山东省潍坊市2024届高三一模数学试题（含答案解析）

山东省潍坊市2024届高三一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知平面向量：=（1,2）,3=（-1"）,^aLb，则实数2=（）

A.vB.--C.-2D.2

22

2.已知抛物线。：/=了上点M的纵坐标为1,则W到。的焦点的距离为（）

53

A.1B.-C.-D.2

42

3.已知集合/={x，og3（2x+l）=2},集合8={2,a},其中aeR.若B=B,则°=

（）

A.1B.2C.3D.4

4.已知等差数歹!]{。0}的前"项和为5",4=—1,邑=5%+10,贝45=（）

A.6B.7C.8D.10

5.12世纪以前的某时期，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一

些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等.罗马数字用七个大写的拉丁文字母表

示数目:

IVXLCDM

1510501005001000

例如：5S=LVIII,464=CCCCLXIIII.依据此记数方法，MMXXXV=()

A.2025B.2035C.2050D.2055

6.如图所示，在棱长为1的正方体48co-44中，点P为截面上的动点,

若。尸，&C,则点p的轨迹长度是（）

cTD.1

试卷第1页，共4页

7.已知数列｛4｝满足a1=0,%=1.若数列为+4一1是公比为2的等比数列，则。2024=

()

224

,202312°+1

A.2J1B.-~~—C.2,012-1D.21011-1

33

8.已知直三棱柱/8C-44。外接球的直径为6,且4B/3C,BC=2,则该棱柱体

积的最大值为()

A.8B.12C.16D.24

二、多选题

9.某科技攻关青年团队有6人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这6人年龄的极

差为14,则()

21a

36620

4\2

A.a=8B.6人年龄的平均数为35

C.6人年龄的75%分位数为36D.6人年龄的方差为三64

10.函数/(x)=2gsinGxcos@;+2cos2g-1(0＜。＜1)的图象如图所示，贝U()

A./(x)的最小正周期为2兀

B.»=/(2%+三)是奇函数

jrTT

C.y=/(x+：)cosx的图象关于直线X=不■对称

612

1117

D.若＞=/侬)。＞0)在［0,可上有且仅有两个零点，贝卜€廿,二)

66

11.已知函数“X)及其导函数/(X)的定义域均为R,记g(x)=7'(x),且

f(x)-f(-x)=2x,g(x)+g(2-x)=0,则()

A.g(O)=lB.y=的图象关于点(0,1)对称

c./(x)+/(2-x)=0D.£g(k)=Y~("N*)

k=l2

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.已知i是虚数单位，若复数z满足(2+i)z=i,则三=

13.第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中甲

连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种.(结果用数值表示)

14.已知平面直角坐标系直5中，直线［：y=2x,l2：y=-2x,点尸为平面内一动点,

过户作DP/4交4于。，作EP〃'交4于E,得到的平行四边形。。尸£面积为1,记点尸

的轨迹为曲线若「与圆有四个交点，则实数，的取值范围是.

四、解答题

15.在中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知。(sin3+cos8)=c.

⑴求A；

(2)若°=行，a=45,。为8c的中点，求MX

且E的焦距为26.

(1)求E的方程和离心率；

⑵过点(1,0)且斜率不为零的直线交椭圆于尺，S两点，设直线AS,CR,CS的斜率分

别为左，%,k2,若左+左2=-3,求上的值.

17.如图，在四棱台48co-44。夕|中，下底面/BCD是平行四边形，/48C=120。，

AB=2AE=2,BC=8,44=4收，DDt1DC,W为3c的中点.

怏、

⑴求证：平面CDDXCX1平面DQM；

⑵若DQ=4,求直线DM与平面8CC百所成角的正弦值.

18.若〃是样本空间O上的两个离散型随机变量，则称(,〃)是。上的二维离散型

试卷第3页，共4页

随机变量或二维随机向量.设(△〃)的一切可能取值为®e)，…，记为表示

(生,与)在。中出现的概率，其中丹=尸(J=%,ri=bj)=尸[(J=aJn仞=4)].

(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中，记1号盒子中的小球

个数为J，2号盒子中的小球个数为〃，贝!|(。〃)是一个二维随机变量.

①写出该二维离散型随机变量«,〃)的所有可能取值；

②若(九〃)是①中的值，求尸«=%,〃=")(结果用加，"表示)；

(2)P(J=%)称为二维离散型随机变量«,〃)关于J的边缘分布律或边际分布律，求证：

+8

P(&

j=l

19.已知函数/(x)=2加nx—x+1(m>0).

x

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)证明：(1+5)(1+j)(l+J)…(1+5)<”(“eN*,n>2)；

⑶若函数8。)=根2111。-》-工+2有三个不同的零点，求加的取值范围.

X

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.

【详解】平面向量:=(1,2),6=(-1,2),由力加得Z%=-l+2；l=0，

所以人工

2

故选：A

2.B

【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得.

【详解】抛物线C：/=y的准线方程为＞=-:，

又点M在抛物线上且纵坐标为1,所以点M到C的焦点的距离为=

故选：B

3.D

【分析】首先求出集合A,依题意可得N=即可求出。的值.

【详解】由log3(2x+l)=2,则2尤+1=3?,解得x=4,所以/={x[og3(2x+l)=2}={4},

又8={2,a},A<JB=B,即4=8,所以a=4.

故选：D

4.C

【分析】根据题意，由等差数列的前〃项和公式即可得到%=5,再由等差数列的求和公式

即可得到结果.

【详解】因为数列{0“}为等差数列，则品=7(%；%)=2^=勿4,

又87=54+10,贝！J7%=5%+1。，即4=5,

则2=%%；&)=%1+5)=8.

故选：C

5.B

【分析】根据给定的信息，直接写出该数即可.

【详解】依题意，每个M表示1000,左起两个W就表示2000,

每个X表示10,中间3个X就表示30,最后一个忆表示5,

答案第1页，共13页

因止匕MMXXXV表示的数是2000+30+5=2035

所以跖=2035.

故选：B

6.B

【分析】连接。G，20,利用线面垂直的判定推理证得4c平面8CQ即可确定点尸的轨迹

得解.

【详解】在棱长为I的正方体N3CD-4耳62中，连接。G，5Z),/C,

由44I_L平面/BCD,3。U平面/BCD,得而8D_L/C,

/4c/C=N,/4，/Cu平面44C,则2。1平面44夕，又4Cu平面44/,

于是助，40,同理5G-4C,而8。1口&)=5,36,2。匚平面8。1。，

因此4CL平面8aD,因为DP，4C,则DPu平面BCQ,

而点P为截面4cd上的动点，平面4cde平面

所以点P的轨迹是线段BG，长度为VL

故选：B

7.A

【分析】利用等比数列求出。向+氏=21,进而求得a“+「a,T=2"-2(〃22),再利用累加法

求通项得解.

2

【详解】依题意，4+。2=1，。"+1+。"=2"",当"22时,an+an_x=2"-,则。什］一%=2"口,

所以。2024=%+(。4—。2)+(。6—°4)+…"(。2024—。2022)=1+2+2)2I…"F2

2(1-41011)22023+1

=1-1--------------=----------•

1-43

故选：A

答案第2页，共13页

8.C

【分析】由已知求出多面体外接球的半径，设/8=无（0＜》＜6）,把棱锥体积用含有x的代

数式表示，再由基本不等式求最值.

【详解】在直三棱柱48C-44。中工8C,所以为直角三角形，

则AABC外接圆的圆心为斜边ZC的中点，同理△44G外接圆的圆心为斜边4G的中点，

如图,

直三棱柱ABC-外接球的直径为6,•••外接球的半径R=3,

设上下底面的中心分别为。-O,连接。。，则外接球的球心G为的中点,

连接GC,则GC=3,

设/2=x(0<x<6),所以/C=FZ，则oc=也产，

在Rt/kCOG中,则。。1=2=也2-x2

,该棱柱的体积％：X2xX132—X?=(32—Y)4J-+^~—j=16.

当且仅当/=32--，即x=4时等号成立.

故选：C.

9.ACD

【分析】根据极差求出。，从而求出平均数、方差，再根据百分位计算规则判断C.

【详解】因为这6人年龄的极差为14,即42-（20+a）=14,解得a=8,故A正确；

所以这6人年龄分别为28、30、32、36、36、42,

贝IJ6人年龄的平均数为:（28+30+32+36+36+42）=34,故B错误；

又6x75%=4.5,所以6人年龄的75%分位数为从小到大排列的第5个数，即36,故C正确;

又6人年龄的方差

答案第3页，共13页

S2=1[(28-34)2+(30-34)2+(32-34)2+(36-34)2+(36-34)2+(42-34)2]=y,故D正

确.

故选：ACD

10.ACD

【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数〃x),结合给定图象求出再逐项判断即

可.

I-兀

【详解1依题意，/(x)=A/3sin2a)x+cos2a)x=2sin(2^x+—),

6

jrjrTTjr

由/(一)—2,得2G1—=2EH—,kGZ,解得g=3左H—，左EZ,而0<O<1,

33622

1兀

解得彳，/(x)=2sin(x+-),/(x)的最小正周期为2兀，A正确；

26

y=/(2x+乌)=2sin(2x+^+')=2cos2x是偶函数，B错误；

336

y=/(%+—)cosx=2sin(x+—)cosx,令g(x)=2sin(x+—)cosx,

633

ml/兀、3.7T、,71、-71.兀r\•兀、/、

贝！]g(x)=2sinz(X)cos(----x)=2cosxcos[r-----(x+—)J=2sin(zx+—)cosx=g(x),

626233

jrjr

>=/(%+：)cos%的图象关于直线％=■对称,C正确；

612

/(/x)=2sin(/x+—),/>0,当％目0,司时,tXH£[—,tilH],

6666

依题意，—<3兀，解得—,—),D正确.

666

故选：ACD

11.ABD

【分析】对于A,对条件/(xbArhZx,求导可得；对于B,对条件/(x)-/(-x)=2尤，

两边同时除以x可得；对于C,反证法，假设C正确，求导，结合条件g(x)+g(2-x)=0,

可得g(0)=0与g(0)=l矛盾,可判断C；对于D,求出g⑴=0,g⑵=-1,所以有

g(n+2)-g(n)=-2,g⑵-g⑴=-1,〃eN*,得出数列｛g⑺｝是以0为首项，-1为公差的

等差数列，利用等差数列求和公式即可判断.

【详解】因为/(尤)一/(一力=2尤，

所以/'(X)+/'(-x)=2,即g(x)+g(-x)=2,

令x=0,得g(0)=l,故A正确；

答案第4页，共13页

因为-尤)=2尤，

当x/0时，&+2=2,

X-X

所以夕=/区的图象关于点(0,1)对称，故B正确；

X

对于C假设〃X)+“2-x)=0成立,

求导得/'(X)-八2-x)=0,

即g(x)-g(2-x)=0,又g(x)+g(2-x)=0,

所以g(x)=0,所以g(0)=0与g(0)=l矛盾,故C错误;

对于D,因为g(x)+g(-x)=2,g(x)+g(2-x)=0,

所以g(2-x)-g(-x)=-2,g(0)=1,g⑴=0,g(2)=-l,

所以有g(〃+2)-g(")=-2,

所以数列｛g(〃)｝的奇数项是以。为首项，-2为公差的等差数列，

数列｛g(")｝的偶数项是以-1为首项，-2为公差的等差数列，

又g(2)-g(l)=-l,mN*,

所以数列｛g(〃)｝是以0为首项，-1为公差的等差数列，

所以g(〃)=l-〃，

所以故D正确.

k=l2

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是/(x)-/(-x)=2x,g(x)+g(2-x)=0的应用，D

选项关键是推出｛g(〃)｝是以0为首项，-1为公差的等差数列.

-i

12.—

5

【分析】利用复数除法法则进行计算出答案..

/、iziii

[W](2+i)z=i^z=-,故二1=(2+川2一厂匚]丁

故答案为：—

13.120

【分析】首先考虑甲连续2天的情况，再其余4人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.

答案第5页，共13页

【详解】在6天里，连续2天的情况，一共有5种，

则剩下的4人全排列有A：种排法，

故一共有5xA：=120种排法.

故答案为：120.

14.(1,4)

【分析】设点月(4,九)，则点P到4的距离为〃=色»,再联立直线PD与P=2x的方

程，求出点。的坐标，进而表达出平行四边形ODPE面积，再结合平行四边形。。国面积

为1求出点P的轨迹方程，再利用双曲线的性质求解.

【详解】设点/(/，%),则点P到丸的距离为八西沪，

直线尸。方程为V=-2x+2xo+yo,

联立一+2…,解得『学,

[y=2x4

所以|。必=石2%;%|,

所以“行幅彩四£==石晶鲁X气R=1，

所以入：一?=±1,

所以点尸的轨迹「为两个双曲线V=1、^-x2=l,

44

因为双曲线/-尤=i的实半轴长为1,双曲线=]的实半轴长为2,

44

若「与圆/+/—有四个交点，则i<"<2,即1</<4,

所以实数/的取值范围是(1,4).

故答案为：。,4).

答案第6页，共13页

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出动点P的轨迹方程，最后结合双曲线的性质求

出f的取值范围.

15.（呜

⑵平

【分析】(1)利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到sin/=cos/,即可得解;

(2)由余弦定理求出6,再由而=；(方+/)，根据数量积的运算律计算可得.

【详解】(1)因为Q(sin8+cos5)=c,

由正弦定理得sin4(sin5+cos5)=sinC,

在^ABC中，sinC=sin(Z+B),

则有sin4(sinB+cosB)=sin(4+B),

/.sinAsinB+sinAcosB—sinAcosB+cos/sin5,

sinAsmB=cosAsinB,又Bs(0,兀),/.sin5>0,

sinZ=cos/,「.tan/=l,又/£(0,兀)，,/=：；

(2)根据余弦定理有二万2+。2一力ccos4,

则有5=/+2-26,解得6=3或6=-1（舍去）,

答案第7页，共13页

•.•。为的中点，则而=；（方+衣）,

AD2=-(A82+l4C2+2A8-^cl=-xf2+9+2xV2x3x—17

4\/4124

二叵

~~1'

(2)3

【分析】（1）由的值，可得“，6的关系，再由焦距可得c的值，又可得。，6的关系,

两式联立，可得。，6的值，即求出椭圆的方程；

（2）设直线AS的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线C&,CS的

斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线AS的斜率的大小.

【详解】（1）由题意可得C（O,b）,

可得+万=#,,2c=26，可得c=G，

可得。2—/==3,+Z?2=5，

解得a2=4f/=i，

所以后心率e=—=——，

a2

所以椭圆的方程为《+/=1,离心率e=@；

4-2

（2）由（1）可得C（O,1）,

（3）

（4）由题意设直线RS的方程为x=my+l（机*0）,贝（|左=,，

m

设尺（西,必），$（%2，%）（再迎h0）,

答案第8页，共13页

|2

%21

—+y=i

联立;4整理可得（4+加2），+2my-3=0,

x=my+1

0VT)3

9

显然A〉0,且弘+>2=一^---2必必=一^---T，

4+加24+优

直线以，cs的斜率匕=上;与=%二L

X]x2

则k{+k2=必TI为T=(即2+1)5T)+(加，+1)(%—1)

、石x2仍必+1)侬%+1)

2即J2+（1_掰）（必+）2）—2

加2必必+m（yx+%）+1

2加.^y+（l_掰）・^^_2

4+加4+加2

2—3-2tnm-1

m----亍+m-----+1

4+加4+mr

71

因为勺+e=-3,即-3=：,解得，”=：,

一m-13

所以直线RS的斜率上='=3.

m

即左的值为3.

17.(1)证明见解析;

⑵*

【分析】(1)利用平行四边形性质及余弦定理求出。M,进而证得ZWLCD,再利用线面

垂直、面面垂直的判定推理即得.

(2)由已知证得。。，平面/8CD,再以。为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向

量求法求解即得.

【详解】(1)在Y/BCD中，由//3C=120。，得/DCM=60。，而DC=2,CA/=4,

在△DGW中，由余弦定理，WD7W=^22*4+42-2X2X4X1=2\§";

答案第9页，共13页

贝l|DM2+cz)2=c〃2,即DM_LC£>,又CDLDQ,DD}P\DM=D,

DD1,DMu平面D}DM,因此CD_L平面DXDM,而CDu平面CDDg,

所以平面CD2G1平面DQM.

(2)在四棱台48co-4B£A中，由4B=24月，得40=249=8,有4，=4,

在梯形中，AD=S,DDt=4,过4作交于点£,

则/E=4,4£=4,又A4=4亚,显然“£2+462=/42,则/田，，即

又D.D1CD,AD^}CD=D,AD,CDu平面ABCD,于是DQ1平面ABCD,

以。为坐标原点，以两，皮，函的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系

D-xyz,

D(0,0,0),C(0,2,0),q(0,1,4),M(2/3,0,0),MC=(-252,0),CCX=(0,-1,4),

•n=一2+2y=0=

设平面BCG4的法向量为1(X,%Z),则_,令z=VL得

•方=一歹+4z=0

3=(4,45回

而方面=(26,0,0),设DM与平面BCC/1所成角大小为

\DM-n\_86

因此sin0=|cos(DM,ri)\=

\DM\\n\~26义国-67，

所以直线0M与平面BCCXB,所成角的正弦值为勺叵

67

2

18.(l)®(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0)；②

9-m\n\(3—m—ri)\

(2)证明见解析.

答案第10页，共13页

【分析】(1)①根据题意直接写出所有可能取值；②利用独立重复试验的概率、条件概率公

式及独立事件的概率公式列式化简即得.

(2)利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可.

【详解】(1)①该二维离散型随机变量©,〃)的所有可能取值为：

(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).

②依题意，04机+〃43,=m,rj=n)==m\r)=n)-=n),

显然P5=«)=q(|y(|)3--,则m〃=〃)=C'(1)m(|)3-m=c™„(1)3--,

所以尸e=机,〃=〃)=CQ(|)3-"•《(；)"(|)3-'=：CKM=:------.

233279--m-n)\

(2)由定义及全概率公式知，

尸(J=«,,)=尸{(J=%)ri[(77=砥)U(〃=6JU…U(〃=%)U…]}

=尸{&=《)ns=幻]UKJ=q)ns=4)]u…U[c=%)n(〃=0u…}

=尸庶=",)n5=4)]+P[C=q)ns=编]+•••+0『爪f)]+,•

+oo+00+00

=EGe=%)n①=勺)]=ZPC=%，〃=勺)=EPg.

7=17=17=1

【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件8的概率问题，把事件3分拆成两个互斥

事件NB与配的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.

19.(1)答案见解析；

(2)证明见解析；

⑶(1,+8).

【分析】(1)求出函数/(X)的导数，按0<〃?41与〃>1分类讨论求出/(X)的单调区间.

(2)利用(1)中加=1时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得.

(3)变形函数g(x),将g(x)的零点个数问题转化为了⑺的零点个数，再借助导数及零点存

在性定理求解.

【详解】(1)函数〃x)定义域为(0,+与，求导得/'(x)=网-1-1==婴二L

XXX

设在(x)=-/+2加x-1,则A=4(%2-1),

①当0<机《1时，A<0J'(x)W0恒成立，且至多一点处为0,函数/(x)在(。,+功上递减；

答案第11页，共13页

②当勿>1时，△>0,左（%）有两个零点再=加-二I>0,%2=加+J772^^>0，

贝！]当0v%v%i或%>%2时，左(%)<0,即/'(x)<0；当再<%<%2时，k(x)>0,gpf\x)>0,

即函数"X）在（0,石）,在2，口）上单调递减，在（再/2）上单调递增，

所以当0〈冽时，/（X）的递减区间为（0,+8）；

当/>1时，/（%）的递减区间为（0,加—J冽2一1）,（加+J加2一],+8）,递增区间为

(m-J加2_1,m+J加2―])

(2)由(1)知，当m=1时，xe(l,+oo)时，/(x)=21nx-x+-</(1)=0,

X

11

则lnx<-Y-----,令x=l+-y(〃£N*,〃22),

22xn

于是1(l+))<;(l+