2024高考必考数学模拟试题含解析

高考模拟检测卷（一）试题

数学

一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小

题，每小题5分，满分45分）

1.设全集U={xeZ|-3<x<4},集合A={—2,0,1,2},5={-1,0,1},则

A&可=（）

A.{-2,2}B.{-1,3}C.{-2,2,3}D.{-1}

【答案】A

【解析】

【分析】首先确定全集U,根据交集和补集定义直接求解即可.

【详解】•C/={xeZ|-3<x<4}={-2,-1,0,1,2,3},.-.^={-2,2,3},

.•.4（”）={-2,2}.

故选：A.

2.在等比数列{4}中，公比是心则“4>1”是“%>%（〃。*）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必

要条件

【答案】D

【解析】

【分析】根据等比数列的单调性举出反例，如q=T,再根据充分条件和必要条

件的定义即可得出答案.

【详解】解：当％=-1时，则4=一尸，

因为4>1,所以所以

故a”+i<%（"eN*）,

所以q>l不能推出%+i

当q=—1时，则为=_01,

由册+i>eN*),得-q">-q、

则所以。<q<l,

所以a”+i>an(neN*)不能推出q>l,

所以“q>1”是“an+l>%(〃eN*)”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

3.函数7•(x)=x：sm”的图象大致为()

%■+1

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及/的值来确定正确选项.

【详解】由题意，函数解x)=x的定义域为R,

x+1

“、一x-sin(-x)sin%-x”、-一，，，,

且f(-X)=--~~—=—2~—=-/(X),所以函数/(尤)为奇函数，

(-X)+1X+1

其图象关于原点对称，所以排除C、D项,

〉°，所以排除B项.

故选：A

4.下列说法正确的是()

A.若随机变量p(X>2)=0.2,则P(0<X<l)=0.2

B.数据7,4,2,9,1,5,8,6的第50百分位数为5

C.将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变

D.设具有线性相关关系的两个变量羽y的相关系数为％则卜|越接近于0,x和y

之间的线性相关程度越强

【答案】C

【解析】

【分析】A.根据随机变量X~N（l,b2）求解判断；B.利用百分位数定义求解判断；

C.利用平均数和方差公式求解判断；D.利用相关系数越接近于1,x和y之间的线

性相关程度越强判断.

【详解】A.因为随机变量所以〃=1,因为P（X>2）=0.2,所以

P（X<0）=0.2,则P（O<X<2）=1—0.2—02=0.6,所以P（0<X<1）=0.3,故

错误；

B.数据7,4,2,9,1,5,8,6的第50百分位数为5.5,故错误；

-1

C.设一组数据为和々,％,则平均数为X=—（为+々+…+X.），方差为

n

S1=）［（%一,2+（马—勾2+...+（%—,将数据中的每一个数据加上同一个常

数后为占+a,4+a,...,+a,则平均数为

——]

x

X，=—(X]+4+•••+n)+a,方差为

+...+(X口,所以将一组数据中的每一个数

据加上同一个常数后，方差不变，故正确；

D.设具有线性相关关系的两个变量x,y的相关系数为r,则N越接近于1,x和y

之间的线性相关程度越强，故错误；

故选：C

已知幕函数外力的图象经过点（）与点）

5.43,275&64,a=log0[t,匕=0.2',

c=t0A，则()

A.c<a<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<b<a

【答案】B

【解析】

【分析】设幕函数/'（"=丁，依次将点A,点B坐标代入，可得心结合指数函数

和对数函数性质即可得到答案.

【详解】设募函数=因为点1（3,27）在外力的图象上,

所以27=33。=3,BP/（%）=?,

又点B064）在“X）的图象上,所以64=尸，则/=4,

所以。=嘀］4<0,0</?=0.24<bc=401>1,

所以

故选：B

6.已知一个正三棱柱所有棱长均为3,若该正三棱柱内接于半球体，即正三棱柱的

上底面的三个顶点在球面上，下底面的三个顶点在半球体的底面圆内，则该半球体

的体积为（）

A.32事）兀B.16后C.481D.24不

【答案】B

【解析】

【分析】根据正三棱柱的几何特征，确定球的球心和半径，即可求解.

【详解】由条件可知底面等边三角形©ABC的中心。是球的球心，

0C=gx3=6，CQ=3,所以OU=,3?+（也『=26,即7?=26

Bi

所以半球的体积g乃代=16岳.

故选：B

122

7.设抛物线和：丫=卫必与双曲线C2：a=1（。〉0］〉0）有公共的焦点居

直线/为过双曲线另外的一个焦点且与其渐近线平行的直线，F到直线/距离为

273,则双曲线。2的离心率为（）

A.2B.&C.非D.”

7

【答案】A

【解析】

【分析】由抛物线方程求出公共的焦点尸（0,2）,不妨设/：y=f尤-2,由点到直

b

线的距离公式及双曲线中”,4C的关系即可求解.

【详解】解：由题意，因为抛物线G：y=^x2,即V=8y,

O

所以抛物线a的焦点产（0,2）,

22

所以双曲线C2：鼻—0=i（a>o力〉0）与抛物线C1的公共焦点为网0,2）,另一

ab

个焦点为（0,-2）,

因为直线/为过双曲线另外的一个焦点且与其渐近线平行的直线，

所以不妨设/：y=-x-2,即依—纱—2b=0,

b

/、「LXO-Z?X2-2Z?|1-

因为尸(0,2)到直线/距离为2如，所以—r=~'-=2瓜又

E

Q2+/=22=4,

所以。=A/3,

所以。=1,

c2

所以双曲线。2的离心率6=—=—=2,

a1

故选：A.

8.已知函数/(x)=(：0$4%—25111%(：05%—01114%.给出下歹!!结论：.

①“X)的最小正周期为阴

②“可在区间-“了上是增函数；

5

③〃尤)的图象关于直线x=?7r对称；

O

34

④把函数y=0sin2x的图象上所有点向左平移?个单位长度，可得到函数

8

y=/(x)的图象

其中正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】将原式化简为/(x)=-0sin(2x-?),即可判断①；利用整体代入法求

、

单调区间可判断②；将％=丁7r代入/(%)解析式，根据是否取到最值可判断③；根

O

据图象平移变换可判断④.

【详解】解：/(x)=cos4x-sin4x-2sinxcosx

=cos2x—sin2x—2sinxcosx=cos2x—sin2x=-近sin(2x—f),

所以T==区故①正确；

2

TTTTTTTT

由一巴+2左+2左乃，^--+k7i<x<—+k7i,

24288

TT37rTCTC

当上。时，xe,可确定在-：,丁不单调，故②错误；

将X=当代入/(X)=-V2sin(2x-f),所以/(")=-0sin(2义"—彳)=0

84884

故"X)=-形sin(2x-工)不关于x=孚对称，故③错误；

48

函数y=夜sin2x图象上所有点向左平移—个单位长度，

8

得至!!y=®sin2^%+^^=V2sin^2x+^^=A/2sin(2x—：)+兀

=-V2sin^2x-^=/(x),故④正确.

故选：B

9.已知函数〃x)=-sinx-2kinx|,关于x的方程尸⑺+府⑺_1=。有以下

结论

①当心0时，方程/2(x)+G/(x)-1=0在［0,2句最多有3个不等实根；

②当0Wa<3时，方程/⑴+&/⑺-1=0在［0,2句内有两个不等实根；

③若方程/2(x)+&/(x)—1=0在［0,6句内根的个数为偶数，则所有根之和为

15万；

④若方程/(x)+后/⑺―1=0在［0,6句内根的个数为偶数，则所有根之和为

367r.

其中所有正确结论的序号是()

A.①③B.②④C.①④D.①②③

【答案】A

【解析】

【分析】探讨函数/（X）的值域，求出方程/2（耳+&/（耳一1=0的根情况及范围,

画出y=〃x）的图象与直线y=4，结合图形探讨4个命题作答.

-3sinx,2k7r<x<2kji+TI

【详解】依题意，/（%）=＜[sinx,2.+»O<2.+2/壮％,函数，的值域

为[-3,0],

由r(x)+&/(x)—i=o解得：/(吁1,

6+^^/(X)=V£±4Z^>0

（舍去）,

而。之0,令仆=_®普EL"1,则方程/2（x）+&“x）_i=o的根是函数

y=/（尤）的图象与直线y=4交点横坐标,

作出函数y=/（元）在［0,6句的图象与直线y=4，如图,

-3sinX,0<X<TT

当为«0,2旬时,/(%)=<’观察图象知，

当。=0时，彳=一1,函数y=/（元）的图象与直线》有3个交点,

64

当0＜。＜不时，-3＜?1＜-1,函数y=/（x）的图象与直线y=%有2个交点,

64

当时，z=_3,函数y=〃x）的图象与直线》有1个交点,

64

当。＞至时，：＜-3,函数y=/（x）的图象与直线＞没有交点,

所以当。之0时，尤e［0,2兀］,函数y=/（元）的图象与直线yj的交点可能有3个、

2个、1个、0个，①正确，②不正确;

当Xe[0,6句时，函数尸/（%）在[0,6句的图象与直线y=tA的交点个数为偶数,

64

观察图象知，此时0<。<豆，—3<%<—1,即直线丁=4与y=/（x）的图象在

[0,»],[2%,3乃],[4乃,5乃]上各有两个交点,

它们分别关于直线》=（,无=与，》=?对称，这6个交点横坐标和即方程6个根的

和为：2X|+2X^+2X^=15^,③正确，④不正确，

所以所有正确结论的序号是①③.

故选：A

【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数：作出函数式x）的图象，观察与龙轴

公共点个数或者将函数变形为

易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中的

相应横线上）

10.i是虚数单位，则丁的值为__________.

4-31

【答案】[

【解析】

【分析】先化简复数，在求模长.

2+i_（2+i）（4+3i）_5+10i_l+2i_12.

【详解】

4-3i（4-3i）（4+3i）25555

所以2+i6

4-3i55

故答案为：y

11.在二项式近]的展开式中，各项系数的和为32,则展开式中:的系数是

.（用数字作答）

【答案】-90

【解析】

41

【分析】令X=1可求得。，由此可得展开式的通项，令一--5=-1即可求得一的

3x

系数.

【详解】令x=l,则（a—1）:32,解得：。=3,

二近]展开式通项为：Z+i=c＞（3]*Q'=（—lyi-q•户'「I

41A

令―5=—1,解得：r=3,J—的系数为（―iyx32xC；=—90.

故答案为：-90.

12.直线/：%—'一"2=。被圆。：/+/-4x+6y-3=0截得的弦长为4夜，贝U机

的值为.

【答案】1或9

【解析】

【分析】根据圆的弦长公式计算即可.

【详解】x2+y2-4x+6y-3=0=>(x-2)2+(y+3)2=16,

圆心C（2,—3）,半径r=4,

|2+3-m|

圆心C到直线/的距离4=

则2^/7牙=4应，即16——「『=8,解得m=9或1.

故答案为：9或1.

13.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为

盛行，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游成参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别

为若每人均投一次，则仅有一人投中的概率为;若每人均投壶3

次，则甲比乙多投中2次的概率为

【答案】①.J##0.5②.1

/6

【解析】

【分析】分甲中、乙不中和乙中、甲不中两种情况讨论结合独立事件的概率公式即

可求出仅有一人投中的概率；分乙中0次甲中2次和乙中1次甲中3次两种情况讨

论结合独立事件的概率公式即可求出甲比乙多投中2次的概率.

【详解】解：当甲中、乙不中时，概率为—j=

当乙中、甲不中时，概率为［—=

所以仅有一人投中的概率为2+J=:，

362

当乙中0次甲中2次时，概率为x“—JxC；x(l—j=g,

当乙中1次甲中3次时，概率为=/

所以甲比乙多投中2次的概率为L+'=，.

9186

故答案为：：；

/6

14.已知正实数满足3Q+/?=2,则+g)的最小值为.

【答案】"##33：

33

【解析】

【分析】将所求式子化为团十-13-6,利用基本不等式可求得而的取值范围，根

ab

据对勾函数单调性可确定乃+:-62学，由此可得最小值.

ab3

【详解】

J+113+八一(4+1)仅N+9)_a2b2+9a2+b2+9_a2b2+(3a+b^-6ab+9

Va)\b)ababab

a2b2-6ab+13,13，

-ab-\o；

ab---------ab

3〃+Z?=222J3ab（当且仅当3a=Z?=l时取等号），解得：ab<--

…y=%+”在］。,彳上单调递减，，+——6>—+39—6=.

%I3」ab33

即,+f+1］的最小值为g.

4出心生

故答案为：100.

15.在AABC中，AB=AC=3,AD=4BD^2CE=DA,AECD=-8,则

cosABAC=,若动点歹在线段AC上，则D.EF的最小值为

【答案】①.1##0.5②.-6

【解析】

【分析】第一空：用AC,分别表示出AE,8,再由数量积的定义及运算律即

可求出cosABAC；

第二空：^AF=2AC(O<2<1),用AC,A£>分别表示出。由数量积的定

义及运算律表示出O.Eb，结合二次函数求出最小值.

第一空：AD=AB+BD=4BD>贝UAB=38。，贝1」AD=4,又

AE=AC+CE=AC+^DA=AC-^AD,CD=CA+AD=-AC+AD故

AECD=^AC-^A^-AC+AD^=-AC2+^ACAD-^AD2

31

=-9+-x3x4xcosZBAC-8=-8,解得cosZBAC=—；

22

第二空：T^AF=/IAC(0</1<1),DF=DA+AF=-AD+AAC

EF=EC+CF=1AD+(A-I)AC,则

DF-EF=(-AD+2AcV|AD+(2-l)Acj=-1AD2+H-121AD-AC+2(2-l)AC2

=-8+6^1-12^|+92（2-l）=922-122-2=9^2-|^|-6,当2=g时，

DF-EF取得最小值-6.

故答案为：g；—6.

三、解答题（本大厦5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或

演算步骤

16.在qABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

b,=acosC「+——csi•nA人.

3

（1）求角A的大小：.

（2）若〃二近，b<c,_ABC的面积为£1.

2

①求4c的长；

②求sin05-的值.

IT

【答案】（1）y

（2）@b=2,c=3；②萼

14

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据诱导公式及两角和的正弦公式计算可

得；

（2）①由面积公式得到历=6,再由余弦定理得到〃+c=5,解得即可；

②由余弦定理求出cosB,再根据同角三角函数基本关系求出sinB,再利用二倍角

公式及两角差的正弦公式计算可得；

【小问1详解】

解：因为6=acosC+Y^csinA,

3

由正弦定理得sin5=sinAcosC+^-sinCsinA

3

又sin3=sin［乃一（A+C）］=sin（A+C）,

+

所以sin（A+C）=sinAcosCsinCsinA9

即sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+——sinCsinA

3

所以cosAsinC=--sinCsinA,

3

又sinCw0,故tanA=A/3.

在一ABC中，Ae（O,〃），所以A=2.

【小问2详解】

①_ABC的面积S=L/jcsinA=%叵，得be=6,

22

由余弦定理，得a?=匕2+°2-2bccosA,

由a=A可得7=〃+c2—次，

整理得7=0+c）2—3人c,解得Z?+c=5,

又故b=2,c=3.

②方法一：

由余弦定理，Mb1=a1+c2—2tzccosB,

又b=2,c=3,故cosB—fD二五

2ac7

所以sinllZ八理

sin2B=2sinBcosB=2义叵义^-=

777

41

cos2B—2cos9B—1=2x—1=—,

77

故sin2B----=sin2Bcos------cos2Bsin—

I6)66

4A/3^/31111

=---------X---------------X—

727214

方法二：

V7_2厂

由正弦定理上7=一得京=赤,故sinB=0,

sinAsinB—7

2

又b〈c,故5vC,cosB>0,

从而cosB=‘jin"—

sin23=2sin3cos5=2义叵乂^^=迪

777

41

cos2B—2cos9B—1=2x—1=—,

77

sin2B----=sin28cos------cos2Bsin—

I6J66

4A/3731111

---------X---------------X—

727214

17.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A8CO是直角梯形，

ZABC=ZBAD^90°,APL^-^ABCD,AB=BC=2AP=2AD=2,点、M、N

分别为线段BC和PD的中点.

pk

N

/Ay\

//✓✓\✓

///✓\\✓✓、

//✓✓\✓/、、

//\/、

/✓\✓、

BMC

（1）求证：AN，平面POM；

（2）求平面PDM与平面PDC夹角的正弦值；

（3）在线段PC（不包括端点）上是否存在一点E,使得直线BE与平面PDC所成角

的正弦值为;，若存在，求出线身PE的长：若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；

（2）j；

（3）存在，PE=L

3

【解析】

【分析】⑴证明AMLPD,再证AfD_L平面APD得MDL4N即可；

⑵以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为左轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

系，求出各点坐标，求出平面和平面PDC的法向量，利用向量方法即可求

解；

⑶利用⑵中空间直角坐标系，利用向量方法即可求解.

【小问1详解】

方法一："：AD//BC,且=

：.BM//AD,且8吐AO,

...四边形ADMB是平行四边形，

AB//DM,

VZSAD=90°,则Amw,

：4尸，平面ABC。，ZM/u平面ABC。，

：.APLDM,又ADAP=A,

平面又4Vu平面B4。，

:.DMLAN,

VAP=AD,N是PO的中点，

：.PD±AN,又DA/iPD=D,PD、。知＜=平面「。”，

平面PDM；

方法二：以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所

示的空间直角坐标系.

则4（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,D（0,l,0）,尸（0,0,1）,“（2,1,0）,

则P£>=（O,l,—1）,DM=（2,0,0）,AN=],；,g

设平面PDW的法向量为"z=(x,y,z),

m-PD=0y-z=0

则.即《取y=i则Z=1,X=0,贝U7〃=（0,1,1）,

m-DM=02x=0

AN=—m,则AN//m，

.,.AN_L平面PDM；

【小问2详解】

PD=（O,l,-l）,DC=（2,1,0）,设平面POC的法向量为〃=（a,反c）,

n-PD=0fb—c=0

，贝叫c,n取b=2,贝Ua=-1c=2,则n=（-1,2,2）,

n-DC=Q[2a+b=Q

由(1)知平面POM的一个法向量为加=(O,Ll),

设平面PDM与平面PDC的夹角为。，

则cos0=cos（m,n）\=-n—=-j=—=——,

m\\nv2-33

sin0=A/1-COS2*40=-,

3

平面PDM与平面PDC夹角的正弦值为!；

【小问3详解】

假设存在点E,设P£=/LPC（O</1<1）,

BP=（-2,0,1）,PC=（2,2,-1）,PE=（24,2/1,—4）,

则BE=BP+PE=（22—2,22,1—几）,

设直线BE与平面PDC所成角为。，

由⑵知平面PDC的一个法向量为n=（-1,2,2）,

IIBEF42

则sincp=cos<BE,n>\=n=-

11BE^nV922-102+5-V93

化简得9%_1（U+1=0,即（9彳—1）（彳_1）=0,

0</I<1,A=—,故PE=—PC,

99

■：PC=（2,2,-1）,则,4=3,

p£pc=1x3=1

••­Il4ll93

...线段PE的长为:.

22

18.已知椭圆C：=+==l（a〉6〉0）,其昌心率为；，右焦点为厂，两焦点与短

ab

轴两端点围成的四边形面积为2百.

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）直线,与椭圆有唯一的公共点〃（M在第一象限，此直线/与y轴的正半轴交

3

于点N,直线N厂与直线交于点P且840b=亍54.，求直线/的斜率.

22

【答案】（1）土+匕=1

43

【解析】

【分析】（1）由已知可得出关于。、b.C的方程组，解出这三个量的值，即可得

出椭圆C的标准方程；

（2）由题意可知，直线/的斜率存在且不为零，设直线/的方程为？="+加，且

机/0,将直线Z的方程与椭圆C的方程联立，由A=0可得出加=4〃+3,列出韦

一3

达定理，求出点A/、N的坐标，进而求出点尸的坐标，由已知可得出丁?=亍以，

可求得初1=-1,结合病=4左②+3可求得女的值.

【小问1详解】

1

2a—2

由题意可得＜（202=26,解得b=G,

解:

C=1

a1=c2+b2

22

因此，椭圆c的标准方程为：—+^=1.

43

【小问2详解】

解：由题意可知，直线/的斜率存在且不为零，设直线/的方程为？=履+利，且

mwO,

y=kx+m

联立X2y2,消去y并整理，得（3+4左2）/+8输+4切2—12=0,

143

A=64左2疗一4（4左2+3）（4/n2-12）=0,可得加？=3+4左？，

上士r,日8km8k4m2-12

由韦达定理可得%+%―不一~-----，XiX=-------

-4k2+3m12248+3

4k3_

M+%=k（x、+x）+2m=———,则点"

-2mmm

4k八

----->0

mk＜03

因为点尸在第一象限，则，则《加〉直线。”的方程为一获

U>00'y=X'

在直线/的方程中，令尤=0可得＞=7%即点N（0,〃z）,易知点尸（1,0）,

k==-m,则直线NF的方程为丁=一加（九一1）,

NF（J—1

g4km

3X-------

V—■-X4km3m

联立V74k7可-r4得B14^7-3,即点尸

/1\3m4km-34km-3

y=—mix—1y=------------

'7I4km—3

333TH3m

因为“四=亍5次两，，即孙=亍6，BP--一-=-＞可得km=—l,则

774km-37

1

m——,

k

将根=—；代入病=4犷+3可得（4左2—1）92+］）=0,贝心2=；,

K-

左＜0,解得左=一’.

2

【点睛】关键点点睛：本题考查利用三角形面积之间的等量关系求出直线的斜率，

解题的关键在于求出点P的坐标，将三角形面积的等量关系转化为两点坐标之间的

关系，进而构建等式求解.

19.已知数列｛%｝是等差数列，其前〃项和为4，a?=15,4=63；数列也｝的

前〃项和为纥，24=3"—3（〃eN*）.

（1）求数列｛4｝,也｝的通项公式；

（2）求数列二-的前几项和S“；

lAj

⑶求正品＜2.

n

【答案】(1)4=2〃+1,bn=3

_32〃+3

⑵”一厂2(〃+1)(〃+2)

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前〃项和公式，可得巧,d,即可求得

｛为｝的通项公式；当”=1时，得到伪，当“22时，利用2纥-2纥_1=3〃-3仇_1，

可判断｛2｝为首项为3,公比为3的等比数列，即可求解;

11If111

（2）由（1）可得丁=7一~右=：------L利用裂项相消法求解即可;

A+2\nn+2）

a22〃+1

（3）由（1）结合等比数列的前九项和公式可得言n=7'与]；.

方法一：由3"—1=3x3"T—1=2x3"T+3"T—1>2x3,1-1可得

a22〃+1—22n+l2M+1

n^—^-x--p---,利用错位相减法求得

DnJJ—1JZXJJ

T352n-l2n+l、.工、十门口

（=§+?++亨厂+二^，进而证明；

方法二：结合二项式定理可得

3"—1=0+2)"-l=C：+C：x2++C"x2"-1C°+C>2+C>22-1>2/1+1

,根据不等式的性质可知殳里W2（〃十°,再利用错位相减法求解，即可证明;

3"-13"

Q]

方法三：用分析法证明」且〈彳，再结合等比数列的前九项和证明即可.

C.2

【小问1详解】

数列｛«„｝是等差数列，设公差为d,

%=%+6。=15

4=7q+7；6d-63

q+6d=15

化简得＜

q+3d=9

解得q=3,d-2,

a“=2“+1,neN*.

由已知2与=3〃—3,

当〃=1时，2Bi=3b「3=2b「解得仇=3,

当心2时，2垢=3%-3,

•••2B„-2B„_1=(3bn-3)-(3bn_1-3)=3bn-3%,〃6N*，

即2=3%,

•••数列也”｝构成首项为3,公比为3的等比数列，

b"=3",eN*.

【小问2详解】

由⑴可得4=〃.+4)="3+2〃+1)=+2),〃eN"

・・.1二111

・'4〃(〃+2)〃+2「

・S„+'+1]]

""1x32x43x5

1.11111111111、

1-----1-------------1------------F+-----------------1-----------------------1-----------------

232435n—2nn—1n+1nn+2J

_1_____1____1______1__31(1।1)_32i+3

2(2n+1n+2)42(〃+ln+2J42(〃+l)(〃+2)

【小问3详解】

由⑴可得8JU3")=3(3"—1),〃eN*,

“1-32

an_2〃+122/i+l

则瓦=3(3"—1)=耳*3'-],

2

方法一：

•；3"—1=3x3"T—1=2x3"T+3"T—1>2x3”7，

22〃+12n+l2n+l

—x----------W—x--------

33〃一132X3〃T

352n—12n+l

令-\----------l------------

30T3"

IT352n-l2n+l

~T=-H—T+--+---------1---------7

332333"3n+1

两式相减可得=l+2xg+：+

〃

:l=2-+2

-3^

a,2(2+14+16+1+〃+2.

Y^=-x——+--+--+--+-------W2--------<2

£瓦3U-132-133-13,;-1)3”

方法二：

:九22时,

3,!-l=(l+2)"-1=C°+C>2++C；；x2,!-1C°+C>2+C；x22-1>2n+l

根据“若a〉b>0,〃2>0,则？<丝竺"，可得生tlw.S+D,

aa+m3n-13〃

2+14+16+12n+l(32x3+2x(〃+l)、

----------1----------1----------FH------------x-+——+

23(232

3-13-13-13"-13"7

2x32x42义(〃+1)

令7=o—I------;---H

32333"

2x32x42xn2x(n+l)

++^r+~-

777x1Oy!2x12x（〃+l）

两式相减可得3T=4+等+与+-------------------------

3333343"3"+i

2

1-

231

=—+一

3

72n+5

62x3"

：.T<-,

6

2+1

k=\勺3I3-1

方法三:

罟,下一步用分析法证明“g+i<J_,,

令G

2

（2n+3）（3H-l）

Q|1

要证」包＜即证

7,<2,

12

即证（4/7+6）（3"-1）＜（2/7+l）（3n+1-l）,

即证—2〃—5<（2〃—3）3”,

当aeN*,显然成立,

.』+iv1

n-1、

Ey=|x（ci+c++%）=|x352n+l（33131

2—+-+H---<------x-—+—x—++—x

k=\433283"-l322222-

w

23331」1<2

=­x—x

3232"

2))

【点睛】证明数列不等式，放缩法是其中一种重要的方法，放缩的目的是为了转化

为等差数列，等比数列及相关数列，则可利用公式进行求解，需注意放缩的范围不

能过大.

20.已知函数/（x）=21nx-ax2+2大一1,g（x）=/（x）-2ar+3（ae7?）.

（1）若/⑴=—1,求函数y=/（x）的单调增区间；

（2）若关于x的不等式g（x）W0恒成立，求整数。的最小值；

（3）当0＜。＜1时，函数g（x）恰有两个不同的零点%,多，且不＜当，求证：

47

XyH---Xry＞-----.

13-3«

【答案】（1）单调增区间为（04）

（2）2（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先求出。=2,再利用导数求出/（力的单调增区间；

（2）先利用分离参数法得到a,W：+x+l）对x«0,y）恒成立.令

x+2%

,z\2（lnx+x+l）1、口/口口出而__2（x+l）（21nx+x）古人

求导得到⑶一&+2x;，再令

X十乙X1人T乙人J

O（x）=21nx+x,判断出抽使0（/）=0,得到/z（x）在（0,天）上单调

递增，在（%,+（»）上单调递减，求出"（x）max=,，得到。三,€（1,2）.由qeZ,

X。玉）

求出整数〃的最小值；

2

（3）用分析法证明：当。＜，＜1时，把题意转化为只需证%+%＞—.先整理化简得

a

不1I2（片-石）+2（再-％）口中立,、（X--考）+2（%-%）人

叱=（1呻—”）+（”/）'只而g+%＞（lnx-I?）■令

，=:（0』），构造函数G（/）=ln"[^?,利用导数证明出In”当J即证.

【小问1详解】

当/⑴=—1时，/（-1）=-«+2-1=-1,所以"2,

贝Ij/'（x）=21nx—2x2+2x—l,定义域为（0,+"）.

令,2（XT［（2X+1）〉0,解得

：0<%<l.

所以的单调增区间为（0,1）.

【小问2详解】

依题意g（力=/（力—2依+3W0对xe（0,转）恒成立，等价于a2、•+川）

%一+2x

对xe（0,+co）恒成立.

/、2伽x+x+1）nJ"/——2（"+l）（21nx+x）

令h（x）=----------2,则“⑴-----/—nv-------

V'X2+2X（X-+2X）

令O（x）=21n%+尤在（0,+oo）上是增函数，

0⑴=1>0,/；］=；+21n；=；（l-41n2）<0

\乙J乙乙乙

所以居g,l

使0（%）=0即21nxo+5=0

对Vxe(O,%),研尤)<0,旗力>0,所以可尤)在(0,%)上单调递增;

对Vx«Xo，+8),9(x)>0,”(x)<0,所以人(%)在(9,+oo)上单调递减.

所以皿1小)=号上;其1

5

所以。三一e(1,2).

xo

又acZ,所以整数。的最小值2

【小问3详解】

当0<