物理中的常用方法以及常用数学知识

物理中的常用方法以及常用数学知识

一、物理方法：

1.隔离法2.整体法3.对称法4.递推法5.微元法

6.类比法7.等效法8.图像法9.作图法10.极限法

二、数学知识清点

1.三角形中的数学知识

［1）相似三角形（2）直角三角形［3）正弦定理（4）余弦定理

2.三角函数

〔1）正弦、余弦、正切、余切函数（2）两角和公式

［3）倍角公式［4）万能公式

3.正交坐标系--图像

〔1）位移--时间图像［2）速度--时间图像［3）力-一时间图像（4〕力--位移图

像

4.等差数列，等比数列

5.求极值的方法

〔1）二次函数的极值［2）配方求极值（3）正、余弦的极值［4）三角形中的极值

［5）物理中的极值

利用二次函数极值公式求极值

对于典型的一元二次函数y=a/+bx+c,

b

假设。〉0,那么当x热时,y有极小值，为y皿4ac-b~

4a

b4ac-b~

假设a<0,那么当x=时,y有极大值，为Vmax

2a4a

利用配方法求极值

对于二次函数丁=奴2+区+。，函数解析式经配方可变为

4ac-b2

4〃

4ac-b2

⑴假设a>0时，当x=时,y有极小值为y,„=

2a4a

4ac-b2

⑵假设a<0时，当x=-2时,y有极大值为y=

2am4a

利用不等式求极值

1、如果a,b为正数，那么有:a+b>2Jab,当且仅当a=b时，上式

取“=”号。

推论：①两个正数的积一定时,两数相等时，其和最小。

②两个正数的和一定时，两数相等时，其积最大。

2、如果a,b,c为正数，那么有a+b+c>3-Jabc,当且仅当a=b=c时,

上式取“=”号。

推论：

①三个正数的积一定时，三数相等时，其和最小。

②三个正数的和一定时，三数相等时，其积最大。

利用三角函数求极值

1、利用三角函数的有界性求极值

如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的有界性求极

值。假设所求物理量表达式可化为“y=Asinacosa”的形式，可变为

y—1A“si.n.C2a,

-2

A

当a=45。时，y有极值万。

2、利用“化一”法求三角函数极值。对于复杂的三角函数，例如

y=asind+bcosd,要求极值时,先需要把不同名的三角函数sing和cosd,

变成同名的三角函数，这个工作叫做“化一”。

故y的极大值为，。2+好。

利用向量求极值

向量就是物理学中的矢量，当物体受三力平衡时，将三矢量首尾相连后，

必定构成三角形。利用点到直线的垂直线段最短可求极值。

用图像法求极值

通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，做出其

图像，由图像可求得极值。

运动学问题

1.（临界与转换参考系）12022.A,B两车沿同一直线同向行驶。A车在前，以速度vi作匀

速运动；B车在后，先以速度V2作匀速运动（V2>vi）,当两车相距为d时〔B车在后），B

车开始作匀减速运动，加速度的大小为a,试问为使两车不致相撞，d至少应为多少？

（2a）

2.（图像法）12028.一物体作加速直线运动，依次经A、B、C三点，B为AC中点。在AB

段加速度恒为ai,在BC段加速度恒为a2,VB=（VA+VC）/2,比拟ai与a2的大小。（“】〈电）

3.（巧用图像法）13157.一只蚂蚁从蚂蚁洞沿直线爬出，爬出速度v的大小与距蚂蚁洞中心

的距离L成反比,当蚂蚁到达距蚂蚁洞中心距离Li=lm的A点时，速度大小为vi=2cm/s,

问当蚂蚁到达距蚂蚁洞中心L2=2m的B点时，其速度大小V2=?蚂蚁从A点到达B

点所用的时间t=?（7.5s）

静力学的一些问题：

补充

1.物体在n（n\3）个外力作用下处于平衡状态，假设其中有n-1个力为共点力，即它们

的作用线交于。点，那么最后一个外力的作用线也必过。点，整个外力组必为共点力。

这是因为nT个外力构成的力组为共点（0点）力，这n-1个的合力必过0点，最后一

个外力与这n-1个外力的合力平衡，其作用线必过0点。

特例一物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时，这三个力的作

用线必相交于一点且一定共面（三力汇交原理）。

2.摩擦角令静摩擦因数〃。等于某一角。的正切值，即〃。=应°,这个。角就称为摩擦

角。在临界摩擦〔将要发生滑动状态下），/max/N=〃。=应0。支承面作用于物体的

沿法线方向的弹力N与最大静摩擦力/max的合力F［简称全反力）与接触面法线方向的

夹角等于摩擦角，如下图1-1/1〔图中未画其他力）。在一般情况下，静摩擦力/。未到

—《"o’芯-火。

于0

达最大值，即°WN°ONN°N

因此接触面反作用于物体的全反力Ff

/////////////

（X=circts

的作用线与面法线的夹角N,不会图1-1-12

大于摩擦角，即物体不会滑动。由

此可知，运用摩擦角可判断物体是否产生滑动的条件。如图1-1-12放在平面上的物体A,

用力F去推它，设摩擦角为。，推力F与法线夹角为《,当时，无论F多大，也

不可能推动物块A,只有时，才可能推动A。

3.一些方法的应用

1.（数学三角函数应用与物理作图法）11005.一木箱重G,与地面动摩擦因数为口，现用斜

向上的力F拉木箱使之沿水平地面匀速前进，如图11-6〔甲）所示。求拉力F与水平方

向夹角a为何值时拉力最小？这个最小值多大？

=G-sin(p=G—j=^==

7^?

2.（整体与隔离，三力汇交原理）11010.

粗细均匀的绳质量为m,两端挂在

等高的挂钩上，与水平方向夹。角，

如图11-14所示。求：

[1）绳子对挂钩的拉力。（2）绳子在最低点的张力。

分析：（1）以整条绳子为研究对象，对其进行受力分析。依据三力平衡一定共点〔非平

行力）的性质以及拉力的对称性即可解出。

[2）以半条绳子为研究对象。对其进行受力分析与（1）同理，由水平方向合力为0即

F=--"'gT=FcosO=—mgcotO

可解出。2sin02

3.（用三力汇交原理，作图法求解刚体平衡）11185.如图11-302所示，一

光滑半球形容器直径为a,边缘恰好与一光滑竖直的墙壁相切，现有一

均匀直棒AB,A端靠在墙上，B端与容器相接触，当棒倾斜到水平面r'""o/

成60°时，棒恰好平衡，求棒长L。\R/

4.（用三力汇交原理，作图法求解刚体平衡）11169.一端放在水平地面，

另一端靠在竖直墙上的均匀梯子。梯与地、墙间的动摩擦因数分别为口图11-302

1、口2,求梯子平衡时与地面所能成的最小夹角。

1pt_1-Hipt

tanO喀PH—PE22

AC2AH2fli22|i|)

5.11221.如图11-369所示中OA为一遵从胡克定律的弹

性轻绳，其一端固定于天花板上的。点，另一端与静止

在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A相连，当绳处

于竖直位置时滑块A对地面有压力作用。B为紧挨绳的

一光滑水平小钉，它到天花板距离BO等于弹性绳的自

然长度，现用一水平力F作用于A,使之向右缓慢直线

运动，那么在运动过程中〔）图11-369

A地面对A的支持力N逐渐增大B地面对A的摩擦力f增大

C地面对A的支持力N逐渐减小D水平拉力F逐渐增大

6.11237.固定在水平面上的光滑半球，球心。的正上方固定一小定滑轮，细线一端绕

过定滑轮，今将小球从图11-402所示的初始位置缓慢地拉至B点，

在小球到达B点前的过程中，小球对半球的压力N,细线的拉力T

大小变化情况是〔）。

AN变大，T变大BN变小，T变大

CN不变，T变小DN变大，T变小

7.如图11-287所示，原长Lo为100cm的轻质弹簧放置在一光滑的

直槽内，弹簧的一端固定在槽的O端，另一端连接一小球，这一

装置可从水平位置开始绕O点缓缓地转到竖直位置。设弹簧的形变总是在其弹性限度

内，试在下述（1）、[2）两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地

绕O点转到竖直位置时小球离开原水平面的高度h0o

[1）在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出

现极大值，且极大值hm为40cm。

[2）在转动过程中，发现小球离原水平面的高度不断增

大。

§1.4固定转动轴物体的平衡

1.4.1、力矩

力的三要素是大小、方向和作F

用点。由作用点和力的方向所确定、/

的射线称为力的作用线。力作用于°'、''、、/

物体，常能使物体发生转动，这时d'夕

外力的作用效果不仅取决

于外力的大小和方向，而且取决于/'外力作用线与轴的距离一

一力臂（d）o

力与力臂的乘积称为力矩，记图「4T

为M,那么M=Fd,如图

1-4-1,。为垂直于纸面的固定轴，力F在纸面内。

力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时，此力对物体绕该轴转动

没有作用。假设力F不在与轴垂直的平面内，可先将力分解为垂直于轴的分量F,和平

行于轴的分量F〃，F〃对转动不起作用，这时力F的力矩为M=F，d。

通常规定绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时，物体所受的总

力矩等于各个力产生力矩的代数和。

1.4.2＞力偶和力偶矩

一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。如

图1-4-2中巴，工即为力偶，力偶不能合成为一个力，是----

一个根本力学量。对于与力偶所在平面垂直的任一轴，这r.7n

乙O

一对力的力矩的代数和称为力偶矩，注意到Fi=F]=F,

不难得到，M=Fd,式中d为两力间的距离。力偶矩与所相因1一4。

对的轴无关。图"2

1.4.3、有固定转动轴物体的平衡

有固定转轴的物体，假设处于平衡状态，作用于物体上各力的力矩的代数和为零。

例题.（杆秤问题）用一量程为10kg的吊盘式杆秤称一超此量程的西瓜，店员A另找

一个与原秤蛇相同的秤坨，两秤蛇合一进行称量。平衡时双秤坨位于6.5kg处。店员A

读为13kg,将西瓜卖给顾客。店员B对这种称量表示疑心。为了检验，他另取一西瓜,

用单秤蛇称得8kg,双秤蛇称（如店员A那样）

得6kg„其证明的结果是店员A的方法不可靠。

问店员A卖给顾客的那个西瓜的实际质量应是多

m=2m'+=I3kg+2kg=15kg

少？d

例题.〔自锁现象）一根长度为L的杆AB重为G,

B端压在粗糙的地面上,A端用一根足够牢的轻绳斜拉在地A

上，绳与杆的夹角为0（图11-281）。在离B端a・L处有

一个水平作用力F,问：rn

[1）杆B端与地面之间的动摩擦因数至少为多大，才能维/I

持杆静止？/Z

〔2）如果B端与地面之间的动摩擦因数为共o,那么在AB/t

上有一点D,在AD之间不管施加上多大的水平力F,都不〃B

会破坏AB的平衡，求D点的位置。图11-281

§1.5一般物体的平衡

力对物体的作用可以改变物体的运动状态，物体各部位所受力的合力对物体的平动

有影响，合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有，就称物体处于平衡状态。

因此，一般物体处于平衡时，要求物体所受合外力为零（X的卜二°）和合力矩为零

=°）同时满足，一般物体的平衡条件写成分量式为

分别为对x轴、y轴、z轴的力矩。

由空间一般力系的平衡方程，去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方程，容易

导出各种特殊力系的独立平衡方程。

如平面力系〔设在平面内），那么=°，2监=°自动满足,

那么独立的平衡方程为：

£Mz=。这一方程中的转轴可根据需要任意选取，一般原那么是使尽量多的力

的力臂为零。

平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个，空间汇交力系和空间平行力系

的独立平衡方程均为三个。

§1.6平衡的稳定性

1.6.1、重心

物体的重心即重力的作用点。在重力加速度皆为常矢量的区域，物体的重心是惟一

的〔我们讨论的都是这种情形），重心也就是物体各局部所受重力的合力的作用点，由

于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。

求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。相距L,质量分别为町，加2的两个质

点构成的质点组，其重心在两质点的连线上，且加1，加2与相距分别为：,,

均匀规那么形状的物体，其重心在它的几何中心，外右趾胸本的重心常用的方法

是将物体分割成假设干个重心容易确定的局部后，再用求同向平行力合力的方法找出其

CP

重心。

物体重心〔或质心）位置的求法

我们可以利用力矩和为零的平衡条件来求物体的重心位置。如图1-6-1由重量分别

为G”G2的两均匀圆球和重量为G3的均匀杆连成的系统，设立如图坐标系，原点取在

A球最左侧点，两球与杆的重心的坐标分别为“"/，与，系统重心在P点，我们现在求

其坐标X。设想在P处给一支持力R,令&=5+62+63到达平衡时有:

GM+GX+G3X3Gi%】+GX+GX

22x=---------------2---2-------3-=3--------------------------

RG]+G2+G3

这样就得出了如下图的系统的重心坐标。假设有多个物体组成的系统，我们不难证

X=

£Giy

明其重心位置为：

fGi

fGiz

Z

Gi

一般来说，物体的质心位置与重心位置重合，由上面公式很易得到质心位置公式:

EM

x-

y=

z二

工叫

例、如下图1-6-3,A、B原为两个相同的均质实心球，半径为R,重量为G,A、B

4和堂■—G

球分别挖去半径为24的小球，均质杆重量为64，长度/=4尺，试求系统的重

心位置。

解：将挖去部份的重力，用等值、反向的力取代，图示系统可简化为图1T-31所

「G27

示平行力系；其中864o设重心位置为0,那么合力

且2＞。⑹）=。即

0C=0.53R

1.6.2、物体平衡的种类

物体的平衡分为三类：

稳定平衡处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时，如果外

力或外力矩促使物体回到原平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡，处于稳定平衡的物体，

偏离平衡位置时，重心一般是升高的。

不稳定平衡处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时，如果

外力或外力矩促使物体偏离原来的平衡位置，这样的平衡叫不稳定平衡，处于不稳定平

衡的物体，偏离平衡位置时，重心一般是降低的。

随遇平衡处于平衡状态的物体，当受到外界扰动而偏离平衡位置时，物体受到

的合外力或合力矩没有变化，这样的平衡叫随遇平衡，处于随遇平衡的物体，偏离平衡

位置后，重心高度不变。

在平动方面，物体不同方面上可以处于不同的平衡状态，在转动方面，对不同方向

的转轴可以处于不同的平衡状态。例如，一个位于光滑水平面上的直管底部的质点，受

到平行于管轴方向的扰动时，处于随遇平衡状态；受到与轴垂直方向的扰动时，处于稳

定平衡状态，一细棒，当它直立于水平桌面时，是不稳定平衡，当它平放在水平桌面时，

是随遇平衡。

1.6.3、稳度

物体稳定的程度叫稳度，一般说来，使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量越多，这个

平衡的稳度就越高。稳度与重心的高度及支面的大小有关，重心越低，支面越大，稳度

越大。

例题（讨论平衡破坏）底边长a、高度为b的长方体均匀物块置于斜

面上。斜面和物块之间的静摩擦因数为口，斜面的倾角为0。当。

足够小时，物块静止在斜面上，如图11-480所示。如果将倾角逐渐

增大，当。取某个临界值时，物块或将开始滑动，或将翻倒。试

分别求出发生滑动和翻倒时的6o,并说明在什么条件下出现的是滑

动，在什么条件下出现的是翻倒。分别求出开始出现滑动和出现翻倒时的。0。

例题.（积木问题）用20块质量均匀分布的相同光滑

积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔

桥。每一积木块的长度为L,横截面是边长为h=L/4

的正方形，要求此桥具有最大跨度（即桥孔底宽〕。

试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比

值。

图11-114

例题.（平衡被破坏）儿童玩具“不倒翁”的高度h=21cm,质量M=300g,KD为对称轴,

不倒翁下部是一个半径

R=6cm球的一局部，如图

11-4901甲）的所示。假

设将不倒翁放在一个与水

平面成a=30°角的粗糙

斜面上，当对称轴KD与

竖直方向成8=45°角时，

不倒翁刚好处于平衡状

态,如图11-490（乙）所

示。为了使它在平面上失图11-490

去稳定平衡，需要在其头

顶K处固