广东省深圳市2024届高三年级下册一模考后提升卷数学试题

2024届高三深圳一模考后提升卷

数学试题一

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（本题5分）若sina=-亨，且角a的终边经过点尸（VXy）,贝叶点的纵坐标'是（）

A.1B.±1C.-2D.-1

2.（本题5分）已知复数z=5+i,则怙2—5z|=（）

A.V13B.V26C.2V13D.2V26

3.（本题5分）定义：对于/'（X）定义域内的任意一个自变量的值久i，都存在唯-■个刀2

使得=1成立，则称函数/O）为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是（

A./（久）=InxB./（%）=exC.=esinxD./（x）=cosx

4.（本题5分）已知向量日=（0,0,1）1向量2+另在向量日上的投影向量为

（）

A.（0,0,2）B.（0,0,1）C.（0,0,-1）D.（0,0,-2）

5.（本题5分）定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116,431,则所有

幸运数的个数为（）

A.21B.35C.36D.45

6.（本题5分）如图，该几何体为两个底面半径为1,高为1的相同的圆锥形成的组合

体，设它的体积为明,它的内切球的体积为彩，则%:%=（）

A.2：V3B.2V2:3

C.1：V2D.V2:l

7.（本题5分）已知数列｛厮｝,若厮+1=an+an+2（neN*）,则称数列｛%J为“凸数列”.已

知数列｛"J为“凸数列”，且瓦=1,历=一2,则｛匕｝的前2024项的和为（）

A.0B.1C.-5D.-1

8.（本题5分）已知点4是抛物线/=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，

点P在抛物线上且满足|PA|=m|PF|,若小取最大值时，点P恰好在以为焦点的双曲

线上，则双曲线的离心率为

A.V3+1B.V2+1C.等D.等

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（本题6分）某高中从本校的三个年级中随机调查了五名同学关于生命科学科普知识

的掌握情况，五名同学的成绩如下：84,72,68,76,80,贝（I（）

A.这五名同学成绩的平均数为78B.这五名同学成绩的中位数为74

C.这五名同学成绩的上四分位数为80D.这五名同学成绩的方差为32

10.（本题6分）已知5—2a=2%6=log34—logg/c=e°，+e-°\贝（）

A.a<cB.c<a

C.b<aD.a<b

11.（本题6分）如图，在棱长为2的正方体ABC。—4/1的。1中，已知MMP分别是

棱GQ,44i，8C的中点，点Q满足衣=4鬲,46[0,1],下列说法正确的是（）

A.不存在2使得QALQBi

B.若Q,M,N,P四点共面，则4=]

C.若4=点点F在侧面BBiC1c内，且&F〃平面4PQ,则点F的轨迹长度为苧

D.若4=点由平面MNQ分割该正方体所成的两个空间几何体外和。2，某球能够

被整体放入外或。2，则该球的表面积最大值为（12-6V3）TT

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（本题5分）已知函数f（x）=sin（（ox+9）（3>0,\（p\<|）在区间仁产）上单调，

且对任意实数尤均有f管）</（%）<f⑵成立，贝如=.

13.（本题5分）在乙48。中，CA=CB=1,乙4cB=三，若CM与线段AB交于点P,且

满足前=41瓦+/12荏，（21>0,22>0）,且|方可=1,则;11+22的最大值为.

14.（本题5分）若直线y=2%为曲线y=的一条切线，则成的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题13分）设立为数列｛即｝的前n项和，已知厮>0,的=1,国+其17=%1（几2

2,n6N*）.

（1）求证：｛&；｝是等差数列；

（2）设g=2nT-an，求数列｛6n｝的前n项和心.

16.（本题15分）在四棱锥P—ABC。中，己知4B||CD.AB1AD,BC1PA.AB=2AD=

⑴求证：PC1底面4BCD；

⑵是否存在点E使得三棱锥P-2CE的体积为裂若存在，求出器的值；若不存在，请说

明理由.

17.（本题15分）三人篮球赛是篮球爱好者的半场篮球比赛的简化版,球场为15X11米，

比赛要求有五名球员.某高校为弘扬体育精神，丰富学生业余生活、组织“挑战擂王”三人

篮球赛，为了增强趣味性和观赏性，比赛赛制为三局二胜制，即累计先胜两局者赢得最

终比赛胜利（每局积分多的队获得该局胜利，若积分相同则加时决出胜负）.每局比赛

中犯规次数达到4次的球员被罚出场（终止本场比赛资格）.该校的勇士队挑战“擂王”

公牛队，李明是公牛队的主力球员，据以往数据分析统计，若李明比赛没有被罚出场，

公牛队每局比赛获胜的概率都为J,若李明被罚出场或李明没有上场比赛，公牛队每局

比赛获胜的概率都为g设李明每局比赛被罚出场的概率为p且pe

NLoZJ

⑴若李明参加了每局的比赛，且p=l

（i）求公牛队每局比赛获胜的概率；

（ii）设比赛结束时比赛局数为随机变量X,求随机变量X的分布列和数学期望;

(2)为了增强比赛的娱乐性，勇士队和公牛队约定：李明全程上场比赛，但若李明被罚出

场，则李明将不参加后面的所有局次比赛•记事件A为公牛队2：。获得挑战赛胜利，求

事件A的概率的最小值.

18.(本题17分)已知函数/'(%)=In久—aG-1).

⑴若/'(%)>0恒成立，求实数a的值；

-1-1-1

(2)证明：sin----Fsin---F-Fsin—<ln2(nGN*).

7n+ln+22n

19.(本题17分)我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和

虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆Ci：9+《=1(0<b<2),双曲线C2是

椭圆Q的“姊妹”圆锥曲线，ae2分别为的,。2的离心率，且0送2=半，点M,N分别为椭

圆G的左、右顶点.

⑴求双曲线C2的方程；

⑵设过点G(4,0)的动直线，交双曲线右支于4B两点，若直线AM,BN的斜率分别为

^AM>^BN-

(i)试探究%M与ON的比值弊是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，

请说明理由；

(ii)求卬=好”+[/CBN的取值范围.

参考答案:

1.D

【详解】由sina=-苧V0,又点尸(VXy)在a的终边上，故角a为第四象限角，

故y<0.v=Jy2+2,-^===-y,即3y2=y2+2,解得y=-1或y=1(舍去).

故选：D

2.B

【详解】由z=5+i可得z?-5z=z(z-5)=(5+i)(5+i-5)=5i+i2=-1+5i,

则斤—5z|=|-1+5i|=J(-1)2+52=V26.

故选：B

3.B

【详解】对于A,/(%)=In%,

由(汽2)==1今ln%iln%2=1，

当/=1时，则不存在%2满足情况，故A不是正积函数；

对于B,/(%)=ex,

由=VeXiex2=1=>eX1e%2=1今/+冷=°，

则任意一个自变量的值%1，都存在唯一一个%2满足+%2=。，

故B是正积函数；

对于C,/(%)=esinx,

由J/(%i)/(%2)=VesinX1esinX2=1=>esinX1esin%2=1=>esinX1+sin%2=1,

得sin/+sinx2=0,

当久i=0时，贝!Jsin%2=0，冷=k£Z,则％2不唯一，故C不是正积函数；

对于D,/(%)=cosx,

cosxcosx

由J/(%l)/(%2)=Vl2=1=COSX1COS%2=1，

当COS%1C[0,1)时，则不存在%2满足情况，故D不是正积函数.

故选:B.

4.A

【详解】解：因为向量d=(0,0,1),I=(1,一1,1),

所以d+另二(i,-1,2),

所以向量a+3在向量日上的投影向量为：

陪.2=|.(O,0,1)=(0,0,2),

故选：A

5.C

【详解】“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，故首位最大为8,且首位不为0,则有:

若首位为8,则剩余两位均为0,共有1个“幸运数”;

若首位为7,则剩余两位为1,0,共有最=2个“幸运数”;

若首位为6,则剩余两位为2,0,或1,1,共有最+1=3个“幸运数”;

若首位为5,则剩余两位为3,0,或2,1,共有禺+A'=4个“幸运数”;

若首位为4,则剩余两位为4,0,或3,1,或2,2,共有禺+A'+1=5个“幸运数”;

若首位为3,则剩余三位为5,0,或4,1,或3,2,共有3A5=6个“幸运数”;

若首位为2,则剩余三位为6,0,或5,1,或4,2,或3,3,共有3A'+1=7个津运数”;

若首位为1，则剩余三位为7,0,或6,1,或5,2,或4,3,共有4A孑=8个“幸运数”;

综上所述：共有1+2+3+4+5+6+7+8=36个“幸运数”.

故选：C.

6.D

【详解】如图，四边形PAP'B为该几何体的轴截面,

P

则四边形PHP'B的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，设内切球的半径为r,

由OP=0A=1,得r=则/=|iTr3=匕=2义|TTxI2x1=^,

所以%=V2:l.

故选：D.

7.D

【详解】解：因为6九+2—现+1—bn,所以63=—瓦=—2—1=—3,£>4==—3—

(-2)=-1,

=b4—b3=—1-(—3)=2,万6=万5-力4=2-(-1)=3,b7=匕6—办5=3-2=1,

则数列｛,｝是以6为周期的周期数列，又S6=1—2—3—1+2+3=0,

所以S2024=S337X6+2=瓦+力2=11，

故选：D

8.B

【详解】过P作准线的垂线，垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,

•・・|PA|二m|PB|,J|PA|二m|PN|・•・'=需，

设PA的倾斜角为a,则sina=—,

m

当m取得最大值时，sina最小，此时直线PA与抛物线相切，

设直线PA的方程为y=kx-1,代入x?=4y,可得x?=4(kx-1),即x?-4kx+4=0,

.".△=16k2-16=0,；.k=±l,：.P(2,1),

双曲线的实轴长为PA-PB=2(V2-1),双曲线的离心率为=

2(V2-1)

故选B.

点睛:本题的关键是探究m的最大值，先利用抛物线的定义转化|P2|=m|PF|得到、=需=

sina,m取得最大值时，sina最小，此时直线PA与抛物线相切，得到△=0,得到k的值.

转化是高中数学很重要的一个数学思想，在解题过程中要注意灵活运用.

9.CD

【详解】A选项，这五名同学成绩的平均数为山亨*=76,A错误；

B选项，将五名同学的成绩按从小到大排列：68,72,76,80,84,则这五名同学成绩的中

位数为76,B错误；

C选项，5X75%=3.75,故成绩从小到大排列后，第4个数即为上四分位数，即80,C正

确；

D选项，五名同学成绩的方差为

|[(68-76)2+(72-76)2+(76-76)2+(80-76)2+(84-76)2]=32,D正确.

故选:CD.

10.AC

【详解】令=2"+2x—5,易知/(x)在R上单调递增，

又/■⑴=2+2-5=-1<0,/'⑵=22+2X2-5=3>0,

所以/(X)在(1,2)在存在唯一零点，

因为5—2a=2。，所以a是f(x)的零点，则a€(1,2)；

因为43<35,所以log343<log335,即310g34<5,则log34<"

2

又log84=log2s2=|log22=I，所以b=log34-log84<|-|=1;

因为c=e01+e-01>2V为•e-°i=2,又e°」大e-0-1,等号不成立，

所以c>2；

综上：b<a<c,故AC正确，BD错误.

故选：AC.

11.ACD

【详解】正方体中，由Q4>aC=A8i，故AQA/中，24不可能是直角三角形的斜边，

即不存在4使得QA1QBr,A选项正确；

R,S分别是棱的中点，点Q为CQ中点时，平面MNP在正方体上的截面为正六边形

MRNSPQ,

则Q,M,N,P四点共面，有4=}B选项错误；

若4=%则Q为CG上靠近C点的三等分点，

取上靠近2的三等分点G,BiG的中点H,连接

M

则在正方形BB1&C中，可得GH〃PQ,

G”C平面力PQ,PQu平面4PQ,贝I］有G”//平面力PQ,

同理可由4H〃4P,证明&H〃平面2PQ,

u平面&G”，CGH=H,所以平面&G”〃平面4PQ,

点F在侧面8/C1C内，且&F〃平面力PQ,所以GH即为点尸的轨迹，

GH=JB担2+B1G2=J12+(|)2=手，C选项正确；

若2=1，贝也为CC1的中点，平面MNQ分割该正方体所成的两个空间几何体和。2，

平面MNQ在正方体上的截面为正六边形MRNSPQ,

某球能够被整体放入出或。2,该球的表面积最大时，是以当为顶点，底面为正六边形

MRNSPQ的正六棱锥的内切球，

正六边形MRNSPQ的边长为鱼，面积为6x|xV2xV2Xy=3痔

正六棱锥J-MRNSPQ,侧棱长遮，每个侧面面积为|,棱锥的高为百，

设该球的半径为R,由体积法可得［x3V3xV3=|(3V3+6x|)R,

解得R=萼，所以该球的表面积为S=4nR2=。2-6g)n,D选项正确.

故选：ACD

12竦

【详解】因为对任意实数X均有f管)Wf。)"㈢成立，所以f管)是最小值，是

最大值，

又函数“X)在区间上单调，所以7=2*6—$=2兀，3=与=1,

所以g+9=2々兀+g,/cEZ,又|"|V，所以

62Z3

故答案为：£

13.2

【详解】如图所示：

设C(0,0),4(1,0),因为乙4cB昔，CB=1,则B(一译),

方=(1,0),CB=(-|,y),设M(x,y),则由=Q,y),

因为|击|=1,所以/+y2=i,

/1

_%=4]--^2

因为国=刈8?+入2荏，贝“百，

所以有(及―豺2>+(争2)2=1,

22

SPAI+A2—A.1A2=1>即2jA2=("i+：z)1,

又4小三④;近/(21>0,22>0),

所以(%+而)2-1v(%1+/2)2

解得。<%+42<2,当且仅当乙=上=1时不等式取等号.

则%+%2的最大值为2.

故答案为：2

14.4

【详解】设/(%)=eax+b,则:(%)=aeax+b,

设切点为（%o，e*o+＞）,则尸（%。）=碇"。+%

ax+baXo+bax+b>aXo+b

则切线方程为y—eo=ae(x—x0),整理可得y=ae°x+(1—axQ)e,

所以一Q%。)：°—0,解得％0=-,aeax°+b=ae1+b=2,

Iaeax^+b=2。

所以。=普，所以

设9(%)=急，则"(%)=2：；了,

当%G(一8,1)时，“(%)>0,g(%)单调递增，

当%€(1,+8)时,“(%)V0,g(%)单调递减，

所以当％=1时，g(%)取得最大值g⑴=1，

所以油的最大值为g

ez

故答案为：-7

ez

15.(1)证明见解析；

(2)n-2n+1-3-2n+3.

【详解】(1)当门22时，an=Sn—Sn_i,则/JSn_]Sn_],

所以居+后7=(图+福二)(辰—历。，

因为厮>0，所以居+JSn_iLO,

所以后一/转=l(>22,neN*),故｛后｝是等差数列；

(2)由(1)知：Si=ai=l,贝！I｛腐3是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以/M=l+(n-l),l=?i,从而无二小，

当7l22,7ieN*时，厮=/^+/^17=71+71-1=271—L又的=1适合上式，

n-1n-1

所以an=2n-l,S^/?n=2-an=(2n—l)-2,

七=1X20+3X21+5X22+…(2n—3)x2"-2+(2n_i)x2nT①

27^=1X21+3X22+5X23+-(2n-3)x2n-1+(2n-l)x2n@

②一①得：Tk=-(2x21+2x22+2x23+-+2x2n-1)+(2n-l)x2n-l

=-(22+23+---+2n)+(2n-l)x2n-l=+(2n-l)x2K-l

1—2

=-2n+1+4+n-2n+1-2n-l=n-2n+1-3-2n+3.

16.(1)证明见解析

(2)存在点E使得三棱锥P-力CE的体积为豆且祭=：

【详解】(1)证明：在△4DC中，ADDC=1./-ADC=90",

所以AC=y/AD2+DC2=V1+1—V2.

在△ABC中，AC=42,AB=2,^BAC=45°,由余弦定理有：

BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cos45°=4+2-2x2xV2X—=2,

2

所以4B2=ac2+B(72,所以NACB=90。，

所以BC14C,又因为BC1PA,PA^AC=A,PA.ACu平面P4C,

所以8c1平面PHC,

因为PCu平面PAC,所以8clpC,

在APAC中：AC=V2,PC=2,PA=V6,贝！IPA2=+p02,

所以PCIAC,因为ACCBC=C,4C、BCu平面4BCD,

所以PC1面力BCD.

(2)因为VprcE=Vp-ACB—^E-ACB=$，

设一

11114

x-AC-BC-PC--x-AC-BC-APC=

32329

—X—XXyPX2X—Xy/^2,XX2A-—,

321329

A=-,

3

因此，存在点E使得三棱锥P-ACE的体积为豆且箓=[.

17.(1)(i)I；(ii)分布列见解析，期望为孑

琮

【详解】(1)(i)记4表示事件“第i局公牛队获胜”，山表示事件“球员李明第i局没有被罚出

场"，i=1,2,3.

由全概率公式公牛队每局比赛获胜的概率为

p。=PCBJP⑷6)+p(瓦)P(4IB；)=|x|+|x|=|.

(ii)由已知随机变量X的可能取值为2,3.

随机变量X的分布列如下表:

,C422

+3X-=—

99

(2)依题意事件/擂王公牛队2:0获得挑战赛胜利的可能情形是：两局比赛李明均没有被罚

出场;

第一局李明没有被罚出场，第二局被罚出场；第一局李明被罚出场，第二局不能参加比赛.

所以P(4)=[(1-P)X|]2+(1-p)X|XPX|+PX|X|

1211

xn---.

=16i3(PV3

又Pe层］，则当P=泄，P⑷疝n=H

即事件a的概率的最小值畸

18.(l)a=-1

⑵证明见解析

【详解】(1)因为/(%)=Inx—aQ—1)(%>0),所以=--a(——(x>0),

当aNO时，因为％>0,所以r(%)>0恒成立，贝!Jy=/(%)在(0,+8)上单调递增，

且/(1)=0,所以/(%)恒大于等于零不成立；

当a<0时，由/(%)=0得，x=-a,

易知当%>—a时，/'(%)>0,当0<x<—a时,尸(%)<0

所以y=/(%)在(0,-。)上单调递减，在(一0+8)上单调递增.

贝行(%)min=/(-。)=ln(-a)+1+a,若/(%)>0恒成立，贝Uln(-a)+1+a>0

令/i(%)=ln(—x)+1+x(x<0),则勿(%)=|+1=<0),

/I。)在区间(一8,-1)上单调递增，在区间(一1,0)上单调递减，所以h(%)max=/(—l)=0

所以当ln(—a)+1+a之0时，a=-1

综上，若/(%)N0恒成立,则a=-l；

(2)由(1)得，当a=-1时，/(x)=Inx+--1>0恒成立，即In%>1-当且仅当久=1

XX

时等号成立，

令久=“匚，贝!JlnSJke{1,2,…,几}，neN*,

n+fc—1n+/c—1>n+k

所以---<In--------=In(71+k)—In(n+k—1),fcG{12…，九}，ziEN*,

n+kn+k-1

令g(x)=x—sinx(x>0),则g'(%)=1—cosx>0恒成立，

所以函数g(%)在[0,+8)上单调递增,

故当%>0时，g(%)>g(0)=0,即sin%<x,

所以sin-----V-----Vln(?i+k)—ln(n+k—1),kG{1,2,…，n}>nGN*,

所以sin------Fsin------1-4-sin—

n+ln+22n

<[ln(n+1)—Inn]+[ln(n+2)—ln(n+1)]+—卜[ln(2n)—ln(2n—1)]

=ln(2n)—Inn=In—=ln2.

19.(l)^-y2=1

(2)(i)为定值，-13)(-1，-粉ug|，0

【详解】(1)由题意可设双曲线6：?—[=1，则6送2=号乂号=?，解得》2=1,

v2

所以双曲线C2的方程为亍—V=1.

(2)(i)设/(%1/1),8(%2，力)，直线的方程为％=ty+4,

r%=ty+4

由忙—2=i，消元得(产-4)y2+8y+12=0.

£y-

.8t

yi+y?=—；—