2024年九省联考数学试题

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）

数学试题

注意事项：

].答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为（）

A.14B.16C.18D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由中位数定义即可得.

【详解】将这些数据从小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

则其中位数为16.

故选：B.

2.椭圆j+丁=1（。〉1）的离心率为则。=（）

a

A.孚B.0C.£D.2

【答案】A

【解析】

【分析】由椭圆的离心率公式即可求解.

【详解】由题意得6=如二1=工，解得0=2叵，

a23

故选：A.

3.记等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S1M3+%=6吗2=17,贝1]46=（）

A.120B.140C.160D.180

【答案】c

【解析】

【分析】利用下标和性质先求出%+%2的值，然后根据前九项和公式结合下标和性质求解出S16的值.

【详解】因为。3+%=2%=6，所以％=3，所以为+%2=3+17=20,

…,+a«）xi6,、

所以S16=-----------=8（。5+。12）=160,

故选：C.

4.设a,夕是两个平面，M,/是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A.若a_L尸，m〃a,/〃分，则加_L/B.若mua,lu0,m〃I,则。〃万

C.若。P=m,l//a,l///3,则加D.若m工a,l工P，m〃I,则a_L〃

【答案】C

【解析】

【分析】由线面平行性质判断真命题，举反例判定假命题即可.

【详解】对于A,加』可能平行，相交或异面，故A错误，对于B,名夕可能相交或平行，故B错误，对

于D,a,夕可能相交或平行，故D错误，由线面平行性质得C正确，

故选：C

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）

A.20种B.16种C.12种D.8种

【答案】B

【解析】

【分析】分类讨论：乙丙及中间2人占据首四位、乙丙及中间2人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理

求得结果.

【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，

①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，

排乙丙有A：种方法，排甲有耳种方法，剩余两个位置两人全排列有A；种排法，

所以有人狂人上人；=8种方法；

②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间,

排乙丙有A；种方法，排甲有£种方法，剩余两个位置两人全排列有A；种排法,

所以有人；*人；乂人；=8种方法；

由分类加法计数原理可知，一共有8+8=16种排法，

故选：B.

6.已知。为直线/：x+2y+l=0上的动点，点p满足QP=(1,—3),记P的轨迹为E，贝”()

A.E是一个半径为的圆B.E是一条与/相交的直线

C.E上的点到/的距离均为逐D.E是两条平行直线

【答案】C

【解析】

【分析】设P(x,y),由QP=(1,-3)可得。点坐标，由。在直线上，故可将点代入坐标，即可得尸轨迹E,

结合选项即可得出正确答案.

【详解】设P(x,y),由QP=(1,—3),则。(x-l,y+3),

由。在直线/：x+2y+l=0上，故x—l+2(y+3)+l=0,

化简得x+2y+6=0,即p轨迹为E为直线且与直线/平行,

E上的点到/的距离d=故A、B、D错误，C正确.

Vl2+22

故选：C.

7.已知弓，兀）,tan2e=_4tan（e+：71）,则1+sin26

）

42cos2^+sin2^

133

A.-B.-C.1D.-

442

【答案】A

【解析】

【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将熹%齐次化即可得出答案

与，兀卜an26=-4tanf^+^71-j,

【详解】由题

4

z2tang—4ftan^+l）

得B---------=——---------n—4（tan夕+1）=2tan6n,

1-tan2^1-tan^\7

则(21311。+1)&311。+2)=0=1311。=一2或12118=-；,

3兀

因为夕£,tanJ€(-1,0)所以tan0~—,

T"2

1+sin26sin2^+cos2^+2sin^cos^tan2^+1+2tan6

2cos2®+sin262cos2^+2sin^cos^2+2tan9

-+1-11

=4_____=J_.

—2+(-1)-4

故选：A

22

8.设双曲线C:5-2=l(a>01>0)的左、右焦点分别为耳，鸟，过坐标原点的直线与。交于43两点，

ab

2

\F1B\=2\F1A\,F^A-F2B=4a,则C的离心率为()

A.72B.2C.75D.不

【答案】D

【解析】

【分析】由双曲线的对称性可得出旬=区队|耳到=|&4|且四边形A//鸟为平行四边形，由题意可得

出/工5片，结合余弦定理表示出与。、c有关齐次式即可得离心率.

由双曲线的对称性可知闺旬=同可，闺用=优从有四边形AK5鸟为平行四边形,

令闺1=|耳理=加,则出.=|%4|=2加，

由双曲线定义可知优川一|耳H=2a,故有2m—m=2a,即加=2a,

即闺A|=阮邳=m=2a,寓邳=周4|=4a,

E,A-E,B=|F>A|-|cosZAF,B=2ax4acosNA居B=4a2,

127r

则cosNA玛8=5，即乙*3=号，故/耳幽=日-

比8「+|修「一山研(甸2+(2域一(2c『i

则有cosZF2BFi=

2|M-|KB|2x4。x2。2

20a2-4c21704/1

即即3—土=—上，则e2=7,由e>l,故e=V7.

16a2216162

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于。、b,。之间的等量关系，本题中结

合题意与双曲线的定义得出阳从后口与。的具体关系及4的大小，借助余弦定理表示出与。、c有

关齐次式，即可得解.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

sin2x+5+c°s2”+等3兀，则（

9.己知函数〃x)=

4

函数/卜一:

A.为偶函数

B.曲线y=/(x)对称轴为1=也,4cz

C./(%)在区间单调递增

D.的最小值为-2

【答案】AC

【解析】

【分析】利用辅助角公式化简f(x)=sin(2x+^\+cos(2x+^3兀

,再根据三角函数的性质逐项判断即

4

可.

3兀

【详解】〃x)=sin|2x+—|+cos|2x+—

44

=sin2xcos—+sin—cos2x+cos2xcos--sin2%sin—

4444

-2in2x+与os2A交

cos2x-sin2x=->j2sin2x，

2222

即/(x)=-V2sin2%,

对于A,/=—、/5sin[2x—3J=J5cos2x,易知为偶函数，所以A正确；

对于B,/'(x)=-J^sin2光对称轴为2x='+E,左€2=>%=殳+幺,左eZ,故B错误;

对于C,-xef-|.,^,2xe^,7rj,y=sin2x单调递减，则

/(%)=—J1sin2x单调递增，故C正确；

对于D,/(x)=-V2sin2x,则sin2xe[―1,1],所以/(x)e[―忘],故D错误；

故选：AC

10.已知复数z,w均不为0,则()

2

9।,7ZZ

A.z=|z|B.==--y

z\z\

__Z_Z

C.z—w=z—wD.——

ww

【答案】BCD

【解析】

【分析】设出z=a+历、w=c+di,结合复数的运算、共辗复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.

【详解】设2=。+为(Q,Z?£R)、w=c+di{c.deR)；

对A：设2=〃+为eR),则z2=(〃+历J=a2+2abi-b2=a2—b1+2abi,

Iz|2=(Jq2+〃2)="+〃2,故A错误；

22

对B：2=上一,又z・z=|z0，即有=="j__—,故B正确；

zz•zz|z|

对C：z-w-a+bi-c-di-a-c+(b-d^i,则z-w=a-c-9一d)i,

z=a—bi，w=c—di贝Uz—w二〃一Z?i—c+di=〃一c—(Z7—d)i,

即有z—w=z—w，故C正确;

za+bi(a+bi)(c-di)ac+bd-(ad-bc)i

对D：

wc+di(c+di)(c-di)c2+屋

22

ac+bdI+ad-be。2c2+2abed+b2d?+a2d?—2abcd+b2f

c1+d2c1+d2卜2+4)2

_a2c2+b2d2+a2d2+b2c2_y/a2c2+b-d-+a-d-+b2c2

—《(c2+J2)2—c2+d2'

且=da2+/=加+/和+/=#2+/)卜2+屋)

Hy/c2+d2c2+d2c2+d2

_y/a2c2+b2c2+a2d-+b2d2

c~+d~

Zz

故一=一,故D正确.

ww

故选：BCD.

11.已知函数/(%)的定义域为R,且/'[g>0,若/(%+、)+/(%)/(丁)=4孙，则()

C.函数小一；D.函数/x+g)是减函数

是偶函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】对抽象函数采用赋值法，令》=；、y=°，结合题意可得/(o)=—1，对A：令》=:、丫=°，

代入计算即可得；对B、C、D：令y=-g,可得/[x-2x,即可得函数/[》一；及函数/'[x+g

函数的性质，代入尤=1，即可得了

【详解】令％=』、y=o,则有了〃0)"。[1+〃0)]=0,

X

2

又/*0,故1+/(0)=0,即/(o)=—1,

令》=l、y,则有了1-14x-x

22222

即“O)+/[W|=T，

由/(o)=—1，可得了0,

又故=故A正确；

令,=_：，则有+=,

即/］x_gj=_2x,故函数是奇函数，

有小+1—；］=—2(x+l)=—2x—2,即小+；］=_2x_2,

即函数/+是减函数，

令x=l,有/gj=-2xl=-2,

故B正确、C错误、D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到/(o)=-1，再重新

赋值，得到了(-；)=0,再得到；］=-2x.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合4={—2,0,2,4},3=卜版—3|＜对，若AB=A,则机的最小值为

【答案】5

【解析】

【分析】由AB=A可得解出集合8后结合集合的关系计算即可得.

【详解】由AB=A,故

由,一3|＜根，得一加+3＜%＜帆+3,

4<m+3m>1

故有＜即{J即HZN5,

-2>-m+3m>5

即机的最小值为5.

故答案为:5.

13.已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球。的直径相等，则圆锥W的体积与球。的体积的比值

是,圆锥MM'的表面积与球0的表面积的比值是.

2

【答案】©•j②.1

【解析】

【分析】设圆锥的底面圆半径『以及球的半径R,用「表示出圆锥的高人和母线/以及球的半径R，然后根

据体积公式求出体积比，根据表面积公式求得表面积之比.

【详解】设圆锥的底面半径为小球的半径为R，

因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高〃=代/，母线/=2r,

/?

由题可知：h=2R,所以球的半径R=

2

所以圆锥的体积为M=ix（7rxr2'）xV3r=—7ir\

13V73

球的体积匕=3兀&=4兀x—r=^-nr3,

233I2J2

鸟

r3

32

V--

所以,=鸟3

r3

*22

圆锥的表面积Si=Ttrl+nr2=3兀,，

球的表面积S2=4nR-=4兀

所以春=受=1,

S23nr

,、2

故答案为：—;1.

14.以maxM表示数集M中最大的数.设0<avZ?<cvl,已知或,则

max{b-a,c—b,l—c}的最小值为

【答案】-##0.2

【解析】

b=l-n-p

【分析】利用换元法可得.,进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.

a=l-m-n-p

【详解】令b-a=m,c-b=n,l-c=p,其中w,。>0,

b=l-n-p

所以《

a=l-m-n-p

若勿，则6=1—〃一"22(1—加一〃一〃)，故2a+〃+p》l,

々"=max{Z?-a,c-Z?/-c}=max{/n,M,p},

2M>2m

因止匕<M>n，故4M>2m+n+PN1,则M,

4

M>p

若a+bWl,则1一〃一2+1一机一〃一pKl,g.pm+2n+2p>l,

M=max[b-a,c-b,l-c]=max[m,n,p],

M>m

则v2M>2n，故5M2机+2"+2221,则河>—,

2M>2p,

当根=2〃=2P时，等号成立，

综上可知max{Z?—a,c-反l-c}的最小值为",

故答案：—

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在bN2a和a+〃<l前提下进行合理分类讨论，根据题意

得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(%)=111%+%2+改+2在点(2,/(2))处的切线与直线2%+3丁=0垂直.

(1)求。；

(2)求/(%)单调区间和极值.

【答案】(1)a=-3

(2)单调递增区间为(L+8)，单调递减区间为D极大值|—ln2,极小值0

【解析】

【分析】(1)结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得;

(2)借助导数可讨论单调性，即可得极值.

【小问1详解】

11Q

/'(%)=—+2X+Q,则/'(2)=—+2x2+〃=—+〃,

x22

2

由题意可得|+。x=,解得<7=—3；

【小问2详解】

由〃=一3,故/(x)=lnx+x2一31+2,

则广⑺」+2—=2帝-3x+l=(2x—l)(x—1)

x>0,

XXX

故当0<x<；时，y^x)>0,当工<x<l时，/,(x)<0,当X>1时，f\x)>0,

22

故的单调递增区间为［o，；］、(1,+8)，/(%)的单调递减区间为gj，

13

故/(%)有极大值/-3x-+2=——In2,

24

有极小值/(I)=lnl+12—3xl+2=0.

16.盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，随机一次取出3个小球.

(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；

(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望石(X).

4

【答案】(1)-

7

(2)分布列见解析，E(X)=；

【解析】

【分析】(1)先确定3个不同数字的小球，然后再从确定的每种小球中取1个，通过计算可求符合要求的取

法数，再除以总的取法数可得结果；

(2)先确定X的可取值为L2,3,然后计算出不同取值的概率，注意X的每种取值对应两种情况，由此可

求分布列和期望£(X).

【小问1详解】

记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M,

先确定3个不同数字的小球，有C；种方法，

然后每种小球各取1个，有C；xC；xC；种取法,

▽,C：XC；XC；XC；4

所以P（M）=」~~工二—

7

【小问2详解】

由题意可知，X的可取值为1,2,3,

当X=1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，

所以P（X=1）=气卑吃

8

当X=2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球,

所以P（X=2）=注

8

当X=3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，

2c2cl1

所以P（X=3）=’号=A，

17.如图，平行六面体A3CD—44G。中，底面A3CD是边长为2的正方形，。为AC与3D的交点,

朋=2,ZQC5=ZQCD,ZQCO=45°.

（1）证明：G。，平面ABCD；

(2)求二面角3—的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵逑

3

【解析】

【分析】(1)根据题意，利用线面垂直的判定定理证明即可.

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值.

【小问1详解】

连接3G，DG，

因为底面A5CD是边长为2的正方形，所以BC=OC,

又因NC[CB=NC[CD,CQ=CC},

所以QCB=QCD,所以5G=DG，

点。为线段3。中点，所以GOLBD,

在△C]C。中，CG=2,CO=：AC=后，/。]。。=45°,

福z①QC-+OC--QO2r-

所以cosZQCO=—=I—nG。=，

2zxCjCxOC

22

则qc=oc+cxo-=>G。,oc,

又OCBD=O,OCu平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以G。，平面ABCD.

【小问2详解】

由题知正方形A5CD中G。，平面A3CD,所以建系如图所示,

则B（0,V2,0）,D（0,-V2,0）,A（V2,0,0）,C（-72,0,0）,G（0,0,72）,

则A4=C£=（应,0,0）,

AB=（—后,V2,0）,AD=（-72,-72,0）,

设面BAAX的法向量为机=（%,%,4）,面D4Al的法向量为〃=（X2，%，Z2），

AA-n=0fV2x?+A/2Z9=0/、

黑…，一色一瓜.「"（1少

设二面角B-AA.-D大小为0,

m-nL

n11.„r-r

Dilicos0=।~r-j—।=—f=——T==—nsin，=—cos0

川MJ”73x733

所以二面角3-的正弦值为述.

3

18.已知抛物线C:y2=4x的焦点为E，过E的直线/交。于A3两点，过/与/垂直的直线交C于。,E

两点，其中民。在X轴上方，M,N分别为AHDE的中点.

（1）证明：直线过定点；

（2）设G为直线AE与直线3。的交点，求GM/面积的最小值.

【答案】（1）证明见解析

（2）8

【解析】

【分析】（1）设出直线A3与直线8的方程，联立曲线后得到与纵坐标有关韦达定理，结合题意，表示

出直线后即可得定点坐标；

（2）设出直线AE与直线3D的方程，联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点G的横坐标恒为-1,再

结合面积公式及基本不等式即可得.

【小问1详解】

由C：〉2=4x,故厂（1,0）,由直线AB与直线8垂直，

故两只直线斜率都存在且不为0,

设直线AB、分别为1=叫丁+1、x=m2y+\,有叫加2=一1，

A（XQJ、3（无2,%）、£（0%）、

y2—4元

联立C:/=4x与直线A3，即有4,

x=m[y+l

消去元可得y?-4m1y—4=0,A=16"+16>0,

故%+为=4州、乂%=-4，

则%+羽=74%+l+m1y2+1=叫（K+%）+2=4酒+2,

故石;"=2加：+],%%=2网,

即7（2而+1,2〃力，同理可得N（2/w|+L2m

当2m；+1w2m；+1时，

则一/+1）广小1）+2叫,

即尸竽4—1）+2叫=^-小+汕…

7

用一列'叱+m1m2+叫

x2/+1-2叫g-2而x1-2mm2

——l,

g+町m2+rriyg+叫g+叫

x1+21/

由机[加2=-1，即'=-----------------=--------

叫+叫m2+mi根2+叫

故x=3时，有'=--—（3—3）=0,

〃22+叫

此时MN过定点，且该定点为（3,0）,

当2〃彳+1=2就+1时，即喈=7*时，由叫m2=—1，即网=±1时,

有“V：X=2+1=3,亦过定点（3,0）,

故直线过定点，且该定点为（3,0）；

【小问2详解】

由4（%，%）、5（々,%）、£（%，%）、。（%4，%），

则如『导

(x-xJ+X，由靖=4%、yl=4X2,

v'Yv-叔y",yi+yiy34x।%%

17y——22~%---------十M-------------------------1-------------

故.4)%+%%+X为+%%+X为+%'

44

4x1%%%+%VS+Pl

同理可得：y=,联立两直线，即《

%+为%+%y=©+%%

-%+%%+y2

有上+4=上+上组

%+M%+%%+%%+%

即4x(为+%)+%%(%+%)=4x(%+%)+%%(%+X)，

y2y4(%+%)—%%(%+%)

有1=,由芳乂二-4，同理y3y4=-4,

4(%+%-%-乂)

故％=y2y4（%+x）-%%（3+%）=y2y3y4+xv2y4-xv3y4—%%%

14（%+%—X）4（%+%—X）

4（%+乂-。-％）：］

4（乂+'

故%=T，

过点G作GQ〃x轴，交直线MN于点。，则SGMN=；DM—y/xk。—XG|,

由M（2rr^+1,2町）、N（2rr^+1,2叫）,

।।2Ir

故M-%=2町—2加2=2叫+—222mlx一=4,

班'1nl

当且仅当班=±1时，等号成立，

下证上一天卜4：

由抛物线的对称性，不妨设叫＞0,则明＜。，

当班＞1时，有租2=------£（-1,。），则点G在X轴上方，点。亦在元轴上方，

-------=------T~＞0/\

有加2+叫町_J_，由直线肱V过定点（3,0）,

吗

此时一％|＞3—（—1）=4,

同理，当叫＜1时，有点G在x轴下方，点。亦在1轴下方,

有冠\＜°，故此时昆

%|>4,

当且仅当网=1时，xQ=3,

故卜°一%上4恒成立，且叫=±1时，等号成立,

故SGMN=1|y