2024年初三中考第一次模拟考试试题：数学（山东济南卷）（全解全析）

2024年中考第一次模拟考试（山东济南卷）

数学•全解全析

第I卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.图1所示的正五棱柱，其俯视图是（）

【答案】A

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示.

【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，两条纵向的虚线.

故选：A.

【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

2.2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行.国家主席习近平在主旨演讲中声

明：“本届高峰论坛期间举行的企业家大会达成了972亿美元的项目合作协议.”将972亿美元用科学记数法

表示成元，正确的是（）

A.9.72xlO2B.9.72x10sC.9.72xlO10D.9.72xlO11

【答案】C

【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于等于10的数表示成“xlO”的形式Q大于或等于1且

小于10,〃是正整数）；w的值为小数点向左移动的位数.根据科学记数法的定义，即可求解.

【详解】解：972亿97200000000=9.72x10"）,

故选：C.

3.如图，直线加〃"，点A在直线〃上，点B在直线机上，连接A3,过点A作交直线加于点C.若

4=50。，则N2的度数为（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角

相等；两直线平行，同旁内角互补.根据两直线平行，同旁内角互补得出NCW+N2=18O。，结合已知条件

即可求出-2的度数.

【详解】解：如图所示，

9•m//n,

：.ZC4Z)+Zl=180°,

・•・Zl+ZBAC+Z2=180°

•.*AC±AB,

：.NBA。=90。，

VZl=50°,

J50°+90o+Z2=180°,

・•・Z2=40°,

故选：C.

4.下列计算正确的是()

A.3A/2-2A/2=1B.(a+/?)2=a2+Z?2

C.a3^a6=-\D.(</?=/

av7

【答案】c

【分析】根据二次根式的减法、完全平方公式、同底数幕的除法、负整数指数幕以及幕的乘方的运算法则

逐一分析即可.

【详解】解：：3JI-2形=JL

选项A不符合题意；

V{a+b^=a2+2ab+b2,

选项B不符合题意；

..-36-91

.a;a=a=—,

a

选项C符合题意；

V（a4）'=a20,

选项D不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查二次根式的减法、完全平方公式（“±6）2=片±2浦+从、同底数塞的除法

负整数指数塞才P=5（”二0）以及累的乘方（暧）"=优"'，掌握以上法则是解题的关键.

5.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【答案】B

【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别.根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即

可.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.把一个图

形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；

故选：B.

6.三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上部

图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张小

图片恰好合成一张完整图片的概率是（）

【答案】B

【分析】将上部三张图片分别记作A、B、C,下部三张图片记作。、b、c,列表得出所有等可能结果,

从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

【详解】解：将上部三张图片分别记作A、B、C,下部三张图片记作。、b、c,

列表如下：

ABc

a(A,a)(B,a)(C,a)

b(A,b)(民b)(C.b)

c(Ac)(B,c)(C,c)

由表知，共有9种等可能结果，其中这两张小图片恰好合成一张完整图片的有3种结果，

31

所以这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为1=；,

故选：B.

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有

可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情

况数与总情况数之比.

7.若点4（一2,%）、8（—1,%）、C（L%）都在反比例函数y=S1为常数）的图象上，贝I%必、%的大

小关系为（）

A.%<%<%B.%<%<%C.%<%<%D.

【答案】C

【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的特征.由r+1>0可知，此函数图象在第一、三象限，根据反

比例函数的性质即可判定.

【详解】解：•••兀2+1>0,

反比函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随尤的增大而减小，

.•.A（-2,yJ、3（—1,%）在第三象限内，C（L%）在第一象限内，

V-l>-2,

为>必，

/•%<%<为，

故选：C.

8.《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为

负)，如图1表示的是(+21)+(-32)=-11的计算过程，则图2表示的过程是在计算()

HHBmiHD—D

A.(-13)+(+23)=10B.(-31)+(+32)=1

C.(+13)+(+23)=36D.(+13)+(-23)=-10

【答案】A

【分析】本题考查了有理数的加减运算.

由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算.

【详解】解：由题意得白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，

...图中表示的计算过程为(-13)+(+23)=10.

故选：A.

9.如图，在.ABC中，ZACB=90°,AC=3C=4,点。为边上一动点(不与点3、C重合)，CE垂直

交A3于点E,垂足为点连接并延长交AC于点/，下面结论正确的个数是()

①若AD是BC边上的中线，则。X=拽；②若AD平分/CAB，贝|y=必；③若&)=2CD，贝UAE=3BE；

5BD2

④3”的最小值为

【答案】C

【分析】根据勾股定理求出AD=2若，根据三角形面积公式求出。8=逑，得拽，据此判断①符

55

合题意；过点。作ZW〃AC交B尸于点M,根据题意推出DM是的中位线，则CF=2DM,根据直

角三角形的性质及平行线的性质推出VASsvCD",AACH^AADC,NDMH^NAFH,根据相似三角

形的性质即可判断②不符合题意；

当3D=〃CD时，设CD=a,则3D=a〃，AC^BC^an+a,过点B作BN_L3C交CE的延长线于点N,

结合题意及直角三角形的性质利用A4s推出VACD丝VCBN（A4S），根据全等三角形的性质得到

CD=BN=a,根据NACD+NCBN=180。，判断BN〃AC,进而推出VACEsVBNE,根据相似三角形的

性质即可判断③不符合题意；根据当3"最短时，点F为AC的中点，求解即可判断④符合题意；

【详解】解:AD是BC边上的中线，

/.BD—CD,

BC=4,

:.CD=~BC=2,

2

ZACB=90°,AC=4,

AD=ACylAC2+CD2=742+22=275，

CE1AD,

S.™=-ACCD=-AD-CH,

v22

:.ACCD=ADCH,

…ACCD4x24A/5

Crz=-----------=—产

AD2亚

:.DH=y/CD2-CH2=

故①正确，符合题意;

如图，过点C作。0〃AB交AD的延长线于点M,

ZACB=90°,AC=BC,

：.ACB是等腰直角三角形,

.­.AB=y/2AC，

AC>/2

...----=----,

AB2

,CM//AB,

:.ZM=ZMAB,

AD平分/C4B,

.\ZCAM=ZBAM,

:.ZCAM=ZMf

:.CM=AC,

CM//AB,

:NCDMEBDA,

.CDCMAC

…而一市一花一耳’

故②正确，符合题意；

当瓦＞=2CD时，设CD=Q,则5D=2a,

AC=BC=2〃+〃=3〃，

过点5作5NL5C交CE的延长线于点N,

C

:.ZN+/BCN=90。,

CE垂直AD,

:./BCN+/HDC=9伊,

:.Z.HDC=ZN,

又AC=3C,/CBN=ZACD,

:NACD•CBN(AAS、,

CD=BN=a,

QZACD+ZCBN=180°f

:.BN//AC,

sNACE^NBNE,

AE_AC3a

/.AE=3BE,

故③正确，符合题意；

CH±AH,

.,.点H在以AC为直径的圆上，

当3"最短时，点歹为AC的中点，

:.CF=-AC=2,

2

BF=-JBC2+CF2=2#>，

二3"的最小值为2君-2,

故④错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】此题是三角形综合题，考查了勾股定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、相似三角

形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质、相

似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键.

10.直线必=分+6和抛物线%=办2+a（a,b是常数,且4工0）在同一平面直角坐标系中，直线%=依+》

经过点（T,0）.下列结论：

①抛物线%=依?+bx的对称轴是直线x=-2

②抛物线%="d+b无与x轴一定有两个交点

③关于■x的方程加+6元=<2x+6有两个根玉=-4,x2=1

④若。>0,当％<—4或x>l时，Ji>y2

其中正确的结论是（）

A.①②③④B.①②③C.②③D.①④

【答案】B

【分析】①可得T4+b=O,从而可求人=4。，即可求解；②可得△=〃-4ac=〃N0,由可得A=">o,

即可求解；③可判断抛物线也过（T,0）,从而可得方程依2+e-。）*-6=0的一个根为了=—,可求抛物线

%=分2+。一0卜一人的对称轴为直线x=-',从而可得抛物线%=办2+（6-与X轴的另一个交点为

(1,0),即可求解；④当。>0,当Y<X<1时，％〈必，即可求解.

【详解】解：①「直线乂=狈+》经过点(TO),

/.—4a+Z?=0,

.\b=4a,

h4"

抛物线的对称轴为直线尤==-建=-2,

2a2a

故①正确；

@\=b2-4ac=b2>0,

由①得b=4a,

aw0,

「.bWO,

..A=Z?2>0>

•••抛物线为=a/+bx与x轴一定有两个交点,

故②正确；

③当x=-4时，

y=16a—4b

=16a—16a=0,

••・抛物线也过(TO),

由ax2+bx=ax+。得

万程cu3+(b-ci^x-b—0,

，方程的一个根为x=-4,

抛物线必=依2+(b-a)x-b,

b—a_4a—a_3

.x———，

2a2a2

c2x3

抛物线y3=ax+(b-a)x-b的对称轴为直线=~~>

与x轴的一个交点为(-4,0),

解得：X=1,

.•・抛物线％=加+。-。户-6与X轴的另一个交点为（1,0）,

，关于x的方程ox?+6x=办+6有两个根玉=-4,x2=1,

故③正确；

④当。>0,当Tcxcl时，％<%，

故④错误；

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，

掌握解法是解题的关键.

第n卷

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11.因式分解：3m2-12-.

【答案】3（m+2）（m-2）

【分析】本题考查因式分解.先提公因式，再用平方差公式法因式分解即可.

【详解】解：3m2-12,

=3（m2-4）,

=3（7〃+2）（7为一2）.

故答案为：3（根+2）（2）.

12.一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出

1个球，是白球的概率为g.则布袋里红球有个.

【答案】1

【分析】设布袋里红球有x个，根据白球的概率列方程求解可得.

【详解】解：设布袋里红球有x个，

21

由题意得：——解得：％=1,

2+l+x2

经检验X=1是原方程的解.

.•.布袋里红球有1个，

故答案为：1.

【点睛】本题考查根据概率求球的个数，认真读懂题意是关键.

13.关于x的一元二次方程区?+3》_i=o有两个实数根，则％的取值范围是.

9

【答案】kN—且％W0

4

【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的二次项系数不为0,以及方程有两个实数根，判别式大

于等于0,列出不等式进行求解即可.

"0

【详解】解：由题意，得：&-必x(-1"0,

9

解得：kN—且左W0,

4

Q

故答案为：女之一;且左。0.

14.如图，在半径为石，圆心角等于45。的扇形A03内部作一个正方形CDEb,使点C在Q4上，点“E

在05上，点厂在AB上，则阴影部分的面积为.

角形CQD的面积为扇形A03的面积为9•(灼2=斌所以阴影部分的面积为9

/ov7oo2

【详解】解：连接。尸，则0尸二百，

ZAOB=45\

：.ZDCO=90°-ZCOD=45°.

・•・ZCOD=ZDCO.

：.CD=OD.

：.EF=ED=OD.

RtAOEF中，

OE2+EF2=OF\

：・(2EFy+EF2=(后,解得£F=1

OD=CD=EF=1

45

S阴影一S扇形A0BSODC~SCDEF=-------71X--xlxl-lxl=-7T--

360282

故答案为：，兀-j

o2

【点睛】本题考查扇形面积的计算，勾股定理，正方形的性质；构造直角三角形运用勾股定理是解题的关

键.

15.如图，在菱形ABCD中，边长为2+2«,ZABC=60°,E,尸分别是边AB,3c上的点，且钻=2,

若将AEBF沿着所折叠,使得点8恰好落在AD边上的点8'处，EB7/BD,折痕为EF,则AB,的长为

【答案】2

【分析】过点B'作B'G±BA,^BA的延长线于点G,先求出B'E=BE=26,再证明ZAB'G=30。，设AG=x,

则B'G=。，AB'=2x,GE=x+2,在RtAEGB'中，由勾股定理得（x+2）?+（后）。=（26丫，解方程求出

x=l,贝lW=2x=2.

【详解】解：如图，过点B'作交班的延长线于点G,则N»G4=90。，

,/AE=2,AB=2+26

，BE=AB-AE=2^3,

由折叠的性质得，B'E=BE=2^[3,

:四边形ABC。是菱形，ZABC=60°,

ZBAE>=120°,

ZB'AG=60°,

：.ZAB'G=30°,

设AG=x,则B'G=A，AB'=2x,

：.GE=AG+AE=x+2,

在RtAEGB'中，由勾股定理得EB'2=EG2+B'G2,

：.（X+2）2+（V3X）2=（2V3）2,

x=l或x=-2（舍去），

AB'=2x=2,

故答案为：2.

【点睛】此题考查了折叠的性质、菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握折叠

的性质、菱形的性质是解题的关键.

16.如图，点M的坐标为（3,2）,点尸从原点。出发，以每秒1个单位的速度沿丁轴向上移动，同时过点P的

直线/也随之上下平移，且直线/与直线》=-X平行，如果点M关于直线/的对称点落在坐标轴上，如果点尸

【分析】过点M作血FJL直线/,交y轴于点F，交X轴于点E,与直线/相交于点A,则点E、F为点、M

在坐标轴上的对称点，过点M作轴于点O,设直线/的解析式为y=-x+b,由直线/与直线丫=-*平

行可得/OR4=45。，即可证明，MDE与0EP均为等腰直角三角形，进而可求出点E、尸的坐标，根据中

点坐标公式可求出M尸和ME的中点坐标，代入y=-尤+匕可求出6值，即可得点尸坐标，即可求解.

【详解】如图，过点/作皿FJ_直线/,交y轴于点尸，交X轴于点E,与直线/相交于点A,则点E、F为

点M在坐标轴上的对称点.

V直线/与直线y=-x平行，

设直线/解析式为y=-x+6,

过点M作MDLx轴于点。，则0D=3,MD=2,

,直线/的解析式为y=f+6，

:.NOPD=45°,

:.NOFE=NOEF=45°,

与，OEF均为等腰直角三角形，

:.DE=MD=2,OE=OF=1,

■-E(1,0),F(0,-1).

M(3,2),F(0,-1),

••・线段板中点坐标为(：，1).

22

直线y=-x+6过点(?

•—---+bh，

,•2-2

解得：b=2,

二•点尸坐标为(0,2),

.,.t=2.

"(3,2),E(l,0),

线段ME中点坐标为(2,1).

直线y=-尤+6过点(2,1),

.'.l=—2+b,

解得：b-3,

，点P坐标为(0,3),

r.r=3.

•・•点M关于/的对称点，当f=2时，落在y轴上，当f=3时，落在X轴上.

故答案为：2或3.

【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换.注意在x轴、y轴上均有点〃的对称点，不要漏解；其

次注意点E、下坐标以及线段中点坐标的求法.

三、解答题(本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.计算：|V3-2|+2COS30°-(-A/3)2+^-1^.

【答案】3

【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算.先化简各式，再进行加减运算即可.掌握相关

运算法则，正确的计算是解题的关键.

【详解】解：原式=2-百+2x3一3+4

2

=2-A/3+A/3-3+4

=3.

%+31八

-----兀+I>0

18.解不等式组：2在数轴上表示出它的解集，并求出它的正整数解.

3(x-5)<2x-1

【答案】XV5；数轴见解析；正整数解为：I,2,3,4,5

【分析】先分别求出一元一次不等式的解集，再将其解集在数轴上表示出来，取其正整数即可求解.

x+3-x+1>0①

【详解】解：2,

3(x-5)<2x-l@

解不等式①得，xW5,

解不等式②得，x<14,

不等式组的解集为xM5,

其解集在数轴上表示如下：

-I0123456789101112131415

该不等式组的正整数解为：1,2,3,4,5.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并在数轴上表示解集，熟练掌握一元一次不等式的解法及解集在

数轴上表示的方法是解题的关键.

19.如图，平行四边形ABCD中，488的平分线交AD于E,NABC的平分线交即于点F.

⑴求证：AE=DF；

⑵若NA=120。，BF=8币,EF=3,求BC的长.

【答案】（1）见详解.

(2)13

【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质知识，

（1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得=/DEC=/DCE.即可得至=

DE=DC.即可求证结论.

（2）过点A作AHJL3尸，垂足为利用/AV=120。，8尸=8若可计算出A3的长度，结合（1）即可

求出BC长度.

【详解】（1）解：二•四边形ABCO是平行四边形.

:.AD〃BC,AB=DC,AD=BC.

：.ZAFB=ZFBC,/DEC=NECB.

'：CE是ZBCD的平分线，BF是/ABC的平分线.

ZABF=NFBC,ZDCE=/ECB.

：.ZABF=ZAFB,ZDEC=NDCE.

AB=AF,DE=DC.

AF=DE.

：.AF-EF^DE-EF.

：.AE=DF.

(2)过点A作AH_L8F,垂足为H,如图:

由(1)知AB=AF,且ZBAF=120°,BF=8y/3,

Zfi4H=60°,BH=LBF=46

2

'：/ABH=30。，

/.AH^-AB,

2

/.AB2=AH2+BH2=f1AB^+BH1,AB=8.

：.AF=DE=AB=8.

EF=3.

：.AE=AF-EF=5.

：.AD=AE+ED=13.

：.8C=AD=13.

20.某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度AB=200cm,

遮阳棚前端自然下垂边的长度3c=25cm,遮阳棚固定点A距离地面高度仞=296.8cm,遮阳棚与墙面的

夹角/BAD=72。.

A

图1

(1)如图2,求遮阳棚前端8到墙面AO的距离;

(2)如图3,某一时刻，太阳光线与地面夹角/CFG=60。,求遮阳棚在地面上的遮挡宽度D尸的长(结果精

确到1cm).(参考数据：sin72。a0.951,cos72°»0.309,tan72°。3.078,石y1.732)

【答案】⑴遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为190.2cm

(2)遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为69cm

【分析】(1)作班，AD于E,在RtAABE中，根据sinZBAE=—列式计算即可；

AB

(2)作5石，AD于。/，40于〃,延长5c交OG于K,则5KLOG,可得四边形3E77C,四边形HOKC

是矩形，解直角三角形RtA4BE求出AE,可得CK=DH=210cm,然后RtaCFK中，解直角三角形求出FK,

进而可得。尸的长.

【详解】(1)解：如图3,作于E,

RFBF

在RtZWE中，sinNR4E=—,即$吊72。=—,

AB200

BE=sin72°x200«0.951x200=190.2cm,

答：遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为190.2cm；

(2)解：如图3,作跳」A£＞于E,CH_LAD于X,延长BC交OG于K,则

四边形BEHC,四边形HDKC是矩形，

由⑴得3E=190.2cm,

DK=HC=BE=190.2cm,

ApAF

在RtAABE中，cosNBAE=——，即cos72。=—,

A.B200

・•・AE=cos72°x200亡0.309x200=61.8cm,

由题意得：EH=BC=25cmf

：.DH=AD-AE-EH=296.8-6L8-25=210cm,

：.CK=DH=210cm,

在Rt^CFK中，tanZCFK=—,gptan60°=—

FKFK

210210

«121.25cm

tan60°G

・•・DF=DK-FK=190.2-121.25^69cm,

答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度。厂的长约为69cm.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出直角三角形，

熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

21.近年来，网约车给人们的出行带来了便利，林林和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公

司司机月收入进行了一项抽样调查，收集了两家公司各10名司机月收入情况(单位：千元)：

滴滴司机：45910455549

美团司机：4578676566

整理数据：画出统计表和统计图，如图所示：

“关团”网约车司机收入分布统计图

“滴滴”网约车司机收入频数分布表:

月收入4千元5千元9千元10千元

人数(个)3421

根据以上信息，分析数据如表:

平均月收入/千元中位数众数方差

“滴滴”6b56.2

“美团”a.661.2

(1)请求出a的值；

(2)b=；m=；圆心角n=°；

(3)林林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是林林，请从平均数、中位数，众数，方

差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的叔叔选择哪家公司？

【答案】(1)6

(2)5,40,72

(3)选“美团”，见解析

【分析】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是掌握相关定义与有关的计算公式.

(1)根据加权平均数的计算公式可得。的值，根据中位数的定义可得b的值，用360。乘平均月收入7千元

所占比例可得圆心角〃的度数；

(2)根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可.

【详解】(1)解：“美团”的平均月收入。=------------------------=6,

故答案为：6；

(2)“滴滴”网约车司机收入的中位数6=亭=5,

2

“美团”网约车公司司机月收入中，"6千元''对应的百分比为4+10=40%,

2

圆心角n的度数为：360°X—=72°.

故答案为：5,40,72；

(3)选“美团”，理由如下：

因为平均数一样，“美团”的中位数、众数大于“滴滴”的，且“美团”的方差小，更稳定.

22.如图，AB是：。的直径，C,D是：。上的两点，且BC=OC,交AC于点E,点尸在AC的延长

线上，BE=BF.

⑴求证：即是二。的切线；

3

⑵若£F=6,cosZABC=~.

①求班"的长；

②求。的半径.

【答案】(1)见解析；

(2)①5；②g.

【分析】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形.

(1)利用圆周角定理，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；

(2)①利用等腰三角形的三线合一和直角三角形的性质求出CF=CE=；砂=3,=在RtBCF

中，利用余弦的定义进行计算即可；②在Rt^ABC中，利用余弦的定义求出即可得到答案.

【详解】(1)证明：BC=DC,

BC=DC，

:.ZA=NCBD,

BE=BF,

:.ZBEC=ZF.

AB为.。的直径，

:.ZACB=90°,

.-.ZBEC+ZCBE=90°,

/.ZF+ZA=90°.

:.ZABF=9Q°f

OB±BF,

QQB是圆的半径，

•.BF是。的切线；

(2)解：①由(1)得：BE=BF,

AB是：。的直径，

:.BC1EF,

,-.CF=CE=-EF=3

2f

ZABC+ZCBF=90°,ZCBF+ZF=90°,

.\ZF=ZABC,

CF

在Rt5c尸中，cosZF=——,

BF

3

，BF=CF+—=5；

5

②在RtBCF中，BC=ylBF2-CF2=4，

在Rt^ABC中，COSNA8C=^=3,

AB5

.•・，。的半径为了.

23.某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如下表:

甲水笔乙水笔

每支进价(元)aa+5

每支利润(元)23

已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等.

(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元.

(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过

乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元.

(3)文具店为了吸引客源.准备下次再购进一种进价为12(元/支)的丙水笔，预算用1500元购进这三种水

笔若干支(三种笔都需购买)，其中甲水笔与乙水笔的数量之比为1:2,则该文具店至多可以购进这三种水

笔共多少支.

【答案】(1)甲、乙两种水笔每支进价分别为5元、10元

(2)购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元

(3)169支

【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，根据题意

找出等量关系，列出方程，函数关系式，以及不等式，熟练掌握相关性质是解题的关键.

(1)根据“花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等”列出方程求解即可；

(2)设利润为w元，甲种水笔购进尤支，根据题意找出等量关系，列出一次函数表达式，根据一次函数的

增减性，即可解答；

(3)设购进甲种水笔小支，则购进乙种水笔2%支，一共购进〃支水笔，列出方程化简，得"=125+2加，

12

根据-2刈＞0,推出根＜60,再结合根、〃均为正整数，得出当机=48时，〃取得最大值，此时〃=169,

即可解答.

【详解】(1)解：由题意可得，

400_800

aa+5

解得，a=5,

经检验，a=5是原分式方程的解，

a+5=10,

答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元;

（2）解：设利润为w元，甲种水笔购进x支，

W=2X+3X2000-5%=0.5%+600,

10

'：k=0.5>0,

.♦.w随x的增大而增大，

•••购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍,

.2000-5x,

..%<------------x4,

10

2

解得XW266],

：尤为整数,

.•.当％=266时，w取得最大值，此时w=733,2。。不工=67,

答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元;

（3）解：设购进甲种水笔机支，则购进乙种水笔2加支，一共购进〃支水笔,

5m+10x2m+12（n-m-2m）=1500,

化简，得

…11

〃=125H---m,

12

*.*n—m—2m>0,

**•125H----in—rri—2m>0,

12

m<60,

Vm,〃均为正整数，

.,.当m=48时，〃取得最大值，此时〃=169,

即该文具店至多可以购进这三种水笔共169支.

24.阅读材料:“三等分角”是数学史上一个著名问题.今天人们已经知道,仅用圆规和直尺是不可能作出的.在

研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1,步骤如下：

①建立直角坐标系，将己知锐角/AO3的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合；

②在直角坐标系中，绘制函数＞=」的图象，图象与已知角的另一边。4交于点P；

X

③以尸为圆心、以20尸为半径作弧，交函数＞的图象于点R；

X

④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点点Q；

⑴设尸（。，：），求直线的函数解析式（用含。，6的代数式表示），并说明0点在直线上;

（2）证明：ZMOB=^ZAOB.

44

（3）如图2,若直线y=x与反比例函数＞=—（XNO）交于点C,O为反比例函数＞=—（尤w0）第一象限上的一

x无

个动点，使得/。。。=30。.求用材料中的方法求出满足条件。点坐标.

【答案】（1）y=二工，证明见解析

ab

（2）见解析

⑶可4-2石,4+2有)或可4-2石,4-26)

【分析】（1）由9〃工轴，MR〃y轴，P,，。，N瓦：），即可得出M点的坐标，即可，再将点Q的坐标

代入解析式即可判断点。是否在直线加上;

（2）连接PR,交QW于点S,由矩形的性质和平行线的性质即可得到结论;

（3）先求出点C（2,2）,可得oc=20,然后分两种情况讨论：当。点在0C下方时，当。点在0C上方时,

即可求解.

【详解】（1）解：设直线的函数表达式为'=履,

由题意得：ZPQR=NQRM=匕PQR=90°,

...四边形尸。断为矩形,

・小9%），

•,・山）川）1

把点/瓦」代入y=履得：k二,

VciJab

二直线ON的函数表达式为y^—x,

ab

,**Q的坐标口满足y=二工，

<b）ab

・•・点。在直线O"上；

（2）解：连接网，交加于点S,

由题意得四边形PQRM是矩形，

PR=QM,SP=；PR,SM=^QM,

:・SP=SM,

・•・Z1=Z2,

・・.N3=N1+N2=2N2

■:PR=2PO,

：.PS=PO.

・・.N4=N3=2N2,

轴，

・•・N2=N5,

JZAQB=N4+N5=3N5,即NMO3=gzAOB.

4

(3)解：•・,直线丁=龙与反比例函数y=—(xwO)交于点C,

x

4

••x=—,解得：X=2或—2(舍去)，

x

・•・C（2,2）,

OC=2A/2,

4

当。点在OC下方时，如图，以C为圆心，20c为半径画弧，交反比例函数y=—（尤#0）于点E,作

尤

轴，作CF〃彳轴,连接OF并延长交反比例与点F,作CG//EF,连接EG,CE与OF交于点、H,ZCOD=30°,

CE=2OC=40，GH=GE=2丘,

作G/JLEC于/,则G/=0，HI=娓,EI=2丘-娓,

GE=《可+（2拒一研=2痒2,

4

贝|力=2_（26_2）=4_26x=4+2石

E4-2若

即£＞（4-2百,4+26）,

【点睛】此题在考查三等分角的作法时，综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、矩形的性质以及三

角形外角的性质等，综合性较强.

25.如图1,在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=/-4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0,5）,图象的

顶点为M.矩形ABCD的顶点。与原点。重合，顶点A,C分别在x轴，y轴上，顶点8的坐标为（1,5）.

图1图2备用图

⑴求C的值及顶点M的坐标，

（2）如图2,将矩形ABC。沿x轴正方向平移f个单位（0<f<3）得到对应的矩形ABC'。'.已知边C'。'，A'B'

分别与函数,=/-4尤+c的图象交于点P,Q,连接尸Q,过点P作尸GLA后于点G.

①当t=2时，求QG的长；

②当点G与点。不重合时，是否存在这样的使得△PGQ的面积为1?若存在，求出此时/的值；若不存

在，请说明理由.

【答案】（1）。=5,顶点M的坐标是（2,1）

⑵①1;②存在，f=g或g

【分析】（1）把（0,5）代入抛物线的解析式即可求出c,把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；

（2）①先判断当t=2时，摆，A的坐标分别是（2,0）,（3,0）,再求出x=3,x=2时点。的纵坐标与点P

的纵坐标，进而求解；

②先求出。G=2,易得P,。的坐标分别是小产-书+5）,卜+1,/-2/+2）,然后分点G在点。的上方与点

G在点。的下方两种情况，结合函数图象求解即可.

【详解】（1）:二次函数y=d-4x+c的图象与>轴的交点坐标为（0,5）,

c=5,

••y=%2—4x+5=（x—2）~+1,

顶点M的坐标是（2,1）.

（2）①在x轴上，8的坐标为（1,5）,

；•点A的坐标是（1,0）.

当/=2时，"，A的坐标分别是（2,0）,（3,0）.

当x=3时，y=（3-2）2+1=2,即点。的纵坐标是2,

当尤=2时，y=（2-2/+1=1,即点尸的纵坐标是1.

PGIAB',

，点G的纵坐标是1,

QG=2-1=1.

②存在.理由如下：

的面积为1,PG=1,

QG=2.

根据题意，得尸,Q的坐标分别是”,产-十+5）,（t+l,t2-2t+2）.

如图1,当点G在点。的上方时,

图1

如图2,当点G在点。的下方时,

此时f=°（在0<f<3的范围内）.

2

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次

函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键.

26.用四根一样长的木棍搭成菱形ABCD,尸是线段。C上的动点（点尸不与点。和点C重合），在射线的

上取一点M,连接DAf,CM,使NCDM=NCBP.

操作探究一

⑴如图1,调整菱形ABCD，使NA=90。，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上取一点N,使3N=DM,

连接CN,则，—=

—MN~

操作探究二

(2)如图2,调整菱形ABCD，使/A=120°，当点M在菱形ABCD外时,在射线BP上取一点N,使BN=DM,

连接CN,探索MC与的数量关系，并说明理由；

拓展迁移

(3)在菱形ABCD中，NA=120。，A5=6.若点P在直线C。上，点M在射线上，且当ZCDM=NPBC=45°

时，请