北京石景山2024年中考数学最后一模试卷含解析

北京石景山2024年中考数学最后一模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.2x-y=3B.x2+-=2C.x2+l=x2-1D.x（x-1）=0

x

2.滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表:

计费项目里程费时长费远途费

单价1.8元/公里0.3元/分钟0.8元/公里

注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；

远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.

小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴

快车的行车时间相差（）

A.10分钟B.13分钟C.15分钟D.19分钟

3.如图所示，在长为8cm,宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那

么剩下矩形的面积是（）

..

A.28cm2B.：27cm2C.21cm2D.20cm2

计簟33x

4."算(1)2的结果为（)

(x-1)2

3333

A.B.C.D.

1-Xx-1(1-x)2U-1)2

5.某车间需加工一批零件，车间20名工人每天加工零件数如表所示:

每天加工零件数45678

人数36542

每天加工零件数的中位数和众数为（）

A.6,5B.6,6C.5,5D.5,6

6.如图，等边三角形ABC的边长为3,N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从

点A出发，沿A-B-C的方向运动，到达点C时停止.设点M运动的路程为x,MN2=y,则y关于x的函数图象大

致为

A.B.C.D.

7.下列计算中，错误的是（）

A.2018°=1;B.—2?=4；C.）=2；D-3Tq.

8.一组数据8,3,8,6,7,8,7的众数和中位数分别是（）

A.8,6B.7,6C.7,8D.8,7

9.在正方体的表面上画有如图1中所示的粗线，图2是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图1中

剩余两个面中的粗线画入图2中，画法正确的是（）

B•即c.rFPD.rFP

匕II匕1I

10.通过观察下面每个图形中5个实数的关系，得出第四个图形中y的值是（）

0)

TVT

4(-7；—f-3I~(工

B.-8C.-12D.12

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

，——3

11.已知点A(a,yi)>B(b,yz)在反比例函数y=—的图象上，如果a<b<0,那么yi与y2的大小关系是：yi—y2；

12.一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36,则输出的结果为106,要使输出的结果为127,则输

入的最小正整数是.

输入x计算3x-2的值输出结果

13.半径为2的圆中，60。的圆心角所对的弧的弧长为.

14.若方程x2+(m2-1)x+l+m=0的两根互为相反数，则m=

15.如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8加，两侧离地面4根高处各有一盏灯，两灯

间的水平距离为6加，则这个门洞的高度为m.(精确到Sb%)

16.如图，在平面直角坐标系中有矩形ABCD,A(0,0),C(8,6),M为边CD上一动点，当△ABM是等腰三角

形时，M点的坐标为.

Bx

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)某制衣厂某车间计划用10天加工一批出口童装和成人装共360件，该车间的加工能力是：每天能单独加工

童装45件或成人装30件.

(1)该车间应安排几天加工童装，几天加工成人装，才能如期完成任务；

(2)若加工童装一件可获利80元，加工成人装一件可获利120元，那么该车间加工完这批服装后，共可获利多少元.

18.（8分）已知△ABC中，AD是/BAC的平分线，且AD=AB,过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H.

（1）如图1,若NBAC=60。.

①直接写出NB和NACB的度数;

②若AB=2,求AC和AH的长;

（2）如图2,用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明.

19.（8分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下:

今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何？

译文为：

现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格

是多少？

请解答上述问题.

20.（8分）某花卉基地种植了郁金香和玫瑰两种花卉共30亩，有关数据如表：

成本销售额

（单位：万元庙）（单位：万元庙）

郁金香2.43

玫瑰22.5

（1）设种植郁金香x亩，两种花卉总收益为y万元，求y关于x的函数关系式.（收益=销售额-成本）

（2）若计划投入的成本的总额不超过70万元，要使获得的收益最大，基地应种植郁金香和玫瑰个多少亩？

21.（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上.在图中画出以

线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的顶点上；在图中画出以线段AB为一腰,

底边长为20的等腰三角形ABE,点E在小正方形的顶点上，连接CE,请直接写出线段CE的长.

3%-1<5

22.(10分)〈

-2(%+1)-1<X

23.（12分）（1）问题发现

AB__

如图1,在RtAABC中，ZA=90°,——=1,点P是边BC上一动点（不与点B重合），ZPAD=90°,ZAPD=ZB,

AC

连接CD.

PB

（1）①求而的值；②求NACD的度数.

（2）拓展探究

AB

如图2,在RtAABC中，ZA=90°,——=k.点P是边BC上一动点（不与点B重合），ZPAD=90°,NAPD=NB,

AC

连接CD,请判断NACD与NB的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由.

（3）解决问题

如图3,在△ABC中，ZB=45°,AB=4夜，BC=12,P是边BC上一动点（不与点B重合），NPAD=NBAC,

ZAPD=ZB,连接CD.若PA=5,请直接写出CD的长.

24.如图，ZA=ZD,ZB=ZE,AF=DC.求证：BC=EF.

B

D

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

试题解析：A.含有两个未知数,B.不是整式方程,C没有二次项.

故选D.

点睛：一元二次方程需要满足三个条件：⑴含有一个未知数，（2）未知数的最高次数是2,（3）整式方程.

2^D

【解析】

设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，根据计价规则计算出小王的车费和小张的车费，建立方程求

解.

【详解】

设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：

1.8x6+0.3x=1.8x8.5+0.3y+0.8x（8.5-7）,

10.8+0.3x=16.5+0.3y,

0.3（x-y）=5.7,

x-y=19,

故答案为D.

【点睛】

本题考查列方程解应用题，读懂表格中的计价规则是解题的关键.

3、B

【解析】

根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得.

【详解】

AEC

RFn

解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE,

则矩形ABDCs矩形FDCE,

eA3BD

则一=——

DFDC

设DF=xcm,得到：—=—

x6

解得：x=4.5,

则剩下的矩形面积是：4.5x6=17cm1.

【点睛】

本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键.

4、A

【解析】

根据分式的运算法则即可

【详解】

3(1-x)3

解:原式=

(x-1)21-x

故选A.

【点睛】

本题主要考查分式的运算。

5、A

【解析】

根据众数、中位数的定义分别进行解答即可.

【详解】

由表知数据5出现了6次，次数最多，所以众数为5；

因为共有20个数据，

所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为二=6,

2

故选A.

【点睛】

本题考查了众数和中位数的定义.用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.将一组数据

按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如

果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

6、B

【解析】

分析：分析y随x的变化而变化的趋势，应用排它法求解，而不一定要通过求解析式来解决：

•••等边三角形ABC的边长为3,N为AC的三等分点，

，AN=1。.•.当点M位于点A处时,x=0,y=lo

①当动点M从A点出发到AM=g的过程中，y随x的增大而减小，故排除D；

②当动点M到达C点时，x=6,y=3-l=2,即此时y的值与点M在点A处时的值不相等，故排除A、C«

故选B。

7、B

【解析】

分析：根据零指数幕、有理数的乘方、分数指数惠及负整数指数幕的意义作答即可.

详解：A.2018°=1.故A正确；

B.—22=—,故B错误；

C.42_2,故C正确；

D.3-1=-,故D正确；

3

故选B.

点睛：本题考查了零指数塞、有理数的乘方、分数指数塞及负整数指数塞的意义，需熟练掌握且区分清楚，才不容易

出错.

8、D

【解析】

试题分析：根据中位数和众数的定义分别进行解答即可.把这组数据从小到大排列：3,6,7,7,8,8,8,

8出现了3次，出现的次数最多，则众数是8；最中间的数是7,则这组数据的中位数是7

考点：(1)众数；(2)中位数.

9、A

【解析】

解：可把A、B、C、D选项折叠，能够复原(1)图的只有A.

故选A.

10、D

【解析】

根据前三个图形中数字之间的关系找出运算规律，再代入数据即可求出第四个图形中的y值.

【详解】

V2x5-lx(-2)=1,1x8-(-3)x4=20,4x(-7)-5x(-3)=-13,；.y=0x3-6x(-2)=1.

故选D.

【点睛】

本题考查了规律型中数字的变化类，根据图形中数与数之间的关系找出运算规律是解题的关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11,>

【解析】

根据反比例函数的性质求解.

【详解】

3

反比例函数y=—的图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小，

X

而a<b<0,

所以yi>y2

故答案为：>

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=4（k为常数，k/0）的图象是双曲线，图象上的点（x,

x

y）的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.也考查了反比例函数的性质.

12、15

【解析】

分析：设输出结果为y,观察图形我们可以得出x和y的关系式为：y=3x-2,将y的值代入即可求得x的值.

详解：；y=3x-2,

当y=127时，3x-2=127,解得：x=43；

当y=43时，3x-2=43,解得：x=15；

17

当y=15时,3x-2=15,解得x=§.不符合条件.

则输入的最小正整数是15.

故答案为15.

点睛：考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键.

2

13、一兀

3

【解析】

60x7rx22

根据弧长公式可得:=-71

1803

2

故答案为一».

3

14、-1

【解析】

根据“方程3+(机2-1)x+l+机=0的两根互为相反数”，利用一元二次方程根与系数的关系，列出关于m的等式，

解之，再把m的值代入原方程，找出符合题意的m的值即可.

【详解】

•.•方程，+(--1)x+l+m=0的两根互为相反数，

/.1-m2—0,

解得：m=l或-1,

把，"=1代入原方程得：

x2+2=0,

该方程无解，

.,.m=l不合题意，舍去，

把桃=-1代入原方程得：

x2=0,

解得：Xl=X2=0,(符合题意)，

...m=-1,

故答案为-1.

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程两根之和，两个之积与系数之间的关系式解题的关键.若XI,X2

bc

为方程的两个根，则XI,X2与系数的关系式：%+X,=--,为-々=一.

aa

15、9.1

【解析】

建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标

【详解】

如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系

由题意可知各点坐标为A(-4,0)B(4,0)D(-3,4)

设抛物线解析式为y=ax2+c(a/0)把B、D两点带入解析式

可得解析式为y=—则c（0,

64

所以门洞高度为亍ma9.1m

【点睛】

本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键

16、(4,6),(8-2f6),(2「，6).

【解析】

分别取三个点作为定点，然后根据勾股定理和等腰三角形的两个腰相等来判断是否存在符合题意的M的坐标.

【详解】

解：当M为顶点时，AB长为底=8,M在DC中点上，

-A~~EFB

所以M的坐标为（4,，6）,

当B为顶点时，AB长为腰=8,M在靠近D处，根据勾股定理可知ME=------=2=

所以M的坐标为（8-26）；

V*

当A为顶点时，AB长为腰=8,M在靠近C处，根据勾股定理可知MF=-------=2-

所以M的坐标为（2.6）；

综上所述，M的坐标为（4,6）,（8-2、、6）,（2、r,6）；

故答案为：（4,6）,（8-2.=,6）,（26）.

v*V*

【点睛】

本题主要考查矩形的性质、坐标与图形性质，解题关键是根据对等腰三角形性质的掌握和勾股定理的应用.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)该车间应安排4天加工童装，6天加工成人装；(2)36000元.

【解析】

(1)利用某车间计划用10天加工一批出口童装和成人装共360件，分别得出方程组成方程组求出即可；

(2)利用(1)中所求，分别得出两种服装获利即可得出答案.

【详解】

解：(1)设该车间应安排x天加工童装，y天加工成人装，由题意得：

x+y=10

45x+30y=360'

x=4

解得：1r，

y=6

答：该车间应安排4天加工童装，6天加工成人装；

(2)V45x4=180,30x6=180,

180x80+180xl20=180x(80+120)=36000(元)，

答：该车间加工完这批服装后，共可获利36000元.

【点睛】

本题考查二元一次方程组的应用.

18、(1)①45。，②生巨；(2)线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC.证明见解析.

2

【解析】

(1)①先根据角平分线的定义可得NBAD=NCAD=30。，由等腰三角形的性质得/B=75。，最后利用三角形内角和可

得NACB=45。；②如图1,作高线DE,在RtAADE中，由/DAC=30。，AB=AD=2可得DE=1,AE=6,在

RtACDE中，由NACD=45。，DE=1,可得EC=1,AC=君+1,同理可得AH的长；(2)如图2,延长AB和CH

交于点F,取BF的中点G,连接GH,易证AACH之△AFH,贝!jAC=AF,HC=HF,根据平行线的性质和等腰

三角形的性质可得AG=AH,再由线段的和可得结论.

【详解】

(1)①：AD平分NBAC,ZBAC=60°,

/.ZBAD=ZCAD=30°,

VAB=AD,

；.NBJ80。—30。

=75°,

2

ZACB=180°-60°-75°=45°；

②如图1,过D作DELAC交AC于点E,

图1

在RtAADE中，VZDAC=30°,AB=AD=2,

/.DE=1,AE=百，

在RtACDE中，VZACD=45°,DE=1,

/.EC=1,

-,.AC=V3+b

在RtAACH中，VZDAC=30°,

CH=-AC=^Iil

22

•••AH=VAC2-CH2=J(百+1)2-

(2)线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC.

证明：如图2,延长AB和CH交于点F,取BF的中点G,连接GH.

易证△ACH丝△AFH,

.\AC=AF,HC=HF,

；.GH〃BC,

VAB=AD,

ZABD=ZADB,

:.ZAGH=ZAHG,

；.AG=AH,

，AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2(AB+BG)=2AG=2AH.

【点睛】

本题是三角形的综合题，难度适中，考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、三角形

的中位线定理等知识，熟练掌握这些性质是本题的关键，第(2)问构建等腰三角形是关键.

19、共有7人，这个物品的价格是53元.

【解析】

根据题意，找出等量关系，列出一元一次方程.

【详解】

解：设共有x人，这个物品的价格是y元，

8x-3=y,[%=7,

r,解得c

7x+4=y,[y=53,

答：共有7人，这个物品的价格是53元.

【点睛】

本题考查了二元一次方程的应用.

20、(1)y=0.1x+15,(2)郁金香25亩，玫瑰5亩

【解析】

(1)根据题意和表格中的数据可得到y关于x的函数；

(2)根据题意可列出相应的不等式，再根据(1)中的函数关系式即可求解.

【详解】

(1)由题意得丫=(3-2.4)x-(2.5-2)(30-x)=0.1x+15

即y关于x的函数关系式为y=0.1x+15

(2)由题意得2.4x+2(30-x)<70

解得x<25,

,.•y=0.1x+15

当x=25时,y最大=17.5

30-x=5,

二要使获得的收益最大，基地应种植郁金香25亩和玫瑰5亩.

【点睛】

此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意进行列出关系式与不等式进行求解.

21、作图见解析；CE=4.

【解析】

分析：利用数形结合的思想解决问题即可.

详解：如图所示，矩形ABCD和△ABE即为所求；CE=4.

点睛：本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用

思想结合的思想解决问题.

22、-2<x<2.

【解析】

分别解不等式，进而得出不等式组的解集.

【详解】

’3K5①

[-2(*+1)-1(返

解①得：x<2

解②得：x>-2.

故不等式组的解集为：-2VxV2.

【点睛】

本题主要考查了解一元一次不等式组，正确掌握不等式组的解法是解题的关键.

23、(1)1,45°；(2)ZACD=ZB,——=——=k；(3).

CDAC2

【解析】

PB

(1)根据已知条件推出△ABP丝Z\ACD,根据全等三角形的性质得到PB=CD,ZACD=ZB=45°,于是得到—=1；

AnAp

(2)根据已知条件得到△ABC^AAPD,由相似三角形的性质得到一=—=k,得到ABP-ACAD,根据相似

ACAD

三角形的性质得到结论;

(3)过A作AHLBC于H,得到△ABH是等腰直角三角形，求得AH=BH=4,根据勾股定理得到

AC7AH2+CH?=4非,PH7PA-AH2=3,根据相似三角形的性质得到—,推出