山东省济宁市2024届高三年级下册高考模拟考试数学试题含答案

济宁市2024年高考模拟考试

数学试题

2024.03

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

12

y--x

1.抛物线4的焦点坐标是（）

A.(1,0)B.(0,1)C.（2,0）D.(O,2)

2.已知i为虚数单位，复数Z满足z（l+i）—l+2i=0,则已（）

13.13.33.13.

A.------1B.——+—1C.-----1D.-----1

22222222

已知等差数列｛4｝的前几项和为且邑=2,S

3.6=9，则S10=()

A.14B.16C.18D.20

4.（a2-a+b＞）展开式中炉〃的系数为（）

A.-60B.-30C.30D.60

5.己知。为坐标原点，直线/：x=^V+3与圆C：/+y2-6x+8=0相交于A，3两点，则。4.O5=（

A.4B.6C.8D.10

6.已知A5C的内角的对边分别为。，"c,且°=3,acosB=(2c—〃)cosA,贝ij.ABC面积的最

大值为（）

吨B.-C.99

A.D.

4242

7.设函数/⑺定义域为R,为奇函数，/（九一2）为偶函数，当xe[0,l]时，/（x）=x2-l,则

/(2023)-/(2024)=()

A.-1B.OC.1D.2

22

8.已知双曲线-2=1(。>0/>0)的左、右焦点分别为《，居，过耳的直线与y轴相交于M点，与

ab

双曲线C在第一象限的交点为P,若F]M=2MP,FiPF2P=0,则双曲线。的离心率为()

A.72B.73C.空D.73+1

2

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法中正确的是()

A.线性回归分析中可以用决定系数R2来刻画回归的效果，若尺2的值越小，则模型的拟合效果越好

B.已知随机变量X服从二项分布3(〃P),若E(X)=20,D(X)=10,贝|〃=40

C.已知随机变量自服从正态分布NQ,。?)，若PC>1)=。，则。(4>3)=1—p

32—2

D已知随机事件A,区满足P(3)=M，P(AB)=~,则尸(AI3)=§

10.已知函数/(x)=sin，x+e](ty〉o),则下列说法中正确是()

A.若％=-?和％=9为函数/(%)图象的两条相邻的对称轴，则口=2

36

]fl5

B.若0=3,则函数“力在(0㈤上的值域为

2V227

C.将函数7(%)的图象向左平移四个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)为奇函数，则。的最小

6

值为5

D.若函数“X)在(0,兀)上恰有一个零点，则,<0<口

11.如图，在棱长为2的正方体ABC。-中，/是棱BC的中点，N是棱。。上的动点(含端

点)，则下列说法中正确的是()

A.三棱锥4-AMN的体积为定值

B.若N是棱。，的中点，则过4M,N的平面截正方体ABC。-所得的截面图形的周长为

775

2

C.若N是棱。，的中点，则四面体2-AMN的外接球的表面积为7兀

D.若CN与平面世C所成的角为夕，则sinde与?

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设集合A={x|尤2—%—6<0},B={x\-a<x<a},若A=B,则实数。的取值范围是.

13.2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，

满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得。分；③部分

选对得部分分(若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个

正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分).已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题

中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题

所有可能总得分(相同总分只记录一次)的中位数为.

14.已知函数/(x)=log0x+，(。>0且awl)恰有一个零点，则实数。的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

(1)求/(X)的单调递增区间;

(2)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+=[

b=2c—y[2a■求角B

的大小.

16.袋中装有大小相同4个红球，2个白球.某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中

摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4

次时本轮摸球游戏结束.

(1)求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率；

(2)若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分X的分布列和数学

期望.

17.如图，四棱锥尸—A6CD的底面为正方形，底面ABC。，PA=AB=2,过8点的平面BEFG

分别与棱AD，PD,PC相交于E,F,G点，其中E,G分别为棱A£)，PC的中点.

(1)求——的值；

FD

(2)求平面C即与平面5EFG夹角的余弦值.

18.已知椭圆E:土+乙=1,直线/与椭圆E交于A、B两点，。为坐标原点，且Q4LO3,OP±AB,

84

垂足为点尸.

(1)求点尸的轨迹方程；

(2)求.QA5面积的取值范围.

19已知函数/(x)=lnx-gov2+g(“eR).

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)若。<%</，证明：对任意ae(O,y)，存在唯一的实数&€(玉,％2),使得

/©=/(%)—/(%)成立;

x2_%]

_2zi+l

⑶设4",〃eN*,数列｛叫的前九项和为S".证明：S„>21n(n+1)济宁市2024

年高考模拟考试

数学试题

2024.03

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

y--x

1.抛物线4的焦点坐标是（）

A.（1,0）B.（0,1）C.（2,0）D.(0,2)

【答案】B

【解析】

【分析】

将抛物线的方程化为标准方程，由此可求得该抛物线的焦点坐标.

【详解】抛物线的标准方程为f=4＞，则2"=4,可得5=1,

因此，抛物线y=焦点坐标为（0,1）.

故选：B.

2.已知i为虚数单位，复数z满足z（l+i）—l+2i=。，则1=（）

13.13.33.

A.---------1B.-----F—1C.--------1D.

22222222

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z,从而得到其共朝复数.

【详解】因为z(l+i)—l+2i=0,

l-2i_(l-2i)(l-i)^13.-13

所以z=—i所以z=——+'i.

1+i-(l+i)(l-i)-2222

故选：B

3.已知等差数列｛4｝的前几项和为S“，且邑=2,$6=9,则40=（

A.14B.16C.18D.20

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意求出首项与公差，再根据等差数列前几项和公式即可得解.

【详解】设数列｛4｝的公差为d,

由邑=2,$6=9,

7

2q+d=2

得,6x57c，解得＜

6aH----a=9

12d=-

4

10x93545

所以Sio=lOai+-^d=宁+学=20.

故选：D.

4.(/—a的展开式中笳尸的系数为()

A.-60B.-30C.30D.60

【答案】B

【解析】

【分析】求得(。2一。+“中含有的项,即可求得片廿的系数.

2

【详解】(a-a+b^=(ci-a+Z?)(a2-a+Z?)(0--a+b)(片-a+匕)-a+匕)

则展开式中含有片廿的项为C；(/)2.&(—a)-C步=—30笳人2,

故(/—a+b『的展开式中45b2的系数为一30.

故选：B.

5.已知。为坐标原点，直线/：x=〃h+3与圆。：/+y一6》+8=0相交于A,3两点，则QA.O3=()

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【解析】

【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，从而得到直线恒

过圆心，再根据数量积的运算律计算可得.

【详解】圆C:x2+y2—6x+8=0即(x—3)2+y2=i,圆心为C(3,0),半径厂=1,

又直线/：X=阳+3,令y=。，则％=3,即直线/恒过点C(3,0),即直线恒过圆心，

又直线/:工=阳+3与圆。：/+/一6》+8=0相交于A,B两点,

所以CA=—CB，

所以03=（0C+C4）（0C+C3）=（0C+CA）（OC—C4）

22

=OC-CA=32-l2=8-

故选：C

6.已知_ABC的内角A,B,C的对边分别为a,dc,且a=3,«cosB=（2c-Z?）cosA,则一ABC面积的最

大值为（）

97322

AR9A/3

4242

【答案】A

【解析】

【分析】利用正弦定理对已知条件进行边角转化，求得A,结合余弦定理以及不等式求得be的最大值，再

求三角形面积的最大值即可.

【详解】因为acosB=（2c-b）cosA,由正弦定理可得：sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA,

即sin（A+B）=2sinCcosA,sinC=2sinCcosA,

1jr

又CG（0,兀），sinCw0,故cosA=5；由Ae（0,兀），解得A=—；

1z，22-9

由余弦定理，结合a=3,可得COSA=±=3+^c-

22bc

BP^+c2=bc+9>2bc<解得AW9,当且仅当Z?=c=3时取得等号；

故ABC的面积5=工6csinA=1xW6c<@x9=%^，当且仅当Z?=c=3时取得等号.

22244

即.ABC的面积的最大值为%8.

4

故选：A.

7.设函数/（元）定义域为R,/（2x-l）为奇函数，/（X-2）为偶函数，当xe[0,l]时，f（x）=x2-l,则

/（2023）-/（2024）=（）

A.-1B.OC.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由八2x-l)为奇函数得到函数的对称中心，由/(九-2)为偶函数得到函数的对称轴，进一步求得函

数的周期，然后将/(2023)与/(2024)转化到已知区间求解即可.

【详解】因为函数Ax)定义域为R,7'Qx-l)为奇函数，所以/(2x—1)=—/(—2x—1),所以函数/a)关

于点(—1,0)中心对称，且〃—1)=0,

因为/(九一2)为偶函数，所以/(尤一2)=/(—%—2),所以函数/⑺关于直线x=—2轴对称，

又因为“X)=-/(-2-x)=-"-2+x)=-[一〃-4+x)],所以函数/(x)的周期为4,

因为当xe[0,1]时，f(x)^x2-l,

所以/(2023)=7(4x506-1)=/(-1)=0,/(2024)=f(4x506)=/(0)=-1,

所以/(2023)-/(2024)=1.

故选：C.

22

8.已知双曲线-2=1(。>0/>0)左、右焦点分别为《，居，过耳的直线与y轴相交于M点，与

ab

双曲线C在第一象限的交点为P,若F]M=2MP,FiPF2P=0,则双曲线C的离心率为()

A.72B.73C.空D.73+1

2

【答案】D

【解析】

3c

【分析】设NP耳工=，，。为锐角，依题意可得刊「Pg,|P耳|=再由|“G|=T，得

至“尸耳|=3^,又|PR|=2csinO,利用勾股定理得到方程，即可求出COS。，从而求出8,最后求出离

2cos6

心率即可.

设NP耳工=，，。为锐角,

3

因为片Af=2MP,FFF2P=0,所以招，户用=5打第|,

：.\MF.\=-^,:\PFl\=-\MFl\=^^,又|P6|=2csin6,

cos。22cos6

二|「耳¥+|尸月|2=|月居『,

•,•%,+4c2sin20=4c2,

4cos2e

9+16sin2^cos20=16cos20,

/.9+16(1-cos2^)cos20=16cos20,

/.9-16cos4^=0，

.,.cos2，=],：.cose=B(负值舍去)，，〃二？。。，

42

33ci-

:\PF\=-\MF|=-----=V3c,\PF\=2csin0=c,

X2X2cos。2

双曲线C的离心率6=/==看^=6+1.

2a\PFl\-\PF2\J3c-c

故选：D.

【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，

常见有两种方法：

①求出。，c,代入公式e=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于“，b,。的齐次式，结合从=°2-4转化为0,c的齐次式，然后等式

(不等式)两边分别除以。或/转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法中正确的是()

A.线性回归分析中可以用决定系数尺2来刻画回归的效果，若尺2的值越小，则模型的拟合效果越好

B.已知随机变量X服从二项分布3(〃p),若灰X)=20,D(X)=10,贝|〃=40

C.已知随机变量J服从正态分布NR,。?)，若Pe>l)=p,则。(4>3)=1—夕

32—2

D.已知随机事件A,3满足P(3)=g,P(AB)=-,则P(A|B)=g

【答案】BC

【解析】

【分析】根据决定系数的性质、二项分布的期望和方程的计算公式、正态分布的性质以及条件概率的计算公

式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：线性回归分析中可以用决定系数尺2来刻画回归的效果，

若尺2的值越小，则模型的拟合效果越差，故A错误；

对B：随机变量X服从二项分布3(“,P),若E(X)=20,D(X)=10,

1

[np=20?p=—

川np(l-p^=W解得彳2故B正确;

〃=40

对C：随机变量J服从正态分布NR,。?)，若

则PC<3)=p,故PC>3)=l-p,C正确;

32P(AB)2

对D：=P(AB)=-,则P(A|3)=//=胃

--1

又P(A|B)+P(A|3)=1,故P(A|8)=§,D错误.

故选：BC.

10.已知函数/(》)=5m10%+弓)0〉0),则下列说法中正确的是()

A.若％=-弓和x=g为函数/(%)图象的两条相邻的对称轴，则。=2

36

]fl5

B.若0=e，则函数“可在(0㈤上的值域为

C.将函数“X)的图象向左平移四个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)为奇函数，则。的最小

6

值为5

D.若函数“X)在(0,兀)上恰有一个零点，则,<◎<口

66

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的值域可判断B选项；利用三角函数

图象变换以及正弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用正弦型函数的对称性可判断D选项.

【详解】对于A选项，若》=-弓和x=$为函数/(尤)图象的两条相邻的对称轴，

36

兀兀2兀

则函数了（%）的最小正周期为T=2x—+—=兀，贝co——=2,

6371

所以，f(x)=sinf2%+^-j,此时，/I-^1=8111-|=1,合乎题意，A对;

X兀

对于B选项，若力=g,贝！]/（%）=sin—+—

26

e兀x兀2兀”-/z(./x)\=si.n(x+兀、(1,.

当Ovxv九时,则所以，h6rh

故当。=；时，则函数在（0,兀）上的值域为,B错;

对于C选项，将函数八％）的图象向左平移四个单位长度后得到函数g（x）的图象,

6

I兀）兀.[兀G+兀）、,士》皿

则g（x）=sm++%=sm[s+―--J为奇函数，

所以，兀°+兀=碗（keZ）,解得啰=6左一1（左eZ）,

6

因为刃>0,当左=1时，切取最小值5,C对；

对于D选项，因为G>0,当0<%<71时，一--<TICD~\----

6669

因为函数/（%）在（0,兀）上恰有一个零点，则兀<兀0+二42兀，解得D对.

666

故选：ACD.

11.如图，在棱长为2的正方体ABC。—A4GR中，m是棱BC的中点，N是棱。A上的动点（含端

点），则下列说法中正确的是（）

A.三棱锥4-AMN的体积为定值

B.若N是棱。。的中点，则过A,M,N的平面截正方体ABC。-44G2所得的截面图形的周长为

7A/5

2

C.若N是棱。2的中点，则四面体2-AMN的外接球的表面积为7兀

D.若CN与平面世C所成的角为。，贝Usinge与?

【答案】AD

【解析】

【分析】对于A,根据线面平行可知，点N到平面4AM的距离为定值，继而可判定；对于B,根据题意

画出截面图，计算即可；对于C,作出图形，根据题意建立方程组，解出即可；对于D,建立空间直角坐

标系，利用空间向量求得sin。的表达式，进一步计算求范围即可.

【详解】对于A,连接4",因为。2//AA，

朋u平面\AM,DDX（Z平面\AM,

所以。2〃平面AAM,

又点N是棱。2上的动点（含端点），

所以点N到平面AA"的距离为定值，设为d，

则匕AMN=KA,AM=-xSAAMxd=-x^Hxd=^-d，为定值，故A正确;

对于B,如图，

四边形AMHN为过A,M,N的平面截正方体ABC。-A4G2所得的截面图形，

因为平面\ADDXII平面B}BCCX,

且平面AADD11平面AMHN=AN,

且平面B]BCGn平面AMHN=MH,

根据面面平行的判断定理知，AN//MH,

又因为为中点，所以H为四等分点，

则四边形的周长为：

四|+|“叫+阿+|训=6+4+平+&=^^^,

故B错误；

对于C,如图所示，连接A',取AD的中点为AT,

连接MM'，设..AD[N外接圆圆心为O',外接球球心为。，

连接O'M',则OE=O'M,

在中，设其外接圆半径r,

_型_=昱=回=2r

由正弦定理知，sin/A〃N—也一"，

r-r-A/10V10

所以r=j—,即BNOW=r—,

22

依题易得.AND[三。故/4MD'=N/WD,

弦所对的圆周角相等，故AM',N,2四点共圆,

则O'M'=O'N=—

2

设外接球半径为R,过。作OE，MM',交跖0'于E,

则在RtAOEM中，OM-=OE2+ME-,

即I??=（2-00/①

在Rt_00'N中，ON2=OO'2+O'N2,

即R2=OO'-，②

7

联立①②，解得。0'=1,氏2=—,

2

故外接球的表面积为4兀火2=14兀,

故C错误；

对于D,以A为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系,

则4（0,0,0），4（2,0,2）,。（2,2,0）小（0,24）,/140,2],

则被=（2,0,2）,AC=（2,2,0）,OV=（-2,（U）,

设平面A4c的法向量4=（%,y,z）,

n-AB,-0f2x+2z=0

则ncc八，

n-AC=0[2x+2y=0

令x=],则y=z=-l,故”=

,.In-CN2+2

则nsin6n=cosn,CN=——=.

117Tlr2

同协73.V4+2

_V|卜2+42+4—石卜।4/1

V22+4V+22+4，

当彳=0时，sin0=—，

3

当/IwO时,

sin""、『二=心_A/6

3V%+432+4一~V,

A

当且仅当4=2时等号成立,

3.八6L4^A/3

又sin0——/IH------>—,

3AV%+43

立y/6

综上可知，singe,故D正确,

故选：AD.

【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的

位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中

心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于

球的直径.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设集合A={x|尤2—无一6<0},B={x\-a<x<a］,若AqB,则实数。的取值范围是.

【答案】［3,+8)

【解析】

【分析】求解一元二次不等式解得集合A,再根据集合的包含关系，列出不等式求解即可.

［详解］集合A={%|%2-%-6<0j=|JC|(X-3)(X+2)<0}={x|-2<x<3),

又3={%|—。<无且AoB,

-a<-2a>2「、

故可得《c,即1C，解得ae[3,+8).

a>3a>3

故答案为：［3,+8).

13.2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，

满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分

选对得部分分(若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个

正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分).已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题

中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题

所有可能总得分(相同总分只记录一次)的中位数为.

【答案】11

【解析】

【分析】列举出所有的得分情况，再结合中位数的概念求答案即可.

【详解】由题意得小明同学第一题得6分；

第二题选了2个选项，可能得分情况有3种，分别是得。分、4分和6分；

第二题选了1个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、2分和3分；

由于相同总分只记录一次，因此小明的总分情况有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分

共8种情况，

所以中位数为=

2

故答案为：11.

14.已知函数/（x）=log0x+，（。＞0且awl）恰有一个零点，则实数。的取值范围为.

f-i

【答案】（1］丁._屋一

【解析】

【分析】原式转化为判断（工］=log］x的交点问题，分ae（o,l）和两种情况讨论结合指对函数对称

性，导数的几何意义进而得解.

I1＜1V1

【详解】令/（%）=108“1十==0得==一1。84%=1。8,％,即—=logi%，令b=_,

a°aJa

当〃=!〉1时，即ae（O,l）时，若两函数有且仅有一交点，

由指数函数和对数函数特征可判断此交点必定落在V=%这条直线上，且该点为y=炉,y=log"x两函数

的公切点，

=\ogbx0=x0於=logb%=%)

设切点为（％,不），则丁'（/）=1,则有伊儿f=i,即＜

bx°-Inb=1，解得/=---

In/?

（1陶“个）=1—1—=1

x0-InZ?

11

由"'。=不得，xoln/?=lnxo,所以lnx（）=l,解得x（）=e,即加=e，即一=ee,

当Z?e（0,1）时，即ae（l,+8）时，由指数函数和对数函数特征可判断y=Z/与y=log^x要有公切点,

此切点必定落在丁=%这条直线上，设切点（天,昌），y'（/）=-1,

b"=^ghxQ=x0

b*=log5尤o=x0

则有｛")]…=-1,即＜bx°-InZ?=—1,解得玉)=-----，由Z?”=%)得/InZ?=In/,

Inb

1

(log〃x)]个=T——=-]

%0-InZ?

,1111

所以lnx（）=—l,解得不=—,即勿=一，b=I,即，«=ee

eee

由指数函数和对数函数特征可知:

e、

当bw0,〃时,y=万与y=log〃尤有3个交点;

当be,1时,y=A，与y=log/,x有1个交点;

1:/

时，、=万£与〉=1。8炉有一交点.

【点睛】关键点点睛：当指对函数底数在（0,1）时，图象难以表示出来，对于后续处理难度较大，题干信

息相对较少，解题时能挖掘出指对函数的对称性，由导数的几何意义确定斜率值是解题关键，重点考查了

分类讨论思想，函数与导数综合解决零点问题，值得深入研究!

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数y（x）=gsi•n2x-cos2x

（1）求/（X）的单调递增区间;

A兀

（2）已知一ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且了—+—='b-2c—y/2a•求角B

24

的大小.

兀7兀1(1\

【答案】（1）--------kit.—+kit(KeZ

63v7

【解析】

【分析】（1）根据余弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，结合正弦型函数单调性进行求解即可;

（2）根据（1）的结论，结合正弦定理、两角差的正弦公式进行求解即可.

【小问1详解】

/(%)=--cos2%+豆sin犬cos九

sin2x--cos2x

22

=sinr_i}

TTTTTT

令一'+2E<2x—+keZ,

262

7171

得，Fku<%<—Fkit,kGZ,

63

所以〃龙）的单调递增区间为一£+而,；+防1（左eZ）；

【小问2详解】

由(1)知，f—I—=sinAH———,

U4；I3)2

又Ae(0,7i),A+§e,所以A=1,

由正弦定理及匕=2c-&a，得，sinB=2sinC—V^sinA，A+B+C=n,

：.sinB==>sinB=2^^-cosB+^-sinB一'^，整理得，cosB=^->

又3e（0,二丁］,_B=生，所以角B的大小为女

I3J44

16.袋中装有大小相同的4个红球，2个白球.某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中

摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4

次时本轮摸球游戏结束.

（1）求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率；

（2）若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分X的分布列和数学

期望.

【答案】（1）—

27

（2）分布列见解析；期望为理

81

【解析】

【分析】（1）由互斥加法以及独立乘法公式即可求解；

（2）X的可能取值为2,3,4,5,算出对应的概率即可得分布列以及数学期望.

【小问1详解】

设一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次为事件A,记第，次（7=1,2,3）摸到红球为事件瓦,

则事件&二

耳BXB2\BXB2B3,

显然瓦、耳瓦、与与瓦彼此互斥，

由互斥事件概率的加法公式：P（A）=P（^与瓦I耳与瓦）

"闯+P,瓦）+尸（与与瓦）

2/——\1

因为每次摸到红球后放回，所以，P（4）=W，尸（。）=§，

fA\12122119

所以，Po（A）=-+-x-+-x-x-=一.

',33333327

【小问2详解】

依题意，X的可能取值为2,3,4,5,

p（x=2）=p（4）=丁

P（X=3）=P（4瓦）=gxg=|,

P（X=4）=P（BA^）+P（5A53B4）=|X|X|+^=||

P（X=5）=尸（454瓦）=C*

所以，一轮摸球游戏结束时，此人总得分X的分布列为:

X2345

1288

P2

398181

A/sc1.2/28<8260

E(X)=2x—F3x—F4x--F5x—=---.

')39818181

17.如图，四棱锥P—A6CD的底面为正方形，底面A3CD,PA=AB=2,过B点的平面跳RG

分别与棱AD，PD,PC相交于E,F,G点,其中E,G分别为棱AD，PC的中点.

FD

（2）求平面C郎与平面6EFG夹角余弦值.

【答案】（1）2；

⑵2

3

【解析】

【小问1详解】

方法一：取8c中点。，连接尸。交BG于点S,连接。。，SF.

:四边形ABCD为正方形，E为AD中点、，：.DE//BQ,DE=BQ,

故四边形3QDE为平行四边形，.•.QD〃5E；

又•.•。。仁平面5ERG,5E匚平面班尸6,，。。//平面庞户6,

PFPS

•.Qu平面PQ"平面。平面阻G=S—〃Q。’

又：G为棱PC的中点，PQ3G=S,.•.点S为△BCP的重心;

PS-PF

—=2,故——=2.

SQFD

方法二：以A为坐标原点，分别以AB，AD-AP的方向为了轴，丫轴，z轴的正方向,

建立如图所示空间直角坐标系：

则4(0,0,0),5(2,0,0),£>(0,2,0),尸(0,0,2),G(l,l,l),以0,1,0),

所以BG=(—1,1,1),5E=(-2,1,0),BP=(-2,0,2),PD=(0,2,-2),

设PF=2PD，(0<2<1),平面庞FG的一个法向量为7"=(x,y,z)

BG-m=0f-x+y+z=0fy=2x

所以，\，即°-c,解得y,

BEm=01—2x+y=0[z=-x

令X=l,解得y=2,Z=-l,故772=(1,2,-1);

又BF=BP+PF=BP+APD=(-2,22,2-22),

BFu平面BEFG,所以BE•加=-2+22x2-(2-22)=0,

2PF

解得4=彳，所以M=2.

3FD

【小问2详解】

以A为坐标原点，分别以AB，AD>AP的方向为x轴，>轴，z轴的正方向,

建立如图所示空间直角坐标系:

Z\

则A（0,0,0）,5（2,0,0）,£＞（0,2,0）,尸（0,0,2）,G（l,l,l）,E（0,l,0）,C（2,2,0）,

所以BG=（-1,1,1）,BE=（-2,1,0）,BP=（-2,0,2）,PD=（0,2,-2）,CE=（-2,-l,0）,

CP=（-2,-2,2）；

设平面BEFG的一个法向量为m=(x,y,z),

BG-m=0-x+y+z=0y=2x

所以《,即《cc，解得V

BE-m=0-2x+y=Qz=-x

令X=l,则加=（1,2,-1）;

另设平面CEF的一个法向量为〃=(%,%,zj,

2r444

由（1）知PR==PD=0,-,-

3I333

CF=CP+PF=CP』PD=々Tl

3

-2犬］一%=0

CE・n