高考数学复习 数列性质常见考题解析版

第二部分

题型方法

用数列性质常虎

题型一:数列公共项问题1

、

【题目11已知集合M={s\s=2n+1,n6Z},N={t\t=4九一1,rzGZ},则TVfDN=()

A.0B.MC.ND.Z

X.___/

【解析】集合7W={s|s=2n+l,nEZ}={奇数},

N={址=4九一1,九ez}={…,一5,一1,3,7,…},・・.NqM,贝IMCN=N.

故选：C

题目也已知无穷等比数列｛Q/和｛&｝满足的=3,⑥=。20，的各项和为9,则数列｛心｝的各项和为

【解析】设无穷等比数列｛QJ的公比为q(qW1),

则lim(ai+a2H----Fan)=®-=9,即—=9,所以q=4，

Soo1—q1-qo

〜9

所以4=。2=3x区"=2,

o

由勾=Q2九,知无穷等比数列仍九｝的公比为q2=*，

y

所以蚂("+勿+…+6n)=/i窿==

1~~9

故答案为：单.

5

'题目|三)已知数歹］｛册｝是公差不为0的等差数歹!J,从该数歹!J中抽取某些项：的，&5,如，时［，皈…，a.组成等

比数列.

(1)求公比；

(2)求数列｛kn｝的通项公式,求数列「半*的最大值项.

\__________________________________________________________________________________________________

【解析】(1)设｛QJ的首项为Q1,

,a5,Qu成等比数列，,(Qi+4d尸=电(。1+16d).

Qi+4d6d

得出=2d,I.公比q=—

aiQi2d

n1n1—

(2)*.*akn=a[+(kn—l)d,又a1m=a-i,3,=2,31.

.「鼠+1)=九・(2・3-1—1+1)=几・(2・3九-1)=-3九

[3》(n+l)-3"+1、3(n+1)

3-4n3-4n+1即4

若第n项最大，则满足：•

n-3n、(n-1)-3n，3ZL>n-l

〔3・4九-3•4”T[4

力>3

二.,・，.3<?2<4,即n=3或？1=4时，最大.

nW4

跟踪训练［］已知等差数列｛%｝的前几项和为倒，数列他｝是公比为2的等比数列，且的=如=4,$3=21.

(1)求数列｛斯｝和数列仍“｝的通项公式；

(2)现由数列｛a“｝与｛fej按照下列方式构造成新的数列｛品｝.

•1•

①将数列｛源｝中的项去掉数列｛fej中的项，按原来的顺序构成新数列｛小｝;

②数列｛册｝与｛0｝中的所有项分别构成集合A与B,将集合AUB中的所有元素从小到大依次排列构成

一个新数列｛品｝.

在以上两个条件中任选一个作为已知条件，求数列｛cj的前30项和.

【解析】（1）因为数列仍”｝为等比数列，且1=4,g=2,

所以勾=为x（T~2=4x2"7=2",

又因为S3—ai+a2+a3—3a2=21,所以a2=7,又的=4,则d—3,

故等差数列｛%｝的通项公式为=4+（n—1）X3=3n+1;

（2）因为a“=3n+1,6”=2",

所以瓦=2,62=4,b3—8,bi—Id,i>5—32,b6=64,br-128,

而a30=91,<131=94,a32=97,a33=100<fe7=128,

若选①，

因为庆，i>4,%在数列｛&｝前30项内，如b3,氏不在数列｛a,J前30项内,

则数列｛品｝前30项和为：S33—为一区一瓦=33x4+33产x3-（4+16+64）=1632;

若选②，

因为出，瓦,均在数列｛册｝前30项内，瓦,b3,d不在数列｛a,J前30项内,

97y

则数列｛cj前30项和为:$27+瓦+h+园=27x4+—x3+（2+8+32）=1203.

题型二:数列插项问题

'题目也构造数组，规则如下:第一组是两个1，即（1,1），第二组是（1，2,1）,第三组是（1,3,2,3,1）,…，在每

一组的相邻两个数之间插入这两个数的和得到下一组.设第九组中有册个数，且这册个数的和为Snde

N）.则$2021—（）

2020202120212020

X____A__._3____+__2______________B_.__3____+_2_______________C_._3____+__1_______________D_.__3___+__1________________

【解析】设Sn中数组是（瓦，%…，演），即Sn—b1+62H----1■星，

则S“+1的数组是（仇，bi+b2,b2,62+63,…，瓦T,瓦T+瓦，瓦），

Sn+l比Sn的数组中多了这些数：

bi+》2,庆十b3,…，既一2+既-1,bk-i+bk,

这些数相加，除瓦，既只出现1次外，戾，与，…，瓦T均出现2次，

而瓦=瓦=1,所以Sn+l=S”+2Sn—2=3Sn—2,

因此Sn+1—1=3（S„-1）,

又g=2,S—1=1WO,所以｛Sn—l｝是等比数列，公比为3,S“T=3"T,

所以S”=3"T+1,从而5*2021=32020+1,

故选：D.

题目区在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将

数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….若第八次“扩展”后得到的

数列为1,电，电，■■■,xt,2,并记％=log2（l•判•电…，•e・2）,其中方=2"—1,?1,6N*,则数列｛斯｝的前n项

和为.

【解析】0n=log2（l♦工厂避...Q⑵,

可得a„+i=log2[1•（1-3；1）•a；i•（尤@2）•啊……以2珀•2]=log2c•屑•酒…磅2?）=3a“一L

a-n+i-iy=3（a”--y）•

则｛册一2｝是首项为2—4=''公比为3的等比数列，

n-1n-1

可得册一言二"|~,3,an=-3+,

•2・

3n+1+2n-3

•e•S­：QF=

n4

故答案为：3鹏+，—一3

:题目区在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将,

数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2;第二次得到数列1,2,2,4,2；….设第n次“扩展”后所得数

列为为，力…，并记（・劣力馆•）则数列｛厮｝的通项公式为.

X.________1__,_____2_,________2__,_____Q__n_=_l_o_g_2__l___1_•_6_2________2___,_______________________,

【解析】On=log2（l•电,力2/m,2）,

32

可得an+1=log2[l・（1-的）・X1-（力何2）•电,•…Xm（2xm）-2]=log2（l•酒•澧••…x^-2）=3an-l.

设%垃+1=3（。九+1），即为an+1=3an+2可得力=—.,

则｛斯-1｝是首项为2—5,公比为3的等比数列，

可得册一4=等•3”T,即为5=号工nGN*.

故答案为：an—3.I,nGN*.

跟藤训练」：在数列的每相邻两项之间插入此两项的平均数，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次

“扩展”.将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列14,2；第二次得到数列1,告弓,弓,2；第八次得到数列

1,电，电…，2,则第n次得到的数列项数为_2"+1.

【解析】设第n次“扩展”得到的数列项数为bn,

则瓦=3,匕2=5,.,

第九+1次“扩展”后得到的数列可在第九次“扩展”后得到的与项数中任意相邻的两项中取其平均数，共增

加了勾―1个数，

bn+1=2bn-l,：,fen+1-l=2（b„-l）,

又•••仇一1=3—1=2片0,

数列｛第一1｝是首项为2,公比为2的等比数列，

n

bn-1=2",：.bn=2+1,

由题意可知,每次“扩展”后所得到的数列均为等差数列，

则%=⑵+?。+2）=3-2“T+方，

Sn=（3*2°+|-）+（3x2]+5）+……+（3x2”一+=3（二;）+萼=3•2"+萼―3,

故答案为：2"+1,3・2"+萼一3.

，跟踪训练②构造数组，规则如下:第一组是两个1,即（1,1）,第二组是（1,2a,1）,第三组是（1,O（1+2a）,2a,

a（2a+1）,1）…，在每一组的相邻两个数组之间插入这两个数的和的a倍得到下一组，其中aC（0,J）,设

第九组有an个数，且这册个数的和为S„（neN*）.

⑴求a”和S”；

的-1a2—la„-1n

（2）求证：§+s,+・一+下—>了.

【解析】（1）由题意可知的=2,

当n>2时，a”=an-i+（a,n-i-1）=2an-i—1,：.（1n—1=2（an_j—1）.

n-1

/.an-l=2~\ai-1）=2j./.an=2"+1.

由数列的构造规则可知S、=2,Sn=Su+2aSn_i-2a=（2a+1）SOT-2a,

AS„-l=（2a+1）（Ski-1）=（2a+1—-1）=（2a+1尸,

n1

.-.Sn=（2a+l）-+l.

（2）设bn==（2a+；）"T+i，则图+i=^a+lY+1'

•3・

•：aE(0,^),l<2a+l<2,A(2a+l)n<2(2a+I)"-1,

/.(2a+l)n+l<2(2a+l)"-1+2,

2n2n2^-1

"(2a+l)"+l>2(2a+l)n-1+2-(2a+l)n-1+1-

即廉是递增数列.

bn>fen_j>bn-2>--->b2>br-y.

,,,,,、77,c一Qi-1do—1QJ”-1、ri

bn+bn-i+bn-2-\-----\~b2+仇>-5-，即-Q----1-----Q-----1-----1----Q—>-.

跟踪训练3j已知数列｛%｝的首项为2,前几项和为Sn，且an+1=2Sn+2.

⑴求数列｛斯｝的通项公式;

(2)在“与册记之间插入几个数，使这九+2个数组成一个公差为dn的等差数列，若数列｛cj满足c.=

生二％”,求数列｛c.｝的前几项和.

【解析】(1)当九>2时，an+1=2Sn+2,a“=2S“_i+2,/.an+1-a„=2a„,an+1=3an,

==n-1

且九=1时，a22ai+2=6,:a23ai也满足上式，/.a„=2-3;

Q?+]-a^n4•3”T

(2)根据题意，dn=

n+1n+1

2九一1.4•3“T=/311_

nn+1\n+1n/J

.♦.｛c“｝的前九项和黑=4传一1+看一…+五汩一*)=4(言］—1).

题型三：数列规律问题/

’题目q0—1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列aQ…4…满足a,e｛0,l｝(i=L2,…)，且存

在正整数小，使得ai+m=a,(i=1,2,…)成立，则称其为0—1周期序列，并称满足ai+m=a,：(i=1,2…)的最

1_小_

小正整数m为这个序列的周期.对于周期为恒的0—1序列QQ…％…，C(fc)=一网,+』k=L2,

"i=i

m-1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0—1序列中,满足C(fc)＜《国=1,2,3,4)的序列是

A.11010•••B.11011•••C.10001•••D.11001•••

【解析】对于4选项：序列1101011010

5

。⑴—卷〉7。£。升1=]~(1+0+0+0+0)=《,

o1.=1,oo

I2,3,4),故排除A;

i=l

对于B选项：序列1101111011

5

C⑴==\"(1+0+0+1+1)，不满足条件，排除;

2=1

对于。选项：序列100011000110001

5

c⑴—亏2处。升1=4-(0+0+0+0+1)=看,

i=l

。(2)—~^~>^a0Qz+2--7-(0+0+0+0++0)—0,

i=l

。⑶=-y^a^+3=-^-(0+0+0+0+0)=0,

F51r

，符合条件,

。1=1。

于。选项：序列1100111001

•4・

5

。(1)==卷(1+0+0+0+1)=>-p-不满足条件.

O£=]333

故选：C.

:题目区已知T,s"为整数，集合4={a|a=2「+2'+*0Wr<S<田中的数从小到大排列,组成数列{厮},

女口电=7,0-2=11，0121=()

A.515B.896C.1027D.1792

【解析】当±=2时，r只能取0,s只能取1,故符合条件的项有。：=1项；

当t=3时，/和s从0,1,2中取两个,故符合条件的项有点=3项；

同理，当力=4时，符合条件的项有或=6项；

以此类推可知，因为绫+C；+以+…+=120;

的21是当t=10时，r,s,t所组成的最小的项，即？-=0,S=1;

110

.­.a121=20+2+2=1027;

故选：C.

题目叵蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢

的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律,以/(n)表示

第九幅图的蜂巢总数，则/(4)=()；/(n)=()

C.373n2-3n+1D.383n2+3n-1

【解析】由图可得/(2)—/(I)=7-1=6,/(3)—f⑵=19—7=2X6,

则/(4)-/(3)=37-19=3x6,7(5)-/(4)=61-37=4x6,­••

因此，当n>2时，有f(n)—f(n—1)=6(n—1),

所以/(n)=[/(n)-f(n-l)]+[/(n-1)-/(n-2)]+-••+[/(2)-/(1)]+/(1)

=6[(n—1)+(n—2)H---1-2+1]+1=3n2—3n+1.

又/⑴=l=3xl2—3x1+1,所以/(n)=3n2—3n+1.

当n=4时，/(4)=3x42—3x4+1=37.

故选：C.

跟踪训练[1]“0,1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列.设A是一个有限

“0,1数列"，f(A)表示把A中每个0都变为1,0,1,每个1都变为0,1,0,所得到的新的“0,1数列”，例如

A={1,0},则/(A)={0,1,0,1,0,1}.设4是一个有限“0,1数列”，定义4+i=/(4),%=1,2,3,….

若有限“0,1数列"4={0,1,0},则数列A2022的所有项之和为.

【解析】因为4={0,1,0},

所以4={1,0,1,0,1,0,1,0,1},

A={0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0),

显然4中有3项，其中2项为0,1项为1,由于每个0都变为1,0,1,每个1都变为0,1,0,

出中有9项，其中4项为0,5项为1,同理可得4中有27项，其中14项为0,13项为1,

由此可得A”中有3"项，其中0的项数与1的项数差的绝对值是1,

当九为奇数时，0的项数为偶数，比1的项数多1项；当八为偶数时，0的项数为奇数，比1的项数少1项；

因此，数列4o22有32°22项，0的项数比1的项数少1项，

202220222022

所以数列A2022的所有项之和为-1(3-1)X0+-|-(3+1)X1=-1(3+1).

故答案为：4(32022+1).

•5-

题型四：绝对值数列问题/

’题目E普林斯顿大学的康威教授发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”，该数列的后一项由前一项的

外观产生.以1为首项的“外观数列”记作4,其中4为1，11，21,1211,111221,…，即第一项为1,外观上

看是1个1,因此第二项为11；第二项外观上看是2个1,因此第三项为21；第三项外观上看是1个2,1个1,

因此第四项为1211,…,按照相同的规则可得4其它项，例如4为3,13,1113,3113,132113,…若4；的

第九项记作an,Aj的第九项记作b”,其中i,/C[2,9]，若品=此一6/,则｛品｝的前几项和为（）

A.2n|i-j|B.n（i+j）C.n|i-j|D.y|i-j|

【解析】由题意得，ai=i,a2—li,a3=Illi,a4=311i,…，a"=…峰

bi=j,b2=lj,b3=lllj,b4=311j,…，bn=---j-,

由递推可知，随着71的增大，斯和屋每一项除了最后一位不同外，其余各位数都相同，

所以品=\an-br\=|i—H,所以｛c„｝的前几项和为3i-/|,

故选：C.

‘弹也侈选题）对于数列｛册｝,若存在正整数可上二2）,使得切>四_「网>%i，则称内是数列｛aj的“峰

值”，k是数列5｝的“峰值点在数列｛漏中，若册=q,下面哪些数不能作为数列｛册｝的“峰值

点”？（）

A.1B.3C.6D.12

=ja

因为斯=,+旦一9|,所以ai=0,a2=3,a3^-,«4=3,a5=^-,a6=-1-7=

ITLIJ0O（

an=普,o12=用,。13=瞿，只有。3>。2,。3>。4,所以"3"是"峰值点”，其它选项不是.

-L-LO1O

、故选：4CD.

’题目区侈选题）对于数列｛册｝,若存在正整数秘二2）,使得&VQi，&Va/，则称功是数歹（J｛册｝的“谷

值”，k是数列｛册｝的“谷值点”，在数列｛册｝中，若册=卜+,—,则数列｛册｝的“谷值点”为（）

A.2B.3C.5D.7

【解析】<=卜+.—81,

•・•Q1—-9N,电_一A彳，_9N—4，恁_一百6_，a6_~~x29_—2彳，

Q

当九>7,7ZCN时，72+：—8>0,

a”=ri+旦一8,此时数列单调递增，

n

又a2V5,a2<a3,a7<a6,c^Vag,所以数列｛%｝的“谷值点”为2,7,

故选：AD.

mH]J已知等差数列｛aj的前?1项和为S”，<13=5,<17=—3.

（1）当n为多少时S”取最大值？

（2）若数歹（!｛4｝的每一项都有0=|册],求数列｛0｝的前n项和Tn.

【解析】（1）设数列｛%｝的公差为d,

由a3=5,&7=-3,知d=4*=—2,所以飙=<13+（九-3）d=11—2n,

令a“>0,则14九45,即数列｛册｝的前5项均为正数，从第6项开始为负数，

所以当n为5时，S”取最大值.

（2）由⑴知,Sn=（3[an）九="a。_喻,.=%=|11—2箱,

当时，Tn—Sn—n（10—n）——Th+lOn;

,2

当九>6时，7；=S5-（Sn-S5）=2S5-Sn=50-n（10-n）=n-10n+50,

,6•

—TL+10n,7245

综上，黑=

n2—10n+50,九>6

题型五:数列中存在性、任意性问题g

:题目UJ设｛册｝是公差不为0的无穷等差数列，则“｛册｝为递增数列”是“存在正整数No,当九〉No时，册>0”

的()

,A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】因为数列｛册｝是公差不为0的无穷等差数列，当｛an｝为递增数列时，公差d>0,

令0n=电+(n—l)d>0,解得?i>1一号，［1—詈］表示取整函数，

所以存在正整数N)=l+［1—詈］，当九>凡时，册>0,充分性成立;

当n>N)时，a„>0,a”T<0,则d=a“一0,必要性成立；

是充分必要条件.

故选：C.

’题目区对于数列｛册｝,定义4=的+2a2+…+2-%为数列｛斯｝的“加权和”，已知某数列｛%｝的“加权和”

4="•2"+i,记数列｛an+9｝的前几项和为7；,若黑W£对任意的九eN*恒成立，则实数p的取值范围为

()

,A.［-卷，-［］B.［—?一］］C.■，—第D.［—孚号］____________

n1n+1

【解析】由题意可得：Qi+202H-----H2"2a九t+2an=n,2,

/.n2时，©+2a2+…+2n2aj1=(n-1),2n,

n-1

相减可得：2an=n-2"i—(九一1)・2'化为：Q九=2九+2,

n=l时，QI=2?=4,满足上式，

an=2n+2,GN*.

.F=a1+a2+…+a“+p(l+2+…+九)=皿等±^+2•吗匚1="(九+3)+「•吗也，

・••9对任意的…*恒成立，人益，即3：黑梵樵，解彳T*。

故选：A.

’题目区定义:首项为1且公比为正数的等比数列为“小一数列”.已知数列｛&｝是首项和公差均为1的等差

数列.设馆为正整数，若存在-数列”｛勾｝,对任意的正整数%,当％Wm时,都有与W念Wbk+1成立,则

m的最大值为

-1

【解析】由题意知，bn=g",a„=1+(n—1)=n,

k,mEN+,k^m,q—WkW/恒成立,

当A;=l时，1=/Twiwq,

当％=2时，q<2<q2,即血<q&2,

当k>3时，两边取对数，可得举<1114<41咚对后《小有解,

即［噜］《皿式理与］,

Lk」maxLk一1Jmin

令/Q)=毕3>3),则f'(⑼=上粤,

xX

当①>3时，［Q)=i—产<o,此时，/Q)单调递减，

所以当%>3时，1里］=粤,

LK」maxO

31---Ino;

令gQ)=T爸3>)，则9'3)=(3)23)3)，

-7•

令(p[x)—1—--lnx(x>3),则(pf(力)=——j(%>3),

1---1---I1nx

x

当力>3时，“（力）=-铲V0,即g'（劣）=<0,

Lx(f2

所以g（rc）在［3,+oo）上单调递减,

即当k>3时』J吗］Innz贝”ln3<]nm

L用一1」minzn—l'、3m—1

化简，得31nm—(m—l)ln3>0,

令h(m)—31nm—(m—l)ln3,则hf(m)=2—ln3,

由k>3,得?ri>3,则九'(m)=*—ln3<0,

所以无(力)在[3,+oo)上单调递减，

又因为九⑸二31n5-(5-l)ln3=lnl25-ln81>0,

无⑹=31n6—(6—l)ln3=ln216—ln243<0,

所以存在m0E(5,6),使得ftz(m0)=0,

所以整数小的最大值为5,此时”[3\5斗(%>3).

故答案为：5.

跟踪训练1：已知数列｛册｝的前几项和为&,为=—1■，且4sl+i=3S“—9.

（1）求数列｛诙｝的通项；

（2）设数列｛&„）满足3bn+（n-4）a„=0（nCN*）,记｛6„｝的前九项和为黑.

①求方；

②若黑WAbn对任意neN*恒成立,求实数A的取值范围.

Q9797

【解析】当九二1时，4（Qi+。2）=3a1—9,4a2=3—9=—“,a2=―记,

当n>2时，由4szi+1=35九一9①，得4s八=3Sx—9②，

①一②得4an+1=3an,a2手。，

•••4片0,.•.皿=［■，又收=3，

.,.｛飙｝是首项为一!■，公比为年的等比数列，-（-|-）=—31;

⑵①由30+（?1-4）册=0,得幻=-用:生册=（九一4乂1）”，

所以式=-3x菖―2x信1―1x得）3+0x得）4+…+（九—4）・信）:

和=-3x信7-2x借丫-1x信）4+…+（n-5）-4）”+（九—4）•信）”，

两式相减得》;=—3x1+（打+借丫+借）4+…借）”—（九―4）.信）2

=-葛+—（J，-（n-4）（j）n+1=-f+f-4借）…一（九—4）.（f）n+1=-n-借）

1-丁

所以黑=-4段信）"+i

②由T»&机，得—4n-</l（n—4）-（菖）"恒成立，

即A（n—4）+34>0恒成立,

当n二4时，不等式恒成立；

当九<4时，有--缶=-3-得后1；

当Q4时，有心-9=-3-碧，得心-3;

综上，实数4的取值范围为［-3,1］.

•8・

［跟踪训练2已知数列｛a„｝中，的=1,&2=2,且册+2=2an+l+3M,设数列bn—an+1+an.

(1)求证:数列｛b,J是等比数列，并求数列｛b,J的通项公式；

JI1

⑵若数列｛0｝的前n项和为又,数列的前九项和为北,求证：北<%

、D九D九十14

==

【解析】证明：⑴Q九+22%+1+3a九,/.。打+2+。九+13azi+i+3a灯,

又勾=an+1+an.：.bn+1=30，仇=Qi+。2=1+2=3,

・,・数列｛bj是等比数列，首项为3,公比为3,・,.勾=3n.

⑵数列｛b｝的前几项和为S“=3(；1)=3(3；1).

n、

_9_,

=_3"=X(________1___］

nn+1n+1

Sn-Sn+1~(3-l)(3-l)――3-l''

/.数列］Q：Q—1的前71项和为

(*^n*^n+lj

+5_+……+j_.1)=XM_11vJ_

“2K3-132-132-l33-l3n-l3"+i-i)2V23n+1_］/4'

黑V

题型六:奇偶性问题

(题目|1］已知数歹U｛aj满足斯+1+(—1)%九=2n—L若01=1,贝！。3=，前60项和为•:

n

【解析】数歹U｛&｝满足Qn+i+(―l)an=2几一1,Qi=1,。2—1=1,解得02=2.

0,3+2=3,解得a3=1.

o-n+i+(一1)%九=2n—1,

0>2—Qi—1,Q3+。2=3,。4―。3=5,0-5+。4=7,Q>Q―0-5=9,。7+。6=11，,…。50­。49=97.

从而可得。3+Q1=2,。4+。2=8,。7+。5=2,。8+。6=24,。9+Q11=2,。12+。10=40,。13+=2,。16+。14

=56,…

从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2,从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8

为首项，以16为公差的等差数列.

｛册｝的前60项和为15x2+(15X8+有尸x16)=i83o,

故答案为：1,1830.

〔题目0已知数列｛册｝的前n项和S“满足S”—S“-2=3x(—~(71>3),且S1=1,$2=—"!"，求数列｛。九｝

、_的通项公式._y

【解析】先考虑偶数项，有：S2“一522=3X(―,广=_3X仁产,

$2九-2-S2n_4=—3X(—)，…,$4-$2=—3X

2nX2n

：.S2n=S2-3［^+(y)口+…2+4广；

同理考虑奇数项有52n+1=3x(：广风-1=3x［广，…，$3—8=3X,

产g+3G7+(9厂+…+(打］=2—6广.n>l,

；•电九+1=S2九+1—S2Tl=4—3x(5)，?1>1,出九二$2九一$2所1=-4+3x(Q-i—Si—1,

4—3x(4)"1,九是奇数

—4+3X(十)，72为偶数

「题目区已知数列｛Q/的前几项和Sn满足Sn=20九+(-1)Jn>1.

•9・

(1)写出数列｛%｝的前三项的，。2,。3；

⑵试判断数列｛an+是否为等比数列，如果是，求出｛册+的通项公式;如果不是,请说明

理由；

⑶证明:对任意的整数加＞4,有工+工+…+工＜].

04a1nO

【解析】⑴当九=1时，有：Si=Qi=2。1+(-1)n&=1;

当71=2时，有：S2=+。2=2a2+(—1)20电=0；

当n=3时，有：S3=Q1+。2+03=2。3+(—1)3=＞。3=2;

综上可知Ql=l,&=0,。3=2；

⑵｛%+y(-ir)是等比数列，理由如下：

nn-1

由已知得：an=Sn—Sn-i=2Q九+(—l)—2^-i—(—l)

化简得：=2每t+2(-l)n-1

上式可化为：Q九+~|~・(-1)"=2&_1+看,(—1广]

故数列｛册+*D"｝是以5+年•(-1)1=]■为首项，公比为2的等比数列.

⑶由⑵可知：%=等[21一(一1厂),

所以_|1__—-2_—±111-----------------------------

叼人十&5十十*2l22-l23+12m-2-(-l)m

—21.3+9+15+33+63++2m-2-(-l)mJ

=9["+;+《+击+…]<｝("+;+%+击+…)

13X(1尸J13=1041105=7

UF,团15-120120-T'

跟踪训练1J已知｛an｝为等差数列,｛鼠｝为等比数列，出=瓦=1,口5=5(a《一&3)，氏=4为一的.

⑴求｛册｝和也J的通项公式；

—;—，九为奇数，

(2)对任意的正整数设c"=:"+2求数列｛品｝的前2九项和.

善红，九为偶数.

°n+l

【解析】⑴由题意，设等差数列｛册｝的公差为d,

贝Iai~a3—d,a,5=1+4d,

：a$=5(a4—CI3),1+4d=5d,解得d=1,

an=1+1,(n—1)=n,nEN*,

3l

设等比数列｛bn｝的公比为q,则b3=q,b4=Q,b5=q,

---65=4(64-63),.♦./=4(/—q2),化简整理，得g2—4勺+4=0,解得9=2,

n1n1

/.bn^l-2~^2-,nEN*.

，九为奇数,‘萩%为奇数___-),n为奇数

Q九Q71+221n九+2

(2)由(1),可得品=，

厮+i力为偶数.畤L,n为偶数唠工"为偶数

°hn+l，/"

设数列｛cn｝的前几项和为1，

幻。

贝Un=Ci+C2+3+c4H------Fc2n-i+c2n

•10.

=氏(1—+)+*借T)+…+9,(27T=T—1^1)]+借+卷+…+^1)

1,11,,11\,<3,5,,2n+l\

=T^1-y+y-J+",+2^T_2^+rH^+^+-+^^;

+小卷+…n,(3।5।|2九+11

而不r+(下+了+…

令人八峪〃=/3+,5夏,+…+.了2n+「l，

,2n+l

则看跖=卷+*+-“+等9十22九+2'

两式相减,

3,._3,2,2,,22n+l_今+2•(卷+/+…+表)-深生