福建省龙海市2024届高三第二次联考数学试卷含解析

福建省龙海市浮宫中学2024届高三第二次联考数学试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若3x+eN*）的展开式中含有常数项，且〃的最小值为。，则x1dx-

-a

81万〃25万v

A.364B.------C.-----D.257r

22

2.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点尸（-3,4）,贝（］sin2a=（）.

1224168

A.------B.——C.—D.-

252555

3.在AABC中，角A,3,C的对边分别为a,6,c,C=（，若加=卜一跖。叫，n=^a-b,c+>/6^,且力/，，

则AABC的面积为（）

B.9fC.3fD.36

A.3

4.设等差数列｛q｝的前“项和为S,,,若。3=2,%+%=5,则$6=()

A.10B.9C.8D.7

5.已知三棱柱

ABC-的6个顶点都在球。的球面上.若A6=3,AC=4,ABVAC,A4,=12,则球为勺半径为（）

A,巫

B.2V10c.yD.3Vw

2

6.已知函数=-x'x~a（〃>（））,若函数g（x）=/（x）-4W有三个零点，则。的取值范围是（

5-x,x>a

A.(0,1)[5,+8)B.(0,1)J[5,+a))

C.(1,5]D.(—,5J

7.等比数列｛4｝中，4=：应=2,则知与心的等比中项是（）

8

11

A.±4B.4C.±-D.-

44

71

8.已知函数/(x)=3sin®x+0),(少>0,0<0<兀)，若/=0,对任意XGR恒有/（九）W在

7

区间有]上有且只有一个X使/⑷=3,则0的最大值为（)

123111105117

A.一B.—C.-----D.——

4444

9.已知函数f（x）=x+±g（x）=2'+a,若1,3,3x2e[2,3],使得/（演”且伍），则实数”的取值范围

是（）

A.a<\B.a>1

C.a<0D.a>0

10.已知4,6为非零向量，“。2/?=62优，为，，„=1,，，的（）

A.充分不必要条件B,充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

22

11.己知双曲线E:鼻一鼻=l（a>〃>0）的左、右焦点分别为入，B，尸是双曲线E上的一点，且|?6|=2|W|.

cib~

若直线PK与双曲线E的渐近线交于点M,且M为2入的中点，则双曲线片的渐近线方程为（）

A.y=±-xB.y=±-xC.y=±2xD.y=±3x

32

2K-ix>or(iv

12.已知/*)={'.二，则//log,-=()

-X,X<0Ii)_

22

A.2B.-C.-----D.3

33

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.已知点（1,2）是双曲线=-21=1（“>0）渐近线上的一点，则双曲线的离心率为

a4

elnx

x>0

14.设/(x)=<x'（其中e为自然对数的底数），g（x）=r（x）—（2机-l）/（x）+2,若函数g（x）恰有4

-2019x,x<0

个不同的零点，则实数机的取值范围为.

15.在正方体ABC。—A4GQ中，E为棱AA的中点，尸是棱4片上的点，且4尸=；尸4,则异面直线E尸与8a

所成角的余弦值为.

16.若sin(a-zj=g，则sin2cz=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)选修4-5：不等式选讲

已知函数f(%)=1一2|

(I)解不等式/(x)+/(2x+l)N6；

(II)对a+/?=l(a力＞0)及VxeR,不等式—/(一力＜±+，恒成立，求实数〃z的取值范围.

ah

18.(12分)设/(力=卜|一2|*-。］(〃〉0)

(1)当"1时，求不等式的解集;

(2)若/(x)Wl,求。的取值范围.

19.(12分)近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸.呼吸困难等心

肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

患心肺疾病不患心肺疾病合计

男5

女10

合计50

3

已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为

(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？请说明你的理由；

(2)已知在不患心肺疾病的5位男性中，有2位从事的是户外作业的工作.为了指导市民尽可能地减少因嘉霾天气对身

体的伤害，现从不患心肺疾病的5位男性中，选出3人进行问卷调查，求所选的3人中至少有一位从事的是户外作业

的概率.

下面的临界值表供参考:

P(K2>k]0.150.100.050.0250.01()0.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

(参考公式K2=，其中〃=〃+Z?+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

20.(12分)在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，平面A8CZ)为等腰梯形，ABHCD,AB=2BC,点Q为AE

的中点.

(1)求证：AC//平面OQ尸；

(2)若NA8C=60。，ACLFB,求BC与平面尸所成角的正弦值.

21.(12分)在平面直角坐标系x冲中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐

0

X+一

-2

标方程为夕sin?e=2acos6(a>0),过点尸(―2,-4)的直线I的参数方程为<近(为参数)，直线/与曲

y+

-2

线C交于N两点。

(1)写出直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程：

(2)若|尸/|,|加印,|/｝均成等比数列，求a的值。

22.(10分)已知函数y=f(x)的定义域为(0,+8),且满足/(移)=/(x)+/(y),当xe(l,+8)时，有/(x)>0,

且/⑵=L

(1)求不等式/(4。一/(1一/)<2的解集;

TC

(2)对任意xw0,-・•/(6-2a)恒成立，求实数。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、c

【解析】

3x+±(〃eN*)展开式的通项为

&I=C：(3X)"T(T=)=3iC：x“告,r=O,l,,n,因为展开式中含有常数项，所以〃—gr=O,即r=g〃为整

数，故n的最小值为1.

所以fyla2-x2dx=j正二7dx=生生.故选C

a52

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

⑴求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出厂值即可.

⑵已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由特定项得出「值，最后求出

其参数.

2、B

【解析】

根据角终边上的点坐标，求得sina,cosa,代入二倍角公式即可求得sin2a的值.

【详解】

43

因为终边上有一点P(—3,4),所以sina=w,cosa=-《，

.cc.c4(3124

sin2a=2sinacosa=2x—x——=-----

5I25

故选：B

【点睛】

此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.

3、C

【解析】

由机//可得m-6)2=(c-")(c、+"),化简利用余弦定理可得cosg=+"-♦=!，解得"•即可得出三角形

32ab2

面积.

【详解】

解：m=(c-46,a-b],〃=,且)〃,，

(a-i>)2=(c-\/6)(c+>/6),化为：a2+b2-c2=lab-6.

22

九a-clab-6_1

cos—=------------=--------——f解得ab=6.

32ablab2

1,^1733G

5AABCSINC=X6X—-----•

=-^-V2

故选：C.

【点睛】

本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

4、B

【解析】

根据题意为=4+2"=2,4+%=2q+3d=5,解得q=4,d=-\,得到答案.

【详解】

%=q+2d=2,q+%=2q+3d=5,解得q=4,d--\>故Sf=6q+15d=9.

故选：B.

【点睛】

本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.

5、C

【解析】

因为直三棱柱中，AB=3,AC=4,AAi=12,AB±AC,所以BC=5,且"为过底面ABC的截面圆的直径.取3c

中点。，贝lj底面A5C,则0在侧面BCGBi内，矩形BCCBi的对角线长即为球直径，所以2R=汨亨=

13

13,H即nR=—

2

6、A

【解析】

分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果.

【详解】

作出二/一》和y=5-x,y=的图像如下所示:

函数g(x)=/(X)-4国有三个零点，

等价于y=/(X)与y=4国有三个交点，

又因为。〉0,且由图可知，

当XWO时y=/(x)与丁=4国有两个交点A,。，

故只需当x>0时，y=/(x)与丁=川乂有一个交点即可.

若当x>0时，

a€(0,1)时，显然」=□⑺与：］=4|［侑一个交点口，故满足题意；

a=l时，显然』□(匚。与］=4旧|没有交点，故不满足题意；

ae(l,5)时，显然二=口(口)与匚=41|也没有交点，故不满足题意；

ae［5,+»)时，显然y=/(x)与丁=4闪有一个交点C,故满足题意.

综上所述，要满足题意，只需ae(0,1)［5,+8).

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题.

7、A

【解析】

利用等比数列｛q｝的性质可得《=4%，即可得出.

【详解】

设由与。8的等比中项是X.

由等比数列｛&”｝的性质可得，％=±。6.

:.%与小的等比中项x=±4=±—x25=±4.

8

故选A.

【点睛】

本题考查了等比中项的求法，属于基础题.

8、C

【解析】

根据/（%）的零点和最值点列方程组，求得④。的表达式（用攵表示），根据/（%）在［方,］上有且只有一个最大值,

求得切的取值范围，求得对应攵的取值范围，由人为整数对Z的取值进行验证，由此求得。的最大值.

【详解】

71.3(2k+l)

-----0)-\~(P—攵］兀，co=

由题意知“k、,k?eZ,则,/?其中％=匕一乂，k'=h十%.

兀.71(2/+1)兀--

§口+夕=&2兀+万，卬=

4，

又/（内）在（会,上有且只有一个最大值，所以'一2=尊427,得0＜。430,即3（2：+1）«30,所以

515154

左419.5,又ZeZ,因此AW19.

兀,

11^7Q-----CD+(P=K|7l,

3成立，当xe71兀

①当攵=19时，CD=---,此时取"二』可使,时,

44兀,兀

50+夕=&兀+5，

11*7。11*"?。

乙一1+子£（2.7元,6.6兀），所以当飞一2+才=4.5兀或6.5兀时，/（%）=3都成立，舍去;

TI.

-----(D+(p=K|7C,

②当攵=18时，。=工］，此时取*=工可使＜3成立，当XW兀71时，+：£（2.1兀,5.8兀），

5

44兀.兀155

—co+(p=K2n-^—.

所以当当的+：=2.5兀或4.5兀时，/（玉）=3都成立，舍去;

717

---69+9=K|7l,

③当攵=17时，。=些，此时取°=型可使<3成立，当XW兀71,1053兀/.、

时，—-—xH—£(2.5兀,6兀)9

44兀,兀1595

—co-\-(p=K2TI+—,

竽2+?=4.5兀时，〃x)=3成立;

所以当

综上所得。的最大值为器

故选:c

【点睛】

本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数

学思想方法，属于中档题.

9、C

【解析】

14/44

试题分析：由题意知，当莅£-93时，由/(x)=x+—22]/—=4,当且仅当工=—时，即x=2等号是成立,

_2」x\xx

所以函数“X)的最小值为4,当£€[2,3]时，g(x)=2'+a为单调递增函数，所以g")®=g(2)=a+4,又因

为1,3，切e[2,3],使得“xjNgG)，即在xe1,3的最小值不小于g(x)在xw[2,3]上的最小

值，即a+4W4,解得“40,故选C.

考点：函数的综合问题.

【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称

命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的

能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为了(x)在xe1,3的最小值不小于g(x)在xe[2,3]上的最小

值是解答的关键.

10、B

【解析】

由数量积的定义可得/=同2>0,为实数，则由优心=可得\afb=a，根据共线的性质，可判断a=b；再根据

\a\a=判断&=6由等价法即可判断两命题的关系.

【详解】

2211

若a?b=b2a成立，则|。「b=a，则向量a与b的方向相同，且忖=同,从而。=匕，所以a="

若麻州瓦则向量a与/，的方向相同，且q=W，从而代训，所以a=尻

所以“必〃="为"忖a=Wb”的充分必要条件.

故选:B

【点睛】

本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定，考查向量的模、数量积的应用.

11、C

【解析】

由双曲线定义得|P6|=4a,|P6|=2a,0M是鸟的中位线，可得|OM|=a,在△OM鸟中，利用余弦定理即

可建立a,c关系，从而得到渐近线的斜率.

【详解】

根据题意，点尸一定在左支上.

由|/蜀=2忸用及仍用一俨用=2a,^\PF^=2a,\PF2\=4a,

再结合M为P6的中点，得|P4=|"周=2a,

又因为0M是的中位线，又|OM|=a,ROMHPR,

从而直线PFt与双曲线的左支只有一个交点.

在△0M6中cosNM0F,=幺三——.—①

22ac

由tan/M0g=2,得cos/MOg=@.——②

ac

由①②，解得t=5,即一=2,则渐近线方程为〉=±2工.

aa

故选：C.

【点睛】

本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.

12、A

【解析】

利用分段函数的性质逐步求解即可得答案.

【详解】

log2-<0,/(log2—)=—log2—=log23>0；

jjJ

•••/[/(log2，=/(log,3)=3-l=2；

故选：A.

【点睛】

本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、亚

【解析】

先表示出渐近线，再代入点(1,2),求出〃，则离心率易求.

【详解】

2222

解：1—匕=1(。>0)的渐近线是三一匕=0(。>0)

a4a-4

I2?2

因为(1,2)在渐近线上，所以'■一上=0(。>0)

a4

。=1(。>0)

C=V12+22=y[5>e=£=石

a

故答案为：V5

【点睛】

考查双曲线的离心率的求法，是基础题.

14、m>2

【解析】

求函数/'(X),研究函数的单调性和极值，作出函数F(X)的图象，设，=/(幻，若函数g(x)恰有4个零点，则等价为

函数〃⑺=*-(2〃?-1»+2有两个零点，满足，>1或0<。<1,利用一元二次函数根的分布进行求解即可.

【详解】

e(1/ny)

当%>0时，,r(x)=~,

由/'(x)>0得：1一。优>0,解得0<x<e,

由/(%)<0得：i-bvc<09解得x>e,

即当x=e时，函数.f(x)取得极大值，同时也是最大值，f(e)=1，

当x->+oo,/(x)->0,

当xf0,/(x)-—8,

作出函数,f(x)的图象如图,

设f=/(x),

由图象知，当/>1或r<0,方程，=/(x)有一个根，

当仁0或/=1时，方程，=/(%)有2个根，

当0〈/<1时，方程f=/(x)有3个根，

则g(x)=f(x)-(2m-V)f(x)+2,等价为万⑺=*-(2加一l)f+2,

当1=0时,九(0)=2*0,

二若函数g(X)恰有4个零点，

则等价为函数h(t)=t2-(2m-l)t+2有两个零点，满足/>1或0<f<1,

f/?(0)=2>0

则《，

[〃⑴<0

即〃(1)=l-2w+l+2=4—2m<0

解得：m>2,

故答案为：m>2

【点睛】

本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及.求的导数，研究函数的.f(x)的单

调性和极值是解决本题的关键，属于难题.

V10

5

【解析】

根据题意画出几何题，建立空间直角坐标系，写个各个点的坐标，并求得ERBq.由空间向量的夹角求法即可求得异

面直线EF与BCI所成角的余弦值.

【详解】

根据题意画出几何图形，以A为原点建立空间直角坐标系:

设正方体的棱长为1,则E(0,0,0,1),8(1,0,0),

所以EF=£,0,£|,BG=(o,i,i).

同=*|g]=6

EF•BCi

所以cos<EF,BC1>=

旦0

4

所以异面直线EF与Be1所成角的余弦值为叵,

故答案为：叵.

5

【点睛】

本题考查了异面直线夹角的求法，利用空间向量求异面直线夹角，属于中档题.

【解析】

由已知利用两角差的正弦函数公式可得sina-cosa=32,两边平方，由同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦

5

函数公式即可计算得解.

【详解】

.(兀.然叵(.\4殂.45/2

sma——=smacos----cosasin—=——(sina-cosa)=—»得sina-cosa=------，

{4j442、'55

在等式sina-cosa=迪两边平方得1-sin2a=!|,解得sin2a=-三.

52525

7

故答案为：-石.

【点睛】

本题主要考查了两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的

应用，考查了转化思想，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17-.(I)(—oo,—l][3,+oo).

(II)-13<m<5.

【解析】

3—3x,x<一,

2

详解：(I)/(x)+/(2x+l)=|x-2|+|2x-l|=x+1,—<x<2,

2

3x-3,x>2.

当时，由3-3%26,解得xK—l；

2

当!4x42时，x+l»6不成立；

当%>2时，由3%一326,解得人23・

所以不等式“X)»6的解集为(—8,-1][3,4W).

(II)因为a+》=l(a,Z?>0),

向“41,V4n<4。01竺g=9.

所以—1—=(〃+1/?)—1—=5H1—之5+2、

abyab)ah\ab

由题意知对VxeR,,一2-/“一卜》-2|49,

即(|x—2-"—|一》一肛1ax<9，

因为—2一—|—x—2|—2—〃?)一(x+2)|=|-4—/w|,

所以-9Wn?+4W9,解得一13WmW5.

【点睛】

(1)绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：①绝对值定

义法；②平方法；③零点区域法.

⑵不等式的恒成立可用分离变量法.若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化

为求主元函数的最值，进而求出参数范围.这种方法本质也是求最值.一般有：

①/(x)<g(〃)(a为参数)恒成立0g(a)>/(x)max

②/(x)>g(a)(a为参数)恒成立=g(a)</(x)max.

18、⑴1,3(2)(0,1]

【解析】

⑴通过讨论X的范围，得到关于X的不等式组，解出取并集即可.

⑵去绝对值将函数/(X)写成分段函数形式讨论分段函数的单调性由/(X)W1恒成立求得结果.

【详解】

解：(1)当4=1时，/(%)=|x|-2|x-l|,/(x)Z-l即

x<0[0<x<l[x>l

,或〈或，

x-2>-l[3x-2>-l[一%+2之一1

解之得或1<XW3,即，<x<3

33

二不等式的解集为1,3.

x-2tz,(x<0)

(2)由题意得：/(%)=<3x-2tz,(0<x<tz)

-x+2a\x>a)

.•・当x<0时=x-2a(a>0)为减函数，显然f(x)W1恒成立.

当OWxWa时，/(x)=3x-2a为增函数，

当x>a时，/(x)=-x+2a为减函数，/(a)=a<l

.,.0<a<l

综上所述：使/(x)Wl恒成立的”的取值范围为(0,1].

【点睛】

本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式恒成立问题中求解参数问题，考查分类讨论思想，转化思想,属于中档题.

9

19、(1)列联表见解析，有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关，理由见解析；(2)—.

10

【解析】

(1)结合题意完善列联表，计算出K2的观测值，对照临界值表可得出结论；

(2)记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为A、B,其余三人分别为。、c,利用列举法列举

出所有的基本事件，并确定事件“所选的3人中至少有一位从事的是户外作业”所包含的基本事件数，利用古典概型的

概率公式可取得所求事件的概率.

【详解】

3

(1)由于在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为弓，所以5()人中患心肺疾病的人数为3()人，故

可将列联表补充如下：

患心肺疾病不患心肺疾病合计

男20525

女101525

合计302050

50x(20x15-5x10)"25

K?2=——-------------------L=——x8.333>7.879-

25x25x30x203

故有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关；

(2)记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为A、B,其余三人分别为。、b、c.从中选取三人共

有以下10种情形：

(A,5,a)、(A8,。)、(A,B,c),(A。,力)、(Aa,c)、(A瓦c)、、(及a,c)、、(a,b,c).

其中至少有一位从事的是户外作业的有9种情形，分别为：（A,B,a）、（A,B,c）、（4,。,。）、（A。,。）、

（A,。,。）、,

所以所选的3人中至少有一位从事的是户外作业的概率为「=亮.

【点睛】

本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题，同时也考查了利用列举法求解古典概型的概率问题，考查计算能

力，属于中等题.

20、（1）见解析（2）巫

5

【解析】

（1）连接CE交。/于点"，连接QM,通过证明QM//AC,证得AC//平面PQ/.

（2）建立空间直角坐标系，利用直线8C的方向向量和平面。QF的法向量，计算出线面角的正弦值.

【详解】

（1）证明：连接CE交OE于点M，连接QM,因为四边形CDEF为正方形，所以点M为CE的中点，又因为。为

AE的中点，所以QM//AC：

QMu平面DQF,AC<Z平面DQF,

；.AC//平面DQF.

(2)解：AB=2BC,设3C=1,则A6=2,在ABC中，ZABC=60°，由余弦定理得:

心=22+/一2x2xlxcos60°=3，

AC2+BC2=AB\：.ACIBC.

又4。，阳,。3门3/=5,，4。，平面/3。.:.ACLFC.

CD±FC,FC±平面ABCD.

如图建立的空间直角坐标系。一孙Z.

在等腰梯形ABCD中，可得CD=CB=1.

1/oO/o11

,--,0),E(0,0,1),,0),C(0,1,0),F(0,1,1)则。(号，一不不).

那么BC=(―W「g,O),DQ=(苧，一;，g)，DF=(0,1,1)

设平面DQF的法向量为〃=(苍y,z),

由14.1n

〃•丑二°,即

则有<44■2~一，取y=l，得〃=(后,1,一1).

n-DF=0

y+z=0

\CBn\275

设BC与平面DQF所成的角为。，则|sin0=|cos<CB,n>|=

\CB\-\n\5

275

"V

本小题主要考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

21、(1)/的普通方程y=x-2；C的直角坐标方程.丫=2ax；(2)a=l.

【解析】

(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线。的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数，即可得到直线

/的直角坐标方程；

(2)将直线/的参数方程，代入曲线C