，土)，(土，口)，(土，木)，(口，土)，(口，口)，(口，木)，(木，土)，(木，口)，(木，木)}；（2）A＝{(土，土)，(口，口)，(木，口)，(口，木)}．【分析】（1）根据三个汉字两两组合，即可得到该实验的样本空间；（2）由（1）得到的样本空间中，求得能构成上下结构的样本点，即可得解.【详解】（1）每次游戏时，所有可能出现的结果如下表所示：第二张卡片第一张卡片土口木土(土，土)(土，口)(土，木)口(口，土)(口，口)(口，木)木(木，土)(木，口)(木，木)∴Ω＝{(土，土)，(土，口)，(土，木)，(口，土)，(口，口)，(口，木)，(木，土)，(木，口)，(木，木)}．（2）能组成上下结构的汉字的样本点为(土，土)，(口，口)，(木，口)，(口，木)．∴A＝{(土，土)，(口，口)，(木，口)，(口，木)}．29．已知f((1)用定义证明f(x)(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值.【答案】(1)见解析(2)9【分析】(1)在[1，+∞)内任取两个不同的x值x1，x2且规定大小，利用作差法比较f((2)利用函数在[2，4]上是增函数求得函数的最值．【详解】（1）证明：任取x1，x2∈[1，+∞)则f(∵x1<x2，∴∴f(x∴f(x)在区间（2）解：由(1)知，f(x)在区间[2∴f(30．长方体ABCD-A1B1C（1）求证：D1（2）求证：∠B【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先证明四边形EMC1D1为平行四边形，可得D1E//MC1【详解】证明：（1）如图，取BB1的中点M，连接在矩形ABB1A1因为A1B1//C1所以四边形EMC1D在矩形BCC1B1中，易得所以四边形MBFC所以BF//MC（2）因为D1E//又∠B1BF所以∠B31．化简求值：(1)(27(2)log【答案】(1)10(2)1【分析】（1）根据指数幂的运算性质可求出结果；（2）根据对数的运算性质可求出结果.（1）原式=(32=49-7（2）原式=log====3-2=1.32．如图是边长为1的正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点，现在沿三角形【答案】148【解析】根据三棱锥和柱体的体积公式，即可求解.【详解】由题意，边长为1的正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA锯掉的三棱锥的体积V1正方体的体积V=1×1×1=1锯掉的这块的体积是原正方体的148故答案为：14833．已知集合A=xx≤-3或x≥-1，B【答案】m≤-2或【分析】因为A∪B=A，所以B⊆A【详解】解：因为A∪B=当B=ϕ时，2m当B≠ϕ时，2m<m-所以m≤-2或m34．有一堆规格相同的铁制（铁的密度为7.8g/cm3）六角螺帽共重6kg，已知该种规格的螺帽底面是正六边形，边长是12mm（1）求一个六角螺帽的体积；（精确到0.001cm（2）问这堆六角螺帽大约有多少个？（参考数据：π=3.14,【答案】（1）2.952(cm3)；（2）【解析】（1）利用六棱柱的体积减去圆柱的体积即得解；（2）计算6×1000÷(7.8×2.952)即得解.【详解】（1）由题得V=3736.8-785=2951.8≈2952(（2）这堆螺帽的个数为：6×1000÷(7.8×2.952)≈261（个）答：每个螺帽的体积为2.952cm3，共有261【点睛】本题主要考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.35．如图的长方体ABCD-（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？（2）用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分的几何体还是棱柱吗？若是棱柱指出它们的底面与侧棱.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）根据棱柱的定义判断；（2）根据棱柱的定义判断．【详解】(1)这个长方体是棱柱，是四棱柱，因为它满足棱柱的定义.(2)截面BCFE右侧部分是三棱柱，它的底面是△BEB1侧棱是EF、B1C1它的底面是四边形ABEA1与四边形DCFD1，侧棱是AD、BC、36．已知函数f((1)求函数y=(2)求函数y=f【答案】(1)kπ,(2)1-【分析】（1）利用诱导公式及其余弦的二倍角公式化简，即为y=-（2）利用正弦的二倍角公式及其辅助角公式化简，即为y=1-3（1）∵y=∴2kπ≤2即所求单调递增区间为：kπ（2）y==1-sin2=1-3sin(2x即y∈37．如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：（1）EH∥平面BCD；（2）BD∥平面EFGH.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）推导出EH∥BD，由此能证明EH∥平面BCD；（2）由BD∥EH，由此能证明BD∥平面EFGH.【详解】（1）∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD；（2）∵FG为△CBD的中位线，∴FG∥BD，∴FG∥EH，∴E、F、G、H四点共面，∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题.38．长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V，P【答案】112【分析】因为Q是AB上的动点，且AB//CD，可求出S△CDQ，再根据V【详解】设长方体的长、宽、高分别为AB=a，BC=b，P是DD1的中点，所以因为Q是AB上的动点，且AB//CD，所以所以VP39．在△ABC中，A＝60°，sinB＝12，a＝3，求三角形中其他边与角的大小【答案】B=30°，C=90∘，b【分析】由三角函数值、三角形内角和性质确定B、C的大小，应用正弦定理求b,c【详解】由sinB=12且A=60°∴C=90°由正弦定理bsin∴b=asin40．如图，几何体的底面ABCD为平行四边形，点M为PC中点，证明：PA//平面BDM【答案】证明见解析【分析】连接AC交BD于点O，连接OM，证明OM∥PA，即可证明PA∥平面BDM．【详解】证明：连接AC交BD于点O，因为底面ABCD为平行四边形，所以O为AC中点，在△PAC中，又M为PC中点，所以OM∥PA，又PA⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，所以PA∥平面BDM．41．求不等式x2-【答案】{x|x<2【解析】因为方程x2-5x+6=0的根是函数y=x2-5【详解】对于方程x则Δ=-5则x解得x1=2画出二次函数y=x结合图象可知不等式x2-5x+6>0【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,一元二次不等式与一元二次方程的关系,属于基础题.42．已知函数f1-3x的定义域为(1)求fx的定义域B(2)对于（1）中的集合B，若∃x∈B，使得a【答案】(1)B(2)13【分析】（1）f1-3x的定义域x∈14（2）令gx=x2-x+1，若∃x（1）∵f1-3x的定义域为A=1∴-2≤1-3x≤（2）令gx∃x∈B，使得a>x2-∵gx∴gx在-2,1∴实数a的取值范围是131643．要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？【答案】答案见解析.【分析】方法一：把25个大小形状相同的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个袋中，充分搅拌，从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数；方法二：利用计算机产生随机数.【详解】法一：可以把25个大小形状相同的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数，放回后重复以上过程，就得到一系列的1～25之间的随机整数．法二：可以利用计算机产生随机数，以Excel为例：（1）选定A1格，输入“＝RANDBETWEEN(1，25)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的；（2）选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A2至A100的格中均为随机产生的1～25之间的数，这样我们就很快得到了100个1～25之间的随机数，相当于做了100次随机试验．【点睛】本题考查了随机数的产生，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.44．如图，在三棱柱ABC-A1B1(1)求证：AC1∥平面(2)若AA1⊥平面ABC，AC=BC【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)连接BC1，交B1C于点E，连接(2)证明CD⊥AB，CD⊥AA1【详解】（1）连接BC1，交B1C∵ABC-A1B1C1是三棱柱，∴四边形BC∵点D是AB的中点，∴ED是△ABC1的中位线，又ED⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB（2）∵AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC∵AC=BC，AD=BD∵AA1∩AB=∴CD⊥平面AB45．已知函数f(（1）f(（2）当x∈0,π2时，求【答案】（1）π；（2）fxmin=-1，此时【分析】（1）利用倍角公式化简整理函数fx的表达式，由周期T（2）先求解2x【详解】（1）f(x)=2sinx∴函数fx的最小正周期T（2）∵x∈0,π2，fx=此时2x+π4fx取最小值时x的集合为46．如图，在三棱锥P-ABC中，D，E分别为AB，PB的中点，EB=EA，且【答案】证明见解析.【分析】由题可得PA⊥AB，利用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，进而可得【详解】∵在△AEB中，D是AB的中点，EB∴ED⊥∵E是PB的中点，D是AB的中点，∴ED∥∴PA⊥又PA⊥AC，AB∩AC=A，AB⊂∴PA⊥平面ABC∵BC⊂平面ABC∴PA⊥又PC⊥BC，PA∩PC=P，PA⊂∴BC⊥平面PAC47．设向量a=-1,2，b(1)求a+2(2)若c=λa+μ(3)若AB=a+b，BC=a-2b，【答案】(1)1(2)2(3)证明见解析【分析】（1）先求a+2b=1,0，进而求a+2b；（2）列出方程组，求出λ=-1μ=3，进而求出【详解】（1）a+2b=（2）4,-5=λ-1,2+μ1,-1（3）因为AC=AB+BC=a+b+a48．如图，已知正方形ABCD的边长等于单位长度1，AB=a，BC=b（1）a+（2）a-b【答案】（1）2c；（2）2AB【分析】（1）由a+（2）由a-b【详解】（1）a+（2）a-∴|a【点睛】本题主要考查向量的加法法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.49．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：40,50，50,60，60,70，…，90,100，得到如下频率分布直方图.（1）求出直方图中m的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01).【答案】（1）m=0.030；（2）平均数为71，中位数为【解析】（1）利用频率之和等于1进行求解即可（2）利用平均数和中位数的计算公式进行求解即可【详解】（1）由10×0.010+0.015+0.015+m+0.025+0.05（2）平均数为x=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71设中位数为n，则0.1+0.15+0.15+n-70故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.50．已知函数f(x)是二次函数，f(1)求f((2)解不等式f(【答案】(1)f(2)(-【分析】(1)根据f(-3)=f(1)得对称轴为(2)由（1）得x2≥4【详解】（1）由f(-3)=f(1)又因为f(-1)=0，所以-1,0是f所以设f(因为f(1)=4，即a所以得a=1所以f（2）因为f(xf(x-1)≥4化为x不等式的解集为(-51．已知集合A（1）若B⊆A，求实数m（2）命题q：“∃x∈A，使得x∈B【答案】（1）m≥-1；（2）[-4,2]【分析】（1）B⊆A，分B为空集和（2）由∃x∈A，使得x∈B，可知B为非空集合且A【详解】解：（1）①当B为空集时，m+1<2m②当B不是空集时，∵B⊆A，m+1≥2综上①②，m≥-1（2）∃x∈A，使得x∈B，当A∩B=∅时2m-∴A∩52．已知函数fx=2cos(1)求函数fx(2)若x∈0，π【答案】(1)2kπ+(2)0,1【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，ωx＋φ整体替换进行单调区间的求解；(2)求出ωx＋φ整体范围，根据正弦型函数图像求其值域﹒（1）fx=2cos2x由fxmax=2+又fx则2kπ+π解得2kπ+π所以函数的单调递减区间为2kπ+π（2）由x∈0，π2所以0≤2sin所以函数fx的值域为0,153．在△ABC中，角A,B,C（1）求边BC的长﹔（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADB=4【答案】（1）BC=3；（2）2【解析】（1）在△ABC（2）在△ABC中，由正弦定理可以求出sinC=55，再利用∠ADC与∠ADB互补可以求出cos∠ADC=-45【详解】在△ABC中，因为b=5，c由余弦定理b2得5=2+所以a2-2a-所以BC=3（2）在△ABC中，由正弦定理b得5sin所以sin在△ADC中，因为cos所以∠ADC为钝角而∠ADC所以∠C故cos因为cos∠所以sin∠sin∠==【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用两角互补余弦互为相反数求出cos∠ADC=-45，可得∠ADC54．（1）已知lg2=m，lg3=n，试用（2）已知x+x-1=3【答案】（1）log512=2m+【分析】（1）利用换底公式即可求解.（2）利用指数的运算即可求解.【详解】（1）由换底公式得log5（2）由于(x12+x又x2所以x255．设命题α:A=x|x2+4x=0，命题β:B【答案】(-3,0)．【分析】由α是β的必要不充分条件得出集合A与B的包含关系而得解.【详解】由x2+4x=0得x=0或由α是β的必要条件，但α不是β的充分条件得α⇏β且β⇒α，从而有∴B=∅或B=-当B=∅时，Δ=4(a当B=-4当B=0时，综上：实数a的取值组成的集合为(-3,0)．56．下列情况中哪些适合用全面调查，哪些适合用抽样调查？说明理由（1）了解某城市居民的食品消费结构；（2）调查一个县各村的粮食播种面积；（3）了解某地区小学生中患沙眼的人数；（4）了解一批玉米种子的发芽率；（5）调查一条河流的水质；（6）某企业想了解其产品在市场的占有率.【答案】见解析【解析】根据抽样调查和全面调查的定义依次判断每个选项得到答案.【详解】（1）适合抽样调查，因为调查对象较多；（2）适合全面调查，因为调查对象较少；（3）适合抽样调查，因为调查对象较多；（4）适合抽样调查，因为调查具有破坏性；（5）适合抽样调查，因为调查对象较多；（6）适合抽样调查，因为调查对象多而且不易操作.【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查，属于简单题.57．某大学为调研学生在A、B两家餐厅用餐的满意度，从在A、B两家都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分为6组：[0，10)、[10，20)、[20，30)、[30，40)、（1）在抽样的100人中，求对A餐厅评分低于30的人数；（2）从对B餐厅评分在[0，20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0（3）如果从A、B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.【答案】（1）20人；（2）35；（3）选择B餐厅用餐，理由见解析【分析】（1）由A餐厅分数的频率分布直方图得频率，从而得人数；（2）对B餐厅评分在[0，10)范内的有2人，记为m、n，对B餐厅评分在[10，20)范围内的有3人，记为a、b、（3）由（1）（2）比较得分低于30分的人数可得结论．【详解】（1）由A餐厅分数的频率分布直方图，得对A餐厅评分低于30分的频率为：(0.003+0.005+0.012)×10=0.2，∴对A餐厅评分低于30的人数为100×0.2=20人，（2）对B餐厅评分在[0，10)范内的有2人，设为m、对B餐厅评分在[10，20)范围内的有3人，设为a、b、从这5人中随机选出2人的选法为：mn、ma、mb、mc、na、nb、nc、ab、ac、bc，共10种，其中恰有1人评分在[0，ma、mb、mc、na、nb、nc，共6种，故2人中恰有1人评分在[0，10)范围内的概率为（3）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看，由（1）得，抽样的100人中，A餐厅评分低于30的人数为20，∴A餐厅评分低于30分的人数所占的比例为20%，B餐厅评分低于30分的人数为2+3+5=10，∴B餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%，∴会选择B餐厅用餐.58．已知sinα=35，且（1）求sin2α的值；（2）求tan（α+π【答案】（1）-2425；（2）【分析】（1）根据题意以及同角基本关系可知cosα（2）根据（1）的结果求出tanα=sin【详解】（1）∵sinα=35，且α为第二象限角，∴cos∴sin2α＝2sinαcosα=2×3（2）由（1）知tanα=∴tan（α+π4）【点睛】本题主要考查了三角函数同角基本关系式、正弦倍角公式和两角和的正切公式，属于基础题目.59．已知函数fx=(1)求函数fx(2)首先将函数fx的图象上每一点横坐标缩短为原来的12，然后将所得函数图象向右平移π8个单位，最后再向上平移1个单位得到函数gx的图象，求函数g【答案】(1)f(2)-【分析】（1）依题意可得A=2，13π12-π3=（2）首先根据三角函数的变换规则得到gx的解析式，再由x的取值范围求出4(1)解：由图象得A=2，13π12由2×13π12∵0≤φ∴φ∴(2)解：将函数fx的图象上每一点横坐标缩短为原来的12，得到y=2sin4x+π3，再将y=2当x∈0,π2时，所以∴60．已知正数a、b满足1a（1）求a+b的最小值；（2）求4a【答案】（1）4；（2）25．【分析】（1）利用乘1法a+b＝（a+b）（1a（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得（a﹣1）（b﹣1）＝1，利用基本不等式可求．【详解】（1）因为a、b是正数，所以a+b=a+b1a+1b=2+a（2）由1因为a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，则4a当且仅当a=53、b=561．函数fx(1)求fx(2)写出函数fx在0,π【答案】(1)y(2)π【分析】（1）根据图象求得A,ω,φ（2）利用整体代入法求得fx在区间0,π（1）由图象知A=2,T=7π令-π8×2+φ=2kπ,（2）由2kπ可得kπ+当k=0时π故函数fx在0,π262．如图，已知圆O的半径r为10，弦AB的长为10．(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求圆心角α所对应的弧长l及阴影部分的面积S．【答案】(1)α(2)l=10【分析】（1）根据△AOB为等边三角形，可得α=（2）利用扇形的弧长公式以及扇形的面积公式即可求解.（1）由于圆O的半径r为10，弦AB的长为10，所以△AOB为等边三角形，∠AOB=（2）因为α=π3S扇又S△所以S=63．对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布表和频率分布直方图如下所示：分组频数频率[10，15）100.25[15，20）24n[20，25）mP[25，30]20.05合计M1(1)求表中M，p及图中a的值；(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间10,15内的人数.【答案】(1)M=40，p=0.10，(2)60【分析】（1）根据频率除以组距等于频率分布直方图的纵坐标解得M，由频数之和为40求出m，再根据p=（2）计算出分组10,15内的频率，可估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间10,15内的人数.（1）由分组10,15的频数是10，频率是0.25，知10M=0.25，解得M因为频数之和为40，所以10+24+m+2=40，得m=4，p=因为a是对应分组10,15的频率与组距的商，所以a=（2）因为该校高三学生有240人，分组10,15的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间10,15内的人数为240×0.25=60.64．设全集U=R，集合A=(1)若“x∈A”是“x∈B(2)若命题“∀x∈B，则x∈A【答案】(1)a(2)a【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解.（2）将真命题转化成B是A的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解.【详解】（1）∵x∈A是x∈B又∵B∴-1-2a≤1a∴实数a的取值范围为a≥7（2）∵命题“∀x∈B，则x∈A”是真命题，①当B=∅②当B≠∅时，∵A=x|1≤x∴-∴a≤-1a综上所述：实数a的取值范围a<65．已知函数f(x)=ax-1+2(a（1）求a的值（2）求函数f(【答案】（1）a=2；（2）【分析】（1）将点代入函数fx即可求出a（2）利用指数函数的性质可得到函数fx的单调性，再结合指数函数的值域即可求出函数fx【详解】（1）因为函数f(x)=ax-1+2(a所以a∴a（2）由（1）可知，fx=2x-∵2∴fx的值域为66．已知函数fx=x（1）求m；（2）判断并证明fx（3）判断函数fx在2,+∞，上是单【答案】（1）m=4；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析【分析】（1）根据题意，将x=1（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；（3）利用函数单调性的定义判断并证明即可．【详解】（1）根据题意，函数fx=x则f1=1+m（2）由（1）可知fx=x又由f-所以fx（3）fx在2,+∞证明如下：设2<x1<因为2<x所以x1x2>4，x1所以fx在2,+∞67．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照50,60,60,70,⋅⋅⋅（1）求图中x的值；（2）求这组数据的平均数和中位数.【答案】（1）x=0.02；（2）77；540【解析】（1）利用频率之和为1即可建立方程求出x；（2）根据频率分布直方图即可估算出平均数和中位数.【详解】（1）由（0.005+0.01+0.035+0.030+x)×10=1，解得x（2）这组数据的平均数为55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77．可知50,70的频率为0.005+0.02×10=0.25，50,80的频率为0.005+0.02+0.035×10=0.6，则中位数在设中位数为m，则0.05+0.2+m-70【点睛】本题考查利用频率分布直方图即估算平均数和中位数，属于基础题.68．已知△ABC的内角A,B,C（1）求C；（2）若c=3,a=3，如图，D为线段AB上一点，且CD【答案】（1）C=2π3；（【解析】（1）利用正弦定理将2ccosB=2a+b化为2sinC（2）在△ABC中利用余弦定理可求出AC=3，从而可得a=b=【详解】解：（1）根据正弦定理得2sin整理得2因为sinB≠0，所以cosC=-（2）在△ABC中，由余弦定理得：将（1）中所求代入整理得：b2+3b-6=0，解得b=在△ABC中，可知a=b因为CD⊥所以CD=69．已知全集为R，集合A=x2≤（1）求A∩（2）若C=xa-4≤x≤a+4，且“x【答案】（1）3,6；（2）2,7.【分析】（1）求出集合B，根据交集的定义直接求解；（2）依题意A∩B⊊【详解】解：（1）∵B={∴A（2）因为“x∈C”是“x∈A∩所以a+4≥6a-4≤370．声强级L1(单位:dB)由公式L1=10lgI10-12给出,(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2,能听到的最低声强为(2)平时常人交谈时的声强约为10-6W【答案】(1)0 dB【解析】(1)分别代入I=1与I=(2)代入I=10【详解】解:(1)10lg10lg因此人听觉的声强级范围为0 (2)L1【点睛】本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题.71．（1）已知0<x<1，则x(4-3（2）已知x<54（3）函数y=x【答案】（1）23；（2）1；（3）【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.【详解】（1）x(4-3当且仅当3x=4-3x，即故所求x的值为23（2）因为x<54则f(当且仅当5-4x=15-4故f(x（3）y==(x当且仅当x-1=3x故函数的最小值为2372．三棱锥P-ABC，PA=4（1）该棱锥的6条棱中，共有多少对异面直线？请一一列出；（2）若PB中点为M，AC中点为N，MN=4，求异面直线PA与BC【答案】（1）3对；（2）14【分析】（1）根据异面直线的定义可知共有3对异面直线.（2）取AB的中点为Z，连接MZ,NZ，则异面直线PA与BC所成角为∠【详解】（1）6条棱锥，PC,AB成异面直线，PB,共3对.（2）取AB的中点为Z，连接MZ,因为PM=MB,同理，NZ//所以异面直线PA与BC所成角为∠MZN在△MZN，由余弦定理可得cos故异面直线PA与BC所成角的余弦值为1473．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝43，b＝6，cosA＝﹣13（1）求c；（2）求cos2B的值．【答案】（1）c＝2；（2）﹣13【分析】（1）由余弦定理即可求得c的值；（2）先由同角三角函数的平方关系求得sinA的值，再由正弦定理求出sinB的值，最后根据cos2B＝1﹣2sin2B，得解．【详解】解：（1）由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA，即48＝36+c2﹣2×6×c×（﹣13整理得，c2+4c﹣12＝0，解得c＝2或﹣6（舍负），故c＝2．（2）∵cosA＝﹣13，且A∈(0，π∴sinA＝1-cos由正弦定理知，asinA=∴sinB＝63∴cos2B＝1﹣2sin2B＝﹣1374．已知fx（1）令θ=12x

θ0ππ32πxxy010-10y131-11f（2）求出fx（3）根据表中数据绘出fx【答案】（1）表格见解析；（2）fx的最大值为3，fx的最小值为-1【分析】（1）根据“五点作图法”完成表格；（2）由（1）表格可知函数的最值；（3）根据（1）表格中数据画出函数图象；【详解】解：（1）因为fx=2sin

θ0ππ32πxxπ471013y010-0y131-1f131-1（2）由（1）可知fx的最大值为3，fx的最小值为（3）由（1）可知函数图象如下：75．已知函数fx（1）求fx（2）求fx在区间0,π【答案】（1）π；（2）最小值是-3，最大值是32【分析】（1）先将函数化简整理，得到f(（2）由x∈0,π3【详解】（1）f=1-=-3cos所以函数fx的最小正周期为T（2）因为x∈0,π于是cos2所以fx所以fx在区间0,π3上的最小值是-3【点睛】本题主要考查余弦型函数的周期，以及余弦型函数在给定区间的最值问题，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.76．已知f(（1）求实数a的值；（2）判断函数f(【答案】（1）a=-1；（2）f(x)【分析】（1）由奇函数的定义可得f(0)=1+a（2）根据题意，f(【详解】解：（1）根据题意，f(x)=则有f(0)=1+a当a=-1时，f(x故a=-1（2）由（1）的结论，f(x)=【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题.77．2020年一场突如其来的疫情让亿万中华儿女的心再一次凝结在一起，为控制疫情，让广大发热患者得到及时有效的治疗，武汉市某社区决定临时修建一个医院.医院设计平面图如图所示：矩形ABCD中，AB=400米，BC=300米，图中△DMN区域为诊断区（M、N分别在BC和AB边上），△ADN、△CDM及△BMN区域为治疗区(1)若按照AN=(2)按照疫情现状，病人仍在不断增加，因此需要治疗区的面积尽可能的大，以便于增加床位，请给出具体的修建方案使得治疗区面积S最大，并求出最大值.【答案】(1)不符合要求(2)按照tan∠ADN=【分析】(1)依题意求tan∠ADN(2)设∠ADN=θ，用θ表示诊疗区域的面积(1)当AN=CM=200时，所以tan因此诊断区不符合要求(2)设∠ADN=θ，则S=在△ADN中，ANAD在△CDM中，CMCD=所以S=-60000t+1+2所以S≤240000-1200002，当且仅当t+1=故按照tan∠ADN=278．已知向量a，b满足a=5，b=（1）求向量a的坐标；（2）求向量a与b的夹角．【答案】（1）a=(1,2)或a=(-2,1)；（2）【解析】（1）设a=x（2）设向量a与b的夹角为θ，利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：（1）设a=因为|a|=5，则又因为b=1,-3，且2a所以(2x即x-3由①②解得x=1y=2所以a=(1,2)或a（2）设向量a与b的夹角为θ，所以cos⋅θ=因为0≤θ≤π，所以向量a与b【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，利用向量的数量积求向量的夹角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.79．已知二次函数fx满足fx+1（1）求fx（2）求fx在-【答案】（1）fx=x2-【分析】（1）设f(x)=ax（2）将二次函数配成顶点式，分析其单调性，即可求出其最值．【详解】（1）设fx=afx∴由题c=1，2∴2a=2，a+b=0，c=1得∴fx=（2）由（1）可得fx所以fx在-1,12单调递减，在1∴fx80．计算：（1）2（2）25【答案】（1）2；（2）2.【分析】（1）由对数的运算性质loganbm（2）由指数的运算性质(am【详解】（1）解：原式=2log32-(5（2）解：原式=5【点睛】本题考查了对数的运算及指数幂的运算，重点考查了运算能力，属基础题.81．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OA⊥(1)求sinπ(2)若点A的横坐标为35，求2sin【答案】(1)-(2)-【分析】（1）由诱导公式化简可得；（2）由定义可得cosα=(1)∵β=π2+α，∴sinπ(2)∵点A的横坐标为35，∴cosα=cosβ∴2sin82．求实数m取何值时，复数z=2m(1)位于第二象限；(2)位于第一或第三象限；(3)在直线x-【答案】(1)-12<(2)m<-12或0<(3)m=-1或3【分析】（1）可得点Z的坐标为2m2-（2）可得2m2-（3）将点Z的坐标代入直线的方程求解即可.(1)复数z=2m2若点Z位于第二象限，则2m2-3(2)若点Z位于第一或第三象限，则2m2解得m<-12或(3)若点Z在直线x-y解得m=-1或83．已知直角三角形的周长为2p，试用解析式将该直角三角形的面积S表示成关于其一条直角边长x的函数【答案】S【分析】设一条直角边长x，设另一条直角边的边长为y，则S=【详解】∵一条直角边长x，设另一条直角边的边长为y，则S=由勾股定理得：x+∴x2+y∴y=p2+S故答案为：S=【点睛】本题考查勾股定理、函数关系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.84．已知sinα2sin【答案】5【解析】根据诱导公式和二倍角公式，化简已知为tanα=2，将所求式中的2，用2sin【详解】解：因为sin===tan所以5=3【点睛】本题考查已知三角函数值求值问题，解题的关键是化简，涉及到诱导公式、二倍角公式，以及齐次分式化弦为切的方法，属于中档题.85．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x2+4x+1．(1)求f（x）的解析式；(2)当x∈[t，t+1]（t＞0）时，求f（x）的最大值g（t），并求函数g（t）的最小值．【答案】(1)f(2)gt=t2【分析】（1）由已知偶函数定义结合已知区间上函数解析式即可求解；（2）由已知函数，结合对称轴与已知区间的位置关系，分类讨论可求．【详解】（1）若x>0，则-x<0fx为偶函数，则f故fx（2）当x>0时，fx=当0<t≤32时，当t>32时，g故gt=t86．已知α为第二象限角，且sinα（1）求cosα，tan（2）求1+sinα【答案】（1）cosα=-55,tan【分析】（1）根据sin2α+cos2α=1，解出cos（2）化简得到1+sinα【详解】（1）因为sinα+2cos解方程组得到cosα=55，sin所以tantan2（2）1+sin【点睛】主要是考查了三角函数的化简与求值的运用，属于基础题。87．请你在①AC→⋅AB→=21，②外接圆半径为152，③cosA问题：是否存在△ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b注：若选择多个条件分别解答，则只按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】若选条件①，结合题意并利用正弦定理边角互化，得出b=3a2，c=2a，再利用余弦定理求出cosA，根据平面向量的数量积运算即可求出a的值，可知存在这样的三角形；若选条件②，结合题意并利用正弦定理边角互化，得出b=3a2，c=2a，再利用余弦定理求出cosA，根据sin2A+cos2A=1求出【详解】方案一：选条件①：AC→由正弦定理和2csinB=3a又由正弦定理和sinA得：a+2b-由余弦定理得：cos因为AC→⋅AB解得：bc=24，即3∴a2=8∴a所以存在这样的三角形，且a=2方案一：选条件②：外接圆半径为152由正弦定理和2csinB又由正弦定理和sinA+2sinB由余弦定理得：cosA由cosA=7由正弦定理asinA=2所以存在这样的三角形，且a=方案三：选条件③：cosA由正弦定理和2csinB又由正弦定理和sinA+2sinB-由余弦定理得：cosA由2b=3a又由正弦定理和cosA+a又∵sinC=在△ABC中，sinA>0则与cosB=【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理的边角互化公式的应用和利用余弦定理解三角形，在三角形中，运用正弦定理和余弦定理一般有以下情况：①已知两角和任一边，求另一角和其他两边，用正弦定理；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他角，用正弦定理；③已知三边，求各角，用余弦定理；④已知两边和任意一角，求第三边和其他两角，用余弦定理.正余弦定理一般应用于解三角形的基本元素、判断三角形的形状、解决与面积有关的问题等.88．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,（1）求sinC（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=-【答案】（1）sinC=55；（【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinC（2）方法一：根据cos∠ADC的值，求得sin∠ADC的值，由（1）求得cosC的值，从而求得【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法由余弦定理得b2=a由正弦定理得csin[方法二]【最优解】：几何法过点A作AE⊥BC，垂足为E．在Rt△ABE中，由c=2,在Rt△ACE中，AC=（2）[方法一]：两角和的正弦公式法由于cos∠ADC=-45由于∠ADC∈π2,所以sin∠DAC=sin∠ADC由于∠DAC∈0,所以tan∠[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法

在（1）的方法二的图中，由cos∠ADC=-45又由（1）可得tan∠EAC=[方法三]：几何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得AE=1,在Rt△ADE中，所以CD=在△ACD中，由正弦定理可得sin由此可得tan∠[方法四]：构造直角三角形法

如图，作AE⊥BC，垂足为E，作DG⊥在（1）的方法二中可得AE=1,由cos∠ADC=-在Rt△ADE中，由（1）知sinC=55，所以在Rt△在Rt△ADG中，所以tan∠【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得b=5，然后使用正弦定理求得sinC；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得∠DAC的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得∠89．2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P(x)（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足P(x)=1+kx10202530Q110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．(1)求k的值；(2)给出两种函数模型：①Q(x)=ax+b，②(3)求该商品的日销售收入f(x)（1≤【答案】(1)k(2)选择②，Q(x)=125-|x-(3)121元【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元，列式求得答案；（2）由表中数据的变化可确定Q(x)=a|（3）讨论去掉绝对值符号，分段求出函数的最小值，比较可得答案.【详解】（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元，所以P(10)⋅Q(10)=（2）由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，故只能选②:Q代入数据可得：110=a|10-25|+b120=a所以Q(x)=125-|x-（3）由（2）可得，Qx所以，fx所以当1≤x<25，x∈N*时，f所以当x=10时，f(x当25≤x≤30，x∈所以当x=30时，f(x综上，当x=10时，f(x所以该商品的日销售收入最小值为121元．90．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为23（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.【答案】（1）3π；（2）9【解析】（1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积；（2）圆柱的高OO1=h，OD=r，再由△A【详解】解：（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示：设OB=R，在半圆⊙A中，AB=23，这是圆锥的底面周长，所以2πR所以R=故圆锥的底面积为S圆锥（2）设圆柱的高OO1=h在Rt△AOB中，∵△AO1D1即3-h3=S圆柱侧面积=-23所以，当r=32此时V圆柱【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是由圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等，从而求出圆锥底面圆的半径.91．统计某班级20名学生数学期末考试成绩（单位：分）的频率频率分布直方图如图所示：（1）分别求出成绩落在50,60与60,70中的学生人数；（2）从成绩在60,70和80,90的学生中按照分层抽样的方法抽取6人参加全校数学文化知识竞赛，如果有2人获奖，求这2人的成绩都在80,90中的概率.【答案】（1）成绩落在50,60中学生人数为2，成绩落在60,70中学生人数为3；（2）25【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1求出实数a的值，并计算出成绩落在50,60与60,70中的学生所占的频率，乘以20可得结果；（2）列出所有的基本事件，并确定事件“所抽的2人的成绩都在80,90中”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）据直方图知组距为10，由2a×2+3a成绩落在50,60中学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在60,70中学生人数为3×0.005×10×20=3；（2）从成绩在60,70和80,90的学生中按照分层抽样的方法抽取6人，成绩落在60,70有2人，成绩落在80,90有4人，记成绩落在60,70中的2人为A1、A2，成绩落在80,90中的4人为B1、B2、则从6人选2人的基本事件共有15个：A1,A2、A1,B1、A1,B2、A1,B3、A1,B4、其中2人的成绩都在80,90中的基本事件有6个.故所求概率为615【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）列表法；（3）数状图法；（4）排列组合数的应用.92．在平面四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=5，AB（1）求sin∠BAD（2）若BC=4，求DC的长【答案】（1）473；（2）【分析】（1）利用正弦定理求出sin∠ABD，进而求出cos∠ABD，由sin∠BAD=【详解】（1）因为ABsin∠ADB=ADsin∠ABD，所以因为sin∠所以sin∠（2）因为BDsin∠DAB因为AD⊥CD，∠BDA由余弦定理可得BC即16=64+DC2【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题.93．为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量ft(单位：mgm3)与时间t(单位：h）的函数关系为ft=kt,0<（1）求k的值；（2）若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？【答案】（1）k=2；（2）7【分析】（1）把t=12（2）根据ft≥【详解】（1）由题意可知f12=（2）因为k=2，所以f又因为ft所以0<t<122t≥34由23-394．2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了60名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布