重庆市铜梁区2021-2022学年高一年级下册期末数学试题 含解析

2022年春期高2024级高一（下）期末考试

数学试卷

注意事项：

1.考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清

楚.

2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试题卷上作答无

效.

3.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.

卷I（选择题，共60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求.）

2i

Z--

1.设复数1+i,则复数z的共辗复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出z,再求出直接得复数z在复平面内对应的点

【详解】因为z=^=l+"所以z=i_:三在复平面内对应点（L-1），位于第四象限.

故选：D

2.已知一组数据%,马，…,x”的平均数为1标准差为s,则数据2%+1,2々+1/-,2七+1的平均数和方

差分别为（）

A.2元+1,2s+1B.2x,2sC.2x+1,2sD.2x+l,4s2

【答案】D

【解析】

【分析】根据数据的平均数与方差的性质求解即可.

%+%+…+%

【详解】解：由题知,——As-

nrii=l

所以，2石+1,2x,+1,…,2x.+1的平均数为2%+1+2%+1++2七+1=2x+l,

n

nn

i?i?

2%+1,2々+1,…,2x〃+1的方差分别一•£(2%+1—2x—1)=—x)=4s2.

ni=\ni=\

故选：D

3.设a,£为两个平面，则a〃6的充要条件是

A.a内有无数条直线与夕平行

B.a内有两条相交直线与月平行

C.a,夕平行于同一条直线

D.a,夕垂直于同一平面

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平

行的判定定理与性质定理即可作出判断.

【详解】由面面平行的判定定理知：a内两条相交直线都与夕平行是&//£的充分条件，由面面平行性质

定理知，若。//£,则a内任意一条直线都与£平行，所以a内两条相交直线都与夕平行是a//£的必

要条件，故选B.

【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：

“若aua,budal1b,则a//〃”此类的错误.

4.已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6,现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标

的概率P.先由计算器产生。到9之间的整数值的随机数，指定0,1,2,3,4,5表示击中目标，6,

7,8,9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果.经随机模拟

产生了以下20组随机数：

169966151525271937592408569683

471257333027554488730863537039

据此估计P的值为()

A.0.6B.0.65C.0.7D.0.75

【答案】B

【解析】

【分析】由20组随机数中找出至少2次击中目标的包含的随机数的组数，即可求概率P的值.

【详解】20组随机数中至少2次击中目标的包含的随机数为：

151525271592408471257333027554730537039

一个有13组，

13

所以其3次射击至少2次击中目标的概率尸=一=0.65,

20

故选：B.

5.在正四棱台ABC。—44cl2中，AB=4,AlBl^AAl^2,则该四棱台的体积为（）

A*B*C,8叵D,873

【答案】B

【解析】

【分析】作出轴截面，过点A作AC,结合等腰梯形的性质得高，再计算体积即可.

【详解】解：作出轴截面如图所示，过点4作AC,垂足为£,

因为正四棱台ABCD—A4GA中，48=4,4与=A4=2

所以AC=40，AG=20，44=CG=2,即梯形为等腰梯形，

所以，AE=AlE=42,

所以，该四棱台的体积为

V——（SABCD+SABCD+JSABCDS.BCD],^£=—（16+4+J16x4）xV2=-

故选：B

6.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道

位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为〃.将地球看作是一个球心

为。，半径为厂的球，其上点A的纬度是指Q4与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与

该卫星在同一条子午线(经线)所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为

a,观测该卫星的仰角为夕，则下列关系一定成立的是()

r+hrhr

A----=----------B---------------

cos(3cos(a+B)cos/?cos(a+4)

r+hrhr

C.----=---------D.----=---------

•sin§sin(a+0)'sin(3sin(a+J3)

【答案】A

【解析】

【分析】由题意，画出示意图，在三角形042中利用正弦定理即求解.

【详解】解：如图所示，=由正弦定理可得&L=———，即

2sin3sinAOAB

rr+h

--------------------------YY+fl

.(TC0、.(71,化简得----------=------,

smIy-a-IsinI—+/?Icos(a+,)cos0

7.在.ABC中，点。线段BC上任意一点，点。满足A。=3AP，若存在实数加和，，使得

BP=mAB+nAC>则加+〃=()

2112

A.-B.-C.——D.——

3333

【答案】D

【解析】

【分析】由题设AD=XAB+(l-/l)AC且0<2<1,结合向量数乘、加法的几何意义可得

2-31-A

BP=AB+AC,再由已知条件即可得m+〃的值.

33

A

【详解】

由题意，AZ)=4AB+(1—2)AC且0<2<1,而AD=3AP=3(A5+5P),

所以3A3+33尸=4A3+(1—%)AC,即=

由已知，＜,贝lj771+72=——.

3

故选：D

8.正八面体是每个面都是正三角形的八面体.如图所示，若此正八面体的棱长为2,则它的内切球的表

面积为（）

【答案】C

【解析】

【分析】由正八面体的定义知，其内切球的球心在正八面体的中心，以内切球的球心为顶点、可将正八

面体分为8个全等的正三棱锥，利用等体积法可得其内切球的半径人从而得到其内切球的表面积.

【详解】以内切球的球心为顶点、正八面体的八个面为底面，可将正八面体分为8个全等的正三棱锥，

设内切球的半径为,，贝修嚷棱锥二匕E八面体=2KH四棱锥，

且正四棱锥的高为图中CO,易得CO=e，即:

8x-x—xC2xC2x-r=2x—X(2X2)XA/2

32

解得：r=—，所以，内切球的表面积为巨.

33

故选：C.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项

中，有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）

9.习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻

炼协调发展.某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长（单位：小时）进行了统计，得到如下频率

分布表:

分组[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)

频率0.250.300.200.25

则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长有关的说法正确的有（）

A.众数大约为2.5B.中位数大约为4

C.平均数大约3.95D.第80百分位数大约为5.2

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据频率分布表性质逐项分析求解即可.

3+4

【详解】对于A,根据频率分布表可得，高一年级学生每周体育锻炼时长众数为——=3.5,错误;

2

x—3

对于B,设高一年级学生每周体育锻炼时长中位数为x,则0.25+——x0.30=0.5,解得

4-3

x=3—®4,正确；

6

对于C,高一年级学生每周体育锻炼时长平均数约

0.25x2.5+0.30x3.5+0.20x4.5+0.25x5.5=3.95,正确；

对于D,因为Q25+0.30+0.20+0.05=0.80,所以高一年级学生每周体育锻炼时长的第80百分位数大

约为5+2曳=5.2,正确.

0.25

故选：BCD.

10.在正方体ABC。-A4GR中，已知点分别为棱A3,5片上动点（含端点），设直线BG与直线

PC的所成角为戊，直线QG与平面BBQ。所成角为夕，则（）

A.直线BG与&C的所成角为90B.申

TT7T

C.直线8G与平面ABCD的所成角为45D.

63

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A,利用线面垂直的性质可判断BC1人A.C,从而判断A；确定e取到最大和最小值时的

位置，求得最大角和最小角，即可判断B;根据线面角的定义可求得直线BQ与平面A3CD的所成角，判

断C;根据线面角的定义找到夕，结合其正弦值，确定其最大值和最小值，可判断D.

【详解】对于A,连接用。，则与CL3G，

又因为4戈，平面35cle,5Gu平面35cle，故4用，BG，

44耳。=耳，43i，B]Cu平面A3。故3G，平面A4c,

而A]Cu平面A^C,故3GAAC,故直线BG与4。的所成角为90,A正确;

对于B,当尸点位于B点时，直线BC,与直线PC即BC的所成角最小,

7T

最小角为NCBG=—,

4

当尸沿54向A移动时，不妨假设BC在平面BC.D.A上平行向ADX移动，

此时直线BQ与直线PC所成角逐渐变大，

当尸点位于A点时，直线BG与直线PC即AC的所成角最大，最大角为NC4，，

7T7T7T

此时连接CR,△ACR为正三角形，故NC4，=—,故B正确；

343

对于C,由于，平面ABCD,BC为BC］在平面ABCD上的射影，

TT

故为直线BG与平面A3CD的所成角，由于/。避。=4，

故直线BG与平面A3CD的所成角为45，C正确；

对于D,连接AG，则4G±BR，而BB}1平面4月。］2,AGu平面4BC2,

故5用±AlC1,BB1BQ=4,34,8］。u平面明R。,故AG，平面BBQD,

设AGC4。=P，连接尸。,则NCiQP为直线QG与平面3BQD所成角即0,

PC

且sin,==，设正方体棱长为2,则尸G=及，

当。点位于与时，GQ最小，£取最大值，此时GQ=2,

故sin（3=€［0,—］,/.P

当Q点位于8时，GQ最大，月取最小值，此时GQ=20,故sin/=',.,.〃=q,

26

故，—,一］,D错误，

64

故选：ABC

11.如图，正六边形的边长为2,半径为1的圆。的圆心为正六边形的中心，，若点M在正六边形的边上

运动，动点在圆。上运动且关于圆心O对称，则的值可能为（）

4

wM

357

A.—B.—C.3D.一

222

【答案】BC

【解析】

【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、圆的性质进行求解即可.

【详解】由题意：

MAMB

=(MO+OA)\MO+OB)

=(MO+OA)-(MO-OA)

-2-2

=M0-OA

=|MO|2-I,

因为正六边形的边长为2,所以圆心。到各边的距离为：卜—(gx2)2=5

所以所以,

故选：BC.

12.在锐角三角形ABC中，角A,3,C所对的边分别为"c,^b+bcosA=acosB,则()

71n兀

A.A=2JBB.—<B<—

64

C.—GD.a2=b2+be

【答案】ABD

【解析】

【分析】由正弦定理将条件转化为角的关系，判断A,结合内角和定理和条件及余弦函数的性质判断B,

C,由余弦定理将条件转化为边的关系，判断D.

【详解】因为Z?+Z?cosA=acos5,由正弦定理可得

sinB+sin5cosA=sinAcosB,

所以sin3=sin（A-B）,

又ABC为锐角三角形，所以A*,]]，3”0日，

所以一J<A—3<q，正弦函数〉=sinx在上单调递增，

22、乙乙）

所以4—5=5,所以A=25,A正确；

因为为锐角三角形，所以人，斗Bel0,|I,|<A+B<^,

TTJTTT

所以0<2B<—,Q<B<-,-<2B+B<7r,

222

TTTT

所以一<5<一,B正确；

64

因为A=26,所以sinA=sin23=2sin3cos3,

所以〃=2Z?cos5,

nTT7T

所以一=2cos3,因为一<3〈一,

b64

所以g£（，C错误；

因为Z?+bcosA=acosB,由余弦定理可得

b2+c2-a2a+c2-b2

b+b--------------=a----------------

2bclac

所以2CZ?+Z;2+o2—〃2_〃2+。2—/，

所以"=从+反，D正确，

故选：ABD.

卷n（非选择题，共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案写在答题卡相应位置上）

13.已知复数z的虚部为2,且z?+3为纯虚数，则Iz|.

【答案】亚

【解析】

【分析】由纯虚数的定义列方程求出复数Z的实部，再由模的公式求|z|.

【详解】因为复数z的虚部为2,故可设z=a+2i（aeR）,

所以z2+3=(a+2i)2+3=a2—4+4ai+3=/—i+4ai,

由z?+3为纯虚数可得4―1=0且a/0,所以。=±1,

所以|z|=+4=V5，

故答案为：5

14.甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是:，则该密码被成功破译

的概率为.

【答案】|2

【解析】

【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概

率性质分析可得答案.

【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是:，!，

则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率^=(l-1)x(l-1)=|,

12

故该密码被成功破译的概率鸟=1-4=1-]=].

2

故答案为：

15.向量A3=(—1,3),5C=(3,Q,CD=(4,2),已知AC与CD同向，则与垂直的单位向量的坐标

为.

【解析】

【分析】根据向量加法的坐标表示求出AC，再根据共线向量的坐标表示求出左，注意排除反向这一情

况，设与3C垂直的向量为(x,y)，x2+j2*0,求出的关系式，再根据单位向量的坐标公式计算即

可得解.

【详解】解:由荏=(—1,3),配=(3,左),丽=(左,2),

得AC=AB+3C=(2,3+k),

因为Ad与同向，

所以AC〃CD，

则左(3+左)-4=0,解得左=1或T,

当左=1时，AC=(2,4),CD=(1,2),同向，

当左=-4时，AC=(2,-1),CD=(^,2),反向,

所以k=1,

故配=(3,1),

设与垂直的向量为(％y)，x2+y2^0,

则3x+y=0,所以y=-3x,

故与垂直的向量为(X,-3X)(XHO),

(x,-3x)

则与垂直的单位向量的坐标为±]=;

Vx+9%2

16.如图，正四面体ABCD的体积为豆2,E、F、G、5分别是棱A。、BD、BC、AC的中点，则

3

EF=,多面体AB-EFGH的外接球的体积为.

4

【答案】①.1②.一万

3

【解析】

【分析】将正四面体放入正方体，利用正方体的性质即得，设的中点为。，进而可得多面体

AB-EFGH的外接球的球心为。，然后利用体积公式即得.

【详解】如图，将正四面体A3CD嵌入到正方体中，则正四面体A3CD的体积为正方体体积的工，

3

A_________________

D

设正方体的边长为。，则d=20，a=J5，

所以AB=2,即是△A3。的中位线，

所以所=,AB=1.

2

D

;

A

设AB的中点为O,连接OE,OF,OG,OH,

因为OE=O尸=OG=O"=OA=03=工AB=1,

2

所以多面体AB-ER汨的外接球的球心为。，半径为1,

44

外接球的体积为一开代=—开.

33

4

故答案：1;-71.

3

四、解答题(本大题共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分.把必要的解

答过程写在答题卡相应位置上)

17.某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180),[18居200),[200,220),[220,

240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如下：

领率

组距

度

(1)求直方图中X的值；

(2)在月平均用电量为［220,240),［240,260),［260,280),［280,300］的四组用户中,用分层抽样的

方法抽取11户居民，则月平均用电量在［220,240)的用户中应抽取多少户？

【答案】(1)0.0075

(2)5户

【解析】

【分析】(1)根据小矩形的面积和为1求解即可；

(2)根据分层抽样的方法求解即可.

【小问1详解】

解：由直方图的性质可得：

(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)x20=1,解方程可得：x=0.0075

所以，x=0.0075

小问2详解】

解：由直方图可得:

月平均用电量为［220,240)的用户有0.0125x20x100=25户,

月平均用电量为［240,260)的用户有0.0075x20x100=15户,

月平均用电量为［260,280)的用户有0.005x20x100=10户，

月平均用电量为［280,300］的用户有0.0025x20x100=5户，

111

抽取比例为

25+15+10+55

所以月平均用电量在［220,240)的用户中应抽取25xg=5户.

18.已知向量a,。,c满足：同=2,c=&一%eR)，

(1)若求人在。方向上的投影向量;

(2)求|c|的最小值.

1r

【答案】(1)—a

4

(2)73

【解析】

【分析】(1)根据投影向量定义可得B在。方向上的投影向量为结合条件化简即可;

\a\

(2)根据向量的模的性质由条件求出|c|的表达式，再通过换元法求其最小值.

【小问1详解】

由数量积的定义可知：Mcos(a,")=芳，所以0在a方向上的投影向量为:

rI7Qalala1

bcos<a.b>——=-------=-----—a-

\a\\a\|a|224

【小问2详解】

|c|=|a-tb^-—必)=^a2-2ta-b+(tb2^

又同=2,(a,z?)=w，

所以—2%W+4

令％wR

所以间=y/x2-2x+4=—+3

所以当冗=4可=1时，同取到最小值为百

19.在ABC中，角ASC所对的边分别为。,b,c,acosC+y/3asinC—b—2c=Q

(1)求角A；

(2)若〃=J7，_A5C的面积为"，求二ABC的周长.

2

2兀

【答案】(1)4=?;

⑵3+近.

【解析】

【分析】(1)根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可

(2)根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.

【小问1详解】

由acosC+sinC—b—2c=Q，根据正弦定理得：

sinAcosC+43sinAsinC-sinB-2sinC=0，

又B=—(A+C),代入上式得：

GsinAsinC-cosAsinC-2sinC=0，

又sinC>0,

所以百sinA-cosA=2n2sin〔A—f=2nsin^A-^=1,

4兀/兀57r、LLrt/兀兀A2兀

又A—G(—,—),所以A—=-nA=—；

666623

【小问2详解】

由题意：_A5c的面积为：—bcsinA=-c=2

242

由余弦定理得：

Z?2+c2—2bccosA=b2+c2+bc=7，

即：(人+c)2—人c=7=>(Z?+c)2=9=>b+c=3,

所以的周长为3+、厅.

20.如图，在四棱锥P—A6CD中，四边形A3CD是等腰梯形，ZABC=60，ABI/CD,

CB=CD=1.点E为棱尸C的中点，点尸为棱AB上的一点，且=平面平面

ABCD.

(1)证明：ACLPB-.

（2）证明：所〃平面上40.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）证明出ACIBC,利用面面垂直的性质定理可得出AC，平面尸5C,再利用线面垂直的

性质可证得结论成立；

（2）取AB的中点G,连接CG,取CD的中点//,连接EH、FH,证明出平面及H〃平面

PAD,利用面面平行的性质可证得结论成立.

【小问1详解】

证明：因为四边形A3CD为等腰梯形，则AO=BC=CD=1,

因为NABC=60，则NBAD=60，所以，ZADC=120，故NAC£>=30°，

ZACB=ZBCD-ZACD=90，即AC工,

平面P3C1平面ABCD,平面。平面ABCD=6C,ACu平面ABCD,

.•.人。上平面「5。，

?Bu平面尸5C,..AC,05.

【小问2详解】

证明：取AB的中点G,连接CG,取CD的中点"，连接EH、FH,

因为ZABC=60，AC1BC,则/班。=30，:.AB=2BC=2CD=2,

因为A6〃CD,且G为A3的中点，所以，AG〃CD且AG=CD,

因为AF=LA5=LAG,H为CD的中点，所以，AFIIDH豆AF=DH,

42

所以，四边形ADH户为平行四边形，.•.EH〃AD,

平面QAD,人。<=平面上4。，,切〃平面^4。，

E、H分别为PC、CD的中点，故EHIIPD,

石平面B4。，PDu平面PA。，〃平面B4Z).

FHEH=H,EH、FHu平面EFH，；•平面瓦H〃平面PAD,

EFu平面EFH,；.EF〃平面PAD.

21.为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题

的概率都为p,乙同学答对每题的概率都为q(。＞。)，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每

题甲、乙两人同时答对的概率为:，恰有一人答对的概率为2.

212

(1)求p和q的值；

(2)求甲、乙两人共答对3道题的概率.

32

【答案】(1)p=~,q=-

43

⑵—

12

【解析】

【分析】(1)利用独立、互斥事件概率公式得到方程组求解；

(2)先求出甲、乙答对题目数为0、1、2的概率，再由甲乙总共答对3道题，等价于甲答对2道题乙答

对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，利用独立、互斥事件概率公式计算求得.

【小问1详解】

设A：甲同学答对第一题，B-.乙同学答对第一题，则尸(A)=〃，P(B)=q.

设C：甲、乙两人均答对第一题，D：甲、乙两人恰有一人答对第一题，

则C=AB,。=(Ac月)。(Zc3).

•••甲、乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，

与8相互独立，A百与ZcB互斥，

P(C)=P(AcB)=P(A)P(B)=pq,

P(D)=P(AnB)+P(AnB)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).

132

pq=《P=MP=W

由题意得＜5解得＜2或

3

p(l-q)+q(l-p)丘’好了

.、