长沙2024年新高考适应性考试（一模）数学试卷（含标准答案）

长沙市2024年新高考适应性考试

科目：数学

（试题卷）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填

写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把

答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时,

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.本试题卷共5页，如缺页，考生须及时报告监

考老师，否则后果自负。

4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

姓名_____________________

准考证号_____________________

祝你考试顺利！

长沙市2024年新高考适应性考试

数学

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号娘写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标先.回答非选择题时，将答案写

在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合=1={x|fvl},则

A.M=NB.A/qNC.N口MD.=0

2.夏数z=工在受平面内对应的点位至

2-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若抛物线产=好的焦点坐标为（1,0）,则实数。的值为

A.-2B.2C.-4D.4

4.下图是函数y=Hsin®x+3）的部分图象，则该函数的解析式可以是

A.V=2singx+§

C.y-2sin(2x+y)

数学试题第I页（共5页）

5.已知甲盒中有3个红球和2个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球.现从甲盒中随

机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球

的概率是

9r13

A.-B.C.-D.—

820820

6.若tan2a+4tan(a+w)=0,则sin2a=

42-24

A.—B.c.一D.-

5~555

7.已知直线y=a与函数，（x）=e',g（x）=lnx的图象分别相交于力，8两点.设瓦为

曲线y=/（x）在点4处切线的斜率，&为曲线丁=8（外在点8处切线的斜率，则占用

的最大值为

A.-B.1C.eD.ee

e

8.在平面四边形初8中，E,尸分别为4。，8C的中点.若43=2,8=3,且

EFAB=4,则|布=

&后R历「而/7

A.-----B.-----C.-----nD.V5

222

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列函数中，是奇函数的是

1+X

A.y=ex-e~xB.y=x3-x2C.y=tan2xD.y=log

21-x

10.某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近

的点）与太阳中心的距离为4,远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为4，

并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则

A.轨道的焦距为内+4B.轨道的离心率为仁。

4+4

C.轨道的短轴长为2廊TD.当今越大时，轨道越扁

数学试题第2页（共5页）

11.在正方体力BCD-44GQ巾，点「为绒段或上的动点，直线加为平面4。尸与平

面々CP的交线，则

A.存在点尸，使得8瓦〃面40P

B.存在点P,使得用尸上面4。尸

C.当点P不是8。的中点时，都有加〃面44co

D.当点P不是8。的中点时，都有超_L面力8A

12.设等比数列｛%｝的公比为q,前八项积为7；,下列说法正确的是

A.右7g=7j2)则=1

B.若q=%，则50=1

C.若为=1024,且小为数列区｝的唯一最大项，则《尚<”工

D.若%>0,且小>4,则使得4>1成立的"的最大值为20

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知随机变量X的分布列如下：

X12

P0.10.70.2

则数学期望sm=

14.已知函数/(x)是定义在火上的增函数，且/⑵=1,则不等式/(x)>5-2x的解集

为._____

15.已知/(4,1),3(2,2)，C(0,3),若在圆/+丁=/位>0)上存在点尸满足

|尸/12+I『812+1尸C|2=13,则实数r的取值范围是.

16,已知正四棱锥尸-的顶点均在球。的表面上.若正四棱锥的体积为1,则球。

体积的最小值为.

数学试题第3页(共5页)

四、解答题：本题共6小时，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(木虺汹分10分)已知数列(“〃｝满足。”+[-=2〃一1,且〃]=1.

(I)iif.iyj：数列｛册+〃｝是等比数列:

(2)求数列｛斯｝的前”项和S”.

18.(本题满分12分)如图I,在矩形力8CD中,AB=2,8c=2木,将△48。沿矩

形的对角线BD进行翻折，得到如图2所示的三棱锥N-8C£>.

(I)当/仍18时，求/C的长；

(2)当平面ABD1平面8CQ时，求平面和平而ACD的夹角的余弦竹.

19.(木题满分12分)某厂为了考察设备更新后的产品优质率，质检部门根据方放回简

单随机抽样得到的样本测试数据，制作了如下列联表：

产品优质品非优质品

更新前2416

更新后4812

(1)依据小概率值a=0.050的独立性检验，分析设备更新后能否提高产品优质率？

(2)如果以这次测试中设备更新后的优质品频率作为更新后产品的优质率.质检部

门再次从设备更新后的生产线中抽出5件产品进行核查，核查方案为：若这5

件产品中至少有3件是优质品，则认为设备更新成功，提高了优质率；否则认

为设备更新失败.

①求经核查认定设备更新失败的概率p：

②根据p的大小解释核查方案是否合理.

附：/_______‘幽―______尸(/2兀)0.0500.0100.001

(a+b)(c+d]{a+c](b+d)

%3.8416.63510.828

数学试题第4页(共5页)

20.(本题满分12分)在△48。中，角48,。所对的边长分别为a,b,c,且满足

sin+sinC=2sinJcosB.

(1)证明：a?_b?=be；

(2)如图，点。在线段48的延长线上，且|力8|=3,15D|=1,当点C运动时，探

先|8|-1。|是否为定值？

21.(本题'满分12分)已知函数/(、•)=Qxlnx-.P+1.

(1)若/(x)有且仅有一个零点,求实数。的取值范围:

(2)证明：(In2)2+(ln1)2+(lny)2+---+(ln—)J<I.

22.(木越满分12分)已知双曲线I与也畿/:,=心+〃口。±71)有唯一的公

共点P,直线/与双曲线的两条渐近线分别交于两点，其中点M,。在第一

象限.

(1)探求参数心，“满足的关系式：

(2)若O为坐标原点，E为双曲线的左焦点，证明：ZMFP=ZNF0.

数学试题第5页(共5页)

长沙市2024年新高考适应性考试

数学参考答案

题号123456789101112

答案CBDCDAABACDBCACDBCD

7?4

5.解析若从甲盒中抽到黄球放入乙盒，则从乙盒中抽到红球的概率为Pi若从甲盒中

抽到红球放入乙盒，则从乙盒中抽到红球的概率为P2=(x；=《.因此，从乙盒中抽到的红球的概率为

4913

R+"»=-----•-----=—.

1〜202020

6.解析山己知得•2tan,+4(1+lana)，即2tan2a+5tana+2=0(tana^±l)»则

1-tan2a1-tana

.，)5“K・c2sinacosa2tana4

1+tan-a=——tana.从而sin2a=——----------—=--------—=——.

2sin~a+cos~a1+tan5-a5

7.解析易知=lnx°=a,且ae(0,-H»).由f'(x)=e,v>g'(工)=,，可得尢==a,k>=—=—,

(,

xxHe

则"2=/.

设〃(x)=上，则"(x)=4,可得久x)在(0,1)单调递增，在(1,+8)单调递减，W/j(x)max=/?(1)=-,

eee

即用12的最大值为

e

,I..1.,,.I,,

8.解析如图，可知£'尸=/(£8+£。)=5[(£/1+/6)+(即+£>。)=5(工5+。。).

8C

由赤.方=茄2+恭灰）,即2+1标•皮=4,可得布•诙=4.从而，

2

22-2—►——>29]—.J5A

\EF^=EF=-（AB+DC）=-（ZB+2力5-OC+QC）=1，即|EF=*.

44

7=4乜，。=4二0.,则轨道的焦距为4-4离心率为£=勺4

10.解析由,解得，

[a+c=a222"ad2+di

1-4

轨道的短轴长为2，〃-"=2廊;又牛二3=—^=-1+二厂，则乡•越大时，离心率越小，则轨

出+4i+Ai+ad2

d2d2

道越圆.

数学参考答案第1页（共6页）

11.解析当点。与〃点重合时，由8百〃。〃，可知84〃血4切'，即A正确.

若8/J■面则线，14。，可得4pLsC，即△P&C为直角三角形，且PC为斜边.易知

BJ=PC,与之矛盾，即B错误.

当产不是BR的中点时，由4。〃4C，可知4。〃面BQ>，乂直线团为向AQP与面B.CP的交线,

则4。〃加.从而，可得w//面A^CD,即C正确.

同匕有4。〃加，而面仅，则/MJ.面即D正确.

7、

12.解析若7（=7：2，则上二。9。10。11。12=（%0。11）2=1，可得％0%］二±1,即选项A错误；

而々=。1。2…。19〃20=（^10^11）10=1，即选项B正确•

若可=1024,117；0是数列｛?；,｝的唯一最大项.当q<0时，/<0,不合题意；当g>0时，市?,

Ino>%

可得『°>1,即『）""?1.解得（笫<q<-，即选项C正确.

际<1［1024（710<122

Ao>G

若4o>G>5，当4<0时，3>0，&）<（），满足&）<《，不合题意；当4>0时，由也0>6，

,^11>

可得%］<1,%0>1，。［0。］i>1,则72Q=（“10%1）>］，^21=,"21=（"11）

时，数列｛7〃｝单调递减），即选项D正确.

13.【答案】2.1

14.【答案】（2,+8）

15.【答案】［2尤-1,2&+1］

解析设尸（X/）,将坐标代入式子IA4I2+|P8/+|PC『=13,r2+/-4x-4v+7=0,即

（X-2）2+（V-2）2=1,则点/>的轨迹是以（2,2）为圆心，1为半径的圆.

依题意，两嗣有公共点，M|r-l|<2V2<r+l,解得20-1V"2£+1.

16.【答案】—7T

16

解析设球。的半径为R,正四棱锥的高、底面外接回的'匕径分别为7?,r.如图，球心在正四棱锥

内时，由0012+0/2=（用2,可得S-/?）2+/=炉，即02-2劭+尸2=0（*）.

球心在正四棱锥外时，亦能得到（*）式.

数学参考答案第2页（共6页）

又正四棱锥的体积为=1，则户=工■，代入(*)式可得R=%-4.通过对关于6的函数R(h)

32h24/r

求导，即兴(〃)=；_吃，可得函数做万)在(0,右)单调递减，在(近用)单调递增，贝IJ

22〃

RCDmjR曲)=2事,从而，球。的体积的最小值3万川=乌万•

4316

17.(本题满分10分)

解析(1)由4"+(〃+1)=3勺+2+_1+(〃+1)=3%+3〃=3,可知数歹(]{%+〃}是以“+1=2为首

a+na+n

an+nnn

项，3为公比的等比数列..................................................................5分

(2)由(1)可知，a,,+n=2-3n-',则册=2・3"T.

01,-11-1

AKWSn=(2x3-l)+(2x3-2)+---+(2x3'-«)=2(3°+3+---+3")-(1+2+•■•+«)

2(1-3n)(1+〃)〃„(1+〃)〃A

1-322

18.(本题满分12分)

解析(1)由JLCO,BCLCD,RABr\BC=B,可得CD1平面Z8C,则力C_LC。.在RtZ\ACD

中，根据勾股定理，AC=^AD2-CD2=7(2>/3)2-22=141.....................................................................5分

(2)如图，过/点作4O_L8O于点O,易知幺。=百.由平面JL平面8C。，可知4O_L平面

BCD.

住平面中，过。点作即的垂线为x轴，以O为坐标原点，皮5/。所在直线分别为y,z轴，建

立空间直角.坐标系，则.4(0,0,0),5(0,-1,0),C诉2,0),0(0,3,0),有亚=(0,T,-VJ)，BC=(73,3,0),

CD=(-73,1,0),通=(0,3,-扬.

设平面的的法向量蔡=(孙必当),则归竺7「一=°,令行1,解得其中-个法向量

m*BC=J?%+3必=0

ffi=(3,-A/3,1)；

设平面4CZ)的法向量7=&,必必)，则[上2=*2丁=°,令工2=1,解得其中•个法向量

小AD=3y2-V3Z2=0

〃=(1,6,3).

,I-7-••〃八〃33即平面48。和平面42D夹角的余弦值为福.

从liljcos<m.n>=­：——=—j=—?='=—,12分

\m||n|V13xVi313

数学参考答案第3页(共6页)

19.(本题满分12分)

解析(1)零假设为

Ho：设备更新与产品的优质率独立，即设备更新前与更新后的产品优质率没有差异.

由列联表可计算/z=1°0二48:16)2x4,762>3,841,依据小概率值a=0.05的独立性检验，

〜4。x60x72x2o

我们可以推断4。不成立，因此可以认为设卷更新后能够提高产品优质率............6分

(2)根据题意，设备更新后的优质率为0.8.可以认为从生产线中抽出的5件产品是否优质是相互

独立的.

①设X表示这5件产品中优质品的件数，则X〜8(5,0.8),可得

p=P(X<2)=C°x0.25+C；x0.8x0.2"+C；x0.8?x0.2,=0.05792...............................................10分

②实际上设备更新后提高了优质率.当这5件产品中的优质品件数不超过2件时，认为更新失败，

此时作出了错误的判断，由于作出错误判断的概率很小，则核查方案是合理的.................12分

注意：若考生能给出合适理由，说明核查方案是不合理的，则可以酌情给1分.

20.(本题满分12分)

_L2

证明(1)由sinB+sinC=2sin力cosB,可得b+c=2〃cosB,则b+c=2a-----------------,整理得

2ac

a2-b2=be....................................................................................................................................................5分

(2)根据cos乙iBC+cosNCSD=0,结合余弦定理可得一6+^+1801-|CD|二0,即

2ac2a-\BD\

4/_/+12-3|CD『=o,贝力00|2=：。2-；62+4=*62+3/>)-!/+4=》2+46+4=(》+2)2,

从而|8|=b+2,故|8|-|C4|=2为定值.........................................12分

21.(本题满分12分)

解析(1)易知函数/(X)的定义域为(0,+8).由〃x)=0,可得alnx-x+1=0.

X

设g(x)=alnx-x+L则g⑴=o,9且g(x)与/(x)有相同的零点个数.

XXXTX

思路1：令火》)=一必十城一],》>0,贝一4.

当一24a42时,A<0,则*(x)40,即g«)w0,可得g(x)在(0,+oo)单调递减,则g(x)有且仅有

一个零点.

当。<-2时，显然0(K)<O,则g«)v0,可得g(x)在(0,+co)单调递减，则g(x)有且仅有一个零点.

当。>2时，由0(x)=O,解得芭——~.=々；——土，且0</〈1〈电・当4£(芭户2)时，

(p[x}>0,即g«)>0,则g(x)单调递增；当XG(W，+8)时,(p{x)<0,即g，(x)v0,则g(x)单调递减.

22

不难得知g(x2)>g(l)=0,g(4a)=aln4a2+3_4a2V2aIn2a-4a+2a=2a(ln2a—2a+1)v0,

4a

则g(4)在(占,+8)有一个零点，可知g(X)不只一个零点，不合题意.

综上，可知ac(-8,2].............................................................................................................................6分

数学参考答案第4页(共6页)

思路2：令到K)=——+>0.

当oWO时，奴x)在(0,+oo)单调递减，有奴工)<奴0)=-1,BPg\x)<0,可得g(x)在(0,+co)单调递

减，则g。)有且仅有一个零点.

当Q>0时，火0g=g(])=%2-l.

若Q42,(p(x)<0,则式(%)40,可得g(x)在(0,y)单调递减，则g(x)有且仅有一个零点.

若。>2,存在苔，々^火，且0<玉<1<々，使得奴玉)=奴々)=0.后续过程同思路1・

综上，可知。€(-8,2]......................................................................................................................6分

(2)取。=2,当%>1时，/(x)<0,有0<21nx<x-L,即0<ln¥<x--»贝”(Ind):<x2+-2.

XXX

令e=F,k=i,2,…则(“之)】<"1+]一一2,sp(in—/<!一——,从而

kkkA"+lkkk+\

.3..4,八九+1、2,11111111,…八

，in2了.(In-J*.(In-+(ln------)<1------卜--------1--------F•—i-------------=1t---------<1..................12分

23力22334nn+1%+1

22.(本题满分12分)

y=kx+m

解析(1)联立方程I,v2,整理得(3-炉)/_2h〃x-("?2+3)=0(*).

X2—=^-=1

3

由左H土石，且F是双曲线与直线/的唯一公共点，可得A=（-加加）2+4（3-k2）（加2+3）=0,则

结合图象，由点P在第一象限，可知左>百，且，〃<0.（若考生没有给出左,，〃的范围，不扣分）

（2）易知，双曲线的左焦点了（-2,0）,渐近线为y=±6r.

m

联立方程解得‘号"，即联立方程V**,解得

y=V3x・层k-k>=->/3x

=

〔y.~邪r——-k

6+km6m

舄‘即阳一京TK）.

y=m

结合M-〃/=3,（*）式可变形为加2/+2h〃x+M=0,解得x=—幺，可得尸（-生,——）.